Zadania

1
Zastosowanie rachunku ró»niczkowego i caªkowego w ekonomii
1. Zastosowanie rachunku ró»niczkowego i caªkowego w
ekonomii
Koszt produkcji x jednostek towaru, 50 ≤ x ≤ 200, wynosi k(x) = 60x −
zª. Natomiast utarg wynosi u(x) = 70x − 0.03x zª. Poda¢ funkcje: k (x)
kosztu kra«cowego, u (x) utargu kra«cowego oraz z (x) zysku kra«cowego. Ile wynosi
koszt kra«cowy, utarg kra«cowy oraz zysk kra«cowy dla x = 100?
Pewna rma mo»e wyprodukowa¢ x sztuk pewnego towaru miesi¦cznie przy
koszcie produkcji sztuki po 130 − 0.01x zª, za± ka»d¡ sztuk¦ mo»na sprzeda¢ w cenie 800 −
0.5x zª. Ponadto staªe miesi¦czne koszty rmy wynosz¡ 90000 zª. Firma jest w stanie
wyprodukowa¢ miesi¦cznie co najwy»ej 650 sztuk. Przy jakiej miesi¦cznej produkcji zysk
jest maksymalny i ile wynosi?
A baseball team plays in a stadium that holds 55 000 spectators. With tickets
prices at $10, the average attendance has been 27 000. When ticket prices were lowered to
$8, the average attendance rose to 33 000.
a) Find the demand function, assuming that it is linear,
b) how should tickets prices be set to maximize revenue?
During the summer months Terry makes and sells necklaces on the beach.
Last summer he sold the necklaces for $10 and his sales averaged 20 per day. When he
increased the price by $1, he found that he lost two sales per day.
a) Find the demand function, assuming that it is linear,
b) if the material for each necklace costs Terry $6, what should the selling price be to
maximize prots?
A manufacturer has been selling 1000 television sets a week at $450 each. A
market survey indicates that for each $10 rebate oered to the buyer, the number of sets
sold will increase by 100 per weak.
a) Find the demand function,
b) how large a rebate should the company oer the buyer in order to maximize its
revenue?
c) if its weekly cost function is C(x) = 68 000 + 150x, how should it set the rise of the
rebate in order to maximize its prots?
The manager of a 100−units apartment complex knows from experience that
all units will be occupied if the rent is $400 per month. A market survey suggests that,
on the average, one additional unit will remain vacant for each $5 increase in rent. What
rent should the manager charge to maximize revenue?
Przy produkcji x ton pewnego proszku dziennie, koszt produkcji ka»dej tony
wynosi 4700 − 2x zª. Poda¢ elastyczno±¢ kosztu produkcji ze wzgl¦du na wielko±¢ produkcji.
Jak wpªynie zwi¦kszenie obecnej produkcji 86 ton o ka»dy procent na zmniejszenie kosztów
produkcji ka»dej tony?
Aktualizacja: 2 czerwca 2011
Zadanie 1.
0.25x3/2 + 80
2
kr
kr
kr
Zadanie 2.
Zadanie 3.
Zadanie 4.
Zadanie 5.
Zadanie 6.
Zadanie 7.
1
1
Zastosowanie rachunku ró»niczkowego i caªkowego w ekonomii
Funkcja popytu na pomidory ma posta¢ y = 120 − 0.4x , gdzie x oznacza
cen¦ pomidorów w zª na kg, natomiast y popyt miesi¦czny w kg na osob¦. Wyznaczy¢
elastyczno±¢ popytu dla ceny maksymalizuj¡cej utarg.
Przedsi¦biorstwo nabyªo urz¡dzenie, które zapewnia zysk (na jednostk¦ czasu)
1
Z (t) = 120 − t , t > 0,
5
gdzie t oznacza liczb¦ lat eksploatacji urz¡dzenia. Koszty (na jednostk¦ czasu) zwi¡zane z
utrzymaniem urz¡dzenia w stanie sprawno±ci wzrastaj¡ z czasem, przy czym wzrost ten
okre±la funkcja
K (t) = t .
Obliczy¢ ª¡czny zysk osi¡gni¦ty z urz¡dzenia w okresie jego eksploatacji.
Dla ka»dej z funkcji Törnquista
x
T (x) = a
,
x > 0, a, b > 0 (popyt na dobra podstawowe),
x+b
x−c
,
x ≥ c, a, b, c > 0 (popyt na dobra wy»szego rz¦du),
T (x) = a
x+b
x−c
T (x) = ax
,
x ≥ c, a, b, c > 0 (popyt na dobra luksusowe),
x+b
obliczy¢ i zinterpretowa¢:
(a) granic¦ w +∞,
(b) elastyczno±¢.
Rozwa»my rm¦ produkuj¡c¡ jednorodny towar sprzedawany na trzech ró»nych rynkach, na których popyt dany jest zale»no±ciami:
2
Zadanie 8.
Zadanie 9.
2
2
Zadanie 10.
1
2
3
Zadanie 11.
Q1 (P ) =
1
(63 − P ) ,
4
Q2 (P ) =
1
(105 − P ) ,
5
Q3 (P ) =
1
(75 − P ) ,
6
gdzie P oznacza cen¦. Funkcja caªkowitego kosztu produkcji jest postaci
C (Q) = 20 + 15Q,
gdzie Q oznacza wielko±¢ produkcji.
(a) Wyznaczy¢ wielko±ci produkcji Q , Q , Q na poszczególne rynki maksymalizuj¡ce
zysk (i równowa»¡ce popyt) wiedz¡c, »e ceny na ka»dym z rynków nie musz¡ by¢
takie same,
(b) jak jest elastyczno±¢ popytu wzgl¦dem ceny dla cen zapewniaj¡cych maksymalny
zysk?
Odp.: 39, 60, 45
6, 9, 5.
1
ceny:
2
3
, produkcje:
Aktualizacja: 2 czerwca 2011
2
2
Modele Leontiewa
2. Modele Leontiewa
Zadanie 12.
Dla danej macierzy przepªywów mi¦dzygaª¦ziowych

oraz wektora produkcji globalnej
375 280 525



X =  410 390 320 
650 125 355
X̄ =
h
iT
1300 1500 1400
,
obliczy¢: macierz nakªadów bezpo±rednich, macierz Leontiewa oraz wektor produktu ko«cowego.

Odp.: A = 
Zadanie 13.
15
52
41
130
1
2
14
75
59
150
1
12
3
8
8
35
71
280


 , Ȳ =
h
iT
120 180 270
.
Dla danej macierzy przepªywów mi¦dzygaª¦ziowych
"
X=
h
#
5690 4110
oraz wektora produktu ko«cowego
Ȳ =
6730 3270
2000 1200
iT
,
obliczy¢: macierz nakªadów, macierz Leontiewa oraz wektor produkcji globalnego.
"
#
h
i
Odp.: A =
, X̄ = 12000 11000
.
Dla danej macierzy nakªadów bezpo±rednich
673
1200
569
1200
327
1100
411
1100
T
Zadanie 14.
"
A=
oraz wektora produkcji globalnej
X̄ =
h
0.355
0.320
99
140
23
70
2000 1400
#
iT
,
wyznaczy¢: macierz przepªywów mi¦dzygaª¦ziowych oraz wektor produktu ko«cowego.
"
#
h
i
710 990
Odp.: X = 640 460 , Ȳ = 300 300 .
Rozwa»my dwudziaªow¡ gospodark¦ zªo»on¡ z energetyki i górnictwa. Wiadomo, »e
Aktualizacja: 2 czerwca 2011
T
Zadanie 15.
3
2
Modele Leontiewa
energetyka do wyprodukowania dobra o warto±ci 1 ¿ zu»ywa swój produkt o warto±ci
10 centów oraz dobro wytworzone przez górnictwo o warto±ci 60 centów,
górnictwo dla wyprodukowania dobra o warto±ci 1 ¿ zu»ywa dobro wytworzone przez
energetyk¦ o warto±ci 50 centów oraz nie zu»ywa wªasnego produktu.
Produkt ko«cowy energetyki ma warto±¢ 1000 mld ¿, za± górnictwa 2000 mld ¿. Wyznaczy¢ macierz nakªadów bezpo±rednich oraz wektor produktu ko«cowego.
Dana jest macierz nakªadów bezpo±rednich
Zadanie 16.

0.05 0.25 0.34



A =  0.33 0.10 0.12 
0.19 0.38 0.00
oraz wektor produktu kocowego Y = 1800 200 900 .
(a) Wyznaczy¢ wektor produkcji globalnej,
(b) wyja±ni¢ znaczenie danych 0.33, 0.12, 0.00, 200,
(c) czy suma wyrazów trzeciej kolumny ma sens ekonomiczny,
(d) czy suma wyrazów trzeciego wiersza ma sens ekonomiczny,
(e) znale¹¢ macierz przepªywów mi¦dzygaª¦ziowych, zinterpretowa¢ powy»sze sumy obliczone dla tej macierzy.
W dynamicznym modelu Leontiewa dana jest macierz nakªadów bezpo±rednich
#
"
iT
h
Zadanie 17.
A=
oraz macierz wspóªczynników inwestycyjnych
"
Z=
Dla wektora pocz¡tkowej produkcji globalnej
X̄ (0) =
h
1
5
2
5
1
2
1
3
2 1
#
1 1
.
100 90
iT
oraz wektorów czystego produktu ko«cowego
C̄ (0) =
h
30 15
i
, C̄ (1) =
h
10 10
i
, C̄ (2) =
h
wyznaczy¢ wektory X̄ (1) , X̄ (2) , X̄ (3) produkcji ko«cowej.
i
h
h
i
h
, X̄ (3) =
Odp.:
X̄ (1) = 100 95 , X̄ (2) =
h
i
h
i
655
6
65
2
70
3
, Ȳ (2) =
151
64
202
9
595
6
5 2
4373
36
i
3863
36
i
, Ȳ (1) =
.
Aktualizacja: 2 czerwca 2011
4
3
Model pa j¦czyny
3. Model pa j¦czyny
Zadanie 18.
Dla podanych w modelach paj¦czyny funkcji popytu o poda»y
(a) Q (t) = 18 − 3P (t) , Q (t) = −3 + 4P (t − 1) ,
(b) Q (t) = 22 − 3P (t) , Q (t) = −2 + P (t − 1) ,
(c) Q (t) = 19 − 6P (t) , Q (t) = −5 + 6P (t − 1) ,
wyznaczy¢ cen¦ równowagi.
Niech
(a) P (0) = 4,
(b) P (0) = 7,
(c) P (0) = 3.
Wyznaczy¢ ±cie»k¦ cenow¡ oraz zbada¢ jej charakter. Narysowa¢ diagram paj¦czyny.
d
s
d
s
d
s
Aktualizacja: 2 czerwca 2011
5