Kraków 18.10.2012 Zestaw 1 FABRYKA INŻYNIERÓW Informatyka

Kraków 18.10.2012
Zestaw 1
FABRYKA INŻYNIERÓW
1.
2.
3.
Informatyka Stosowana
Dane są wektory A=[1,2,0], B=[−2,3,1].
Obliczyć ich sumę S = A + B, różnicę R = A − B, iloczyny skalarne c = A⋅B i d = B⋅A oraz wektorowe
W = A × B i V = B × A. Obliczyć kąt między wektorami.
Dany jest wektor A = 3x + y +2z.
a) Oblicz długość wektora A i długość jego rzutu na płaszczyznę XY
b) Wyznaczyć wektor B o długości 5, prostopadły do wektora A i leżący w płaszczyźnie XY.
Dane są wektory A i B takie, że A + B = 11x – y + 5z oraz A-B = – 5x + 11y + 9z. Znajdź wektory A i
B oraz oblicz kąt zawarty między nimi
4.
Grający w golfa trzykrotnie uderzył w piłkę nim w padła do dołka. Po pierwszym uderzeniu piłka
potoczyła się 12 m na północ, po drugim 6m w kierunku północno-wschodnim a po trzecim uderzeniu
przemieściła się o 3 m w kierunku południowo-zachodnim. Znaleźć wektor przemieszczenia oraz podać
jego długość i kierunek
5.
Sprawdź, że wektory u = (1,1,0), v = (1,-1,0), w = (0,0,1) są do siebie prostopadłe.
6.
W układzie XY dwa wektory A i B zaczepione są w jednym punkcie dają wektor wypadkowy W o
długości 10 jednostek, leżący pod katem 30o do poziomu Oblicz wektor B jeśli A = 5i
7.
8.
Stałe siły F1 = i +2j + 3k oraz F2 = 4i – 5j – 2k (gdzie i, j, k są wersorami układu) działają
równocześnie na cząstkę przesuwając ją z punktu A (20,15,0) do B (0,0,7)
a) Obliczyć kąt między siłami,
b) Obliczyć pracę wykonaną przy przesunięciu cząstki,
c) Zakładając działanie tych samych sił, obliczyć pracę przy przesunięciu od punktu B do A.
d) Obliczyć moment siły wypadkowej działającej na ciało Znajdujące się w punkcie B i
obracające się wokół punktu A.
Oblicz kąt pomiędzy wektorami A = –2i + k oraz B = j + 2k
9.
Oblicz
–j × 5i, 3k · –2k, 5i × i, k · j
10. Siła F = 2x – z zaczepiona w punkcie P (4,2,1) do pewnego ciała powoduje jego obrót wokół punktu O
(1, –1,1):
a) Podaj wektor ramienia działającej siły
b) Oblicz kąt jaki tworzy wektor siły z ramieniem siły
c) Oblicz wektor momentu siły
11. Dwie cząstki 1 i 2 poruszają się wzdłuż osi OX i OY z prędkościami v1 = 2i cm/s i v2 = 3j cm/s. W
chwili t = 0 są one w punktach o współrzędnych x = –3, y=0; x = 0, y= –3 cm:
a) Znaleźć wektor r2 – r1, który określa położenie cząstki 2 względem 1 w funkcji czasu.
b) Kiedy i gdzie obie cząstki będą najbliżej siebie?
12. Dwa samochody poruszają się po dwóch prostopadłych, prostoliniowych drogach w kierunku ich
przecięcia ze stałymi szybkościami v1 = 50 km/h i v2 = 100 km/h. W chwili początkowej pierwszy
samochód znajdował się w odległości 100 km od skrzyżowania dróg, a drugi w odległości 50 km od
skrzyżowania. Podaj wektor położenia pierwszego samochodu względem drugiego i oblicz, po jakim
czasie odległość między samochodami będzie najmniejsza.
13. Pilot samolotu chce osiągnąć punkt leżący 200 km na wschód od obecnego położenia. Obliczyć wektor
prędkości samolotu, jeżeli wiatr wieje z szybkością 60 km/h z północnego zachodu, a przelot ma trwać
40 minut.
2
14. Punkt materialny porusza się prostoliniowo z prędkością V(t) = 2t⋅i – 3/2 t j + tk. Oblicz, pod jakim
kątem z osią OY porusza się ciało pod koniec drugiej sekundy ruchu.
Dr inż. Piotr Mietniowski