1. CAŁKI KRZYWOLINIOWE NIEZORIENTOWANE )()(2 tr tr tt

1. CAŁKI KRZYWOLINIOWE NIEZORIENTOWANE
1.1 ŁUKI NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI
Def. 1.1.1 (funkcja wektorowa jednej zmiennej)


a) Funkcją wektorową jednej zmiennej nazywamy odwzorowanie r : I → R 2 lub r : I → R 3 , gdzie I oznacza przedział na


prostej. Funkcje wektorowe będziemy zapisywali odpowiednio w postaci r (t ) = ( x(t ), y (t ) ) lub r (t ) = ( x(t ), y (t ), z (t ) ) ,
gdzie t ∈ I.
Rys. 1.1.1 Funkcja wektorowa jednej zmiennej na płaszczyźnie

b) Mówimy, że funkcja wektorowa r jest różnowartościowa na przedziale I, gdy dla dowolnych t1, t2 ∈ I prawdziwa jest
implikacja


t1 ≠ t 2 ⇒ r (t1 ) ≠ r (t 2 ) .

Funkcja r jest lokalnie różnowartościowa na przedziale I, jeżeli każdy punkt tego przedziału ma otoczenie, na którym

funkcja r jest różnowartościowa.
Rys. 1.1.2 Funkcja wektorowa jednej zmiennej w przestrzeni

c) Jeżeli funkcje x, y lub x, y, z są ciągłe na przedziale I, to mówimy, że funkcja wektorowa r jest ciągła na I.

d) Podobnie, jeżeli funkcje x, y lub x, y, z są różniczkowalne w sposób ciągły na I, to mówimy, że funkcja wektorowa r jest

różniczkowalna w sposób ciągły na I. Pochodną funkcji wektorowej r określamy wzorem:
(
)
(
)
def
def


r / (t ) = x / (t ), y / (t ) lub r / (t ) = x / (t ), y / (t ), z / (t ) .
Rys. 1.1.3 Pochodna funkcji wektorowej
Def. 1.1.2 (łuki na płaszczyźnie)

a) Niech funkcja r : [α , β ] → R 2 będzie ciągła i różnowartościowa na przedziale [α,β]. Łukiem zwykłym na płaszczyźnie
nazywamy zbiór:

Γ = { r (t ) : t ∈ [α , β ]} .
Rys. 1.1.4 Łuk zwykły na płaszczyźnie

b) Niech funkcja r : I → R 2 , gdzie I oznacza dowolny odcinek, półprostą lub prostą (z końcem lub nie), będzie ciągła i
lokalnie różnowartościowa na I. Łukiem na płaszczyźnie nazywamy zbiór:

Γ = { r (t ) : t ∈ I } .
Rys. 1.1.5 Łuk na płaszczyźnie
c)



Jeżeli dla łuku Γ = { r (t ) : t ∈ [α , β ]} spełniona jest równość r (α ) = r ( β ) , to mówimy, że łuk ten jest zamknięty. W
przeciwnym przypadku mówimy, że łuk Γ jest niezamknięty.
Rys. 1.1.6 Łuk zamknięty na płaszczyźnie

d) Jeżeli funkcja r w definicji łuku zwykłego jest różniczkowalna w sposób ciągły na [α,β] oraz dla każdego t ∈ [α,β] speł­
niony jest warunek:


r (t ) ≠ O ,
to mówimy, że łuk ten jest gładki. Mówimy, że łuk jest kawałkami gładki, jeżeli można go podzielić na skończoną liczbę
łuków gładkich.
Rys. 1.1.7 Łuk kawałkami gładki na płaszczyźnie

Uwaga. Podobnie definiuje się łuki analogicznych rodzajów w przestrzeni. Funkcję wektorową r lub funkcje x, y, z opisujące
łuk Γ nazywamy jego parametryzacją. Obrazowo łuk zwykły można przedstawić jako powyginany odcinek ma płaszczyźnie
lub w przestrzeni. Wyginany odcinek można wydłużać lub skracać, ale nie wolno go rozrywać ani sklejać.
Fakt 1.1.3 (o przedstawianiu łuków na płaszczyźnie i w przestrzeni)
Łukami na płaszczyźnie są wykresy funkcji ciągłych postaci:
1. Γ: y = y(x), a ≤ x ≤ b,
2. Γ: x = x(y), c ≤ y ≤ d.
Łukami w przestrzeni są części wspólne ciągłych powierzchni walcowych:
 y = y ( x)

3. Γ :  z = z ( x)
 x ∈ [ a, b]

 x = x( y )

4. Γ :  z = z ( y )
 y ∈ [c, d ]

 x = x( z )

5. Γ :  y = y ( z )
 z ∈ [ p, q ]

Jeżeli funkcje x, y, z mają ciągłe pierwsze pochodne, to łuki Γ są gładkie.
Rys. 1.1.8 Łuk Γ jest wykresem funkcji y = y(x),
gdzie x ∈ [a,b]
Rys. 1.1.9 Łuk Γ jest wspólną częścią powierzchni
walcowych y = y(x) oraz z = z(x), gdzie x ∈ [a,b]
Fakt 1.1.4 (parametryzacje ważniejszych łuków na płaszczyźnie i w przestrzeni)
1.
Odcinek AB o końcach A = (x1,y1), B = (x2,y2) ma przedstawienie parametryczne:
 x = x1 + ( x 2 − x1 )t

 y = y 1 + ( y 2 − y 1 )t .
t ∈ [0,1]

2.
Okrąg o środku w punkcie S = (x0,y0) i promieniu R > 0 ma przedstawienie parametryczne:
 x = x 0 + R cos t

 y = y 0 + R sin t .
t ∈ [0,2π ]

3.
Elipsa o środku w punkcie S = (x0,y0) i półosiach a > 0, b > 0 ma przedstawienie parametryczne:
 x = x 0 + a cos t

 y = y 0 + b sin t .
t ∈ [0,2π ]

4.
Odcinek AB o końcach A = (x1,y1,z1), B = (x2,y2 ,z2) ma przedstawienie parametryczne:
 x = x1 + ( x 2 − x1 )t
 y = y + ( y − y )t

1
2
1
.

 z = z 1 + ( z 2 − z 1 )t
t ∈ [0,1]
5.
Linia śrubowa o skoku h > 0, nawinięta na walec (x – x0)2 + (y – y0)2 = R2, gdzie R > 0, ma przedstawienie parametryczne:
 x = x 0 + R cos t
 y = y + R sin t
0

.

h
 z = 2π t

t ∈ R
Jeden zwój linii śrubowej otrzymamy, gdy t ∈ [0,2π].
Uwaga. Równania fragmentów łuków określonych wyżej otrzymamy zmniejszając odpowiednio zakres zmienności parametru
t. Na rysunkach strzałką zaznaczono kierunek przebiegu łuków przy wzroście parametru t.
Def. 1.1.5 (długość łuku)
Długością łuku nazywamy kres górny długości łamanych wpisanych w ten łuk;
def
 n −1

Γ = sup∑ Pi Pi +1 : Pi ∈ Γ  .
n∈N  i = 0

Rys. 1.1.10 Długość łuku
Tw. 1.1.6 (długość łuku)
Niech Γ = {(x(t), y(t)) : α ≤ t ≤ β} będzie łukiem gładkim na płaszczyźnie. Wtedy długość tego łuku wyraża się wzorem:
β
Γ =∫
α
[ x (t ) ] + [ y (t ) ]
/
2
/
2
dt .
Podobnie, niech Γ = {(x(t), y(t), z(t)) : α ≤ t ≤ β} będzie łukiem gładkim w przestrzeni. Wtedy długość tego łuku wyraża się
wzorem:
β
Γ =∫
α
[ x (t )] + [ y (t )] + [ z (t )]
2
/
2
/
/
2
dt .
Uwaga. Jeżeli łuk Γ jest wykresem funkcji y = y(x), a ≤ x ≤ b, to jego długość wyraża się wzorem:
[
b
]
2
Γ = ∫ 1 + y / ( x) dx .
a
1.2 DEFINICJE I WŁASNOŚCI CAŁEK KRZYWOLINIOWYCH NIEZORIENTOWANYCH
Oznaczenia w definicji całki krzywoliniowej niezorientowanej
Niech Γ = {(x(t), y(t)) : t ∈ [α,β]} będzie łukiem gładkim na płaszczyźnie. Wprowadzamy następujące oznaczenia:
P = {t0, t1, ..., tn}, gdzie α = t0 < t1 < … < tn = β – podział odcinka [α,β] na n ∈ N odcinków;
∆tk = tk – tk-1 – długość k-tego odcinka podziału P, 1 ≤ k ≤ n;
δ(P) = max{∆tk: 1 ≤ k ≤ n } – średnica podziału P;
Ξ = t1∗ , t 2∗ ,  , t n∗ , gdzie t k∗ ∈ [t k −1 , t k ] dla 1 ≤ k ≤ n – zbiór punktów pośrednich podziału P.
{
}
Ak = (x(tk),y(tk)) – punkty podziału łuku Γ indukowane przez podział P, 0 ≤ k ≤ n;
Ak∗ = ( xk∗ , y k∗ ) = x(t k∗ ), y (t k∗ ) – punkty pośrednie na łuku Ak-1Ak indukowane przez wybór punktów pośrednich podziału P, 1 ≤ k
(
)
≤ n;
∆lk – długość łuku Ak-1Ak ,1 ≤ k ≤ n.
Rys. 1.2.1 Podział odcinka [α,β] i podział łuku Γ indukowany przez podział tego odcinka
Def. 1.2.1 (całka krzywoliniowa niezorientowana)
Niech f będzie funkcją dwóch zmiennych określoną i ograniczoną na łuku gładkim Γ. Całkę krzywoliniową niezorientowaną z
funkcji f po łuku Γ definiujemy wzorem:
∫
Γ
def
f ( x, y )dl = lim
δ ( P ) →0
n
∑ f (x
k =1
∗
k
, y k∗ )∆l k ,
o ile granica po prawej stronie znaku równości nie zależy od sposobu podziału P odcinka [α,β], ani od sposobu wyboru
punktów pośrednich Ξ.
Uwaga. Wartość całki krzywoliniowej nie zależy od wybranej parametryzacji łuku. Całkę krzywoliniową niezorientowaną z
funkcji trzech zmiennych po łuku położonym w przestrzeni definiujemy analogicznie. Całkę krzywoliniową niezorientowaną
na płaszczyźnie jak i w przestrzeni oznaczamy krótko symbolem
∫ f dl .
Γ
Rys. 1.2.2 Ilustracja do definicji całki krzywoliniowej niezorientowanej
Def. 1.2.2 (całka krzywoliniowa po łuku kawałkami gładkim)
Niech Γ będzie łukiem kawałkami gładkim złożonym z łuków gładkich Γ1, Γ2, …, Γm oraz niech f będzie funkcją określoną i
ograniczoną na łuku Γ. Całkę krzywoliniową niezorientowaną z funkcji f po łuku Γ definiujemy wzorem:
∫
def
f dl =
Γ
∫ f dl + ∫ f dl + ... + ∫ f dl ,
Γ1
Γ2
Γm
o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją.
Tw. 1.2.3 (liniowość całki krzywoliniowej niezorientowanej)
Jeżeli istnieją całki krzywoliniowe niezorientowane z funkcji f i g po kawałkami gładkim łuku Γ i c ∈ R, to:
a) istnieje całka krzywoliniowa niezorientowana z funkcji f + g po łuku Γ oraz
∫(f
Γ
+ g )dl = ∫ f dl + ∫ g dl ,
Γ
Γ
b) istnieje całka krzywoliniowa niezorientowana z funkcji cf po łuku Γ oraz
∫ ( cf ) dl = c ∫ f dl .
Γ
Γ
Def 1.2.4 (całka krzywoliniowa niezorientowana z funkcji wektorowej)
Niech Γ będzie łukiem kawałkami gładkim na płaszczyźnie oraz niech funkcje P i Q będą całkowalne na Γ. Całkę krzywoli­

niową niezorientowaną po łuku Γ z funkcji wektorowej F (c, y ) = ( P ( x, y ), Q( x, y ) ) określamy wzorem:
def 



.
F
(
x
,
y
)
dl
=
P
(
x
,
y
)
dl
,
Q
(
x
,
y
)
dl
∫Γ
∫
∫

Γ
Γ


Uwaga. Podobnie określa się całkę krzywoliniową niezorientowaną z funkcji wektorowej F (c, y ) = ( P( x, y ), Q( x, y ), R( x, y ) )
po łuku położonym na płaszczyźnie xOy oraz całkę krzywoliniową niezorientowaną z funkcji wektorowej

F (c, y ) = ( P( x, y ), Q( x, y ), R( x, y ) ) po łuku położonym w przestrzeni.
1.3 ZAMIANA CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ NIEZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ POJEDYNCZĄ
Tw. 1.3.1 (o zamianie całki krzywoliniowej niezorientowanej na całkę pojedynczą)
a) Jeżeli
1. łuk Γ = {(x(t), y(t)) : t ∈ [α,β]} jest gładki i niezamknięty,
2. funkcja f jest ciągła na łuku Γ,
to
∫
Γ
β
f ( x, y )dl = ∫ f ( x(t ), y (t ) )
α
[ x (t )] + [ y (t )]
2
/
/
2
dt .
b) Podobnie, jeżeli
1. łuk Γ = {(x(t), y(t), z(t)) : t ∈ [α,β]} jest gładki i niezamknięty,
2. funkcja f jest ciągła na łuku Γ,
to
β
∫ f ( x, y, z)dl = α∫ f ( x(t ), y(t ), z(t )) [ x (t )]
/
2
[
Γ
Uwaga. W zapisie wektorowym powyższe wzory przyjmują jednolitą postać
∫
Γ
β



f (r )dl = ∫ f ( r (t ) ) r / (t ) dt .
α
] [
2
]
2
+ y / (t ) + z / (t ) dt .
Jeżeli funkcja f jest ciągła na łuku gładkim Γ opisanym równaniem y = y(x), gdzie a ≤ x ≤ b, to
[
b
∫ f ( x, y)dl = ∫ f ( x, y ( x))
Γ
]
2
1 + y / ( x) dx .
a
1.4 ZASTOSOWANIA CAŁEK KRZYWOLINIOWYCH NIEZORIENTOWANYCH
Fakt 1.4.1 (zastosowania w geometrii)
1. Długość łuku Γ na płaszczyźnie lub w przestrzeni wyraża się wzorem:
Γ = ∫ dl .
Γ
2.
Niech Σ oznacza powierzchnię boczną walca o tworzących przechodzących przez łuk Γ ⊂ R2. Tworzące walca są równo­
ległe do osi Oz i w punkcie (x,y) ∈ Γ mają długość f(x,y) ≥ 0. Wtedy pole powierzchni Σ wyraża się wzorem:
Σ = ∫ f ( x, y )dl .
Γ
Fakt 1.4.2 (zastosowania w fizyce)
1. Masa łuku materialnego Γ ⊂ R2 o gęstości liniowej masy λ wyraża się wzorem:
M = ∫ λ ( x, y )dl .
Γ
2.
Momenty statyczne względem osi układu łuku materialnego Γ ⊂ R2 o gęstości liniowej masy λ wyrażają się wzorami:
MS x = ∫ yλ ( x, y )dl ,
Γ
3.
MS y = ∫ xλ ( x, y )dl .
Γ
Współrzędne środka masy łuku materialnego Γ ⊂ R2 o gęstości liniowej masy λ wyrażają się wzorami:
xC =
MS y
M
,
yC =
MS x
.
M
4.
Masa łuku materialnego Γ ⊂ R3 o gęstości liniowej masy λ wyraża się wzorem:
M = ∫ λ ( x, y, z )dl .
Γ
5.
Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych łuku materialnego Γ ⊂ R3 o gęstości liniowej masy λ
wyrażają się wzorami:
MS xy = ∫ zλ ( x, y, z )dl ,
MS xz = ∫ yλ ( x, y, z )dl ,
Γ
6.
Γ
Współrzędne środka masy łuku materialnego Γ ⊂ R3 o gęstości liniowej masy λ wyrażają się wzorami:
xC =
7.
MS yz = ∫ xλ ( x, y, z )dl .
Γ
MS yz
M
yC =
,
MS xz
,
M
zC =
MS xy
M
.
Momenty bezwładności względem osi lub początku układu współrzędnych łuku materialnego Γ ⊂ R3 o gęstości liniowej
masy λ wyrażają się wzorami:
(
)
(
)
(
)
I x = ∫ y 2 + z 2 λ ( x, y , z )dl ,
Γ
I y = ∫ x 2 + z 2 λ ( x, y , z ) dl ,
Γ
I z = ∫ x 2 + z 2 λ ( x, y , z )dl ,
Γ
I0
= ∫ (x
Γ
8.
2
)
+ y 2 + z 2 λ ( x, y , z ) dl .

Natężenie pola elektrycznego indukowane w punkcie r0 przez ładunek elektryczny o gęstości liniowej ładunku λ rozło­
żony na łuku Γ ⊂ R2 (R3) wyraża się wzorem:

E=


1
4πε 0
  
(r0 − r )λ (r )dl
∫Γ r − r 3 ,
0
gdzie r = ( x, y ) ( r = ( x, y, z )) , a ε0 oznacza stałą dielektryczną próżni.
9.

Siła przyciągania grawitacyjnego masy m skupionej w punkcie r0 przez łuk materialny Γ ⊂ R2 (R3) o gęstości liniowej
masy λ wyraża się wzorem:


  

(r0 − r )λ (r )dl
F = Gm ∫
,
  3
r − r0
Γ
gdzie r = ( x, y ) ( r = ( x, y, z )) , a G oznacza stałą grawitacji.
10. Energia kinetyczna łuku materialnego Γ ⊂ R3 o gęstości liniowej masy λ, podczas obrotu wokół osi Oy z prędkością ką­
tową ω, wyraża się wzorem:
ω2
Ek =
2
∫ (x
2
)
+ z λ ( x, y , z ) dl =
2
Γ
I yω 2
2
.
Uwaga. Wzór na natężenie pola grawitacyjnego jest analogiczny do wzoru na natężenie pola elektrycznego. Także wzór na
siłę przyciągania pochodzącą od ładunków elektrycznych jest analogiczny do wzoru na siłę przyciągania grawitacyjnego.
Fakt 1.4.3 (środki masy łuków symetrycznych)
1. Jeżeli łuk materialny ma środek symetrii i gęstość liniowa masy jest funkcją symetryczną względem tego środka (np. jest
stała), to środek masy łuk pokrywa się z jego środkiem symetrii.
2.
Jeżeli łuk materialny ma oś lub płaszczyznę symetrii i gęstość liniowa masy jest funkcją symetryczną odpowiednio wzglę­
dem tej osi lub płaszczyzny (np. jest stała), to środek masy łuku leży na tej osi lub na płaszczyźnie symetrii.
2. CAŁKI KRZYWOLINIOWE ZORIENTOWANE
2.1 DEFINICJE I WŁASNOŚCI CAŁEK KRZYWOLINIOWYCH ZORIENTOWANYCH
Def. 2.1.1 (pole wektorowe na płaszczyźnie i w przestrzeni)

a) Niech D będzie obszarem na płaszczyźnie. Polem wektorowym na D nazywamy funkcję wektorową F : D → R 2 , gdzie

F ( x, y ) = ( P ( x, y ), Q( x, y ) ) dla (x,y) ∈ D.
Rys. 2.1.1 Pole wektorowe na płaszczyźnie
Rys. 2.1.2 Pole wektorowe w przestrzeni

b) Niech V będzie obszarem w przestrzeni. Polem wektorowym na V nazywamy funkcję wektorową F : D → R 3 , gdzie

F ( x, y, z ) = ( P ( x, y ), Q( x, y ), R ( x, y , z ) ) dla (x,y,z) ∈ V.

c)
Jeżeli funkcje P, Q lub P, Q, R są ciągłe odpowiednio na obszarach D lub V, to mówimy, że pole wektorowe F jest ciągłe
na tych obszarach.
d) Podobnie, jeżeli funkcje P, Q lub P, Q, R mają ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu odpowiednio na

obszarach D lub V, to mówimy, że pole wektorowe F jest różniczkowalne w sposób ciągły na tych obszarach.
 



 



Uwaga. Będziemy także pisali krótko F ( r ) = ( P (r ), Q(r ) ) , gdzie r = ( x, y ) lub F ( r ) = ( P (r ), Q( r ), R ( r ) ) , gdzie

r = ( x, y , z ) .
Def. 2.1.2 (łuk zorientowany)
Łuk zwykły niezamknięty, na którym ustalono początek i koniec (kierunek) nazywamy łukiem zorientowanym. Łuk zoriento­
wany oznaczamy tym samym symbolem co łuk. Łuk o orientacji przeciwnej do orientacji łuku Γ oznaczamy przez – Γ. Jeżeli
ze wzrostem parametru łuku zorientowanego poruszamy się po nim w kierunku orientacji, to mówimy, że parametryzacja łuku
jest zgodna z jego orientacją.
Rys. 2.1.3 Łuk zorientowany Γ
Rys. 2.1.4 Łuk -Γ o orientacji przeciwnej do
łuku zorientowanego Γ
Oznaczenia w definicji całki krzywoliniowej zorientowanej
 
Niech Γ będzie łukiem zorientowanym na płaszczyźnie opisanym równaniem parametrycznym r = r (t ), t ∈ [α , β ] , gdzie


r = ( x, y ) oraz r (t ) = ( x(t ), y (t ) ) . Zakładamy przy tym, że orientacja łuku Γ jest zgodna z jego parametryzacją. Wprowa­
dzamy następujące oznaczenia:
P = {t0, t1, ..., tn}, gdzie α = t0 < t1 < … < tn = β – podział odcinka [α,β] na n ∈ N odcinków;
∆tk = tk – tk-1 – długość k-tego odcinka podziału P, 1 ≤ k ≤ n;
δ(P) = max{∆tk: 1 ≤ k ≤ n } – średnica podziału P;
Ξ = t1∗ , t 2∗ ,  , t n∗ , gdzie t k∗ ∈ [t k −1 , t k ] dla 1 ≤ k ≤ n – zbiór punktów pośrednich podziału P.
{
}

Ak = r (t k ) – punkty podziału łuku Γ indukowane przez podział P, 0 ≤ k ≤ n (A0 jest początkiem, a An końcem łuku zoriento­
wanego Γ);
 
rk∗ = r (t k∗ ) = ( xk∗ , y k∗ ) = x(t k∗ ), y (t k∗ ) – punkty pośrednie na łuku Ak-1Ak indukowane przez wybór punktów pośrednich podziału
(
)
P, 1 ≤ k ≤ n;
 

∆rk = r (t k ) − r (t k −1 ) = (∆xk , ∆y k ) , gdzie ∆xk = x (t k ) − x(t k −1 ) , ∆y k = y (t k ) − y (t k −1 ) , 1 ≤ k ≤ n.
Rys. 2.1.5 Podział odcinka [α,β] i podział łuku zorientowanego Γ indukowany przez ten podział
Def. 2.1.3 (całka krzywoliniowa zorientowana)

Niech F = ( P, Q) będzie polem wektorowym określonym na łuku zorientowanym Γ ⊂ R2. Całkę krzywoliniową zorientowaną

z pola wektorowego F po łuku Γ definiujemy wzorem:
def
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = lim
δ ( P ) →0
Γ
∑ ( P( x
n
k =1
∗
k
)
, y k∗ ) ∆x k + Q( x k∗ , y k∗ )∆y k ,
o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje oraz nie zależy od sposobu podziału P przedziału [α,β], ani od sposobu
wyboru punktów pośrednich Ξ. Powyższą całkę oznaczamy krótko przez
∫ P dx + Q dy .
Γ

Uwaga. Całkę krzywoliniową zorientowaną z pola wektorowego F = ( P, Q, R) po łuku Γ położonym w przestrzeni definiu­
jemy analogicznie i oznaczamy symbolem:
∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z)dy + R( x, y, z)dz lub krótko ∫ P dx + Q dy + R dz .
Γ
Γ

W zapisie wektorowym definicja całki krzywoliniowej zorientowanej z pola wektorowego F = ( P, Q ) lub pola wektorowego

F = ( P, Q, R) po łuku zorientowanym Γ położonym odpowiednio na płaszczyźnie lub w przestrzeni przyjmuje jednolitą
formę:
 
 def
F
(
r
)

d
r
= lim
∫
δ ( P ) →0
Γ
n
 ∗
∑ F (r
k =1
k

)  ∆rk∗ ,

gdzie dr = ( dx, dy ) lub dr = (dx, dy, dz ) . Całkę krzywoliniową z pola wektorowego F po łuku Γ oznaczamy też krótko
def
def

symbolem

∫ F  dr .
Γ
Rys. 2.1.6 Ilustracja do definicji całki krzywoliniowej zorientowanej w formie wektorowej
Def. 2.1.4 (całka krzywoliniowa po sumie łuków zorientowanych)
Niech łuk zorientowany Γ będzie sumą łuków niezamkniętch zorientowanych Γ1, Γ2, …, Γm, przy czym koniec łuku Γk jest

początkiem łuku Γk+1, 1 ≤ k ≤ m – 1. Ponadto niech F będzie polem wektorowym określonym na łuku Γ. Całkę krzywoli­

niową zorientowaną z pola F po łuku Γ określamy wzorem:
  def  
 
F

d
r
=
F

d
r
+
F
∫
∫
∫  dr + ... +
Γ
Γ1
Γ2
 
F
∫  dr ,
Γm
o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją.
Uwaga. Jeżeli łuk zorientowany na płaszczyźnie jest zamknięty, to wtedy piszemy
∫
w miejsce
∫
.
Rys. 2.1.7 Ilustracje do definicji całki krzywoliniowej zorientowanej po sumie łuków
Tw. 2.1.5 (liniowość całki krzywoliniowej zorientowanej)
 
Jeżeli istnieją całki krzywoliniowe z pól wektorowych F i G po kawałkami gładkim łuku zorientowanym Γ oraz jeżeli c jest
stałą dowolną, to:
a)


istnieje całka krzywoliniowa z pola wektorowego F + G po łuku Γ oraz




∫ ( F + G )  dr = ∫ F  dr + ∫ G  dr ,

Γ

Γ

Γ
b) istnieje całka z pola wektorowego cF po łuku Γ oraz




∫ (cF )  dr = c ∫ F  dr ,
Γ
c)
Γ

istnieje całka krzywoliniowa z pola wektorowego F po łuku o orientacji przeciwnej – Γ oraz




∫ F  dr = −∫ F  dr .
−Γ
Γ
Tw. 2.1.6 (zależność między całkami krzywoliniowymi)

Niech pole wektorowe F = ( P, Q) będzie ciągłe na łuku gładkim Γ. Wtedy
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ [ P( x, y) cos α ( x, y) + Q( x, y) cos β ( x, y)] dl ,
Γ
Γ
gdzie α(x,y) oznacza kąt między wektorem stycznym do łuku Γ w punkcie (x,y) a dodatnią częścią osi Ox, natomiast β(x,y)
oznacza kąt między tym samym wektorem i dodatnią częścią osi Oy. Zakładamy przy tym, że zwrot wektora stycznego jest
zgodny z orientacją łuku Γ.
Uwaga. Prawdziwa jest także analogiczna równość dla całek krzywoliniowych po łuku położonym w przestrzeni. Równości te
niektórzy autorzy przyjmują jako definicję całki krzywoliniowej zorientowanej.
Rys. 2.1.8 Ilustracja do twierdzenia o zależności między dwoma rodzajami całek krzywoliniowych
2.2 ZAMIANA CAŁKI KRZYWOLINIOWEJ ZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ POJEDYNCZĄ
Tw. 2.2.1 (o zamianie całki krzywoliniowej na całkę pojedynczą)
a) Jeżeli
1. łuk Γ = {(x(t), y(t)) : t ∈ [α,β]} jest niezamknięty i gładki,
2. orientacja łuku Γ jest zgodna z jego polaryzacją,

3. pole wektorowe F = ( P, Q) jest ciągłe na Γ,
to
β
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = α∫ [ P( x(t ), y (t ) ) x
/
]
(t ) + Q( x(t ), y (t ) ) y / (t ) dt .
Γ
b) Podobnie, jeżeli
1. łuk Γ = {(x(t), y(t), z(t)) : t ∈ [α,β]}jest niezamknięty i gładki,
2. orientacja łuku Γ jest zgodna z jego polaryzacją,

3. pole wektorowe F = ( P, Q, R ) jest ciągłe na Γ,
to
∫ P( x, y, z )dx + Q( x, y, z )dy + Q( x, y, z )dz =
Γ
β
[
]
= ∫ P( x(t ), y (t ), z (t ) ) x (t ) + Q( x(t ), y (t ), z (t ) ) y (t ) + R ( x(t ), y (t ), z (t ) ) z (t ) dt
α
/
/
/
Uwaga. Powyższe wzory w formie wektorowej przyjmują jednolitą postać:
β
 


/
F
(
r
)

d
r
=
∫
∫ F ( r (t ))  r (t ) dt ,


Γ

(
α
[
]
)

(
)
gdzie r = r (t ) jest parametryzacją łuku Γ oraz r / (t ) = x / (t ), y / (t ) lub r / (t ) = x / (t ), y / (t ), z / (t ) .
.

Jeżeli pole wektorowe F = ( P, Q) jest ciągłe na łuku gładkim Γ opisanym równaniem y = y(x), gdzie a ≤ x ≤ b i orientacja
łuku Γ jest zgodna ze wzrostem zmiennej x, to
b
[
]
/
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = ∫ P( x, y( x)) + Q( x, y( x)) y ( x) dx .
Γ
a
2.3 NIEZALEŻNOŚĆ CAŁKI OD DROGI CAŁKOWANIA
Def. 2.3.1 (pole potencjalne, potencjał pola)

Pole wektorowe F określone na obszarze D nazywamy polem potencjalnym, gdy istnieje funkcja U: D → R taka, że


F = gradU .
Funkcję U nazywamy potencjałem pola wektorowego F .

Uwaga. Dla pola wektorowego na płaszczyźnie F = ( P, Q) powyższy warunek ma postać
P=

∂U
∂U
, Q=
.
∂x
∂y
Podobnie, dla pola wektorowego w przestrzeni F = ( P, Q, R ) , mamy
P=
∂U
∂U
∂U
, Q=
, R=
.
∂x
∂y
∂z
Tw. 2.3.2 (całka krzywoliniowa z pola potencjalnego)
a) Niech

1. pole wektorowe F = ( P, Q) będzie ciągłe na obszarze D ⊂ R2,

2. pole wektorowe F będzie potencjalne na obszarze D z potencjałem U.
Wtedy
∫ P( x, y)dx + Q( x, y)dy = U ( x, y)


AB
( x2 , y 2 )
( x1 , y1 )
= U ( x 2 , y 2 ) − U ( x1 , y1 ) ,
gdzie AB jest dowolnym zorientowanym kawałkami gładkim łukiem o początku w punkcie A = (x1,y1) i końcu w punkcie
B = (x2,y2), całkowicie zawartym w obszarze D.
b) Podobnie, niech

1. pole wektorowe F = ( P, Q, R ) będzie ciągłe na obszarze V ⊂ R3,

2. pole wektorowe F będzie potencjalne na obszarze V z potencjałem U.
Wtedy
∫ P( x, y, z)dx + Q( x, y, z)dy + R( x, y, z )dz = U ( x, y, z)

AB
( x2 , y 2 , z 2 )
( x1 , y1 , z1 )
= U ( x 2 , y 2 , z 2 ) − U ( x1 , y1 , z1 ) ,

gdzie AB jest dowolnym zorientowanym kawałkami gładkim łukiem o początku w punkcie A = (x1,y1,z1) i końcu w
punkcie B = (x1,y1,z1), całkowicie zawartym w obszarze V.
Uwaga. W formie wektorowej powyższe wzory przyjmują jednolitą postać:


∫ gradU  dr = U (r )

AB
B
A
= U ( B ) − U ( A) .
Inaczej mówiąc, całka zorientowana w polu potencjalnym nie zależy od drogi całkowania i jest równa różnicy potencjałów w

punktach końcowym i początkowym drogi całkowania. W szczególności w polu potencjalnym F mamy
 
F
∫  dr = 0 ,
Γ
gdzie Γ jest dowolnym łukiem zamkniętym zawartym w rozważanym obszarze.
Tw. 2.3.3 (warunek konieczny i wystarczający potencjalności pola)
a) Niech
1. obszar D ⊂ R2 będzie wypukły,

2. pole wektorowe F = ( P, Q) będzie różniczkowalne w sposób ciągły na D.

Wówczas pole wektorowe F jest potencjalne na D wtedy i tylko wtedy, gdy
∂Q
∂P
( x, y ) =
( x, y ) dla każdego punktu ( x, y ) ∈ D .
∂y
∂x
b) Niech
1. obszar V ⊂ R3 będzie wypukły,

2. pole wektorowe F = ( P, Q, R ) będzie różniczkowalne w sposób ciągły na V.

Wówczas pole wektorowe F jest potencjalne na V wtedy i tylko wtedy, gdy
∂Q
∂Q
∂P
∂R
∂P
∂R
( x, y , z ) =
( x, y , z ) ,
( x, y , z ) =
( x, y , z )
( x, y , z ) =
( x, y , z ) ,
∂y
∂x
∂z
∂y
∂z
∂x
dla każdego punktu ( x, y, z ) ∈ V .
Uwaga. Zamiast wypukłości obszarów D i V można założyć, że są one obszarami jednospójnymi odpowiednio na płaszczyźnie
lub w przestrzeni.
Def. 2.3.4 (rotacja pola wektorowego)

Niech pole wektorowe F = ( P, Q, R ) będzie różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze V ⊂ R3. Rotacją pola wektorowego

F nazywamy pole wektorowe określone wzorem:

i
 def ∂
rotF =
∂x
P

j
∂
∂y
Q

k
∂  ∂R ∂Q    ∂P ∂R    ∂Q ∂P  
i + 
k .
=
−
−
−
 j + 
∂z  ∂y ∂z   ∂z ∂x 
 ∂x ∂y 
R
Fakt 2.3.5 (kryterium potencjalności pola wektorowego)

Pole wektorowe F = ( P, Q, R) na obszarze V ⊂ R3 jest potencjalne wtedy i tylko wtedy, gdy

rotF = 0 .
2.4 TWIERDZENIE GREENA
Def. 2.4.1 (znak orientacji)
Niech Γ będzie kawałkami gładkim łukiem zamkniętym (bez samoprzecięć) na płaszczyźnie, tzn. krzywą Jordana. Mówimy,
że orientacja łuku Γ jest dodatnia względem swego wnętrza D, gdy podczas ruchu łuku Γ w kierunku jego orientacji obszar D
leży cały czas po lewej stronie łuku. W przeciwnym przypadku mówimy, że orientacja łuku jest ujemna.
Rys. 2.4.1 Łuk Γ1 jest zorientowany dodatnio
względem obszaru D1
Rys. 2.4.2 Łuk Γ2 jest zorientowany ujemnie
względem obszaru D2
Tw. 2.4.2 (wzór Greena)
Niech
1. obszar domknięty D ⊂ R2 będzie normalny względem obu osi układu,
2. brzeg Γ obszaru D będzie zorientowany dodatnio,

3. pole wektorowe F = ( P, Q) będzie różniczkowalne w sposób ciągły na D.
Wtedy
 ∂Q ∂P 
P
dx
+
Q
dy
=
∫Γ
∫∫D  ∂x − ∂y  dxdy .
Uwaga. Wzór Greena jest prawdziwy także dla obszaru D, który można podzielić na skończoną liczbę obszarów normalnych
(względem obu osi).
Def. 2.4.3 (cyrkulacja pola wektorowego)

Cyrkulacją pola wektorowego F po łuku zamkniętym zorientowanym Γ nazywamy całkę krzywoliniową zorientowaną


∫ F  dr .
Γ
2.5 ZASTOSOWANIA CAŁEK KRZYWOLINIOWYCH ZORIENTOWANYCH
Fakt 2.5.1 (zastosowania w geometrii)
Pole obszaru D ⊂ R2 ograniczonego łukiem zamkniętym kawałkami gładkim Γ, dodatnio zorientowanym względem obszaru
D, wyraża się wzorami:
D = − ∫ ydx = ∫ xdy =
Γ
Γ
1
xdy − ydx .
2 ∫Γ
Fakt 2.5.2 (zastosowania w fizyce)

1. Praca w polu wektorowym F wykonana wzdłuż łuku zorientowanego Γ, od punktu początkowego do końcowego, wy­
raża się wzorem:
 
W = ∫ F  dr .
Γ
2.
Ilość płaskiej (umownej) cieczy przepływającej w jednostce czasu przez łuk zorientowany Γ wyraża się wzorem:
A = − ∫ Q( x, y ) dx − P ( x, y )dy ,
Γ

gdzie v ( x, y ) = ( P( x, y ), Q( x, y ) ) oznacza prędkość przepływu cieczy w punkcie (x,y) tego łuku.
3. CAŁKI POWIERZCHNIOWE NIEZORIENTOWANE
3.1 PŁATY POWIERZCHNIOWE
Def. 3.1.1 (funkcja wektorowa dwóch zmiennych w przestrzeni)
a) Niech D będzie obszarem na płaszczyźnie. Funkcją wektorową dwóch zmiennych w przestrzeni nazywamy odwzorowanie

r : D → R 3 . Funkcję taką będziemy zapisywać w postaci

r (u , v) = ( x(u , v), y (u , v), z (u , v) ) , gdzie (u , v) ∈ D .

Rys. 3.1.1 Funkcja wektorowa r : D → R 3

b) Mówimy, że funkcja wektorowa r : D → R 3 jest różnowartościowa, gdy dla dowolnych punktów (u1,v1), (u2,v2) ∈ D
prawdziwa jest implikacja


(u1 , v1 ) ≠ (u 2 , v 2 ) ⇒ r (u1 , v1 ) ≠ r (u 2 , v 2 ) .

c) Mówimy, że funkcja wektorowa r : D → R 3 jest ciągła, gdy funkcje x, y, z są ciągłe na D.

d) Mówimy, że funkcja wektorowa r : D → R 3 jest różniczkowalna w sposób ciągły, gdy funkcje x, y, z mają ciągłe
wszystkie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na obszarze D.
Def. 3.1.2 (płat powierzchniowy)

Niech D będzie prostokątem na płaszczyźnie oraz niech funkcja wektorowa
r : D → R 3 , gdzie

r (u , v) = ( x(u, v), y (u, v), z (u , v) ) dla (u, v) ∈ D , będzie ciągła i różnowartościowa na prostokącie D. Płatem powierzchnio­

wym nazywamy zbiór wartości funkcji wektorowej r , tj. zbiór:

Σ = { r (u , v ) : (u , v) ∈ D} .
Zbiór w przestrzeni taki, że każdy jego punkt ma otoczenie domknięte, które jest płatem prostym, nazywamy płatem po­
wierzchniowym.

Uwaga. Funkcję wektorową r lub układ funkcji x, y, z nazywamy parametryzacją płata Σ. Płat prosty można wyobrazić sobie
jako powyginany w przestrzeni prostokąt. Przy tym przekształcaniu prostokąta nie można rozrywać ani sklejać.
Rys. 3.1.2 Zbiór Σ nie jest płatem
powierzchniowym
Rys. 3.1.3 Zbiór Σ jest płatem
powierzchniowym
Def. 3.1.3 (płat powierzchniowy gładki)

Płat powierzchniowy Σ = { r (u , v) : (u , v) ∈ D} , gdzie D jest obszarem domkniętym z brzegiem kawałkami gładkim, a funkcja

wektorowa r (u , v) = ( x(u , v), y (u , v), z (u , v) ) jest różnowartościowa i różniczkowalna w sposób ciągły na obszarze D, nazy­
wamy płatem gładkim, gdy na obszarze D spełniony jest warunek
gdzie


∂r ∂r 
×
≠0,
∂u ∂v


∂r  ∂x ∂y ∂z 
∂r  ∂x ∂y ∂z 
=  , ,  oraz
= , , .
∂u  ∂u ∂u ∂u 
∂v  ∂v ∂v ∂v 
Płat, który można podzielić na skończoną liczbę płatów gładkich, nazywamy płatem kawałkami gładkim.
Rys. 3.1.4 Płat powierzchniowy gładki
Rys. 3.1.5 Płat powierzchniowy kawałkami gładki
Fakt 3.1.4 (równania parametryczne ważniejszych płatów powierzchniowych)



1. Płaszczyzna przechodząca przez punkt r0 = ( x 0 , y 0 , z 0 ) i rozpięta na wektorach a = ( x1 , y1 , z1 ) , b = ( x2 , y2 , z 2 ) ma
przedstawienie parametryczne:
 x = x 0 + ux1 + vx 2

Σ :  y = y 0 + uy1 + uy 2
 z = z + uz + vz
0
1
2

u ∈ R, v ∈ R .
W formie wektorowej parametryzacja płaszczyzny ma postać:

 

Σ : r = r0 + ua + vb
{
2.
Sfera o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r > 0 ma przedstawienie parametryczne:
 x = r cos u cos v

Σ :  y = r sin u cos v
 z = r sin v

3.
Powierzchnia stożka określona równaniem
 π π
u ∈ [0,2π ], v ∈ − ,  .
 2 2
2
2
2
z = k x 2 + y 2 , gdzie x + y ≤ r , ma przedstawienie parametryczne:
 x = v cos u

Σ :  y = v sin u
 z = kv

4.
u ∈ R, v ∈ R .
Powierzchnia paraboloidy obrotowej określona równaniem
parametryczne:
u ∈ [ 0,2π ], v ∈ [ 0, r ] .
(
)
z = k x 2 + y 2 , gdzie x 2 + y 2 ≤ r 2 , ma przedstawienie
 x = v cos u

Σ :  y = v sin u
u ∈ [ 0,2π ], v ∈ [ 0, r ] .
 z = kv 2

5. Powierzchnia walcowa opisana równaniem x 2 + y 2 = r 2 , gdzie 0 ≤ z ≤ H , ma przedstawienie parametryczne:
 x = r cos u

Σ :  y = r sin u
u ∈ [ 0,2π ], v ∈ [ 0, H ] .
z = v

Uwaga. Równania fragmentów tych płatów powierzchniowych otrzymamy zmniejszając odpowiednio zakresy parametrów
u, v.
Fakt 3.1.5 (o postaci płatów powierzchniowych)
Płatami powierzchniowymi są wykresy funkcji ciągłych postaci:
1. z = z ( x, y ); ( x, y ) ∈ D1 , gdzie D1 jest obszarem na płaszczyźnie xOy,
2.
x = x ( y , z ); ( y, z ) ∈ D2 , gdzie D2 jest obszarem na płaszczyźnie yOz,
y = y ( x, z ); ( x, z ) ∈ D3 , gdzie D3 jest obszarem na płaszczyźnie xOz.
3.
Jeżeli funkcje te mają ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu na rozważanych obszarach, to te płaty powierzchniowe są
gładkie.
Uwaga. Równania ważniejszych płatów powierzchniowych, które są wykresami funkcji postaci z = f(x,y) podane są w części
„Analiza matematyczna 2” w fakcie 3.2.5.
Tw. 3.1.6 (pole płata powierzchniowego)

Niech Σ = { r (u , v) : (u , v) ∈ D} będzie gładkim płatem powierzchniowym. Wtedy pole tego płata wyraża się wzorem:
Σ = ∫∫
D


∂r ∂r
×
du dv .
∂u ∂v
Uwaga. Jeżeli płat gładki Σ jest wykresem funkcji z = z(x,y), gdzie (x,y) ∈ D, to jego pole wyraża się wzorem:
Σ = ∫∫
D
2
2
 ∂z 
 ∂z 
1 +   +   dx dy .
 ∂x 
 ∂y 
Analogicznie wyglądają wzory na pola płatów gładkich będących wykresami funkcji x = x(y,z) oraz y = y(x,z).
3.2 DEFINICJA I WŁASNOŚCI CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ NIEZORIENTOWANEJ
Oznaczenia w definicji całki powierzchniowej niezorientowanej

Niech Σ = { r (u , v) : (u , v) ∈ D} będzie gładkim płatem powierzchniowym, zakładamy przy tym, że D jest domkniętym ob­
szarem regularnym na płaszczyźnie. Wprowadzamy następujące oznaczenia:
P = {∆D1, ∆D2, ..., ∆Dn}, – podział obszaru D na obszary regularne ∆Dk (o rozłącznych wnętrzach), 1 ≤ k ≤ n;
dk – średnica obszaru ∆Dk, tj. kres górny odległości punktów zbioru ∆Dk, 1 ≤ k ≤ n;
δ(P) = max{dk: 1 ≤ k ≤ n } – średnica podziału P;
Ξ = (u1∗ , v1∗ ), (u 2∗ , v2∗ )  , (u n∗ , vn∗ ) , gdzie (uk∗ , vk∗ ) ∈ Dk dla 1 ≤ k ≤ n – zbiór punktów pośrednich podziału P.

∆Σk – część płata Σ odpowiadająca obszarowi ∆Dk w podanej wyżej parametryzacji r , 1 ≤ k ≤ n;
|∆Σk| – pole płata ∆Σk, 1 ≤ k ≤ n;

( xk∗ , yk∗ , z k∗ ) – punkt płata ∆Σk odpowiadający punktowi (u k∗ , vk∗ ) ∈ Dk w podanej parametryzacji r , 1 ≤ k ≤ n.
{
}
Rys. 3.2.1 Ilustracja do definicji całki powierzchniowej niezorientowanej
Def. 3.2.1 (całka powierzchniowa niezorientowana)
Niech Σ będzie płatem powierzchniowym gładkim oraz niech funkcja f : Σ → R będzie ograniczona. Całkę powierzchniową
niezorientowaną z funkcji f po płacie Σ definiujemy wzorem:
∫∫
δ ( P ) →0
Σ
∑ f (x
n
def
f ( x, y, z ) dS = lim
k =1
∗
k
)
, y k∗ , z k∗ ∆Σ k ,
o ile granica po prawej stronie znaku równości istnieje oraz nie zależy od sposobu podziału P obszaru D, ani od sposobu wy­
boru punktów pośrednich Ξ.
Uwaga. Wartość całki powierzchniowej niezorientowanej nie zależy od sposobu parametryzacji płata. Całkę powierzchniową
niezorientowaną z funkcji f po płacie Σ oznaczamy krótko symbolem
∫∫ f dS .
Σ
Def. 3.2.2 (całka powierzchniowa po płacie kawałkami gładkim)
Niech Σ będzie płatem kawałkami gładkim złożonym z płatów gładkich Σ1, Σ2, …, Σm oraz niech f będzie funkcją określoną i
ograniczoną na płacie Σ. Całkę powierzchniową niezorientowaną z funkcji f po płacie Σ definiujemy wzorem:;
∫∫
def
f dS =
Σ
∫∫ f dS + ∫∫ f dS + ... + ∫∫ f dS ,
Σ1
Σ2
Σm
o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją.
Tw. 3.2.3 (liniowość całki powierzchniowej niezorientowanej)
Jeżeli funkcje f i g są całkowalne na kawałkami gładkim płacie powierzchniowym Σ oraz jeżeli c jest dowolną stałą, to:
a) funkcja f + g jest całkowalna na płacie Σ oraz
∫∫ ( f
Σ
b) funkcja cf jest całkowalna na płacie Σ oraz
+ g ) dS = ∫∫ f dS + ∫∫ g dS ,
Σ
Σ
∫∫ (cf ) dS = c ∫∫ f dS .
Σ
Σ
Def. 3.2.4 (całka powierzchniowa niezorientowana z funkcji wektorowej)
Niech Σ będzie kawałkami gładkim płatem powierzchniowym oraz niech funkcje P, Q, R będą całkowalne na Σ. Całkę po­

wierzchniową niezorientowaną po płacie Σ z funkcji wektorowej F = ( P, Q, R ) określamy wzorem:
 def 

F
∫∫Σ dS =  ∫∫Σ P dS , ∫∫Σ Q dS , ∫∫Σ R dS  .
3.3 ZAMIANA CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ NIEZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ PODWÓJNĄ
Tw. 3.3.1 (o zamianie całki powierzchniowej na całkę podwójną)
Jeżeli
1. obszar D ⊂ R2 jest regularny,

2. płat Σ = { r (u , v) : (u , v ) ∈ D} jest gładki,
3. funkcja f : Σ → R jest ciągła,
to
∫∫ f ( x, y, z) dS = ∫∫
Σ
D



∂r ∂r
f ( r (u , v) )
×
du dv .
∂u ∂v
Uwaga. Jeżeli płat gładki Σ jest wykresem funkcji z = z(x,y), gdzie (x,y) ∈ D oraz funkcja f jest ciągła na Σ, to wzór na
zamianę całek przyjmuje postać:
∫∫ f ( x, y, z) dS = ∫∫
Σ
D
2
2
 ∂z

 ∂z

f ( x, y, z ( x, y ) ) 1 +  ( x, y )  +  ( x, y ) dx dy .
 ∂x

 ∂y

Analogiczne wzory otrzymujemy w przypadku płatów powierzchniowych opisanych równaniami x = x(y,z) lub y = y(x,z).
3.4 ZASTOSOWANIA CAŁEK POWIERZCHNIOWYCH NIEZORIENTOWANYCH
Fakt 3.4.1 (zastosowania w geometrii)
Pole kawałkami gładkiego płata Σ wyraża się wzorem:
Σ = ∫∫ dS .
Σ
Fakt 3.4.2 (zastosowania w fizyce)
1. Masa płata materialnego Σ o gęstości powierzchniowej masy σ wyraża się wzorem:
M = ∫∫ σ ( x, y, z ) dS .
Σ
2.
Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych płata materialnego Σ o gęstości powierzchniowej masy
σ wyrażają się wzorami:
MS yz = ∫∫ xσ ( x, y , z ) dS ,
Σ
MS xz = ∫∫ yσ ( x, y , z ) dS ,
Σ
MS xy = ∫∫ zσ ( x, y, z ) dS .
Σ
3.
Współrzędne środka masy płata Σ o gęstości powierzchniowej masy σ wyrażają się wzorami:
xC =
4.
MS yz
M
yC =
,
MS xz
,
M
zC =
MS xy
M
.
Momenty bezwładności względem osi oraz względem początku układu współrzędnych płata materialnego Σ o gęstości
powierzchniowej masy σ wyrażają się wzorami:
(
)
(
)
(
)
I x = ∫∫ y 2 + z 2 σ ( x, y , z ) dS ,
Σ
I y = ∫∫ x 2 + z 2 σ ( x, y, z ) dS ,
Σ
I z = ∫∫ x 2 + y 2 σ ( x, y , z ) dS ,
(
Σ
)
I 0 = ∫∫ x 2 + y 2 + z 2 σ ( x, y, z ) dS .
Σ
5.

Natężenie pola elektrycznego w punkcie r0 pochodzące od ładunku elektrycznego rozłożonego na płacie Σ o gęstości
powierzchniowej ładunku σ wyraża się wzorem:

E=
1
4πε 0
  
(r0 − r )σ (r )
∫∫Σ r − r 3 dS ,
0
gdzie ε0 oznacza stałą dielektryczną próżni.
6.

Siła przyciągania grawitacyjnego masy m skupionej w punkcie r0 przez płat materialny Σ o gęstości powierzchniowej
masy σ wyraża się wzorem:
 


(r − r0 )σ (r )
F = Gm ∫∫   3 dS ,
r − r0
Σ
gdzie G oznacza stałą grawitacji.
Fakt 3.4.3 (środki masy płatów symetrycznych)
1. Jeżeli płat powierzchniowy ma środek symetrii i gęstość powierzchniowa masy jest funkcją symetryczną względem tego
środka (np. jest stała), to środek masy płata pokrywa się z jego środkiem symetrii.
2. Jeżeli płat powierzchniowy ma oś lub płaszczyznę symetrii i gęstość powierzchniowa masy jest funkcją symetryczną
względem tej osi lub płaszczyzny (np. jest stała), to środek masy tego płata leży na jego osi lub płaszczyźnie symetrii.
4. CAŁKI POWIERZCHNIOWE ZORIENTOWANE I ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ
4.1 DEFINICJA I WŁASNOŚCI CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ ZORIENTOWANEJ
Def. 4.1.1 (płat powierzchniowy zorientowany)
Płat powierzchniowy dwustronny, na którym wyróżniono jedną ze stron, nazywamy płatem powierzchniowym zorientowa­
nym. Wyróżnioną stronę płata zorientowanego nazywamy stroną dodatnią. Płat zorientowany oznaczamy tym samym symbo­
lem co płat. Płat powierzchniowy zorientowany przeciwnie do płata zorientowanego Σ oznaczamy przez – Σ.
Dla płatów zamkniętych ograniczających pewien obszar w przestrzeni za stronę dodatnią płata przyjmujemy z reguły jego
stronę zewnętrzną. Dla płatów będących wykresami funkcji postaci z = f(x,y), x = g(y,z), y = h(x,z) za stronę dodatnią przyj­
mujemy zwykle górną część takiego płata.
Rys. 4.1.1 Płat powierzchniowy jednostronny
Rys. 4.1.2 Płat powierzchniowy dwustronny;
wykres funkcji z = f(x,y)
Fakt 4.1.2 (postać wersora normalnego płata)


Niech płat gładki zorientowany Σ ma przedstawienie parametryczne Σ = { r (u , v) : (u , v) ∈ D} . Wtedy wersor normalny n do
płata Σ wystawiony w punkcie (x0, y0, z0) tego płata, odpowiadającym punktowi (u0, v0) obszaru D w powyższej parametryzacji
wyraża się wzorem:


∂r ∂r
×

n = ± ∂u ∂v ,
∂r ∂r
×
∂u ∂v
gdzie wektory


∂r
∂r

oraz
są obliczone w punkcie (u0, v0). Znak stojący przed wersorem n ustala się na podstawie orientacji
∂u
∂v
płata Σ. Przyjmujemy, że wersor normalny jest skierowany od strony ujemnej do dodatniej płata zorientowanego.

Jeżeli płat gładki Σ jest wykresem funkcji z = z(x,y), gdzie (x,y) ∈ D, to wersor normalny n do płata Σ wystawiony w
punkcie (x0, y0, z0) tego płata, gdzie z0 = z(x0, y0), wyraża się wzorem:
 
−p
−q
1
n=
,
,
 1+ p2 + q2 1+ p2 + q2 1+ p2 + q2

gdzie p =

,


∂z

∂z

( x 0 , y 0 ) , q = ( x 0 , y 0 ) . Wersor normalny n można przedstawić w postaci n = (cos α , cos β , cos γ ) , gdzie
∂y
∂x
α, β, γ oznaczają kąty między tym wersorem, a dodatnimi częściami osi Ox, Oy, Oz.

Rys. 4.1.3 Wersor normalny do płata zorientowanego Σ
Rys. 4.1.4 Kosinusy kierunkowe wektora normalnego n
Def. 4.1.3 (całka powierzchniowa zorientowana)

Niech F = ( P, Q, R ) będzie polem wektorowym na płacie gładkim zorientowanym Σ. Całkę powierzchniową zorientowaną z

pola wektorowego F po płacie Σ definiujemy wzorem:
def
∫∫ P( x, y, z) dy dz + Q( x, y, z) dz dx + R( x, y, z ) dxdy =
Σ

∫∫ ( F ( x, y, z )  n( x, y, z )) dS =

Σ
= ∫∫ ( P( x, y, z ) cos α + Q( x, y , z ) cos β + R ( x, y , z ) cos γ ) dS
Σ

gdzie n = (cos α , cos β , cos γ ) oznacza wersor normalny do płata zorientowanego Σ wystawiony w punkcie (x,y,z) tego
płata.
Uwaga. W zapisie wektorowym powyższa definicja przyjmuje postać:
 def
 
F
(
r
)

d
S
=
∫∫
Σ
  
(
F
∫∫ (r )  n (r )) dS ,
Σ

 def
gdzie dS = (dydz , dzdx, dxdy ) . Całkę powierzchniową zorientowaną z pola wektorowego F po płacie Σ oznaczamy też
 
P
dy
dz
+
Q
dz
dx
+
R
dx
dy
F
krótko ∫∫
, a w notacji wektorowej ∫∫  dS .
Σ
Σ
Rys. 4.1.5 Ilustracja do definicji całki powierzchniowej

zorientowanej z pola wektorowego F po płacie
zorientowanym Σ
Def. 4.1.4 (całka powierzchniowa po płacie kawałkami gładkim)
Niech Σ będzie kawałkami gładkim płatem zorientowanym, utworzonym z płatów gładkich Σ1, Σ2, …, Σm, o orientacjach po­

krywających się z orientacją płata Σ. Ponadto niech F będzie polem wektorowym określonym na płacie Σ. Całkę powierzch­

niową zorientowaną z pola wektorowego F po płacie Σ definiujemy wzorem:
  def
F
∫∫  dS =
Σ
 
 
 
F

d
S
+
F

d
S
+
...
+
F
∫∫
∫∫
∫∫  dS ,
Σ1
Σ2
Σm
o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją. Jeżeli Σ jest płatem zorientowanym zamkniętym ograniczającym pewien
obszar w przestrzeni, to wtedy piszemy
∫∫
Σ
∫∫
w miejsce
Σ
.
Tw. 4.1.5 (liniowość całki powierzchniowej zorientowanej)
 
Jeżeli istnieją całki powierzchniowe z pól wektorowych F i G po kawałkami gładkim płacie powierzchniowym zorientowa­
nym Σ oraz jeżeli c jest dowolną stałą, to
 
a) istnieje całka z pola wektorowego F + G po płacie Σ oraz







∫∫ ( F + G )  dS = ∫∫ F  dS + ∫∫ G  dS ,
Σ
b) istnieje całka z pola wektorowego cF po płacie Σ oraz

Σ
Σ



∫∫ ( cF )  dS = c ∫∫ F  dS ,
Σ
Σ

c) istnieje całka z pola wektorowego F po płacie o orientacji przeciwnej – Σ oraz




F

d
S
=
−
F
∫∫
∫∫  dS .
−Σ
Σ
4.2 ZAMIANA CAŁKI POWIERZCHNIOWEJ ZORIENTOWANEJ NA CAŁKĘ PODWÓJNĄ
Tw. 4.2.1 (o zamianie całki powierzchniowej na całkę podwójną)
Jeżeli
1. Σ = { ( x(u , v), y (u , v), z (u , v) ) : (u , v) ∈ D} jest gładkim płatem zorientowanym, gdzie D jest obszarem regularnym na
płaszczyźnie,

2. pole wektorowe F = ( P, Q, R) jest ciągłe na płacie Σ,
to
∫∫ P( x, y, z)dydz + Q( x, y, z )dzdx + R( x, y, z )dxdy =
Σ


= ± ∫∫  P( x(u , v), y (u , v), z (u , v) )
D 

∂y
∂u
∂z
∂u
∂y
∂v + Q( x(u , v), y (u , v), z (u , v) )
∂z
∂v
∂z
∂u
∂x
∂u
∂z
∂v +
∂x
∂v
∂x
+ R( x(u , v), y (u , v), z (u , v) ) ∂u
∂y
∂u
Znak stojący przed całką podwójną ustala się na podstawie orientacji płata Σ.
Uwaga. W zapisie wektorowym wzór ten przyjmuje postać





 ∂r ∂r 
∫∫Σ F ( r )  dS = ± ∫∫D F ( r (u, v))   ∂u × ∂v  du dv .
.
∂x 
∂v  du dv
∂y

∂v 

Jeżeli gładki płat zorientowany Σ jest wykresem funkcji z = z(x,y), gdzie (x,y) ∈ D, oraz pole wektorowe F = ( P, Q, R ) jest
ciągłe na Σ, to
∫∫ P( x, y, z )dydz + Q( x, y, z )dzdx + R( x, y, z )dxdy =
Σ


∂z
∂z
= − ∫∫  P ( x, y , z ( x, y ) )
+ Q ( x , y , z ( x, y ) )
− R ( x, y, z ( x, y ) )  dxdy
∂x
∂y

D 
.
Podobne równości mają miejsce, gdy płat Σ jest wykresem funkcji x = x(y,z) lub y = y(x,z).
4.3 ELEMENTY ANALIZY WEKTOROWEJ
Def. 4.3.1 (operator Hamiltona – nabla)
Operator Hamiltona (nabla) określony jest wzorem:
def 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∇=i
+ j
+k
= , , .
∂x
∂y
∂z  ∂x ∂y ∂z 
Def. 4.3.2 (gradient funkcji)
Niech f będzie funkcją różniczkowalną na obszarze V ⊂ R3. Gradient funkcji f jest określony wzorem:
def
 ∂f ∂f ∂f 
gradf = ∇f =  , ,  .
 ∂x ∂y ∂z 
Fakt 4.3.3 (własności gradientu)
Niech funkcje f i g będą różniczkowalne na obszarze V ⊂ R3 oraz niech a, b ∈ R. Wtedy
a) grad(af + bg ) = a grad f + b grad g ,
b)
grad( fg ) = g grad f + f grad g ,
 f  g grad f − f grad g
grad  =
,
g2
g
d) grad h( f ) = h / ( f ) grad f , gdzie h jest funkcją różniczkowalną na pewnym przedziale,

e) f ≡ const ⇔ grad f ≡ o ,
∂f 

f)
 = v  ( grad f ) , gdzie v jest wersorem.
∂v
c)
Def. 4.3.4 (pole wektorowe potencjalne)

Pole wektorowe F nazywamy polem potencjalnym na obszarze V ⊂ R3, jeżeli istnieje funkcja U : V → R taka, że

F = gradU .

Funkcję U nazywamy potencjałem pola wektorowego F .
Def. 4.3.5 (rotacja pola wektorowego)

Niech F = ( P, Q, R) będzie różniczkowalnym polem wektorowym określonym na obszarze V ⊂ R3. Rotację pola wektoro­

wego F określamy wzorem:

i
 def
 ∂
rot F = ∇ × F =
∂x
P

j
∂
∂y
Q

k
∂
.
∂z
R
Fakt 4.3.6 (własności rotacji)
 
Niech f będzie funkcją różniczkowalną na obszarze V ⊂ R3 oraz niech pola wektorowe F i G będą różniczkowalne na tym
obszarze. Wtedy




rot aF + bG = a rot F + b rot G , gdzie a, b ∈ R,



b) rot fF = ( grad f ) × F + f rot F ,

c) rot ( grad ) U = o , gdzie U jest funkcją dwukrotnie różniczkowalną w sposób ciągły na V.
a)
(
( )
)
Def. 4.3.7 (dywergencja pola wektorowego)

Niech F = ( P, Q, R) będzie polem wektorowym różniczkowalnym w sposób ciągły na obszarze V ⊂ R3. Dywergencję pola

wektorowego F określamy wzorem:
 def
 ∂P ∂Q ∂R
div F = ∇  F =
+
+
.
∂x ∂y ∂z
Fakt 4.3.8 (własności dywergencji)


Niech f będzie funkcją różniczkowalną w sposób ciągły na obszarze V ⊂ R3 oraz niech pola wektorowe F i G będą
różniczkowalne w sposób ciągły na tym obszarze. Wtedy




div aF + bG = a div F + b div G , gdzie a, b ∈ R,



b) div fF = ( grad f )  F + f div F ,

  
 
c) div F × G = G  rot F − F  rot G ,


d) div ( rot ) F = 0 , gdzie pole wektorowe F ma współrzędne dwukrotnie różniczkowalne w sposób ciągły na V.
a)
(
)
( )
( )
4.4 TWIERDZENIE GAUSSA I STOKESA
Tw. 4.4.1 (wzór Gaussa)
Jeżeli
1. Σ jest zorientowanym kawałkami gładkim płatem zamkniętym, który jest brzegiem obszaru domkniętego V ⊂ R3,

2. pole wektorowe F = ( P, Q, R) jest różniczkowalne w sposób ciągły na V,
to
 

F
∫∫  dS = ∫∫∫ div F dV .
Σ
V
Po rozwinięciu powyższa równość (wzór Gaussa) przyjmuje postać:
 ∂P ∂Q ∂R 

 dV .
P
dy
dz
+
Q
dz
dx
+
R
dx
dy
=
+
+
∫∫Σ
∫∫∫
∂
x
∂
y
∂
z

V 
Rys. 4.4.1 Ilustracja do wzoru Gaussa
Tw. 4.4.2 (wzór Stokesa)
Jeżeli
1. Σ jest płatem kawałkami gładkim zorientowanym, którego brzeg Γ jest łukiem kawałkami gładkim zorientowanym
zgodnie z orientacją płata Σ,

2. pole wektorowe F = ( P, Q, R) jest różniczkowalne w sposób ciągły na płacie Σ (łącznie z brzegiem Γ),
to

 

F

d
r
=
rot
F

d
S
.
∫
∫∫
Γ
Σ
(
)
Po rozwinięciu powyższa równość (wzór Stokesa) przyjmuje postać:
 ∂R
∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫∫  ∂y −
Γ
Σ
 ∂Q ∂P 
∂Q 
 ∂P ∂R 
 dy dz + 
 dx dy .
−
−
 dz dx + 
∂z 
 ∂z ∂x 
 ∂x ∂y 
Rys. 4.4.2 Ilustracja do wzoru Stokesa
Uwaga. Wzór Greena podany w rozdziale 2.4 jest szczególnym przypadkiem wzoru Stokesa. Rzeczywiście, przyjmując, że


Σ ⊂ xOy jest płatem zorientowanym o brzegu Γ oraz, że pole wektorowe F określone na tym płacie ma postać F = ( P, Q,0) ,
przy czym funkcje P i Q zależą tylko od zmiennych x, y, otrzymamy
 ∂Q
∫ Pdx + Qdy = ∫∫  ∂x
Γ
Σ
−
∂P 
 dx dy .
∂y 
4.5 ZASTOSOWANIA CAŁEK POWIERZCHNIOWYCH ZORIENTOWANYCH
Fakt 4.5.1 (zastosowania w geometrii)
Objętość obszaru V ograniczonego płatem zamkniętym Σ zorientowanym na zewnątrz wyraża się wzorami:
V = ∫∫ zdxdy = ∫∫ xdydz = ∫∫ ydzdx =
Σ
Σ
Σ
1
xdydz + ydzdx + zdxdy .
3 ∫∫
Σ
Fakt 4.5.2 (zastosowania w fizyce)
1. Ilość cieczy przepływającej w jednostce czasu przez płat zorientowany Σ (ze strony ujemnej na dodatnią) wyraża się
wzorem:



A = ∫∫ v ( x, y, z )  dS ,
Σ
gdzie v ( x, y, z ) oznacza prędkość cieczy w punkcie (x,y,z) tego płata.
2.
Parcie cieczy o ciężarze właściwym C na dodatnią stronę płata zorientowanego Σ, który jest zanurzony w tej cieczy,
wyraża się wzorem:



P = C  ∫∫ zdydz , ∫∫ zdzdx, ∫∫ zdxdy  .
Σ
Σ
Σ
