Przekrrój osiowy walca jest prostokątem o polu równym

Zadanie:
Przekrrój osiowy walca jest prostokątem o polu równym 48mi przekątnej mającej dł. 10. Oblicz
objętość walca.
Odpowiedź:
Walec – jest to bryła obrotowa powstała przez obrót prostokąta dookoła prostej zawierającej jeden z
boków prostokąta. Bok prostokąta zawarty w osi obrotu jest wysokością walca, a drugi jego bok
jest promieniem podstawy walca.
Rysunek
O2
C
D
Przekrój osiowy
walca
d
H
A
O1
r
Dane:
P poś =48 – pole przekroju osiowego walca
d =10
– przekątna walca
Szukane:
V = ?
– objętość walkca
Wzór na objętość walca:
V =P p∗H
gdzie:
P p = r 2
więc:
V = r 2∗H
B
Wiemy, Ŝe :
– pole przekroju osiowego walca jest równe:
P poś =2 r ∗ H
– z trójkąta ABC, stosując Tw. Pitagorasa otrzymamy:
2r2  H 2 = d 2
Mając dane pole przekroju osiowego i długośćprzekątnej, z powyŜszych wzorów układamy układ
równań i rozwiązujemy go.
P poś =2 r ∗ H
2r2  H 2 = d 2
2 r ∗ H = 48
2r 2  H 2 = 10 2
2 r=
48
H
2

48
2
2
  H = 10
H
Wyznaczamy H
2304
 H 2 = 100
2
H
2304  H 4 = 100 H 2
H 4 −100 H 2  2304=0
Z powyŜszego równania kwadratowego wyznaczamy wysokość H:
Niech
H 2= x
mamy więc
2
x −100 x  2304=0
Wyznaczamy wyróŜnik delta, gdzie: a=1; b=-100; c=2304.
=b2−4ac
=−1002−4∗1∗2030
=784
 =28
x 1=
−b− 
2a
x 1=
x 2=
−b 
2a
x 2=
−−100−28
=36
2∗1
−−10028
=64
2∗1
Wracamy do podstawienia
H 2= x
2
H =36
2
H =64
H = x1
H = x2
2
H=6
2
H=8
W powyŜszym rozwiązaniu ominęliśmy ujemne rozwiązania, poniewaŜ długość, odcinek itp. Nie
mogą mieć wartości ujemnych.
Jak z rozwiązania wynika, będziemy rozpatrywać dwa walce o wysokości
– Dla
2 r=
2 r=
H =8 .
H=6
48
H
– Dla
H =6 i
2 r=
48
6
2 r=8
r=4
48
8
2 r=6
r =3
H=8
48
H
2 r=
Ze względu na załoŜenia i rozwiązania rozpatrujemy dwa walce i obliczamy objętość dla dwóch
walców.
V = r 2∗H
– Dla
H =6 i r=4
V = 42∗6
V = 96 
– Dla
H =8 i r =3
V = 32∗8
V = 72 
Odpowiedź:
Oblicz objętość walca wynosi:
– Dla
H=6 i r=4 –
V = 96 
– Dla
H =8 i r =3 –
V = 72 