Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej

Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej
niezorientowanej
1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ
Z
Z bp
l = 1dl =
(x0 (t))2 + (y 0 (t)2 ) + (z 0 (t))2 dt
Γ
a
2.Pole powierzchni walcowej Σ
Z
Σ = {(x, y, z) : (x, y) ∈ Γ, 0 ≤ z ≤ f (x, y)},
f (x, y)dl
poleΣ =
Γ
3.Masa M łuku gładkiego Γ o gęstości liniowej masy λ
Z
M = λ(x, y, z)dl
Γ
4. Moment statyczny M Sx łuku Γ ⊂ R2 względem osi Ox
Z
M Sx = yλ(x, y)dl
Γ
5. Moment bezwładności Ix łuku Γ ⊂ R2 względem osi Ox
Z
Ix = y 2 λ(x, y)dl
Γ
6.Współrzędne środka masy łuku Γ ⊂ R2
M Sy M Sx
(xm , ym ) = (
,
)
M
M
7. Moment statyczny M Sxy łuku Γ ⊂ R3 względem
płaszczyzny xOy
Z
M Sxy = zλ(x, y, z)dl
Γ
8.Współrzędne środka masy łuku Γ ⊂ R3
M Syz M Sxz M Sxy
(xm , ym , zm ) = (
,
,
)
M
M
M
9. Moment bezwładności Ix łuku Γ ⊂ R3 względem osi Ox
Z
Ix = (y 2 + z 2 )λ(x, y, z)dl
Γ
10. Moment bezwładności Ix łuku Γ ⊂ R3 wzg.punktu (0,0,0)
Z
IO = (x2 + y 2 + z 2 )λ(x, y, z)dl
Γ
1
2
CAŁKA KRZYWOLINIOWA ZORIENTOWANA
Definition 1
Łuk zwykły niezamknięty, na którym ustalono początek i koniec nazywamy
łukiem zorientowanym .
Łuk o orientacji przeciwnej do łuku Γ oznaczamy −Γ.
Jeśli ze wzrostem parametru łuku zorientowanego poruszamy się po
nim w kierunku orientacji to mówimy, że parametryzacja łuku jest
zgodna z jego orientacją.
Twierdzenie 1
a)Jeśli 1. łuk Γ = {(x(t), y(t)), t ∈ [a, b]} jest niezamknięty i gładki;
2. orientacja Γ jest zgodna z jego parametryzacją;
3. Pole wektorowe F~ = (P, Q) jest ciągłe na łuku Γ to
Z
Z b
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
[P (x(t), y(t))x0 (t) + Q(x(t), y(t))y 0 (t)]dt
Γ
a
podobnie
b) Jeśli 1. łuk Γ = {(x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b]} jest niezamknięty i
gładki;
2. orientacja Γ jest zgodna z jego parametryzacją;
3. Pole wektorowe F~ = (P, Q, R) jest ciągłe na łuku Γ to
Z
P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =
Γ
Z
b
[P (x(t), y(t), z(t))x0 (t)+Q(x(t), y(t), z(t))y 0 (t)+R(x(t), y(t), z(t))z 0 (t)]dt.
a
W notacji wektorowej dwa ostatnie wzory mają postać:
Z b
Z
~~
~
F (~r) ◦ d~r =
[F ( r(t)
) ◦ r0~(t)dt]
Γ
a
Twierdzenie 2 ( całka krzywoliniowa z pola potencjalnego)
Jeśli
1. pole wektorowe F~ = (P, Q, R) jest ciągłe na obszarze V ⊂ R3
2. pole wektorowe F~ jest potencjalne na V z potencjałem U to
Z
P (x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy+R(x, y, z)dz = U (x2 , y2 , z2 )−U (x1 , y1 , z1 )
Γ
gdzie Γ jest dowolnym zorientowanym, kawałkami gładkim łukiem o
poczatku w punkcie (x1 , y1 , z1 ) i końcu w punkcie (x2 , y2 , z2 ) całkowicie
zawartym w obszarze V .
Definition 2 (znak orientacji)
Niech Γ będzie kawałkami gładkim łukiem zamkniętym w R2 , bez
3
samoprzecięć,tzw.krzywą Jordana. Mówimy,że orientacja łuku Γ jest
dodatnia względem wnętrza D, jeśli podczas ruchu po Γ w kierunku
jego orientacji, odszar D leży po lewej stronie łuku. W przeciwnym
przypadku mówimy, że orientacja łuku jest ujemna.
Twierdzenie 3 ( wzór Greena)
Jeśli
1.obszar domknięty D ⊂ R2 jest normalny względem obu osi układu
współrzędnych,
2.łuk zamknięty Γ, który jest brzegiem D jest zorientowany dodatnio,
3.pole wektorowe F~ = (P, Q) jest różniczkowalne w sposób ciagły na
D to
Z Z
I
∂Q ∂P
P dx + Qdy =
(
−
)dxdy
∂y
Γ
D ∂x
Wniosek
W polu potencjalnym całka krzywoliniowa zorientowana po łuku zamkniętym
kawałkami gładkim wynosi zero.
Definition 3
I
P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz
Γ
nazywamy cyrkulacją pola F~ = (P, Q, R) po łuku zamkniętym Γ.
Zastosowania całki krzywoliniowej zorientowanej
1.Do obliczania pól obszaru:
Z Z
Z
Z
Z
1
1
1dxdy = xdy = − ydx = ( xdy − ydx)
2
D
Γ
Γ
Γ 2
2.Praca wykonana w polu wektorowym F~ = (P, Q, R) po łuku Γ
Z
Z
W = P dx + Qdy + Rdz = F~ ◦ d~r
Γ
Γ
CAŁKA POWIERZCHNIOWA NIEZORIENTOWANA
Definition 1
Niech D będzie zbiorem normalnym na płaszczyżnie oraz
~r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) będzie funkcja ciągłą i różnowartościową
na D ⊂ R2 to
Σ = {~r(u, v), (u, v) ∈ D}
nazywamy płatem powierzchniowym
∂~
r
∂~
r
Jeśli ~r(u, v) jest różniczkowalna w sposób ciągły na D i ∂u
× ∂v
6= ~0 to
4
Σ nazywamy płatem powierzchniowym gładkim
Równania parametryczne ważniejszych płatów powierzchniowych.
1. Płaszczyzna przechodząca przez punkt (x0 , y0 , z0 ) i rozpięta na
wektorach
~a = [a1 , a2 , a3 ] i ~b = [b1 , b2 , b3 ]

 x = x0 + ua1 + vb1
y = y0 + ua2 + vb2 , (u, v) ∈ R2

z = z0 + ua3 + vb3
2. Sfera (x − x0 )2 + (y − y0 )2 + (z − z0 )2 = r2 ma przedstawienie
parametryczne:

 x = x0 + r cos u cos v
y = y0 + r sin u cos v , u ∈ [0, 2π], v ∈ [− π2 , π2 ].

z = z0 + r sin v
3. Powierzchnia walca x2 + y 2 = r2 gdzie 0 ≤ z ≤ H ma przedstawienie
parametryczne:

 x = r cos u
y = r sin u , u ∈ [0, 2π], v ∈ [0, H].

z=v
p
4. Powierzchnia stożka z = c x2 + y 2 gdzie x2 +y 2 ≤ r2 ma przedstawienie
parametryczne:

 x = v cos u
y = v sin u , u ∈ [0, 2π], v ∈ [0, r].

z = cv
5
5. Powierzchnia paraboloidy z = c(x2 + y 2 ) gdzie x2 + y 2 ≤ r2 ma
przedstawienie
parametryczne:

 x = v cos u
y = v sin u , u ∈ [0, 2π], v ∈ [0, r].

z = cv 2
Twierdzenie 1
Pole płata powierzchniowego gładkiego Σ wyraża się wzorem
Z Z ∂~r
∂~r |Σ| =
×
dudv.
∂v D ∂u
Jeśli płat gładki Σ jest wykresem funkcji z = z(x, y) to powyższy
wzór ma postać:
Z Z s
∂z
∂z
1 + ( )2 + ( )2 dxdy.
|Σ| =
∂x
∂y
D
Twierdzenie 2 (o zamianie całki powierzchniowej niezorientowanej na
całkę podwójną)
Jeżeli
1.obszar D ⊂ R2 jest regularny;
2.płat Σ = {~r(u, v), (u, v) ∈ D} jest gładki;
3.funkcja f : Σ → R jest ciągła to
Z Z
∂~r
∂~r f (~r(u, v)) ×
dudv.
∂u ∂v D
Z Z
f (x, y, z)dS =
Σ
Jeżeli płat gładki Σ jest wykresem funkcji z = z(x, y) to powyższy wzór
ma postać:
s
Z Z
Z Z
∂z
∂z
f (x, y, z)dS =
f (x, y, z(x, y)) 1 + ( )2 + ( )2 dxdy.
∂x
∂y
Σ
D
Zastosowania całek powierzchniowych niezorientowanych
1. Do obliczania pola płata.
2. Masa M płata powierzchniowego Σ o gęstosci powierzchniowej masy
σ(x, y, z) wyraża sie wzorem
Z Z
M=
σ(x, y, z)dS
Σ
6
3. Moment statyczny M Sxy płata Σ o gęstości σ(x, y, z) względem
płaszczyzny xOy wyraża się wzorem
Z Z
M Sxy =
zσ(x, y, z)dS
Σ
4. Wspólrzędne środka masy płata Σ o gęstości σ(x, y, z) to
Sxy
x0 = MMSyz , , y0 = MMSxz , ,z0 = MM
.
5. Moment bezwładności płata Σ o gęstości σ(x, y, z) względem prostej
Ox wyraża sie wzorem
Z Z
(y 2 + z 2 )σ(x, y, z)dS.
Ix =
Σ
6. Moment bezwładności płata Σ o gęstości σ(x, y, z) względem punktu
(0,0,0) wyraża sie wzorem
Z Z
IO =
(x2 + y 2 + z 2 )σ(x, y, z)dS.
Σ
CAŁKA POWIERZCHNIOWA ZORIENTOWANA
Definition 1
Płat powierzchniowy dwustronny na którym wyróżniono jedną ze stron
nazywamy płatem zorientowanym. Wyróżnioną stronę płata nazywamy
strona dodatnią. Dla płatów zamkniętych za stronę dodatnią przyjmujemy
jego stronę zewnętrzną. Dla płatów będacych wykresami funkcji
z = z(x, y), y = y(x, z), x = x(y, z) za stronę dodatnią przyjmujemy
górną stronę płata.
Wersor normalny ~n do płata gładkiego Σ = {~r(u, v), (u, v) ∈ D}
w punkcie (x0 , y0 , z0 ) wyraża się wzorem
∂~
r
×
~n = ± ∂u
∂~
r
×
∂u
∂~
r
∂v ∂~
r
∂v
gdzie pochodne cząstkowe obliczamy w punkcie (u0 , v0 ), a znak przed
~n ustalamy na podstawie orientacji płata.
Jeśli płat Σ jest wykresem funkcji z = z(x, y) to wektor normalny w
(x0 , y0 , z0 ) ma postać
~v = (−
∂z
∂z
(x0 , y0 ), − (x0 , y0 ), 1)
∂x
∂y
i wtedy wersor nomalny ~n =
~v
.
|~v |
7
Całką powierzchniową zorientowaną z pola wektorowego
~
F = (P, Q, R) po gładkim płacie zorientowanym Σ definiujemy wzorem
Z Z
P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy =
Σ
Z Z
~
=
F ~(r) ◦ n(r)dS
Σ
Twierdzenie 1 (o zamianie całki powierzchniowej zorietowanej na
całkę podwójną)
Jeśli Σ = {~r(u, v), (u, v) ∈ D} jest gładkim płatem zorientowanym,
gdzie D jest obszarem regularnym na R2 ,
i pole wektorowe F~ = (P, Q, R) jest ciągłe na płacie Σ to
Z Z
Z Z
∂~r
∂~r
~
~
F ~(r) ◦ (
F (r) ◦ n(r)dS = ±
×
)dudv
∂u ∂v
D
Σ
Jeśli Σ jest wykresem funkcji z = z(x, y) to
Z Z
P (x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dxdz + R(x, y, z)dxdy =
Σ
Z Z ∂z
∂z
− Q(x, y, z(x, y))
+ R(x, y, z(x, y))dxdy
=
−P (x, y, z(x, y))
∂x
∂y
D
Definition 2
Jeśli pole wektorowe F~ = (P, Q, R) jest różniczkowalne w sposób ciągły
na obszarze V ⊂ R3 to dywergencją pola wektorowego F~ nazywamy
funkcję
∂Q ∂R
∂P
+
+
div F~ =
∂x
∂y
∂z
Twierdzenie 2 (twierdzenie Gaussa)
Jeśli Σ = {~r(u, v), (u, v) ∈ D} jest kawałkami gładkim płatem zamkniętym,
który jest brzegiem obszaru domkniętego V ⊂ R3 ,
pole wektorowe F~ = (P, Q, R) jest rózniczkowalne w sposób ciagły na
obszarze V to Z Z
Z Z Z
~
F ~(r) ◦ n(r)dS
=
Σ
div F~ dV.
V
8
Twierdzenie 3 (wzór Stokesa)
Jeśli Σ = {~r(u, v), (u, v) ∈ D} jest kawałkami gładkim płatem zorientowanym,
którego brzeg Γ jest łukiem kawałkami gładkim zorientowanym zgodnie
z orientacją Σ i pole wektorowe F~ = (P, Q, R) jest rózniczkowalne w
sposób ciagły na Σ to
Z Z
I
~
~
F ◦ d~r =
(rotF~ ) ◦ dS
Γ
Σ
Wzór Stokesa po rozwinięciu ma postać
Z Z
I
∂R ∂Q
∂P ∂R
∂Q ∂P
P dx+Qdy+Rdz =
(
−
)dydz+(
−
)dxdz+(
−
)dxdy
∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
Γ
Σ ∂y
Niektóre zastosowania całek powierzchniowych zorientowanych
1.Objętość obszaru V ograniczonego płatem zamkniętym Σ zorientowanym
na zewnątrz wynosi
Z Z
Z Z
Z Z
Z Z
1
ydxdz =
xdydz =
zdxdy =
|V | =
xdydz+ydxdz+zdxdy
3
Σ
Σ
Σ
Σ