Wykresy i własności funkcji trygonometrycznych ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )

Wykresy i własności funkcji trygonometrycznych
Zad. 1:
Dana jest funkcja f ( x) = 2 sin( x − π3 ) + 1 , której dziedziną jest przedział 〈0;3π〉.
a) Oblicz miejsca zerowe funkcji f .
b) Naszkicuj wykresy funkcji y = f(x) i y = |f(x)|.
c) Naszkicuj wykres funkcji, która kaŜdemu argumentowi m przyporządkowuje liczbę rozwiązań równania |f(x)| = m.
Odp.: a) x = π6 , x = 23 π lub x = 136 π .
Zad. 2:
4(1 − sin 2 x)
Dana jest funkcja f(x) = a cos(x + c)cos x + b, gdzie: a = limπ
, b = g' ( π2 ) dla
tgx
x→
4
g(x) = cos x, c ∈ (0;π) i sin c = 1. Naszkicuj wykres funkcji f dla x ∈ − π; 23 π . Określ
liczbę pierwiastków równania f(x) = m w zaleŜności od wartości parametru m.
Odp.: a = 2, b = –1, c = π2 ; f ( x) = 2 cos( x + π2 ) cos x − 1 = −(1 + sin 2 x) . Równanie f(x) = m
nie ma pierwiastków dla m ∈ (–∞;–2) ∪ (0;+∞), ma dwa pierwiastki dla m = 0, ma trzy
pierwiastki dla m = –2, ma cztery pierwiastki dla m ∈ (–1;0), ma sześć pierwiastków dla
m ∈ (–2;–1〉.
Zad. 3: (profil matematyczno-fizyczny)
Dana jest funkcja f(x) = acos(x + c) ⋅ |cosx| + b, gdzie: a jest pierwiastkiem równania
0
x–4
(0,2)
= 25, b = − − −
1
3
2
9
4
27
−
8
81
+K , c = π ∫ ( x − 1) dx . Naszkicuj wykres funkcji y = f(x)
−1
dla x ∈ − π; π oraz określ liczbę pierwiastków równania f(x) = m w zaleŜności od wartości parametru m.
Odp.: a = 2, b = –1, c = − 23 π . Równanie f(x) = m nie ma pierwiastków dla m ∈ (–∞;–2) ∪
∪(0;+∞), ma dwa pierwiastki dla m = –2, ma trzy pierwiastki dla m = 0, ma cztery pierwiastki dla m ∈ (–2;–1), ma sześć pierwiastków dla m ∈ 〈–1;0).
3
2
Zad. 4:
sin 2 x − sin x
.
sin x
a) Narysuj wykres funkcji f dla argumentów z przedziału (–π;2π).
b) RozwiąŜ nierówność f(x) > 0 dla x ∈ (–π;2π).
Odp.: a) f(x) = 2cos x – 1 dla x ∈ (–π;2π) \ {0, π}; b) x ∈ ( − π3 ;0) ∪ ( 0; π3 ) ∪ ( 53 π;2 π ) .
Dana jest funkcja f ( x) =
Zad. 5:
Dana jest funkcja f(x) = sin(x + a) + b, gdzie: a ∈ ( 0; π2 ), cos α =
2
2
, b = 2 sin 76 π ,
x ∈ − π2 ; 25 π . Znajdź a i b, a następnie naszkicuj wykres funkcji f . Określ, dla jakich wartości parametru m równanie f(x) = m ma jeden pierwiastek.
Odp.: a = π4 , b = –1; f ( x) = sin( x + π4 ) − 1 dla x ∈ − π2 ; 25 π . Równanie f(x) = m ma jeden
66
pierwiastek dla m = –2.
Zad. 6:
Znajdź dziedzinę funkcji h( x) = sin x − 12 +
Odp.: x ∈
π
6
)
; π3 ∪ ( π3 ; 23 π) ∪ ( 23 π; 56 π .
1
dla x ∈ 〈0;2π〉.
2
3
−
sin
x
4
Zad. 7:
Oblicz z definicji funkcji trygonometrycznych cos 180 0 , sin 270 0 , tg90 0 , ctg90 0 .
Zad. 8:
Znajdź wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych argumentu x, gdy:
15
3
 3π

π 
a) cos x = , x ∈  ,2π  ;
b) tgx = − , x ∈  , π  .
 2
17

2
4

Zad. 9:
Naszkicuj wykresy funkcji i na podstawie wykresu omów jej własności:
b) f ( x ) = sin x ;
c) f ( x ) = − sin 2 x ;
a) f ( x ) = − 2 + 4 cos 3 x ;


d) f ( x ) = cos x −
π
 −1 ;
4
1
2
e) f ( x ) = 2 sin x ;
f) f ( x ) = cos x + cos x .
67