Matematyka -wymagania na dop_kl3LO_16

III LO
CZWOROKĄTY I ICH RODZAJE
Uczeń na ocenę dopuszczającą:
 prawidłowo klasyfikuje
czworokąty i podaje ich
podstawowe własności;
 wyznacza miary kątów
wewnętrznych czworokąta,
korzystając z własności danego
czworokąta;
 zamienia jednostki długości i pola;
 podaje i stosuje wzory na pole
czworokątów: kwadratu,
prostokąta, równoległoboku,
rombu, trapezu;
 rozwiązuje zadania z
wyznaczaniem odcinków,
obwodów i pól czworokątów – w
tym również z wykorzystaniem tw.
Pitagorasa i proporcji
trygonometrycznych –
nieskomplikowane przykłady;
1) Różnica miar dwóch sąsiednich kątów równoległoboku jest równa 80 0. Jaka jest
miara kąta rozwartego równoległoboku?
2) Sprawdź, czy czworokąt ABCD, gdzie 𝐴 = (−3; −1), 𝐵 = (53; −2), 𝐶 = (54; 4),
𝐷 = (−2; 3) jest równoległobokiem.
3) Obwód czworokąta wypukłego ABCD jest równy 50 cm. Obwód trójkąta wynosi
46 cm, a obwód trójkąta BCD wynosi 36 cm. Oblicz długość przekątnej BD.
4) Oblicz pole, obwód i długość przekątnej kwadratu o boku 5 cm.
5) Boki równoległoboku mają długości 1,2 dm i 8 cm, a jedna z wysokości 60 mm.
Oblicz pole i długość drugiej wysokości równoległoboku. Rozważ dwa przypadki.
6) Wyznacz pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 4.
7) W rombie przekątne mają długości 12 cm i 16 cm. Wyznacz jego pole, obwód i
wysokość tego rombu.
8) W trapezie równoramiennym podstawy mają długość 16 i 8. Kąt rozwarty wynosi
1200. Wyznacz pole i obwód tego trapezu.
9) W prostokącie jeden bok jest o 3cm dłuższy od drugiego, a jego pole wynosi 70
cm2. Wyznacz długości boków tego prostokąta.
10) Na rysunku obok znajduje się plan działki, wykonany w skali 1 : 3000. Wiedząc,
że na planie droga AB ma długość 2 cm, a powierzchnia czworokąta wynosi 7 cm2,
oblicz:
a) rzeczywistą długość drogi (w m).
b) rzeczywistą powierzchnię działki
(w m2).
11) Wyznacz pole i obwód następujących figur:
Przykładowe zadania obok.
a.
b.
c.
d.
e.
kwadratu o przekątnej 8 2 cm;
prostokąta o bokach 12 cm i 0,14 m;
rombu o boku 13 cm i dłuższej przekątnej 24 cm;
równoległoboku o bokach 4 i 6 oraz kacie rozwartym 120 0;
trapezu równoramiennego o wysokości 10 i podstawach 16 i 12.
PROSTE I PŁASZCZYZNY W PRZESTRZENI. WIELOŚCIANY








Uczeń na ocenę dopuszczającą:
podaje aksjomaty stereometrii;
wskazuje na modelu proste: równoległe,
przecinające, skośne; płaszczyzny: równoległe,
przecinające się (w tym prostopadłe); krawędź
płaszczyzn przecinających się; prostą równoległą
do płaszczyzny;
wskazuje (na modelu i rysunku) kąt nachylenia
prostej do płaszczyzny, kąt dwuścienny – typowe
przykłady;
rozróżnia graniastosłupy/ostrosłupy - podaje ich
klasyfikacje i podstawowe własności ( liczba
wierzchołków, krawędzi, ścian, położenia
wysokości, jaki wielokąt jest w podstawie, w
ścianie bocznej)
sporządza dla danego graniastosłupa/ostrosłupa
sporządzić siatkę i na podstawie siatki określa
jaka to bryła;
zaznacza na rysunku przekątną i kąt nachylenia
przekątnej do podstawy graniastosłupa(o ile
istnieje);
zaznacza na rysunku kąt nachylenia ściany
bocznej do płaszczyzny podstawy oraz kąt
nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny
podstawy, zaznacza wysokość ostrosłupa;
podaje i stosuje wzory na pole powierzchni i
objętość: sześcianu, prostopadłościanu,
graniastosłupa, ostrosłupa (również w
wykorzystaniem tw. Pitagorasa, proporcji
trygonometrycznych) – nieskomplikowane,
typowe przykłady;
Przykładowe zadania:
1) Prosta l przecina płaszczyznę π w punkcie P i tworzy z nią kąt 300.
Punkt A leży na prostej l. Oblicz odległość punktu A od
płaszczyzny π, jeśli |𝐴𝑃| = 7 𝑐𝑚.
2) Pewien graniastosłup ma 42 krawędzi. Ile ma on ścian i
wierzchołów?
3) Przekątna sześcianu ma długość 15. Oblicz objętość i pole
powierzchni tego sześcianu.
4) Długości krawędzi prostopadłościanu są do siebie w stosunku 2:3:4.
Przekątna prostopadłościanu ma długość √116 cm. Oblicz pole
powierzchni bocznej tego prostopadłościanu.
5) Szyba okienna ma wymiary 2,3m; 2,65m, 8,5mm. Ile waży ta szyba,
jeśli gęstość szkła jest 2,6g/cm3.
6) Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego
trójkątnego jest równa 3cm, a jego pole powierzchni bocznej 27cm2.
Oblicz objętość tego graniastosłupa.
7) Oblicz objętość graniastosłupa prostego, którego podstawą jest romb
o przekątnych długości 2cm i 4cm, a dłuższa przekątna
graniastosłupa ma długość 10cm.
8) Każda krawędź prawidłowego ostrosłupa czworokątnego ma długość
4 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość ostrosłupa.
9) Oblicz objętość i pole powierzchni czworościanu foremnego, którego
krawędź ma długość 6 cm.
10) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma
długość 10 cm i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
300. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.
11) Oblicz objętość i pole powierzchni ostrosłupa prawidłowego
sześciokątnego, którego ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny
podstawy pod kątem 450, a krawędź podstawy ma długość 4 cm.
BRYŁY OBROTOWE
Uczeń na ocenę dopuszczającą:
 określa, jaką otrzyma bryłę o obrocie
dookoła prostej pewnej figury
geometrycznej – proste przypadki;
 zaznacza na rysunku przekrój
poprzeczny walca, stożka, kuli;
 opisuje powierzchnię boczną po
rozwinięciu walca oraz stożka;
 podaje i stosuje wzory na pole
powierzchni i objętość: walca, stożka,
kuli (również w wykorzystaniem
tw. Pitagorasa, proporcji
trygonometrycznych) –
nieskomplikowane, typowe przykłady;
Przykładowe zadania obok.
1) Prostokąt o bokach długości 12 cm i 16 cm obraca się dokoła prostej, na której
leży krótszy bok. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej otrzymanej
bryły.
2) Przekrój osiowy walca jest prostokątem o podstawie długości 8 cm i
przekątnej długości 10 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego
walca.
3) Prostokątny arkusz blach o wymiarach 40 cm i 60 cm można w dwojaki
sposób zwinąć, otrzymując powierzchnię boczną walca. W którym przypadku
walec będzie miał większą objętość?
4) Oblicz objętość i pole powierzchni stożka, którego tworząca ma długość 6 cm,
a promień podstawy równa się 4 cm.
5) Tworząca stożka długości 10 cm jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy
pod kątem 300. Oblicz objętość i pole powierzchni tego stożka.
6) Półkole o promieniu 10 cm wycięte z kartonu zwijamy w lejek. Oblicz
pojemność tego lejka.
7) Oblicz pole powierzchni kuli, której objętość jest równa 36π cm3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA





Uczeń na ocenę dopuszczającą:
posługuje się pojęciami: doświadczenie
losowe, zdarzenie elementarne, przestrzeń
zdarzeń elementarnych, zdarzenie losowe,
zdarzenie pewne, zdarzenie niemożliwe,
zdarzenie przeciwne – proste przypadki;
określa przestrzeń zdarzeń elementarnych
(wypisując możliwe wyniki lub przy pomocy
grafu lub opisując słownie) w danym
doświadczeniu losowym – nieskomplikowane
przykłady;
wyznacza liczbę wyników doświadczenia
losowego stosując regułę mnożenia lub
wypisując wyniki lub sporządzając graf–
nieskomplikowane przykłady;
określa(wypisuje) zdarzenia elementarne
sprzyjające danemu zdarzeniu losowego i
wyznacza ich liczbę– nieskomplikowane
przykłady;
wyznacza prawdopodobieństwo stosując
klasyczna definicje prawdopodobieństwa proste przykłady;
Przykładowe zadania:
1) Rzucamy monetą i symetryczną kostką do gry.
a) Wyznacz przestrzeń zdarzeń elementarnych tego doświadczenia;
b) Określ liczbę możliwych wyników tego doświadczenia;
c) Wyznacz i określ liczbę zdarzenia losowego, polegającego na tym, że
uzyskano orła i liczba oczek jest podzielna przez 3;
d) Podaj przykład zdarzenia niemożliwego i przykład zdarzenia pewnego.
2) Robert ma trzy koperty w kolorach: biały, żółty, szary oraz papier listowy w
kolorach: niebieski, liliowy, beżowy, zielony, pomarańczowy. Ile różnych
dwukolorowych listów może Robert wysłać?
Uczeń na ocenę dopuszczającą:
rozwiązuję prostą nierówność kwadratową;
rozwiązuje proste równanie;
odczytuje informacje o funkcji na podstawie
wykresu;
rysuje wykres funkcji liniowej oraz
kwadratowej;
rozwiązuje trójkąt prostokątny;
1) Rozwiąż nierówności:
𝑥 2 − 𝑥 − 2 > 0 b) 𝑥 2 ≤ 4
c) −2𝑥 2 + 3𝑥 ≥ 0
2) Rozwiąż równania:
a) 2𝑥(𝑥 − 3)(𝑥 + 1)(2𝑥 − 1) = 0
b) 𝑥 3 − 𝑥 2 − 6𝑥 = 0
3
c) 𝑥 = 5
3)
Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych zapisanych za pomocą cyfr ze zbioru {0, 1, 2, 3}
a) cyfry mogą się powtarzać; b) cyfry nie mogą się powtarzać.
4) Rzucamy dwa razy symetryczna kostka do gry. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia polegającego na tym, że suma wyrzuconych oczek jest większa niż 9.
5) W torebce są cukierki miętowe i czekoladowe. Wiadomo, że cukierków
miętowych jest 7, a prawdopodobieństwo wylosowania cukierka miętowego
wynosi 1⁄3. Oblicz, ile w tej torebce jest wszystkich cukierków?
6) Z talii 24 kart losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo:
a) wylosowania damy
b) wylosowania damy lub króla;
POWTÓRZENIE





d) (4 − 𝑥)(2𝑥2 − 𝑥 − 1) = 0
e) 32𝑥 5 + 1 = 0
3𝑥−4
f) 𝑥+1 = 2
g)
𝑥+3
𝑥
=
4𝑥−2
5
3) Naszkicuj następujące wykresy:
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5
b) 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 3
c) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)2 − 4
d) 𝑓(𝑥) = −2(𝑥 − 1)(𝑥 + 3)
4) Wyznacz brakujące boki i kąty w
narysowanych trójkątach:
a) 3
.
h) 𝑥 3 − 125 = 0
6
𝑠𝑖𝑛 ∝=
7
α
.
b)
30
c)
.
680
0
4
5