LITERATURA: [1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka

LITERATURA:
[1 ] M. Podgórska, J. Klimkowska, Matematyka finansowa, PWN
[2 ] E. Smaga, Arytmetyka finansowa, PWN
[3 ] M. Sobczyk, Matematyka finansowa, Placet
[4 ] M. Szałański, Podstawy matematyki finansowej, Elipsa
[5 ] M. Capinski, T. Zastawniak, Mathematics for Finance: An Introduction to Financial Engineering, Springer
Zadanie 1 Jaką kwotę utworzy po czterech latach kapitał P = 400 jp w modelu kapitalizacji prostej przy rocznej stopie procentowej 15%?
Zadanie 2 Hurtownia udziela nabywcom towarów kredytu kupieckiego w postaci odroczonego o miesiąc terminu płatności faktury. Jeżeli zapłata nastąpi natychmiast, to nabywcy
towaru przysługuje prawo skorzystania ze skonta 10%. Wartość zakupionego towaru wynosi 12000 jp. Czy opłaca się zaciągnąć kredyt bankowy i skorzystać ze skonta, jeśli bank
stosuje model miesięcznej kapitalizacji prostej przy stopie miesięcznej 4%?
Zadanie 3 Ustalić stan książeczki oszczędnościowej po 10 latach w modelu kapitalizacji
prostej przy rocznej stopie procentowej r = 12%, jeśli dokonano w niej następujących
operacji finansowych: na początku wpłacono 10 jp, po pięciu latach wpłacono 20 jp, po
następnym roku wypłacono 15 jp.
Zadanie 4 Przy jakiej rocznej stopie procentowej r i kapitalizacji rocznej złożonej z dołu
kapitał P podwoi swoją wartość po 5 latach?
Zadanie 5 Rodzeństwo w wieku 8 i 10 lat otrzymało w spadku kwotę 500 jp, złożoną w
banku według modelu kapitalizacji rocznej złożonej z dołu przy stopie r = 20%. Jak należy
podzielić spadek aby w momencie osiągnięcia przez każde z dzieci 21 lat wartości przyszłe
części spadku każdego dziecka były takie same?
Zadanie 6 Obliczyć dochód banku uzyskany w ciągu 5 lat, który przyjął w depozyt kwotę
10000 jp według rocznej stopy r0 = 5% i wypożyczył tę kwotę według rocznej stopy r00 = 20%
w modelu kapitalizacji złożonej z dołu.
1
Zadanie 7 Na początku każdego z czterech kolejnych lat wpłacano na konto kwoty odpowiednio: 20 jp, 40 jp, 15 jp, 10 jp. Roczna stopa procentowa wynosi 10%. Ustalić stan
oszczędności na koniec 6 roku, jeżeli bank stosuje model kapitalizacji rocznej złożonej z
dołu (z góry).
Zadanie 8 Według reguły 70 obliczyć przybliżony czas podwojenia wartości kapitału przy
oprocentowaniu rocznym o stopie: a) r = 2, 5%, b) r = 7, 5%.
Zadanie 9 Według reguły 70 obliczyć przybliżoną wartość stopy oprocentowania rocznego,
przy której kapitał podwoi swoją wartość w czasie: a) 7 lat, b) 10 lat.
Zadanie 10 Jaką wartość osiągnie kapitał P = 1800 jp po 4 latach oprocentowania rocznego przy stopie r = 6% w modelu kapitalizacji złożonej z dołu (z góry)? Jaką wartość
mają odsetki naliczone za każdy rok? Przy jakiej stopie łączna wartość 4-letnich odsetek
byłaby większa o 58 jp?
Zadanie 11 Po ilu latach oprocentowania rocznego złożonego z dołu (z góry) przy stopie
r = 5, 52% wartość kapitału 1600 jp przekroczy 1900 jp? Ile wyniosą odsetki należne za
kolejne 2 lata?
Zadanie 12 Ile wynosi kwartalna stopa procentowa, jeśli dług o wysokości 90000 jp będzie
spłacony w trzech kwartalnych ratach płatnych z dołu, przy czym dwie pierwsze raty będą
stanowiły spłatę odsetek za dany kwartał, a trzecia rata F3 = 91845 jp obejmie spłatę
długu kapitałowego i odsetek za trzeci kwartał?
Zadanie 13 Ile wynosi wartość końcowa kapitału 1000 jp oraz odsetki po 2 latach, jeśli
nominalna stopa procentowa r = 12% a kapitalizacja jest złożona z dołu: a) dwuletnia, b)
półroczna, c) miesięczna?
Zadanie 14 Jaką wartość osiągnie kapitał początkowy 500 jp po a) 4 latach, b) 198
dniach, przy nominalnej stopie r = 7% w modelu kapitalizacji złożonej z dołu?
Zadanie 15 Obliczyć wartość 2, 5-letnich odsetek od kwoty 790 jp, jeśli nominalna stopa
wynosi 8, 88%, odsetki kapitalizują się a) po każdym półroczu, b) po każdym miesiącu.
Zadanie 16 Jak często trzeba kapitalizować odsetki przy nominalnej stopie 11%, aby wartość 2-letnich odsetek od kwoty 3300 jp wyniosła przynajmniej 820 jp?
2
Zadanie 17 Co jest korzystniejsze dla właściciela kapitału: roczna kapitalizacja złożona
z dołu przy rocznej stopie procentowej 12%, czy półroczna kapitalizacja złożona z góry przy
nominalnej stopie 9%?
Zadanie 18 W banku A obowiązuje miesięczna kapitalizacja złożona z dołu przy nominalnej stopie procentowej r = 8, 5%. W banku B obowiązuje kwartalna kapitalizacja złożona
z góry przy nominalnej stopie procentowej r0 . Ile musi wynosić r0 wartości przyszłe kapitału P , otrzymane odpowiednio w banku A i B, po pięciu latach były identyczne? Czy tak
wyznaczona stopa r0 zachowa równoważność warunków oprocentowania po 10 latach?
Zadanie 19 Obliczyć wartość 2, 5-letnich odsetek od kwoty 790 jp, jeśli nominalna stopa
wynosi 8, 88%, odsetki kapitalizują się na początku każdego miesiąca.
Zadanie 20 Co jest korzystniejsze dla właściciela kapitału: półroczna kapitalizacja złożona z góry przy rocznej stopie procentowej 5%, czy miesięczna kapitalizacja złożona z dołu
przy nominalnej stopie 7%?
Zadanie 21 Obliczyć największą i najmniejszą wartość odsetek wygenerowanych w ciągu
4 lat przez kapitał P = 4000 jp przy rocznej stopie 14, 5%.
Zadanie 22 Do banku wpłacono 20 jp. Przez pierwsze trzy lata obowiązywała półroczna
kapitalizacja złożona z dołu, przez następne dwa lata obowiązywała kwartalna kapitalizacja złożona z góry. Wyznaczyć wartość przyszłą po pięciu latach, jeżeli nominalna stopa
procentowa wynosi 12%.
Zadanie 23 Ile wynosi roczna stopa procentowa, jeżeli przy kwartalnej kapitalizacji z dołu
odsetki za drugi kwartał od kwoty początkowej 20 jp wyniosły 2, 2 jp?
Zadanie 24 Według reguły 70 obliczyć przybliżony czas podwojenia wartości kapitału,
jeśli bank stosuje kapitalizację półroczną oraz nominalną stopę procentową a) r = 5%, b)
r = 10%.
Zadanie 25 Według reguły 70 obliczyć przybliżoną wartość stopy nominalnej r, przy której kapitał podwoi swoją wartość w czasie 10 lat w modelu kapitalizacji złożonej z dołu
miesięcznej.
Zadanie 26 Ile musi wynosić nominalna stopa r, aby wartość 5-letnich odsetek od kwoty
1000 jp wyniosła przynajmniej 500 jp w kapitalizacji dziennej złożonej a) z dołu, b) z
góry?
3
Zadanie 27 Jaki model kapitalizacji rocznej pozwoli zgromadzić odsetki wielkości 16, 42
jp od kwoty początkowej 100 jp?
Zadanie 28 Po ilu latach oprocentowania złożonego a) z dołu b) z góry, przy nominalnej
stopie 15% kapitał P = 2500 jp wygeneruje odsetki a) I = 2500jp b) I = 3000 jp.
Zadanie 29 Obliczyć wartość przyszłą kapitału 100 jp oraz odsetki za drugi rok po trzech
latach, jeśli bank stosuje kapitalizację złożoną a) z dołu kwartalną b) z góry półroczną,
oraz nominalną stopę 6%.
Zadanie 30 Co jest korzystniejsze: miesięczna kapitalizacja złożona z dołu przy nominalnej stopie 12%, czy miesięczna kapitalizacja złożona z góry przy a) nominalnej stopie
12%, b) nominalnej stopie 10%?
Zadanie 31 Oblicz przyszłą wartość kapitału 100 jp po 256 dniach w kapitalizacji ciągłej
przy stopie nominalnej r = 3%.
Zadanie 32 Oblicz odsetki przypadające za drugi rok w kapitalizacji ciągłej przy stopie
nominalnej r = 9% od kapitału początkowego P = 100 jp.
Zadanie 33 Po jakim czasie nastąpi wzrost kapitału początkowego P = 480 jp do kwoty
F = 800 jp, przy założeniu ciągłej kapitalizacji odsetek przy nominalnej stopie procentowej
r = 6%?
Zadanie 34 Jakiej wielkości kapitał początkowy po 9, 5 roku wygeneruje odsetki I = 348
jp w modelu kapitalizacji ciągłej przy nominalnej stopie r = 6%?
Zadanie 35 Jaka będzie przyszła wartość kapitału 100 jp po 5 latach w modelu kapitalizacji ciągłej, jeśli stopa procentowa w kolejnych latach była odpowiednio równa: 4%, 3, 6%,
4, 5%, 2, 4% i 1, 4%?
Zadanie 36 Co jest korzystniejsze: ciągła kapitalizacja przy nominalnej stopie 12%, czy
miesięczna kapitalizacja złożona z góry przy a) nominalnej stopie 12%, b) nominalnej
stopie 10%?
Zadanie 37 Ile zarobi bądź straci właściciel kapitału 200 jp, jeśli po 9 miesiącach od dnia
wpłaty bank z kapitalizacji dziennej złożonej a) z dołu, b) z góry, przeszedł na kapitalizację
ciągłą przy nominalnej stopie procentowej r = 4%?
4
Zadanie 38 Jaka będzie przyszła wartość F kapitału P = 5000 jp po 6 latach, jeśli bank
przez pierwsze 2, 5 roku stosował nominalną stopę r0 = 2% a następnie nominalną stopę
r00 = 1, 5% w modelu kapitalizacji ciągłej?
Zadanie 39 Po ilu latach kapitał podwoi swoją wartość przy rocznej stopie procentowej
12% i ciągłej kapitalizacji odsetek?
Zadanie 40 W banku A stosowany jest model kapitalizacji złożonej z dołu rocznej przy
rocznej stopie r0 = 2, 7%, zaś w banku B model kapitalizacji złożonej z góry rocznej przy
rocznej stopie r00 . Ile musi wynosić r00 , aby kwota 300 jp w banku A i B dała taką samą
kwotę przyszłą po 2 latach?
Zadanie 41 Mając półroczną stopę oprocentowania prostego i2 = 18% wyznaczyć równoważną stopę miesięczną, 13-dniową i 2-letnią, a następnie przy użyciu każdej z nich
obliczyć odsetki proste od kapitału 400 jp za czas 3 lat.
Zadanie 42 Obliczyć a) tygodniową, b) miesięczną, c) półroczną stopę równoważną stopie
kwartalnej i4 = 3% w kapitalizacji prostej.
Zadanie 43 Wyprwadzić wzory na równoważne stopy procentowe w kapitalizacji podokresowej złożonej z dołu i z góry.
Zadanie 44 Sprawdzić, czy równoważne są następujący stopy oprocentowania złożonego
z dołu: kwartalna stopa i4 = 3, 26% oraz dwumiesięczna stopa i6 = 2, 26%.
Zadanie 45 Zbadać równoważność warunków oprocentowania przy stopach nominalnych
r = 12, 6% w kapitalizacji złożonej z dołu i rc = 12% w kapitalizacji ciągłej.
Zadanie 46 Dla stopy r = 24% oprocentowania rocznego złożonego z góry obliczyć równoważne stopy oprocentowania a) półrocznego złożonego z dołu, b) kwartalnego złożonego
z dołu, c) ciągłego, a następnie przy użyciu każdej z nich obliczyć dwuletnie odsetki od
kapitału 1000 jp.
Zadanie 47 Nie używając kalkulatora wybrać spośród następujących stóp oprocentowania
złożonego z dołu (z góry) pary stóp nierównoważnych: a) i4 = 5%, b) r = 20%, c) i2 =
10, 5%, d) rc = 19%.
5
Zadanie 48 Przy użyciu rocznego czynnika akumulacji wykazać równoważność bądź nierównoważność stóp oprocentowania złożonego i4 = 3, 3% oraz i12 = 1, 3%, a następnie obliczyć: a) stopę i12 równoważną stopie i4 = 3, 3%, b) stopę i4 równoważną stopie
i12 = 1, 3%
Zadanie 49 Mając półroczną kapitalizację złożoną z góry przy nominalnej stopie r = 12%
wyznaczyć kwartalną stopę i4 równoważną stopie i2
Zadanie 50 Co jest korzystniejsze dla właściciela kapitału: roczna kapitalizacja złożona
z góry przy nominalnej stopie r = 5%, czy ciągła kapitalizacja przy nominalnej stopie
r = 6%?
Zadanie 51 Bank A stosuje kapitalizację półroczną złożoną z dołu przy rocznej stopie
rA = 8%, zaś bank B kapitalizację kwartalną złożoną z góry przy rocznej stopie rB = 6%.
Czy warunki oprocentowania proponowane przez te banki są równoważne?
Zadanie 52 Zamierzamy wpłacić na rachunek bankowy kwotę 1000 jp. Bank A stosuje
kapitalizację miesięczną złożoną z dołu przy stopie i12 = 1%, bank B stosuje kapitalizację
pólroczną złożoną z góry przy nominalnej stopie rB = 11%, zaś bank C stosuje kapitalizację miesięczną złożoną z góry przy nominalnej stopie rC = 10%. Który bank oferuje
najkorzystniejsze warunki oprocentowania?
Zadanie 53 Zamierzamy wpłacić na rachunek bankowy kwotę 1000 jp. Bank A oferuje
nominalną stopę rA = 3% przy półrocznej kapitalizacji odsetek z dołu, bank B oferuje
nominalną stopę rB = 2, 8% przy kwartalnej kapitalizacji odsetek z góry, zaś bank C
oferuje nominalną stopę rC = 2, 4% przy miesięcznej kapitalizacji odsetek z dołu. Który
bank oferuje najkorzystniejsze warunki oprocentowania?
Zadanie 54 Jeśli nominalna stopa procentowa wynosi 10%, to jakie powinny być równoważne stopy procentowe dla kapitalizacji a) miesięcznej z dołu, b) półrocznej z góry?
Zadanie 55 Wyznaczyć wartość 100 jp po 10 latach kapitalizacji półrocznej złożonej a)
z dołu, b) z góry, z nominalną stopą r = 24%.
Zadanie 56 Pewien kapitał ulokowano na procent złożony. Kapitalizacja odsetek następuje pod koniec każdego kwartału, a efektywna stopa procentowa jest równa 13%. Ile wynosi
równoważna kwartalna stopa procentowa a ile nominalna?
6
Zadanie 57 Efektywna stopa procentowa wynosi 14%. Obliczyć równoważną okresową
i nominalną stopę oprocentowania złożonego przy kapitalizacji: a) co kwartał, b) co 4
miesiące, c) co 1,5 miesiąca, d) ciągłej.
Zadanie 58 Dla każdej stopy oprocentowania złożonego z zadania 47 obliczyć stopę efektywną i równoważną stopę oprocentowania ciągłego.
Zadanie 59 Wyznaczyć przyszłą wartość 100 jp po roku i 8 dniach w modelu kapitalizacji
złożonej z góry dziennej przy nominalne stopie r = 8%.
Zadanie 60 Wyznaczyć przyszłą wartość 500 jp po 2 latach i 2 tygodniach, jeśli bank
stosuje kapitalizację złożoną z dołu tygodniową przy stopie nominalnej r = 9%.
Zadanie 61 Porównując efektywne stopy procentowe sprawdzić równoważność warunków
0
oprocentowania półrocznego złożonego z dołu przy nominalnej stopie r = 7% oraz kwar00
talnego złożonego z góry przy nominalnej stopie r = 5%.
Zadanie 62 W kolejnych kwartałach roku stopa procentowa wynosiła: 11%, 9%, 5%, 8%.
Wyznaczyć przeciętną kwartalną stopę procentową, jeśli bank stosował kapitalizację kwartalną: a) prostą, b) złożoną z dołu, c) złożoną z góry.
Zadanie 63 Pięcioletnia lokata o wartości początkowej 5000 jp podlega rocznemu oprocentowaniu z dołu o zmiennej rocznej stopie procentowej: 3%, 3%, 3, 02%, 3, 12%, 2, 9%.
Wyznaczyć roczną stopę przeciętną i miesięczną stopę przeciętna równoważną rocznej oraz
wartość przyszłą kapitału po pięciu latach.
Zadanie 64 W ciągu dwóch lat oprocentowanie rachunku bankowego było zmieniane wielokrotnie. W pierwszym półroczu stopa nominalna wynosiła 7%, a odsetki kapitalizowano
pod koniec każdego kwartału. W trzecim kwartale odsetki były kapitalizowane pod koniec
każdego miesiąca, a stopa nominalna wynosiła 6%. Następnie przez kolejne dwa miesiące obowiązywała kapitalizacja dwumiesięczna z dołu przy stopie nominalnej 6, 5%, przez
kolejne pół roku odsetki były kapitalizowane pod koniec każdego kwartału przy stopie nominalnej 5, 75% a następnie do końca czasu oprocentowania lokaty obowiązywała kapitalizacja miesięczna z dołu przy nominalnej stopie 6, 3%. Obliczyć: a) efektywną stopę
procentową dla każdego roku, b) przeciętną stopę kwartalną, c) wartość kapitału 100 jp po
dwóch latach stosując zmienne stopy podokresowe, stopy efektywne, stopy przeciętne.
7
Zadanie 65 Odsetki od 2-letniej lokaty 1500 jp obliczono według zmiennej stopy procentowej. Stopa nominalna w pierwszym i drugim roku wynosiła, odpowiednio, 10% oraz 12%.
W pierwszym roku odsetki były kapitalizowane co miesiąc, w drugim na koniec roku. Obliczyć: a) dwuletni czynnik akumulacji oprocentowania lokaty, b) przeciętną roczną stopę
oprocentowania lokaty, c) odsetki należne na koniec drugiego roku.
Zadanie 66 Bank A proponuje 3-letnią lokatę o oprocentowaniu ciągłym przy zmiennej
stopie procentowej. W pierwszym roku stopa rc wyniesie 3% i będzie się zwiększać o 0, 3
punktu procentowego w każdym następnym roku. Bank B proponuje lokatę 3-letnią o stałym oprocentowaniu kwartalnym z góry przy stopie nominalnej 3, 5%. Która z lokat jest
korzystniejsza dla klienta.
8
Dyskonto handlowe. Weksle
W zadaniach 67-80 d oznacza roczną stopę dyskonta handlowego prostego, r oznacza
roczną stopę oprocentowania prostego.
Zadanie 67 Bank A proponuje 15-miesięczną lokatę z odsetkami płatnymi z dołu naliczanymi wg. stopy nominalnej r = 7%, zaś bank B 15-miesięczną lokatę z odsetkami płatnymi
z góry naliczanymi wg. stopy rocznej d = 5%. Która z lokat jest korzystniejsza?
Zadanie 68 Pożyczkę 2800 jp spłacono po 3 miesiącach kwotą 2950 jp. Przyjmując, że
opłatą za pożyczkę były:
a) odsetki płatne z dołu, obliczyć r;
b) odsetki płatne z góry, obliczyć d.
Zadanie 69 Opłata za 6-miesięczny kredyt w wysokości F = 10000 jp ma postać dyskonta
przy rocznej stopie dyskontowej d równoważnej stopie r = 12, 75% w okresie 6 miesięcy.
Ile wynosi ta opłata? Ile wyniosłaby ta opłata przy kredycie większym o 5000 jp?
Zadanie 70 W dniu 11.02.2007 pan Kowalski otrzymał pożyczkę 9300 jp, podpisując weksel o nominale 10000 jp z terminem wykupu 9.06.2007. Obliczyć stopę d. Obliczyć stopę
r oprocentowania kredytu w wysokości 9300 jp udzielonego na ten sam czas, równoważną
stopie d.
Zadanie 71 Przedsiębiorca uzyskał kredyt handlowy na okres 60 dni na zakup surowców
o wartości 45600 jp. Jaka powinna być wartość nominalna weksla, zabezpieczającego tę
transakcję, jeżeli strony zgodziły się na zastosowanie rocznej stopy d = 11%?
Zadanie 72 Jaką kwotę otrzymała firma X za weksel o wartości nominalnej 10000 jp z
terminem wykupu za 96 dni zdyskontowany w banku przy rocznej stopie d = 7, 5%? O ile
wyższa byłaby ta kwota, gdyby stopa dyskontowa była niższa o 1 punkt procentowy?
Zadanie 73 Bank A, który był w posiadaniu weksla o wartości nominalnej 90000 jp z terminem wykupu 17.05.2002, złożył ten weksel do redyskonta w banku centralnym 4.03.2002.
Obliczyć wysokość kredytu redyskontowego udzielonego przez bank centralny bankowi A,
jeśli w tym dniu obowiązywała stopa redyskontowa d = 12% w skali roku.
Zadanie 74 Firma C, przewidując trudności ze spłatą weksla o wartości nominalnej
22000 jp w wymaganym terminie 10.01.2003, zwraca się 22.12.2002 do banku, który jest w
9
posiadaniu weksla, o jego zamianę na weksel równoważny z terminem wykupu 10.04.2003.
Jaka jest wartość nominalna odnowionego weksla, jeśli 22.12.2002 w banku obowiązywała
roczna stopa dyskontowa 12%?
Zadanie 75 Weksel o wartości nominalnej 70 jp i terminie płatności za 9 miesięcy zamienić na weksel równoważny z terminem płatności za 6 miesięcy. Bieżąca roczna stopa
dyskontowa wyosi 7%.
Zadanie 76 W dniu 1 maja zmienić dwa weksle: o wartości nominalnej 40 jp i terminie
płatności 15 września oraz o wartości nominalnej 10 jp i terminie płatności 30 października, na jeden weksel równoważny płatny 1 września. Bieżąca roczna stopa dyskontowa
wynosi 6, 5%.
Zadanie 77 Wyznaczyć stopę dyskontową, jeżeli dyskonto handlowe weksla o wartości
nominalnej 100 jp zdyskontowanego na 30 dni przed terminem wykupu wynosi 2 jp.
Zadanie 78 Mając roczną stopę dyskontową d = 2, 5% i roczną stopę procentową r =
1, 5% zbadać czy istnieje czas,w którym te stopy są równoważne.
Zadanie 79 Hurtownia przyjmuje zapłatę za towar w terminie nie przekraczającym 28
dni od daty zakupu. Jeśli klient reguluje należność w ciągu 7 dni od daty zakupu, to przysługuje mu rabat w wysokości 3%.
a) Przy jakiej stopie d warto wziąć pożyczkę z odsetkami płatnymi z góry, w celu skorzystania z rabatu, jeśli wartość zakupionego towaru wynosi 25000 jp?
b) Przy jakiej stopie r warto wziąć pożyczkę z odsetkami płatnymi z dołu, w celu skorzystania z rabatu, jeśli wartość zakupionego towaru wynosi 25000 jp?
Zadanie 80 10 lutego 2000 r. firma zdyskontowała w banku weksel o terminie wykupu 1
czerwca tego samego roku, otrzymując zań 28135, 76 PLN. Gdyby termin wykupu weksla
był późniejszy o 30 dni, ta kwota byłaby mniejsza o 204, 71 PLN.
a) Obliczyć stopę d, przy której zdyskontowano weksel.
b) Jaka była wartość nominalna weksla?
c) Jaki powinien być termin wykupu weksla, aby otrzymano za niego przynajmniej
28200 PLN?
Zadanie rozwiązać uwzględniając dokładną liczbę dni i fakt, że rok 2000 był rokiem przestępnym.
10
Inflacja. Wartość realna kapitału w czasie
Zadanie 81 W ciągu roku stopa inflacji zmieniała się co kwartał i przyjmowała kolejno
wartości: 5%, 4, 5%, 5, 5% i 6%. Wyznaczyć roczną stopę inflacji oraz przeciątną kwartalną
stopę inflacji.
Zadanie 82 Oprocentowanie roczne lokaty wynosi 8% a roczna stopa inflacj 3, 5%. Ile
wynosi realna roczna stopa procentowa?
Zadanie 83 Płaca pracownika w I kwartale pewnego roku wynosiła 7000 jp miesięcznie
i była indeksowana co kwartał wskaźnikiem wzrostu płac równym 0, 8 stopy inflacji z
poprzedniego kwartału. W kolejnych kwartałach roku stopa inflacji wynosiła odpowiednio:
3%, 3, 5%, 3, 2%, 3, 1%. Wyznaczyć
a) płacę pracownika w I kwartale następnego roku,
b) roczną stopę inflacji,
c) przeciętną kwartalną stopę inflacji
d) realną stopę wzrostu płacy pracownika w ciągu roku.
Zadanie 84 Roczna stopa oprocentowania lokaty wynosi 10% i bank stosuje kwartalną
kapitalizację złożoną z dołu. Jaka jest realna roczna stopa procentowa, jeżeli stopa inflacji
w poszczególnych kwartałach wynosiła odpowiednio: 2, 8%, 3, 2%, 3%, 3, 5%.
Zadanie 85 Tegoroczne środki przyznane uczelni na prace naukowo-badawcze są wyższe
od ubiegłorocznych o 22%. Jaki jest realny wzrost tego funduszu, jeśli w minionym roku
stopa inflacji wyniosła 13%?
Zadanie 86 Przewidując stopę inflacji 5% rocznie, ustalono, że spłata pożyczki 6500 jp
po dwóch latach wyniesie 8000 jp. Obliczyć realną roczną stopę oprocentowania pożyczki,
jeśli:
a) poziom inflacji będzie zgodny z przewidywaniami,
b) w pierwszym roku stopa inflacji wyniesie 6%, a w drugim 9%.
Zadanie 87 Oprocentowanie kwartalnej lokaty bankowej o wartości 10000 jp wynosi 12%
w skali roku. Obliczyć nominalną i realną wartość lokaty oraz nominalną i realną wartość
odsetek na koniec kwartału, jeśli stopa inflacji wyniosła w tym kwartale 1, 3%. Wyznaczyć
dinf .
11
Zadanie 88 Przed rokiem miesięczna płaca pracownika A wynosiła 800 jp, pracownika
B zaś 2500 jp. Wiedząc, że stopa inflacji w minionym roku wyniosła 10%, obliczyć
a) o ile złotych i o ile procent realnie wzrosła płaca każdego pracownika, jeśli obecnie
każdy z nich zarabia miesięcznie o 100 jp więcej,
b) o ile złotych i o ile procent realnie zmniejszyła się płaca każdego pracownika, jeśli
obecnie każdy z nich zarabia tyle co przed rokiem.
Zadanie 89 Obliczyć nominalną i realną wartość kapitału 300 jp po pół roku oraz nominalną i realną stopę jego wzrostu, jeśli kapitał ten został umieszczony na półrocznej lokacie
przy półrocznej stopie 3, 5%. Półroczna stopa inflacji w tym czasie wynosi 1, 5%.
Zadanie 90 Obliczyć nominalną i realną wartość kapitału 300 jp po pół roku oraz nominalną i realną stopę jego wzrostu, jeśli kapitał ten został umieszczony na półrocznej lokacie
przy półrocznej stopie 3, 5%. Półroczna stopa inflacji w tym czasie wynosi −1, 5%.
Zadanie 91 Obliczyć nominalną i realną wartość kapitału 300 jp po pół roku oraz nominalną i realną stopę wzrostu wartości kapitału, jeśli półroczna stopa inflacji wynosi
−1, 5%.
12
Aktualizacja wartości kapitału
Zadanie 92 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 500 jp po roku i trzech miesiącach,
jeżeli bank stosuje kapitalizację roczną złożoną z dołu a wartość rocznej stopy wynosi 5%.
Zadanie 93 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 100 jp po siedmiu miesiącach przy stopie nominalnej r = 2% i kapitalizacji kwartalnej złożonej z dołu. Rachunki przeprowadzić
na dwa sposoby.
Zadanie 94 Wyznaczyć wartość przyszłą kapitału 500 jp po roku i trzech miesiącach,
jeżeli bank stosuje kapitalizację:
a) prostą roczną,
a) prostą półroczną
i roczną stopę procentową r = 7%. Czy długość okresu kapitalizacji ma znaczenie?
Zadanie 95 Wyznaczyć wartość początkową kapitału, który po 5 miesiącach wygenerował
odsetki wysokości 3, 77 jp przy rocznej stopie r = 3%.
Zadanie 96 Kapitał P po czasie 7 miesięcy przyjmie wartość 1320 jp. Jaka będzie wartość
tego kapitału 2 miesiące wcześniej przy oprocentowaniu złożonym z dołu
a) rocznym,
b) półrocznym
i nominalnej stopie 10%?
Zadanie 97 Mając kapitał 200 jp wyznaczyć wartość tego kapitału na dwa miesiące
wstecz, jeżeli podlegał on oprocentowaniu ciągłemu przy rocznej stopie 11%
Zadanie 98 Kapitał 300 jp po czasie 3 miesięcy wygenerował odsetki wysokości 20 jp.
Jakiej wysokości odsetki zostaną wygenerowane po kolejnych 3 miesiąch, jeżeli bank stosuje
model kapitalizacji złożonej z dołu rocznej?
13
Wkłady oszczędnościowe
Zadanie 99 Jaka jest przyszła i teraźniejsza wartość wkładów oszczędnościowych wnoszonych przez rok na początku każdego miesiąca w wysokości 10 jp, jeżeli roczna stopa
procentowa wynosi 10%?
Zadanie 100 Jaka jest przyszła i teraźniejsza wartość wkładów oszczędnościowych wnoszonych przez 3 lata na początku każdego kwartału w wysokości 15 jp, jeżeli roczna stopa
procentowa wynosi 12% a kapitalizacja jest złożona z dołu:
a) kwartalna,
b) miesięczna,
c) półroczna?
Zadanie 101 Jakiej wysokości wkłady oszczędnościowe półroczne z dołu wnoszone przez
15 lat pozwolą zgromadzić kapitła rentowy wysokości 2000 jp, jeżeli roczna stopa procentowa wynosi 7% a kapitalizacja jest
a) kwartalna,
b) roczna,
c) półroczna?
Zadanie 102 Na konto bankowe z wkładem początkowym 60 jp pod koniec każdego miesiąca wpływa stała kwota 8 jp. Jaki powstanie kapitał po 2 latach, jeżeli bank stosuje
nominalną stopę procentową r = 7% i kapitalizację:
a) prostą,
b) miesięczną złożoną z dołu,
c) półroczną złożoną z dołu?
Zadanie 103 Przez ile lat należy wpłacać na początku każdego roku kwotę 50 jp, aby wartość zgromadzonego kapitału wraz z odsetkami wynosiła 800 jp? Roczna stopa procentowa
wynosi 12% i kapitalizacja jest roczna złożona z dołu.
14
Zadanie 104 Przez 5 lat na początku każdego miesiąca wpłacano stałą kwotę 15 jp. Jakiej
wysokości kapitał utworzy się, jeżeli po każdym roku z konta wypłacano stałą kwotę 5 jp i
bank stosuje kapitalizację miesięczną złożoną z dołu przy rocznej stopie 9%?
Zadanie 105 Jakiej wysokości semestralne wypłaty mógłby pobierać student z konta, na
którym znajduje się kredyt wysokości 50 jp oprocentowany w modelu kapitalizacji złożonej
z dołu kwartalnej przy nominalnej stopie r = 11%?
Zadanie 106 Bank A oferuje wkłady miesięczne przy stopie r = 12% w skali roku i kapitalizacji złożonej z dołu miesięcznej, zaś bank B oferuje wkłady kwartalne przy stopie
r = 16% w skali roku i kapitalizacji złożonej z dołu kwartalnej. Która oferta jest korzystniejsza?
Zadanie 107 Cena mieszkania wynosi 90000 jp, przy czym można je spłacać ratami rocznymi z góry przez 5 lat w wysokości 20000 jp. Czy opłaca się skorzystać z systemu ratalnego, wpłacając na konto gotówkę i wybierając potrzebne raty w odpowiednich momentach
czasu, jeśli bank oferuje nam 10% w skali roku i oprocentowanie złożone z dołu?
Zadanie 108 Jaka jest teraźniejsza wartość samochodu, jeżeli firma spłaca go rocznymi
kwotami w wysokości 5 jp przez 15 lat i 2 jp w szesnastym roku wnoszonymi z dołu przy
rocznej stopie 5%?
Zadanie 109 Firma ma zamiar kupić samochód dostawczy. Z rachunków szacunkowych
wynika, że dzięki temu pod koniec każdego roku przez 5 lat firma będzie miała zyski w
wysokości 7000 jp, zaś po 5 latach samochód będzie można sprzedać za 10000 jp. Jaka jest
obecna wartość samochodu, jeśli do obliczeń stosowano r = 20%?
Zadanie 110 Jakiej wysokości wpłaty roczne wnoszone pod koniec każdego roku przez
5 lat wygenerują kapitał początkowy w wysokości 120 jp, jeśli roczna stopa procentowa
wynosi 11%?
Zadanie 111 Jak długo należy wpłacać pod koniec każdego miesiąca 10 jp przy nominalnej stopie 5%, aby wartość początkowa wygenerowanego kapitału wynosiła 100 jp?
Zadanie 112 Wyznaczyć wartość przyszłą i teraźniejszą inwestycji przynoszącej dochód
w postaci co miesięcznych (z dołu) wpływów w wysokości 2 jp przez 4 lata, które można
lokować w banku według stopy r = 12% oprocentowania:
a) miesięcznego złożonego z dołu?
b) kwartalnego złożonego z dołu?
15
Spłata długów krótkoterminowych
Zadanie 113 Dług 250 jp należy spłacić w 6 miesięcznych ratach wnoszonych z dołu
wysokości: 30 jp, 40 jp, 50 jp, 60 jp, 70 jp, R6 jp. Wyznaczyć wysokość ostatniej raty oraz
dług bieżący po każdej racie, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 24% i kapitalizacja jest
prosta. Obliczenia wykonać w dwóch wariantach dyskonta oraz aktualizacji na moment
t = 0 i t = 4.
Zadanie 114 Dług 1000 jp ma być spłacony w 3 miesięcznych ratach wysokości R. Wyznaczyć wielkość R oraz rozkład raty na część kapitałową i odsetkową przyjmując za moment aktualizacji t = 2 i t = 3 i dyskonto matematyczne przy rocznej stopie r = 29%.
Zadanie 115 Dług 1000 jp ma być spłacony w 6 miesięcznych ratach kupieckich przy
oprocentowaniu 18% w skali roku. Ułożyć plan spłaty długu.
Zadanie 116 Jaki dług umarzają 3 raty kupieckie miesięczne w wysokości 10 jp przy
rocznej stopie procentowej 15%.
Zadanie 117 Ile wynosi roczna stopa procentowa, jeśli dług 100 jp został spłacony w 5
równych ratach kupieckich wysokości 25 jp wnoszonych z dołu co miesiąc?
Zadanie 118 Ułożyć plan spłaty długu 60 jp w 4 ratach miesięcznych w postaci tabeli,
jeżeli dług ten jest spłacany w równych ratach kupieckich według stopy 12% w skali roku.
Zadanie 119 Dług 200 jp należy spłacić w 4 ratach wnoszonych kwartalnie z dołu wysokości: 50 jp, 40 jp, 50 jp, R4 jp. Ustalić wysokość R4 przy rocznej stopie r = 18%
stosując:
a) dyskonto matematyczne przy aktualizacji na moment t = 0,
b) dyskonto matematyczne przy aktualizacji na moment t = 4,
c) dyskonto handlowe przy aktualizacji na moment t = 0,
c) dyskonto handlowe przy aktualizacji na moment t = 4.
Zadanie 120 Dług 800 jp spłacono trzema kwartalnymi ratami kupieckimi według rocznej
stopy procentowej r = 21%. Ułożyć plan spłaty długu.
16
Spłata długów średnio- i długoterminowych
Zadanie 121 Ułożyć plan spłaty długu 300 jp w 6 półrocznych ratach R1 = 60 jp, R2 = 70
jp, R3 = 80 jp, R4 = 90 jp, R5 = 100 jp, R6 =? jp, przy 24% w skali roku i półrocznym
oprocentowaniu składanym.
Zadanie 122 Pożyczkę 3500 jp spłacono równoważnymi jej ratami: R1 = 500 jp, R2 =
800 jp, R3 = 900 jp, R4 = 1000 jp, R5 = 1000 jp. Stosując retrospektywną i prospektywną
zależność długu i rat, obliczyć dług bieżący po zapłaceniu trzeciej raty.
Zadanie 123 Plan spłaty długu S przewiduje 5 płatności rocznych wysokości R1 = 20
jp, R2 = 29 jp, R3 = 37 jp, R4 = 34 jp, R5 = 11 jp. Roczna stopa procentowa wynosi 10%
i kapitalizacja jest roczna złożona. Ułożyć plan spłaty długu.
Zadanie 124 Kredyt S = 950 jp jest spłacany ratami R1 = 280 jp, R2 = 300 jp, R3 = 300
jp, R4 = 150 jp. Okresowa stopa procentowa wynosi i = 2, 5%.
i) Pokazać, że warunek równoważności długu i rat nie jest spełniony.
ii) Jaka powinna być wartość pierwszej raty, aby warunek równoważności długu i rat
był spełniony?
Zadanie 125 Sporządzić plan amortyzacji kredytu w wysokości 9000 jp, oprocentowany
według nominalnej stopy r = 36% i rocznej kapitalizacji odsetek. Kredyt ten ma być spłacony w trzech równych ratach rocznych.
Zadanie 126 Dług S = 80 jp należy spłacić w pięciu równych ratach rocznych. Ułożyć
plan spłaty długu, jeśli roczna stopa procentowa wynosi 9% i kapitalizacja jest:
a) roczna złożona z dołu,
b) kwartalna złożona z dołu.
Zadanie 127 Po ilu latach zostanie spłacony dług S = 50 jp rocznymi ratami stałymi
o wysokości 10 jp przy rocznej stopie procentowej 10% i kapitalizacji rocznej. Rozważyć
różne warianty niepełnej ilości rat.
17
Zadanie 128 (zmienione) Dług 200 jp ma być spłacony w 8 równych ratach kapitałowych
półrocznych. Wyznaczyć
a) wysokość szóstej raty łącznej,
b) dług bieżący po spłaceniu trzech rat,
c) trzecią ratę odsetek,
jeśli roczna stopa procentowa wynosi 12% i kapitalizacja jest
i) roczna (zastosować zasadę równoważności warunków oprocentowania),
ii) półroczna,
iii) kwartalna.
Zadanie 129 Dług 100 jp należy spłacić w 4 równych rocznych ratach. Roczna stopa
procentowa wynosi 12% i kapitalizacja jest złożona roczna. Ułożyć plan spłaty długu z
uwzględnieniem opłaty dodatkowej:
a) 2% spłacanej części kapitałowej,
b) 3% wartości długu bieżącego.
Zadanie 130 Dług 40 jp należy spłacić w 4 równych rocznych ratach, ale dopiero po 3
latach karencji. Roczna stopa procentowa wynosi 8% i kapitalizacja jest roczna. Ułożyć
plan spłaty długu, jeżeli karencja obejmuje
a) części kapitałowe,
b) raty.
Zadanie 131 Dług 60 jp należy spłacić w 5 kwartalnych spłatach o równych ratach. Wyznaczyć części kapitałowe tych rat, jeżeli nominalna stopa wynosi 15% i kapitalizacja jest
miesięczna.
Zadanie 132 (zmienione) Według umowy kredytowej dłużnik ma spłacić 250 jp w 6 równych ratach rocznych przy rocznej stopie 20% i kapitalizacji rocznej. Po spłaceniu 4 rat
dłużnik zwraca się z prośbą o obniżenie stopy procentowej do 15%. Wierzyciel wyraził
zgodę na zmianę stopy, przy czym jako opłaty karnej zażądał dziesiątej części wartości
dotychczasowej płatności. Należy:
18
a) ułożyć plan spłaty długu z uwzględnieniem konwersji,
b) ocenić opłacalność przeprowadzonej konwersji,
c) wyznaczyć opłatę karną, przy której konwersja będzie opłacalna dla dłużnika,
Zadanie 133 Dłużnik ma do spłacenia następujące płatności:
- 6 spłat rocznych o wysokości 500 jp każda, przy rocznej stopie nominalnej 20% i
kapitalizacji rocznej,
- 10 spłat półrocznych o wysokości 200 jp każda, przy stopie nominalnej 18% i kapitalizacji rocznej,
- 16 spłat kwartalnych o wysokości 100 jp każda, przy stopie nominalnej 16% i kapitalizacji miesięcznej.
Wyznaczyć łączną obecną wartość zadłużenia oraz zamienić te trzy długi na jeden dług
skonsolidowany, spłacany przez 5 lat w równych płatnościach rocznych, przy stopie nominalnej 16% i kapitalizacji złożonej kwartalnej. Wyznaczyć wysokość rat umarzających
dług skonsolidowany.
Zadanie 134 Dług 200 jp należy spłacić w 4 równych ratach rocznych przy rocznej stopie
procentowej 12% i kapitalizacji rocznej. Ułożyć plan spłaty długu z uwzględnieniem inflacji,
która w poszczególnych latach wynosiła: 13%, 8%, 7%, 5%.
Zadanie 135 Wyznaczyć rzeczywistą stopę kredytu 80 jp spłacanego w 2 ratach półrocznych wysokości 50 jp i 62, 5 jp przy kapitalizacji półrocznej.
Zadanie 136 Który z banków oferuje lepsze warunki oprocentowania kredytu, jeśli pierwszy bank oferuje raty kwartalne przy nominalnej stopie 48% a drugi bank oferuje raty
półroczne przy nominalnej stopie 50%?
Zadanie 137 Dług 120 jp ma być spłacony w 6 ratach rocznych o stałej części kapitałowej
a odsetki mają być spłacone jednorazowo w racie
a) pierwszej.
b) ostatniej.
19
Ułożyć plan spłaty długu, jeśli kapitalizacja jest roczna i roczna stopa procentowa wynosi
12%.
Zadanie 138 Dług 200 jp ma być spłacony jednorazowo za dwa lata, zaś odsetki mają
być spłacane co pół roku według oprocentowania półrocznego przy nominalnej stopie 6%.
Ułożyć plan spłaty długu.
Zadanie 139 Dług 300 jp ma być spłacony 6 kwartalnymi stałymi płatnościami w modelu
kapitalizacji półrocznej przy nominalnej stopie 24%. Stosując
a) zasadę równoważności warunków oprocentowania ułożyć plan spłaty długu.
b) model kapitalizacji mieszanej ułożyć plan spłaty długu dla półrocznych płatności.
Zadanie 140 Ułożyć plan spłaty długu wysokości 120 jp spłacony 5 rocznymi ratami przy
stopie r = 12% w modelu kapitalizacji rocznej, jeśli
a) raty kapitałowe są stałe.
b) raty kapitałowe tworzą ciąg (nT )5n=1 .
Zadanie 141 Dług 100 jp ma być spłacony w 5 półrocznymi płatnościami o stałej części
kapitałowej. Ułożyć plan spłaty długu, jeśli kapitalizacja jest półroczna przy stopie nominalnej 18% oraz dłużnik musi wnieść opłatę dodatkową w wysokości 5% długu bieżącego.
20
Renta kapitałowa
Zadanie 142 Wyznaczyć wielkość funduszu będącego kapitałem rentowym utworzonym z
wkładów wysokości 200 jp wnoszonych co miesiąc z dołu przez 10 lat według stopy r = 6%
w modelu kapitalizacji złożonej miesięcznej.
a) Jaką maksymalną rentę wieczystą miesięczną z dołu można pobierać z tego funduszu?
b) Przez jaki czas można pobierać z tego funduszu rentę miesięczną wysokości 250 jp?
Zadanie 143 Ustalić wysokość kapitału rentowego, pozwalającego na comiesięczne wypłaty renty arytmetycznej z dołu o pierwszym wyrazie 10 jp i różnicy 2 jp przez 10 lat w
modelu kapitalizacji złożonej rocznej przy stopie r = 12%.
Zadanie 144 Wyznacz wysokość pierwszej wypłaty renty geometrycznej o ilorazie 1, 1
wypłacanej pod koniec każdego kwartału przez 5 lat z funduszu o kapitale początkowym
100 jp w modelu kapitalizacji złożonej miesięcznej przy stopie nominalnej 5%.
Zadanie 145 Jaki kapitał pozwoli na wypłacanie renty w wysokości 20 jp pod koniec
każdego półrocza przez 10 lat w modelu kapitalizacji złożonej
a) półrocznej,
b) miesięcznej,
c) rocznej,
według stopy 10% w skali roku?
Zadanie 146 Jakiej wielkości wypłaty można dokonywać pod koniec każdego miesiąca
przez 5 lat z kapitału 200 jp według rocznej stopy 10% w modelu kapitalizacji złożonej
miesięcznej
Zadanie 147 Wyznaczyć wielkośc renty wieczystej wypłacanej co miesiąc z dołu z funduszu 300 jp przy stopie nominalnej 9% i kapitalizacji rocznej.
Zadanie 148 Wyznaczyć wielkość pierwszej wypłaty renty arytmetycznej o różnicy 5 jp
wypłacanej na początku każdego miesiąca przez 3 lata z funduszu o kapitale początkowym
250 jp w modelu kapitalizacji złożonej miesięcznej przy stopie nominalnej 15%.
Zadanie 149 Ustalić wysokość kapitału rentowego, pozwalającego na coroczne wypłaty
renty geometrycznej z dołu o pierwszym wyrazie 30 jp i różnicy 5 jp przez 10 lat w modelu
kapitalizacji złożonej rocznej przy stopie r = 12%.
21