Matematyka - lista 7 1. Obliczy¢ wyznaczniki 2. Wyznaczy¢ macierz

Matematyka - lista 7
1. Obliczy¢ wyznaczniki
4
5
2
1 , 1
−1 0
0
1 ,
3
1
−2
1
1
4
1
3
2
5
2
6
3
2
0
,
1
1
−1
3
−2
2
0
1
0
2
3
4
1
4
2
0
2
−1
0
3
0 3
0 3
5 3 .
0 2
0 3
2. Wyznaczy¢ macierz odwrotn¡ stosuj¡c metod¦ wyznacznikow¡
1
A=
2
3. Wyznaczy¢ parametry
t ∈ R,
2t
 1

A=
t − 1
 0
1
4. Niech
1
t
2
t=0
1
0
t+1
0
t+1
t ∈ R,
wyznaczy¢ macierz
5. Obliczy¢ wyznacznik
X
wymiaru
det X
det B = 3, det A = 2
takimi »e
3,
0
1
0
7
−1
oraz
At
tak¡ »e
0
1
0
macierzy kwadratowej
1
−1
t+1
0
t



.


jest odwracalna.
A−1
0 XB = 2B − I ,
gdzie

1
0 .
1
X
wymiaru 3 speªniaj¡cej równanie
B −1 A3 X(C + I)B T = 2B,


1 0 1
C = −1 2 1.
0 2 1
T 2
det(3A−1 B −1 A2 (C −
2I)(B ) ),
−1 2
det A = 3, det B = −2, C =
.
1 3
6. Obliczy¢ wyznacznik
2,
t+1
0
2t
0
t+1
dla których macierz

2
B = 0
1
gdzie

−1
1 .
1

0
1 .
t
(a) Wyznaczy¢ parametry
(b) Dla
1
1
−1
dla których macierz jest nieosobliwa


1
At = 0
1

1
5
, B = −2
7
1
1
gdzie
A, B, C
s¡ macierzami wymiaru
7. Stosuj¡c wzory Cramera wyliczy¢

2x1



x1
2x

1


x1
x3
z ukªadu
+ 3x2
+ x2
+ x2
+ x2
+ 11x3
+ 5x3
+ 3x3
+ 3x3
+ 5x4
+ 2x4
+ 2x4
+ 4x4
= 2
= 1
= −3
= −3
8. Wykorzysta¢ wzory Cramera do rozwi¡zania ukªadów równa« z parametrem z listy 5 tam
gdzie jest to mo»liwe.
9. Dane jest równanie macierzowe
gdzie
A, B, X
3(XA)−1 B T = I,
s¡ odwracalne wymiaru
(a) Wyliczy¢ macierz
a
I
det(X)
przy zaªo»eniu, »e
(tzn.,
1
1
,B =
1
−1
A i B b¦d¡ nieosobliwymi macierzami
A = AT ). Niech X = −B T (AT )−1 .
(a) Pokaza¢, »e
X
det(A) = 2 det(B).
dla
X
3
A=
2
10. Niech
jest macierz¡ identyczno±ci.
z tego równania.
X
(b) Obliczy¢ wyznacznik
(c) Wyznaczy¢
2,
speªnia równanie
(b) Obliczy¢ wyznacznik
wymiaru
n,
2
.
1
gdzie ponadto
det(X) dla



−2
−1 1 0
A =  1 1 0 , B =  4
2
0 0 1
1
X

−1
B= 1
−1
przy zaªo»eniu, »e
jest symetryczna
A(X + I)T = −B + AT .

0 2
2 0 .
2 4
speªniaj¡c¡ równanie 3 B T X −1
odwracalnymi macierzami wymiaru n. Obliczy¢ wyznacznik
11. (E) Wyznaczy¢ macierz
A
= B(AT )−1 , gdzie A, B, X
det(X) dla n = 3,

1 2
0 1 ,
1 1
det A = 2 det B .
12. Dane s¡ wektory w
R3
(a)
u1 = [1, −1, 0], u2 = [−1, 0, 1], u3 = [1, −2, 1],
(b)
v1 = [−1, 2, 1], v2 = [−1, 1, 0], v3 = [2, −2, 1].
Sprawdzi¢ czy wektory w (a) i (b) s¡ liniowo niezale»ne.
Sprawdzi¢ czy wektor
v = [1, 0, −2]
jest kombinacj¡ liniow¡ wektorów w (a) i (b).
2
s¡

13. Obliczy¢ rz¡d macierzy
14. Wyznaczy¢ parametry
t ∈ R,

3 1
3 2
.
0 1
6 3
1 −1
5 0
4 1
6 −1
2
1
A=
−1
3
dla których rz¡d macierzy

2
A= 0
t+3
t−1
t2 − 1
−2
A
1
1
t+2
t∈R


0
1
t  , Bt =  t
t
1
jest równy 2

1
0 
t+2
15. (E) Dane s¡ dwie macierze zale»ne od parametru

1
At = 0
1
(a) Wyznaczy¢ parametry
(b) Znale¹¢
t ∈ R,
takie »e
(c) Wyznaczy¢ macierz
t ∈ R,
t−1
1
1
dla których rz¡d(At )
det(Bt−1 At ) = 0.
B2 A−1
2 − 2I .
3
t
1
t

0
1 .
1
= rz¡d(Bt ).