Rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady ciągłe — gęstość

Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład
Rozkłady prawdopodobieństwa
Rozkład prawdpopodobieństwa — zgodnie z nazwą — będzie funkcją określającą, jak
prawdopodobieństwo rozkłada się pomiędzy możliwe wyniki danego doświadczenia. Mieliśmy już z
nim do czynienia w pierwszej części książki, rysunek 1 przypomina niektóre z tych przypadków.
(a) rozkład liczby jedynek uzyskany z 10
tysięcy repróbkowań ze zwracaniem
(bootstrap) próby 18 jedynek i 82 zer; (b)
liczba trafień na 10 rzutów do kosza, przy
średnim prawdopodobieństwie trafienia 0,6
Nie są to prawdopodobieństwa, gdyż nie spełniają aksjomatu
aksjomatem
, który wraz z
możemy spełnić dzieląc liczbę wystąpień każdego przypadku przez
całkowitą liczbę eksperymentów — wtedy suma wszystkich prawdopodobieństw (czyli
)
wyniesie 1. Przykład tak znormalizowanego dyskretnego rozkładu prawdopodobieństwa przedstawia
rysunek rysunek 2(a).
Pozostaje jeszcze problem formalny: występujące w klasycznej teorii funkcje nie są określone na
zdarzeniach, tylko na liczbach. Przejście od zdarzeń do odpowiadających im liczb wymaga pojęcia
zmiennej losowej – odwzorowania
z przestrzeni zdarzeń do przestrzeni liczb rzeczywistych. Na
przykład w doświadczeniu polegającym na rzucaniu kostką zmienna losowa przypisze liczbę 4
przypadkowi, w którym na górnej ściance rzuconej kostki widać cztery kropki.
Liczby (czyli zmienne losowe) są już pełnoprawnymi argumentami funkcji, ale z definicją rozkładu
prawdopodobieństwa będzie jeszcze trochę kłopotu, jeśli wyniki eksperymentu będą pochodzić z
ciągłych przedziałów zmiennej losowej, a nie, jak w przykładach z rysunku rysunek 1, ze zbioru
dyskretnego.
Rozkłady ciągłe — gęstość prawdopodobieństwa
(a) dyskretny rozkład prawdopodobieństw
wyników rzutu kostką; (b) ciągły rozkład
prawdopodobieństwa dla liczb rzeczywistych
z przedziału od zera do jednego.
Z rozkładem ciągłym mieliśmy do czynienia, gdy używaliśmy generatora liczb losowych — losował on
z równym prawdopodobieństwem liczby rzeczywiste z przedziału od zera do jednego. Funkcja
przypisująca równe prawdopodobieństwa liczbom od zera do jednego powinna wyglądać jak na
rysunku 2(b). A jednak coś się tu nie zgadza...
Zacznijmy od rozkładu dyskretnego, czyli wykresu 2(a). Prawdopodobieństwo dla zmiennej losowej
(teraz nie jest to już formalnie zdarzenie) wynoszącej na przykład 2 odczytujemy jako wynoszące
0,167. Czyli mniejsze od 1 i większe od zera. Suma prawdopodobieństw dla wszystkich możliwych
wartości zmiennej losowej wyniesie 1 — wszystko zgadza się z aksjomatami definicji
prawdopodobieństwa.
Teraz spróbujmy z wykresu po prawej stronie odczytać wartość prawdopodobieństwa wylosowania
jakiejś liczby spomiędzy 0 i 1. Jeden? To oznacza pewność — niemożliwe. Na osi powinna
występować jakaś znacznie mniejsza wartość... Ale jaka?
Zastanówmy się: niezależnie od tego, jak małą (niezerową i nieujemną) wartość przyjmiemy dla
prawdopodobieństwa wylosowania dowolnej liczby z tego przedziału, to gdy zaczniemy je sumować
dla wszystkich możliwych wyników, których na odcinku
dostaniemy więcej niż jeden. Najwyraźniej tak się nie da.
jest wszak nieskończenie wiele, zawsze
Widać już, że sumę będziemy musieli zastąpić całką — jest to właśnie graniczny przypadek sumy. W
tym układzie aksjomat
, który dla przypadku dyskretnego wyrażał się sumą
teraz będzie wyrażał się całką
gdzie prawdopodobieństwo zastąpiła, z przyczyn, które staną się jasne za chwilę, gęstość
prawdopodobieństwa . Łatwo sprawdzić, że całka rozkładu z rys. 2 spełnia ten warunek. Jednak
pozostaje problem odczytywania wartości prawdopodobieństwa dla konkretnej wartości zmiennej
losowej.
Przypomnijmy sobie, że symulując rzuty monetą korzystaliśmy z faktu, że prawdopodobieństwo
wylosowania liczby mniejszej niż wynosi 0,5. Zdefiniujmy więc dystrybuantę prawdopodobieństwa
zmiennej losowej
jako prawdopodobieństwo wystąpienia któregokolwiek ze zdarzeń, dla których
zmienna losowa przyjmuje wartości mniejsze od :
Będzie to oczywiście funkcja niemalejąca, dążąca do zera dla małych i do jednego dla dużych. Dla
rozkładu z rysunku 2(b) dystrybuanta będzie wyglądać jak na rysunku 3.
Dystrybuanta ciągłej zmiennej
losowej o równym
prawdopodobieństwie na
przedziale (0, 1).
Dopiero teraz gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej określimy jako pochodną
dystrybuanty
Dlaczego gęstość, a nie po prostu rozkład prawdopodobieństwa, jak w przypadku dyskretnym?
Właśnie ze względu na problemy z odczytem prawdopodobieństwa dla konkretnej wartości zmiennej.
Na podobny problem trafiamy np. w fizyce, próbując obliczyć masę punktu. Masa to iloczyn (całka)
gęstości i objętości, a punkt ma zerową objętość. Aby otrzymać niezerową masę, gęstość materii
musimy scałkować w jakimś niezerowym obszarze — nie można przyjąć za masę gęstości materii w
danym punkcie. Tak samo w przypadku ciągłych rozkładów gęstości prawdopodobieństwa,
prawdopodobieństwo możemy obliczyć tylko dla niezerowego przedziału zmiennej losowej, a wartość
odczytywaną dla konkretnej wartości zmiennej losowej interpretujemy jako gęstość.