Funkcja homograficzna i jej własności. Funkcja wymierna, rozkład

Politechnika Białostocka
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze
rok ak. 2009/2010
Automatyka i Robotyka, stacjonarne, sem. I
Lista VII.
Funkcja homograficzna i jej własności.
Funkcja wymierna, rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste.
Równania i nierówności wymierne.
7.1. Funkcja f określona jest wzorem f (x) =
5x − 6
.
2x − 3
(a) Określ dziedzinę funkcji f .
(b) Znajdź miejsce zerowe funkcji f .
(c) Znajdź ten argument, dla którego funkcja f przyjmuje wartość 3.
(d) Znajdź punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią OY .
(e) Wyznacz te argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartości nie większe od 5.
2x + 5
x+1
7.2. Dane są funkcje f (x) =
i g(x) =
.
x−3
x−3
(a) Naszkicuj wykresy obu funkcji w jednym układzie współrzędnych.
(b) Określ przedziały monotoniczności obu funkcji.
(c) Podaj zbiór rozwiązań nierówności f (x) > g(x).
x+b
7.3. Dziedziną funkcji f (x) =
jest zbiór R \ {2}. Funkcja f ma miejsce zerowe równe 4.
x+d
(a) Wyznacz współczynniki b i d.
(b) Określ zbiór wartości funkcji f i przedziały monotoniczności tej funkcji.
x + 2
, a następnie określ liczbę rozwiązań równania
7.4. Naszkicuj wykres funkcji f (x) = x − 2
f (x) = p w zależności od wartości parametru p.
7.5. Naszkicuj wykresy funkcji:
(a) f (x) =
x−1
x
b) f (x) =
|x|
|x| − 1
7.6. Jednym z miejsc zerowych funkcji f (x) =
(c) f (x) =
−2|x| − 1
|x| + 2
x3 + bx2 − 13x − 10
jest 5.
x+1
(a) Znajdź współczynniki b.
(b) Znajdź pozostałe miejsca zerowe funkcji f .
(c) Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji f .
Podaną funkcję wymierną niewłaściwą przedstaw w postaci sumy wielomianu i funkcji
wymiernej właściwej:
x6
x4 + 1
7.7. 2
.
7.8. 4
.
x + 2x + 2
x −1
7.9.
x5 − 1
.
x3 − 1
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
12
7.10.
x5 + x 4 − 8
.
x5 − 4x
Politechnika Białostocka
Katedra Matematyki
MATEMATYKA - zajęcia wyrównawcze
rok ak. 2009/2010
Automatyka i Robotyka, stacjonarne, sem. I
Podaj rozkłady na ułamki proste wskazanych funkcji wymiernych właściwych:
x3 + x + 1
.
7.11.
x4 + x2
1
7.15. 3
.
x + 2x2 + x
1
.
2
x +x−2
x
7.16.
.
2
(x + 2)2
7.12.
2x + 4
.
x3 − 2x2
x
7.17.
.
1 − x4
7.13.
7.14.
7.18.
x
.
(x + 1)(x + 2)(x − 3)
x8
1
.
+ x6
Rozwiąż podane równania i nierówności wymierne oraz podaj ich ilustrację graficzną:
1
3
1
1
= x.
7.20.
= −3x.
7.21.
6 2 + x.
7.22.
> x2 .
7.19.
x
x
x
x
Rozwiąż podane równania i nierówności wymierne:
7.23.
7.25.
7.27.
7.29.
7.31.
7.33.
7.35.
7.37.
7.39.
7.41.
7.43.
7.45.
7.46.
x−2
x−1
2x − 2
− 2
= 2
.
2
x − 36 x − 6x
x + 6x
2x − 3
6x − x2 − 6
7.26.
+1=
.
x−1
x−1
x(x − 5)
­ 0.
7.28.
1−x
(2 + x)2
7.30.
¬ 0.
x − x2
(x − 2)2 · (2x + 1)3
7.32.
6 0.
(x2 − 1)
2x2 − 7x − 29
7.34. 1 < 2
< 2.
x − 2x − 15
2(x + 3)(x − 2)2
7.36.
¬ 0.
(x − 1)3
x−2
1
7.38.
<−
x+1
2
2
(2 − x )(x − 3)3
7.40.
> 0.
(x + 1)(x2 − 3x − 4)
x2 − 5x + 4 6 1.
7.42. x2 − 4 |x − 2|
|x + 3| + x
> 0.
7.44.
> 1.
x−2
x+2
1−x
1
Dana jest funkcja f (x) =
. Rozwiąż równanie f
= x − 1.
1+x
x
 2
x +1



¬2
x
Rozwiąż układ nierówności
.

16 − 5x2


>0
3−x
x2 − 3,5x + 1,5
= 0.
x2 − x − 6
12
1 − 3x 1 + 3x
=
+
.
2
1 − 9x
1 + 3x 3x − 1
2
1
1
− 2 =
.
2
x +x x
6x
x2 (2x + 7)
­ 0.
1 − 2x
9x − x3
> 0.
x3
1
1
x2 − 3 > x − 2 .
x
x
4
x − 16
> 0.
x2 + 1
(x − 1)(x + 2)2
< 0.
−1 − x
x−1
< x.
x+1
2x − 1 > 2.
x−1 7.24.
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej
w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
13