notatki do wykładu

Transkrypt

notatki do wykładu

Spis tre±ci
Wybrane oznaczenia
1.
2
Wprowadzenie
4
L
2
2.
Szeregi Fouriera denicje i teoria
3.
Szeregi Fouriera wªasno±ci wspóªczynników
4.
Szeregi Fouriera j¡dro Dirichleta
13
5.
Szeregi Fouriera zbie»no±¢ punktowa i jednostajna
17
6.
Szeregi Fouriera ±rednie Cesàro
25
7.
31
8.
Szeregi Fouriera przykªady szeregów rozbie»nych
d
Transformata Fouriera na
denicje i wªasno±ci
9.
Transformata Fouriera rozszerzenia
42
R
5
9
34
10.
Transformata Fouriera na grupach
51
11.
Twierdzenie interpolacyjne Marcinkiewicza
56
12.
Twierdzenie interpolacyjne RieszaThorina
60
13.
Operator maksymalny
64
14.
Rozkªad CalderónaZygmunda
70
15.
Transformata Hilberta i transformaty Riesza
74
16.
Funkcje harmoniczne i odwzorowanie sprz¦»one
77
17.
Wªasno±ci odwzorowania sprz¦»onego
83
1
2
Wybrane oznaczenia
Zbiory:
Z
R
C
Rd
liczby caªkowite
liczby rzeczywiste
liczby zespolone
przestrze« euklidesowa wymiaru d
d
wspóªrz¦dne x ∈
oznaczane s¡ x1 , ..., xd ,
R
T = R/(2π Z) (równowa»nie:
E
D ,G
F
K
odcinek
[−π, π]
x = (x1 , ..., xd )
z uto»samionymi ko«cami)
zbiór borelowski
zbiór otwarty
zbiór domkni¦ty
zbiór zwarty
Przestrzenie ci¡gów:
P
k(an )kp = ( |an |p )1/p (p ∈ [1, ∞))
k(an )k∞ = sup |an |
`p przestrze« BanachaP
(z norm¡ k · kp )
n ∈ Z) dla których
|an |p < ∞
∞
` przestrze« Banacha (z norm¡ k · k∞ )
podwójnie niesko«czonych ci¡gów
(an :
podwójnie niesko«czonych ci¡gów ogra-
niczonych
c0
k · k∞ )
limn→±∞ an = 0
przestrze« Banacha (z norm¡
(an ),
dla których
podwójnie niesko«czonych tych ci¡gów
Przestrzenie funkcji i miar:
R
kf kp = ( |f |p )1/p (p ∈ [1, ∞); caªkowanie na przestrzeni wynikaj¡cej z kontekstu)
kf k∞ = ess sup |f |
supp f = {x : f (x) 6= 0}
Lp (E) zbiór tych borelowskich funkcji f : E → C, dla których kf kp < ∞ (p ∈ [1, ∞])
L p (E) przestrze« Banacha klas równowa»no±ci funkcji z Lp (E) wzgl¦dem relacji równo±ci p.w. (dla formalnej poprawno±ci niektórych sformuªowa«)
C(D)
Cb (D)
C0 (D)
zbiór ci¡gªych funkcji
f :D→C
k · k∞ )
przestrze« Banacha tych funkcji f ∈ C(D), dla których lim|x|→∞ f (x) = 0 oraz
limx→z f (x) = 0 dla ka»dego z ∈ ∂D (z norm¡ k · k∞ )
Cc (D) zbiór funkcji f ∈ C(D) o zwartym no±niku (supp f jest zwarty i supp f ⊆ D)
C∗k (D) zbiór funkcji f , których pochodne cz¡stkowe stopnia nie wi¦kszego ni» k istniej¡
i nale»¡ do C∗ (k = 0, 1, ..., ∞; ∗ ∈ {∅, b, 0, c})
M (E) zbiór sko«czonych zespolonych miar borelowskich na E
przestrze« Banacha ograniczonych funkcji
f ∈ C(D)
(z norm¡
Przestrzenie funkcji i miar okresowych:
C(T)
M (T)
(i podobne oznaczenia) zbiór ci¡gªych funkcji na
T
ka»da taka funkcja jest automatycznie uto»samiana z funkcj¡
zbiór sko«czonych zespolonych miar borelowskich na
T
ka»da taka miara jest automatycznie uto»samiana z miar¡
2π -okresow¡ na R
2π -okresow¡
na
(uwaga: taki obiekt nie jest sko«czon¡ miar¡, a nawet mo»e nie by¢ miar¡)
Przestrzenie funkcji harmonicznych i holomorcznych:
Hol(D)
e
Hol(D)
przestrze« funkcji holomorcznych w
D
przestrze« funkcji antyholomorcznych w
D
R
3
Harm(D)
H p (D)
Holp (D)
D
rzeczywista przestrze« Hardy'ego na D (p ∈ [1, ∞])
zespolona przestrze« Hardy'ego na D (p ∈ [1, ∞])
przestrze« funkcji harmonicznych w
Wybrane funkcje:
en (x)
eξ (x)
Dk (x)
D̃k (x)
Fk (x)
Kr (x)
Pr (x)
Pr (x)
= einx
= eiξ·x
= sin((k + 12 )x)/ sin( 12 x) (j¡dro Dirichleta)
= sin(kx)/ tan( 21 x) (zmodykowane j¡dro Dirichleta)
1
= k+1
(sin(( k+1
)x)/ sin( 12 x))2 (j¡dro Fejéra)
2
= (4πr)−d/2 exp(−|x|2 /(4r)) (j¡dro GaussaWeierstrassa)
= Γ( d+1
)π −(d+1)/2 t(t2 + |x|2 )−(d+1)/2 (j¡dro Poissona w Rd )
2
1
= 2π (1 − r2 )/(1 − 2r cos x + r2 ) (j¡dro Poissona dysku)
Wybrane operatory:
Sk f = f ∗ Dk
S̃k f = f ∗ D̃k
σk f = f ∗ Fk
4
1.
Termin
analiza harmoniczna
Wprowadzenie
oznacza dziaª analizy matematycznej, który dotyczy re-
Sªownika j¦zyka polskiego PWN, sªowo
harmoniczny oznacza zbudowany na zasadach harmonii muzycznej. W tym znaczeniu
harmonia to sposób ª¡czenia i budowy akordów w utworze muzycznym, jeden z trzech obok melodii i rytmu elementów muzyki.
prezentacji funkcji za pomoc¡ fal prostych. Wg
Które akordy brzmi¡ harmonijnie?
D¹wi¦k dociera do naszych uszu w postaci fal
akustycznych, tj. regularnych drga« cz¡steczek powietrza. Fale takie mo»na opisa¢ za
pomoc¡ funkcji
f (t),
opisuj¡cej zmiany ci±nienia w czasie. Na podstawie eksperymentów
dawniej u»ywano np.
strun, dzi± mo»na do tego zadania wykorzysta¢ komputer stwierdzono, »e dobrze brzmi¡ d¹wi¦ki opisane za pomoc¡ funkcji trygonometrycznych,
o ile wspóªczynniki cz¦sto±ci tworz¡ uªamki o niewielkich licznikach i mianownikach. Na
przykªad akord a-moll, nawet w najsurowszej postaci:
sin(440 · 2πt) + sin(528 · 2πt) + sin(704 · 2πt) + sin(880 · 2πt)
528
880
= 65 , 704
= 43 , 704
= 54 .
440
528
d¹wi¦ki o podobnych cz¦stotliwo±ciach, na przykªad:
brzmi poprawnie; przy tym
Natomiast gdy zªo»ymy dwa
sin(440 · 2πt) + sin(460 · 2πt),
otrzymamy d¹wi¦k przykry dla ucha.
Zamieniaj¡c funkcje trygonometryczne na inne funkcje okresowe otrzymamy bardziej
zªo»one d¹wi¦ki; fale sinusoidalne maj¡ najbardziej surowe brzmienie. Czy ka»dy d¹wi¦k
mo»na rozªo»y¢ na fale sinusoidalne? W du»ym uproszczeniu tak! Wªa±nie to zagadnienie le»y u podstaw analizy harmonicznej.
W pierwszej cz¦±ci kursu zajmiemy si¦ rozkªadem sygnaªów okresowych, czyli badaniem
szeregów Fouriera. Próba analogicznego rozkªad dowolnych sygnaªów prowadzi do transformaty Fouriera, któr¡ zajmiemy si¦ od razu w wersji wielowymiarowej.
Uogólnienia
tych podstawowych koncepcji skªadaj¡ si¦ na analiz¦ harmoniczn¡, na przykªad:
•
badaniem transformaty Fouriera na grupach topologicznych zajmuje si¦ abstrakcyjna teoria harmoniczna;
•
rozszerzenie teorii dla podzbiorów przestrzeni euklidesowych, rozmaito±ci itp. prowadzi do teorii spektralnej operatora Laplace'a z warunkami brzegowymi;
•
dokªadna analiza wªasno±ci transformaty Fouriera wi¡»e si¦ z teori¡ caªek singularnych.
Analiza harmoniczna jest silnie zwi¡zana z analiz¡ funkcjonaln¡, znajduje zastosowania
w teorii liczb, zyce kwantowej, teorii równa« ró»niczkowych, a tak»e wielu naukach
stosowanych. Z transformat¡ Fouriera zetkn¡ª si¦ prawdopodobnie ka»dy: wykorzystuje
si¦ j¡ m.in.
sygnaªów.
w kompresji d¹wi¦ku i obrazu, rezonansie magnetycznym i przetwarzaniu
5
2.
Szeregi Fouriera denicje i teoria L 2
Przez niemal caªy niniejszy kurs b¦dziemy rozwa»ali funkcje okre±lone na na odcinku
którego ko«ce zostaªy uto»samione. Zbiór ten oznaczamy T. Formalnie deniuT jako grup¦ ilorazow¡ R/(2π Z). W praktyce nie b¦dziemy jednak odró»nia¢ x ∈ R
jego klasy abstrakcji x + 2π Z. Czasem dla wygody identykujemy T z przedziaªem
[−π, π],
jemy
od
[−π, π)
lub
[0, 2π).
B¦dziemy uto»samia¢ funkcje okre±lone na
na
R.
Ci¡gªa funkcja
f
na
T
T z funkcjami 2π -okresowymi okre±lonymi
f (−π) = f (π). Przeprzestrzeni jest kf k∞ =
musi zatem speªnia¢ warunek
T oznaczamy C(T); norm¡ na tej
sup{|f (x)| : x ∈ T}. Dla p ∈ [1, ∞) przez Lp (T) oznaczamy zbiór funkcji mierzalp
nych f , dla których |f | jest caªkowalna na T. Przestrze« Lebesgue'a na T, oznap
p
czana L (T), to formalnie przestrze« klas abstrakcji funkcji z L (T) w relacji równo±ci
R
p
1/p
prawie wsz¦dzie, z norm¡ kf kp = (
te» zbiór
T |f (x)| dx) . Tradycyjnie deniujemy
∞
∞
mierzalnych funkcji ograniczonych L (T) i przestrze« klas abstrakcji L (T) z norm¡
kf k∞ = ess sup{|f (x)| : x ∈ T}. Zazwyczaj nie b¦dziemy przykªada¢ wagi do rozró»niep
p
nia mi¦dzy L (T) i L (T).
strze« ci¡gªych funkcji na
Twierdzenie 2.1. Funkcje
w
L (T).
Dowód.
2
en (x) = einx (n ∈ Z)
tworz¡ ortogonalny ukªad zupeªny
Zachodzi:
(
2π
en (x)em (x)dx =
ei(n−m)x dx =
0
−π
−π
Z
π
Z
π
gdy
gdy
n = m,
n 6= m.
Zupeªno±¢ wynika wprost z kolejnego lematu.
Lemat 2.2. Zbiór
(
P=
P
N
X
(zespolonych)
wielomianów trygonometrycznych :
)
αn en : N ≥ 1, α−N , ..., αN ∈ C
n=−N
jest g¦sty w przestrzeniach Banacha
C(T) i L p (T) dla p ∈ [1, ∞) (ale nie dla p = ∞).
en em = en+m , zbiór P jest zamkni¦ty ze wzgl¦du na dodawanie i mno»enie tworzy algebr¦ funkcji. Ta algebra skªada si¦ z ci¡gªych funkcji na T oraz: (1)
zawiera staª¡ (e0 (z) = 1); (2) rozdziela punkty (e1 (z) = e1 (w) ⇐⇒ z = w ) i (3) jest
zamkni¦ta ze wzgl¦du na sprz¦»enie zespolone (en (z) = e−n (z)), zatem na mocy twierdzenia Stone'aWeierstrassa ka»d¡ funkcj¦ ci¡gª¡ f na T mo»na przybli»y¢ jednostajnie
wielomianami trygonometrycznymi. Innymi sªowy, P jest g¦sty w przestrzeni Banacha
C(T) funkcji ci¡gªych na T.
p
Niech p ∈ [1, ∞). Zbie»no±¢ jednostajna jest mocniejsza ni» zbie»no±¢ w L (T),
p
zatem domkni¦cie P w L (T) zawiera C(T). Poniewa» C(T) jest g¦stym podzbiorem
L p (T) (jest to wniosek z twierdzenia uzina i jednowymiarowej wersji lematu Urysohna),
p
p
domkni¦cie P w L (T) zawiera caªe L (T).
Dowód.
Poniewa»
wiczenie 2.3. Dlaczego
P
nie jest g¦stym podzbiorem
L ∞ (T)?
6
wiczenie 2.4. Wywnioskuj, »e funkcje
sin(nx) (n ≥ 1)
fn (x) = cos(nx) (n ≥ 0) oraz gn (x) =
L 2 (T).
tworz¡ (ª¡cznie) ukªad ortogonalny zupeªny na
ortogonalny zupeªny na
L ([0, π]).
ortogonalny zupeªny na
fn (x) = cos(nx) (n ≥ 0)
tworz¡ ukªad
fn (x) = sin(nx) (n ≥ 1)
tworz¡ ukªad
2
L ([0, π]).
2
wiczenie 2.7. Podaj analogiczne cztery zupeªne ukªady ortogonalne funkcji w
L 2 ([a, b])
dla
a, b ∈ R, a < b.
Z ogólnej teorii przestrzeni Hilberta wynika, »e zupeªny ukªad ortogonalny wektorów
jest baz¡: ka»dy wektor mo»na zapisa¢ jako niesko«czon¡ kombinacj¦ liniow¡ wektorów
bazowych na dokªadnie jeden sposób. St¡d natychmiast wynika twierdzenie sformuªowane
2
1
1
zaraz po poni»szej denicji. Przypomnijmy, »e L ( ) ⊆ L ( ) oraz L ( ) ⊆ M ( ),
1
je±li uto»samimy f ∈ L ( ) z miar¡ f (x)dx o g¦sto±ci f (x). Wspóªczynniki fˆ(n) deniu1
jemy ogólniej, dla f ∈ L ( ), a nawet dla sko«czonych zespolonych miar borelowskich
T
µ
na
T;
T
T
przestrze« takich miar oznaczamy przez
uto»samiamy czasem z ich
2π -okresowymi
T
M (T).
T
Uwaga:
miary
T
µ ∈ M (T)
rozszerzeniemi, ale nale»y pami¦ta¢, »e takie
rozszerzenie formalnie mo»e nie by¢ miar¡ (rozkªad Hahna takiego rozszerzenia mo»e mie¢
niesko«czone wszystkie skªadowe: cz¦±¢ dodatni¡ cz¦±ci rzeczywistej itd.).
Definicja 2.8. Je±li
funkcji
f ∈ L 1 (T) i n ∈ Z, to okre±lamy wspóªczynniki szeregu Fouriera
f:
fˆ(n) =
Z
π
Z
f (x)en (x)dx =
−π
Analogicznie je±li
miary
π
f (x)e−inx dx.
−π
µ ∈ M (T)
i
n ∈ Z,
to okre±lamy
wspóªczynniki szeregu Fouriera
µ:
Z
µ̂(n) =
T
e−inx µ(dx).
p ∈ [1, ∞) przez `p oznaczamy
podwójnie niesko«czonych ci¡gów zespoP
P przestrze«
p 1/p
p
.
lonych (an : n ∈ Z), dla których
n∈Z |an | )
n∈Z |an | < ∞, z norm¡ k(an )kp = (
∞
Podobnie `
to przestrze« ci¡gów ograniczonych, z norm¡ k(an )k∞ = sup{|an | : n ∈ Z}.
Czasem zamiast an piszemy a(n), za± zamiast (an ) po prostu a.
Dla
Twierdzenie 2.9. Je±li
(2.1)
f ∈ L 2 (T),
to
fˆ ∈ `2
oraz
kfˆk2 =
√
2π kf k2 .
Ponadto
∞
1 X ˆ
f (n)en ;
f=
2π n=−∞
w powy»szej równo±ci (zespolony) szereg Fouriera funkcji f jest bezwzgl¦dnie zbie»ny
2
2
w L ( ). Co wi¦cej, ka»dy ci¡g (an ) ∈ ` jest ci¡giem wspóªczynników szeregu
P∞
1
2
Fouriera pewnej funkcji f ∈ L ( ), mianowicie f =
n=−∞ an en .
2π
T
T
transformacja Fouriera, przyporz¡dkowuj¡ca funkcji f ∈ L 2 (T) jej ci¡g
1
2
wspóªczynników Fouriera fˆ ∈ ` , jest z dokªadno±ci¡ do czynnika √
operatorem
2π
Innymi sªowy
7
1
ci¡gu √ fˆ jest odwzorowaniem unitarnym). Z
2π
twierdzenia 2.9 ªatwo otrzymujemy rozwini¦cie w klasyczny (rzeczywisty ) szereg Fouriera.
unitarnym (tj. przyporz¡dkowanie
∞
X
f (x) = a0 +
(2.2)
f
f ∈ L 2 (T),
to
(an cos(nx) + bn sin(nx))
n=1
(szeregi bezwzgl¦dnie zbie»ne w
Z
L 2 (T)),
gdzie dla
n ≥ 1,
π
1
f (x)dx,
2π −π
Z
1 π
an =
f (x) cos(nx)dx,
π −π
Z
1 π
f (x) sin(nx)dx.
bn =
π −π
a0 =
Dowód.
Na mocy twierdzenia 2.9,
2πf (x) =
∞
X
fˆ(n)einx
n=−∞
= fˆ(0) +
∞
X
(fˆ(n) + fˆ(−n)) cos(nx) +
(ifˆ(−n) − ifˆ(n)) sin(nx).
n=1
n=1
Ponadto
∞
X
fˆ(0) = 2πa0 , fˆ(n) + fˆ(−n) = 2πan , ifˆ(−n) − ifˆ(n) = 2πbn .
Wspóªczynniki
an
i
bn
w twierdzeniu s¡ poprawnie okre±lone dla
f ∈ L 1 (T).
Zbie»-
no±¢ szeregu (2.2) w tym przypadku w jakimkolwiek sensie nie jest oczywista, wªa±nie
tym zagadnieniem (w wersji zespolonej) zajmowa¢ si¦ b¦dziemy przez kilka nast¦pnych
rozdziaªów. Dla podkre±lenia ±cisªego zwi¡zku funkcji i jej szeregu Fouriera przy braku
zbie»no±ci punktowej w ogólnym przypadku, cz¦sto pisze si¦
∞
X
(an cos(nx) + bn sin(nx)),
f (x) ∼ a0 +
n=1
co odczytujemy: funkcji
f
odpowiada szereg Fouriera po prawej stronie.
Klasyczny szereg Fouriera (2.2) jest wa»ny przede wszystkim w zastosowaniach, gdy
rozwa»any sygnaª ma warto±ci rzeczywiste. W sformuªowaniach twierdze«, dowodach, a
tak»e w niektórych zastosowaniach (gdy sygnaª ma warto±ci zespolone) zazwyczaj wygodniej jest korzysta¢ z zespolonej wersji (2.1).
wiczenie 2.11. Znajd¹ rozwini¦cia w (zespolony) szereg Fouriera funkcji
f1 (x) = 1,
f2 (x) = x,
f3 (x) = |x|,
f4 (x) = 1(0,π) (x) − 1(−π,0) (x),
f5 (x) = |sin x| ,
f6 (x) = sin x2
(wszystkie funkcje okre±lone na przedziale
[−π, π)).
wiczenie 2.12. Znajd¹ rozwini¦cia w (zespolony) szereg Fouriera miary
δa
(gdzie
δa (E) = 1E (a)
jest miar¡ Diraca skupion¡ w
a).
δ0 i ogólniej
8
wiczenie 2.13. Sprawd¹, »e je±li
L 1 (T), a1 , a2 ∈ C).
f = a1 f 1 + a2 f 2 ,
to
wiczenie 2.14. Wywnioskuj z twierdzenia 2.10, »e je±li
f (x) = a0 +
∞
X
fˆ = a1 fˆ1 + a2 fˆ2 (f1 , f2 ∈
f ∈ L 2 ([0, π]),
to
an cos(nx)
n=1
(szereg
cosinusów bezwzgl¦dnie
Z
1 π
a0 =
f (x)dx,
π 0
L 2 ([0, π])), gdzie dla n ≥ 1,
Z
2 π
an =
f (x) cos(nx)dx.
π 0
zbie»ny w
wiczenie 2.15. Udowodnij analogicznie, »e je±li
f (x) =
∞
X
f ∈ L 2 ([0, π]),
to
bn sin(nx)
n=1
(szereg
sinusów bezwzgl¦dnie zbie»ny
Z
2 π
bn =
f (x) sin(nx)dx.
π 0
w
L 2 ([0, π])),
gdzie dla
n ≥ 1,
wiczenie 2.16. Wykorzystuj¡c poprzednie ¢wiczenia i zwi¡zek pomi¦dzy ró»nymi
rodzajami szeregów Fouriera (zespolony, cosinusów, sinusów), znajd¹ rozwini¦cia w
szereg sinusów i szereg cosinusów funkcji
f1 (x) = 1,
f2 (x) = x,
(wszystkie funkcje okre±lone na przedziale
f3 (x) = sin x
[0, π]).
9
3.
Szeregi Fouriera wªasno±ci wspóªczynników
µ ∈ M (T) zdeniowane
Z
kµk = sup f (x)µ(dx) : f ∈ C(T), kf k∞ ≤ 1 .
Przypomnijmy, »e wahanie caªkowite miary
jest wzorem
T
Dla miar rzeczywistych równowa»nie
kµk = µ+ (T) + µ− (T),
gdzie
µ = µ+ − µ−
µ. Podobny wzór w przypadku zespolonym nie ma miejsca,
kµk ≤ (Re µ)+ (T) + (Im µ)+ (T) + (Re µ)− (T) + (Im µ)− (T) ≤ 2kµk.
rozkªadem Hahna miary
zachodzi
jest
ale
Pierwszy wynik tego rozdziaªu to elementarne oszacowanie normy supremum wspóªczynników.
Fakt 3.1. Je±li
dla
f ∈ L (T).
1
Je±li miara
µ
µ ∈ M (T),
to
µ̂ ∈ `∞ i kµ̂k∞ ≤ kµk.
jest nieujemna, to
nieujemn¡ funkcj¡, to
kµk = µ(T) = µ̂(0).
kf k1 = fˆ(0).
W szczególno±ci
Podobnie je±li
kfˆk∞ ≤ kf k1
f ∈ L 1 (T)
jest
Powy»szy fakt mo»na wi¦c wyrazi¢ w nast¦puj¡cy
sposób.
µ 7→ µ̂ (transformacja Fouriera ) jest ci¡gªym opera`∞ , o normie równej 1. Podobnie przeksztaªcenie f 7→ fˆ
1
∞
liniowym z L (T) do `
o normie równej 1.
Wniosek 3.2. Przeksztaªcenie
torem liniowym z
M (T)
jest ci¡gªym operatorem
do
en (x) = einx s¡ ci¡gªe, transformacja Fouriera pozostaje ci¡gªym
∞
operatorem liniowym z M (T) od ` , je±li w M (T) rozwa»ana jest topologia *sªabej
∞
zbie»no±ci, za± w `
topologia zbie»no±ci punktowej.
1
Dla funkcji z L (T) tez¦ wniosku mo»na istotnie wzmocni¢. Zbiór ci¡gów (an : n ∈ Z)
speªniaj¡cych warunek limn→±∞ an = 0 oznaczamy przez c0 .
Poniewa» funkcje
Lemat Riemanna-Lebesgue'a ).
Lemat 3.3 (
Je±li
f ∈ L 1 (T),
to
sªowy, transformacja Fouriera jest ci¡gªym operatorem liniowym z
Dowód.
Teza lematu jest prawdziwa, gdy
f
fˆ ∈ c0 . Innymi
L 1 (T) do c0 .
jest wielomianem trygonometrycznym, bo-
tylko dla sko«czenie wielu n, zatem fˆ ∈ c0 . Wielomiany trygo1
nometryczne s¡ g¦ste w L , a transformacja Fouriera jest ci¡gªym operatorem liniowym
1
∞
∞
1
z L w ` . Poniewa» c0 jest domkni¦tym podzbiorem ` , obraz L przez transformacj¦
wiem wówczas
fˆ(n) 6= 0
Fouriera jest zawarty w
c0 .
W badaniu zbie»no±ci szeregów Fouriera bardzo istotna jest szybko±¢ zaniku wspóª2
2
1
czynników. Wiemy ju», »e je±li f ∈ L ( ), to fˆ ∈ ` , je±li f ∈ L ( ), to fˆ ∈ c0 , za±
∞
je±li µ ∈ M ( ), to µ̂ ∈ ` . Kolejny rezultat podaje oszacowanie wspóªczynników funkcji
T
T
T
ró»niczkowalnych.
f : R → C jest dystrybuant¡ sko«czonej miary
zespolonej µ ∈ M (R), je±li µ([x, y)) = f (y) − f (x) dla x, y ∈ R. Analogicznie
mówimy, »e f : T → C jest dystrybuant¡ miary µ ∈ M (T), je±li µ([x, y)) = f (y) −
f (x) dla x, y ∈ R (uto»samiamy f i µ z ich 2π -okresowymi rozszerzeniami).
Definicja 3.4. Mówimy, »e funkcja
10
f jest dystrybuant¡ µ ∈ M (T), to ze wzgl¦du na okresowo±¢
f mamy µ(T) = f (π) − f (−π) = 0. Ponadto f (x) = f (0) + µ([0, x)). Je±li f jest
dystrybuant¡ µ, to kµk jest równe wahaniu caªkowitemu funkcji f na przedziale [−π, π].
Je±li funkcja f : T → C ma sko«czone wahanie caªkowite na przedziale [−π, π], to ma
granice jednostronne f+ (x), f− (x) dla ka»dego x ∈ T, f = f− = f+ poza co najwy»ej
przeliczaln¡ liczb¡ punktów oraz f− jest dystrybuant¡ pewnej miary µ ∈ M (T).
Zauwa»my, »e je±li
Lemat 3.5. Je±li
f
T
W szczególno±ci je±li f ∈ C( ) jest
L 1 ( ), to ĝ(n) = infˆ(n) dla n ∈ .
T
Dowód.
µ ∈ M (T), to µ̂(n) = infˆ(n) dla n ∈ Z.
0
ró»niczkowalna w ka»dym punkcie i g = f ∈
jest dystrybuant¡ miary
Z
Na mocy twierdzenia Fubiniego, dla
Z
n ∈ Z \ {0},
Z
e−inx µ(dx) =
(e−inx − 1)µ(dx)
[0,2π)
[0,2π)
Z
Z
Z
Z
−iny
= in
e
dy µ(dx) = in
µ(dx) e−iny dy
[0,2π)
(x,2π)
[0,2π)
[0,y)
Z
Z
= in
(f (y) − f (0))e−iny dy = in
f (y)e−iny dy = infˆ(n).
µ̂(n) =
[0,2π)
[0,2π)
Druga cz¦±¢ lematu odpowiada przypadkowi
Wniosek 3.6. Je±li
k≥0
oraz
f ∈ C k (T),
k jest ci¡gªa na T
lim nk |fˆ(n)| = 0.
pochodna rz¦du
µ(dx) = g(x)dx.
k -krotnie ró»niczkowalna
(k)
wystarcza f
∈ L 1 (T)), to
tj.
(w istocie
f
jest
i jej
n→±∞
Dowód. Stosuj¡c k -krotnie lemat, otrzymujemy fˆ(n) = (in)−k ĝ(n),
g ∈ L 1 (T), to ĝ ∈ c0 na mocy lematu Riemanna-Lebesgue'a.
wiczenie 3.7. Dlaczego powy»szy wniosek nie stosuje si¦ do
gdzie
g = f (k) .
Skoro
f (x) = x
mimo, »e
funkcja ta jest dowolnie wiele razy ró»niczkowalna?
wiczenie 3.8. Znaj¡c wspóªczynniki szeregu Fouriera funkcji
rozwini¦cie funkcji
f (x) = x
2
(w obu przypadkach
g(x) = x3
(ponownie
wyznacz
x ∈ [−π, π)).
wiczenie 3.9. W podobny sposób znajd¹ rozwini¦cie funkcji
nast¦pnie
f (x) = x,
f (x) = x3 − π 2 x,
a
x ∈ [−π, π)).
π
) = −en (x). Ta wªasno±¢ pozwala uzyska¢
|n|
dokªadniejsze oszacowania, wyra»one przy pomocy moduªu ci¡gªo±ci funkcji.
Funkcji
en (x) = einx
speªnia
en (x +
Definicja 3.10. Dla dowolnej funkcji
f :T→C
okre±lamy jej
moduª ci¡gªo±ci
ωf (ε) = sup {|f (x) − f (y)| : x, y ∈ R, |x − y| ≤ ε} ;
w powy»szym wzorze
Zauwa»my, »e
f
f
oznacza
2π -okresowe
rozszerzenie funkcji.
jest ci¡gªa wtedy i tylko wtedy, gdy
ωf (ε) → 0
gdy
ε → 0+ .
11
Lemat 3.11. Je±li
f ∈ L1 (T) i n ∈ Z \ {0},
to
π
|fˆ(n)| ≤ πωf ( |n|
).
Dowód.
Z okresowo±ci wynika, »e
2fˆ(n) =
Z
π
f (x)e
−inx
Z
π
π+ n
dx +
f (x)e−inx dx.
π
−π+ n
−π
x = y w pierwszej caªce oraz x = y + πn w drugiej
Z π
Z π
−iny
2fˆ(n) =
f (y)e
dy +
f (y + πn )e−iny e−iπ dx
−π
Z−π
π
=
f (y) − f (y + πn ) e−iny dy.
Podstawiaj¡c
caªce, otrzymujemy
−π
St¡d
1
|fˆ(n)| ≤
2
Z
π
−π
f (y) − f (y + π ) dy ≤ πωf ( π ).
n
|n|
Wniosek 3.12. Je±li funkcja
α ∈ (0, 1]
i staª¡
C > 0,
f ∈ C(T)
speªnia warunek Höldera w wykªadnikiem
tj.
|f (x) − f (y)| ≤ C|x − y|α
x, y ∈ R,
Cπ 1+α
|fˆ(n)| ≤
|n|α
dla wszystkich
to
dla wszystkich
n ∈ Z \ {0}.
α ∈ (−1, 1) oraz f (x) = |x|α
przy n → ±∞.
wiczenie 3.13. Niech
1+α
|n|
fˆ(n)
ma granic¦
dla
x ∈ [−π, π).
Uzasadnij, »e
a ∈ (0, π), ϑ ∈ (0, 12 ] i niech In b¦dzie ci¡giem przybli»e«
zbioru Cantora: I0 = (−a, a), Ik+1 = (−(1−ϑ)a+ϑIk )∪((1−ϑ)a+ϑIk ) dla k = 0, 1, ...
1 k
Niech ponadto fk (x) = ( ) 1Ik (x). Uzasadnij, »e
2ϑ
fk+1 (x) =
fk ( x+a
− a) + fk ( x−a
+ a)
ϑ
ϑ
.
2ϑ
Wykorzystaj ten fakt do indukcyjnego dowodu równo±ci
Z
a
fk (x)e
−iξx
−a
dla
ξ 6= 0
oraz
k−1
2 sin(ϑk aξ) Y
dx =
cos(ϑj (1 − ϑ)aξ)
k
ϑ ξ
j=0
k = 0, 1, ...
µ oznacza *sªab¡ granic¦ ci¡gu miar fk (x)dx z poprzedniego
¢wiczenia, czyli miar¦ Cantora (dlaczego granica w istocie istnieje?). Wywnioskuj, »e
∞
Y
µ̂(n) = 2a
cos(ϑj (1 − ϑ)na).
j=0
12
Badanie wªasno±ci powy»szego niesko«czonego iloczynu jest bardzo skomplikowanym
zadaniem. Znajd¹ informacje na temat twierdzenia WieneraWintnera dotycz¡cego
tego iloczynu.
13
Szeregi Fouriera j¡dro Dirichleta
4.
Szereg Fouriera funkcji
f ∈ L 2 (T)
L 2 (T).
jest do niej zbie»ny w
Cz¦sto jednak bar-
dziej interesuj¡ce s¡ inne rodzaje zbie»no±ci: punktowa, jednostajna, zbie»no±¢ prawie
1
wsz¦dzie czy zbie»no±¢ w L ( ). Tego typu pytania zwykle s¡ bardzo trudne. W po-
T
ni»szym rozdziale zajmiemy pierwsz¡ istotn¡ obserwacj¡: (symetryczne) sumy cz¦±ciowe
f mo»na przedstawi¢ w postaci splotu f
splot f ∗ g ∈ L 1 (T) funkcji f, g ∈ L 1 (T)
szeregu Fouriera funkcji
Przypomnijmy, »e
z tzw. j¡drem Dirichleta.
okre±lony jest wzorem
π
Z
f (x − y)g(y)dy
f ∗ g(x) =
−π
dla prawie wszystkich
mowanie odbywa si¦ w
x.
W powy»szym wzorze, tak jak w wielu innych poni»ej, odej-
T; równowa»nie:
uto»samiamy funkcje na
T z ich 2π -okresowymi
rozszerzeniami. Uzasadnijmy krótko poprawno±¢ powy»szej denicji.
Na mocy twierdzenia Fubiniego (borelowska) funkcja
jako funkcja dwóch zmiennych.
w szczególno±ci wzgl¦dem
y
s¡ dobrze okre±lone i sko«czone dla prawie wszystkich
czyli
x.
atwo sprawdzi¢, »e
2π -okresow¡. Ponadto
Z π Z π
Z π
|f (y)||g(x − y)|dy dx
|f ∗ g(x)|dx ≤
−π
−π
−π
Z π Z π
Z
|g(x − y)|dx |f (y)|dy = kgk1
≤
−π
jest caªkowalna
Wobec tego caªki wzgl¦dem ka»dej ze zmiennych warto±ci drugiej zmiennej w tym przypadku
funkcj¡
f (y)g(x − y)
−π
f ∗ g(x)
jest
π
|f (y)|dy = kf k1 kgk1 ,
−π
kf ∗ gk1 ≤ kf k1 kgk1 .
Analogicznie deniujemy splot funkcji i miary oraz dwóch miar:
Z
Z
f (x − y)µ(dy),
µ ∗ f (x) =
dla
f ∈ L 1 (T)
oraz
ν(E − y)µ(dy)
µ ∗ ν(E) =
[−π,π)
[−π,π)
µ, ν ∈ M (T).
Dowody poprawno±ci tych denicji s¡ podobne i je
[−π, π) mo»na zast¡pi¢
dowolnym innym jednostronnie domkni¦tym przedziaªem o dªugo±ci 2π .
Pomocne b¦d¡ nast¦puj¡ce dwie obserwacje. Je±li f ∈ C(T), a ci¡g xn ∈ T jest zbie»ny
do x ∈ T, to f (xn − y) d¡»y do f (x − y) jednostajnie wzgl¦dem y ∈ T. Wobec tego dla
ka»dej miary µ ∈ M (T) splot µ ∗ f jest funkcj¡ ci¡gª¡. Ponadto dla dowolnej funkcji
f ∈ L ∞ (T) istnieje ci¡g funkcji fn ∈ C(T) zbie»ny do f prawie wsz¦dzie i speªniaj¡cy
z
dla z 6= 0, sign 0 = 0.
warunek kfn k∞ ≤ kf k∞ . Dla wygody okre±lmy sign z =
|z|
pomijamy. We wszystkich tych denicjach przedziaª caªkowania
wiczenie 4.1. Udowodnij, »e splot jest przemienny, ª¡czny i dwuliniowy.
kf ∗ gk∞ ≤ kf k1 kgk∞ dla f ∈ L 1 (T) i g ∈ L ∞ (T),
2
a tak»e kf ∗ gk∞ ≤ kf k2 kgk2 dla f, g ∈ L (T). Udowodnij, »e kµ ∗ f k ≤ kµkkf k1 ,
kµ ∗ νk ≤ kµkkνk dla f ∈ L 1 (T) oraz µ, ν ∈ M (T).
wiczenie 4.2. Zauwa», »e
f ∈ C(T) okre±lmy Λf = f ∗ g(0). Sprawd¹,
»e Λ jest ci¡gªym funkcjonaªem liniowym na C(T). Przybli»aj¡c funkcj¦ sign g(x)
przy pomocy funkcji ci¡gªych, wyznacz norm¦ Λ.
wiczenie 4.3. Niech
g ∈ L 1 (T).
Dla
14
p ∈ [1, ∞) oraz Ty f (x) = f (x + y) dla y ∈ T
p
odwzorowanie y 7→ Ty f jest ci¡gªe z T w L (T).
Lemat 4.4. Niech
Wówczas
Dowód.
oraz
f ∈ Lp (T).
f ∈ C(T), y, z ∈ R oraz |y − z| < ε, to
Z π
p
|f (x + y) − f (x + z)|p dx ≤ 2π(ωε (f ))p ,
kTy f − Tz f kp =
Je±li
−π
Ty f zale»y od y w sposób ci¡gªy.
p
Niech teraz f ∈ L (T) i niech ε > 0. Istnieje funkcja g ∈ C(T) taka, »e kf − gkp < ε.
Ponadto udowodnili±my ju», »e istnieje liczba δ > 0 taka, »e je±li y, z ∈ R oraz |y −z| < δ ,
to kTy g − Tz gkp ≤ ε. Wobec tego
zatem w istocie
kTy f − Tz f kp ≤ kTy f − Ty gkp + kTy g − Tz gkp + kTz g − Tz f kp ≤ 3ε.
Wniosek 4.5. Je±li
Dowód.
f ∈ L 1 (T), g ∈ L ∞ (T),
to
f ∗ g ∈ C(T).
T
Gdy ci¡g xn ∈
jest zbie»ny do x ∈ T , to funkcje f (xn
1
d¡»¡ w L ( ) do funkcji f (x − y). Teza wynika z lematu 4.4.
T
Warto zwróci¢ uwag¦ na to, »e je±li
g ∈ L 1 (T).
wiczenie 4.6. Niech
Sprawd¹, »e
T
f, g ∈ L 1 (T),
to
f ∗g
− y)
(zmiennej
y ∈ T)
nie musi by¢ funkcj¡ ci¡gª¡.
f ∈ L 1 (T) okre±lmy T f (x) = f ∗ g .
1
∞
liniowym na L (T), L (T) i C(T). Wy-
Dla
jest ci¡gªym operatorem
znacz norm¦ tego operatora na ka»dej z tych przestrzeni (mo»esz rozwa»y¢ wyª¡cznie
przypadek, gdy
g ∈ C(T) i wróci¢ do tego zadania w peªnej ogólno±ci po rozdziale 6).
f ∈ L 1 (T) okre±lmy T f (x) = f ∗ g .
1
∞
Sprawd¹, »e T jest ci¡gªym operatorem liniowym z L (T) w L (T) i wyznacz jego
norm¦ (ponownie mo»esz rozwa»y¢ wyª¡cznie przypadek, gdy g ∈ C(T) i wróci¢ do
wiczenie 4.7. Niech
g ∈ L ∞ (T).
Dla
tego zadania w peªnej ogólno±ci po rozdziale 6).
Splot z odpowiednimi funkcjami próbnymi umo»liwia przybli»anie dowolnych funkcji
caªkowalnych funkcjami gªadkimi. Zagadnienie to b¦dzie rozwini¦te w rozdziale 6.
Sk f (x) =
f ∈ L 1 (T) i k ≥ 0,
to
k
1 X ˆ
f (n)einx
2π n=−k
(symetrycznymi) sumami cz¦±ciowymi szeregu Fouriera f . Dla k ≥ 1
deniujemy równie» zmodykowane sumy cz¦±ciowe szeregu Fouriera f wzorem
nazywamy
S̃k f (x) = 21 (Sk−1 f (x) + Sk f (x))
k−1
1 X ˆ
1 ˆ
f (n)einx +
=
(f (−k)e−ikx + fˆ(k)eikx ).
2π n=−k+1
4π
Dla spójno±ci okre±lamy
do miar
µ ∈ M (T).
S̃0 f (x) = 0.
Denicje te rozszerzamy w naturalny sposób
15
Warto podkre±li¢, »e
Sk
oraz
S̃k
L 1 (T),
s¡ operatorami liniowymi na
o warto±ciach
w zbiorze wielomianów trygonometrycznych. W nast¦pnym rozdziale zajmiemy si¦ kry-
Sk f (x). Poni»sze ¢wiczenie stwierdza, »e wystarczy w istocie bada¢
S̃k f (x), który ma nieco lepsze wªasno±ci. Z tego powodu w sformuªowaniach wyników b¦dziemy u»ywa¢ zwykªych sum cz¦±ciowych Sk f (x), natomiast w
dowodach b¦dziemy korzystali z wygodniejszych sum zmodykowanych S̃k f (x).
teriami zbie»no±ci
zbie»no±¢ ci¡gu
wiczenie 4.9. Udowodnij, »e
S̃k f (x) → a
Sk f (x) → a
k →∞
gdy
wtedy i tylko wtedy, gdy
k → ∞.
gdy
en (x) = einx (n ∈ Z) zachodzi Sk en = en gdy k ≥ |n|
0 ≤ k < |n|. Wyznacz analogicznie Sk f dla f (x) = cos(nx) oraz
wiczenie 4.10. Wyka», »e dla
Sk en = 0 gdy
f (x) = sin(nx).
oraz
g = Sk f ,
wiczenie 4.11. Uzasadnij, »e je±li
to
ĝ(n) = fˆ(n)
gdy
|n| ≤ k , ĝ(n) = 0
w przeciwnym przypadku.
wiczenie 4.12. Zauwa», »e
Sk
(zaw¦»one do
L 2 (T))
jest rzutem ortogonalnym na
przestrze« wielomianów trygonometrycznych stopnia co najwy»ej
denicji
stopnia
Sk f (x) =
Dk
jest
f ∈ L 1 (T)
1
2π
oraz
k ≥ 0,
to
f ∗ Dk (x),
j¡drem Dirichleta,
k
X
Dk (x) =
e
S̃k f (x) =
za±
D̃k
1
2π
f ∗ D̃k (x),
zmodykowanym j¡drem Dirichleta,
sin((k + 12 )x)
=
,
sin x2
inx
n=−k
D̃k (x) = 12 (Dk−1 (x) + Dk (x)) =
sin(kx)
tan x2
(prawe strony rozszerzaj¡ si¦ do ci¡gªych funkcji
Dowód.
x ∈ T).
Ze wzoru na sum¦ sko«czonego szeregu geometrycznego, dla
2πSk f (x) =
k Z
X
n=−k
Z
π
f (y)e
inx
dy e
Z
π
=
f (y)
−π
f (y)
ei(k+1/2)(x−y) − e−i(k+1/2)(x−y)
dy.
ei(x−y)/2 − e−i(x−y)/2
−π
wynika z to»samo±ci
eis − e−is = 2i sin s.
k
X
x∈T
!
ein(x−y) dy
n=−k
ei(k+1)(x−y) − e−ik(x−y)
dy
ei(x−y) − 1
−π
π
Dk (x)
f (y)
Z
=
−iny
−π
π
=
Wzór na
(przy naturalnej
wielomianu trygonometrycznego jakiej?).
Lemat 4.13. Je±li
gdzie
k
Ponadto
sin((k − 12 )s) + sin((k + 12 )s) = 2 sin(ks) cos 2s ,
sk¡d ªatwo wynika wzór na
D̃k (x).
wiczenie 4.14. Sporz¡d¹ wykresy kilku pierwszych funkcji
Dk i D̃k .
16
wiczenie 4.15. Udowodnij, »e dla
1
2π
Z
π
Dk (x)dx =
−π
Lemat 4.16. Dla
1
2π
Z
k≥1
zachodzi
π
D̃k (x)dx = 1.
−π
x ∈ (−π, π) \ {0} i k ≥ 1
zachodzi
2
|D̃k (x)| ≤ min(2k, |x|
).
Ponadto
D̃k (0) = 2k .
.
Dowód. Dla x ∈ (−π, π) zachodz¡ nierówno±ci | sin(kx)| ≤ min(k|x|, 1) oraz | tan x2 | ≥ |x|
2
2
x
St¡d |D̃k (x)| ≤ min(2k,
). Warto±¢ D̃k (0) = 2k wyznaczamy jako granic¦ sin(kx)/ tan 2
|x|
przy x → 0.
π
|Dk (x)| ≤ min(2k + 1, |x|
)
dla
x ∈ [−π, π] \ {0}
i
k ≥ 0.
wiczenie 4.18. Wyznacz normy operatorów
L (T).
Sk
i
S̃k ,
dziaªaj¡cych z
∞
L 1 (T)
w
C1 , C2 > 0, takie »e
Z π
n
sin( 2 x) sin( n2 x) 1
1
dx ≤ C2 ln(1 + n)
C1 ln(1 + n) ≤
dx ≤
2π −π tan x2 2π −π sin x2 wiczenie 4.19. Udowodnij, »e istniej¡ staªe
Z
π
n ≥ 0. Wykorzystaj to do oszacowania norm operatorów Sk
S̃k , dziaªaj¡cych na L 1 (T) oraz na C(T), a tak»e funkcjonaªów Λk f = Sk f (0)
Λ̃k f = S̃k f (0) na przestrzeni C(T).
dla wszystkich
oraz
oraz
wiczenie 4.20. Z poprzedniego ¢wiczenia i zasady BanachaSteinhausa wywnio-
skuj, »e istnieje funkcja
f ∈ L 1 (T),
Sk f nie jest zbie»ny w L 1 (T).
f ∈ C(T), dla której ci¡g Sk f (0) nie
dla której ci¡g
W podobny sposób wyka», »e istnieje funkcja
jest zbie»ny.
wiczenie 4.21. Udowodnij, »e ci¡g
1
2π
sin( n2 x) 4
sin x dx − π 2 ln(1 + n)
−π
2
Z
π
jest zbie»ny. (Nie jest to bardzo trudne, ale raczej nieprzydatne).
17
5.
Szeregi Fouriera zbie»no±¢ punktowa i jednostajna
J¡dro Dirichleta jest tak kªopotliwe, poniewa» zmienia znak. Wyklucza to zastosowanie
standardowych metod przy analizie splotu z
nieujemnymi
funkcjami o caªce
1, koncentru-
j¡cymi si¦ wokóª zera (te metody wykorzystamy przy badaniu zbie»no±ci Cesàro szeregów
Fouriera w nast¦pnym rozdziale). Potrzebny jest inny pomysª. Okazuje si¦, »e
S̃k f (x)
mo»na czasem wyrazi¢ przy pomocy wspóªczynników szeregu Fouriera innej funkcji. Pozwala to wykorzysta¢ znane nam ju» oszacowania wspóªczynników szeregu Fouriera do
oszacowa« tempa zbie»no±ci szeregu Fouriera.
Zaczniemy jednak od prostej obserwacji.
Fakt 5.1. Je±li
f ∈ L 1 (T),
wolnym punkcie) wtedy i tylko wtedy, gdy
zbie»ny jednostajnie.
Je±li zaªo»ymy, »e
f jest zbie»ny bezwzgl¦dnie (w doˆ
f ∈ `1 . W tej sytuacji jest on równie»
to szereg Fouriera
f ∈ L 2 (T)
oraz
fˆ ∈ `1 ,
L 2 (T)
f ∈ C(T).
to z jednoznaczno±ci granicy w
f jest funkcja f i przez to
T) jest trudniejszy zajmiemy
wynika, »e granic¡ jednostajn¡ szeregu Fouriera
1
Co zaskakuj¡ce, dowód tego faktu dla f ∈ L (
si¦ tym
w nast¦pnym rozdziale we wniosku 6.21.
Twierdzenie Bernsteina stwierdza, »e je±li funkcja f speªnia warunek Höldera z wy1
1
1
kªadnikiem α ∈ ( , 1] (ale nie α =
), to fˆ ∈ ` , wi¦c szereg Fouriera f jest zbie»ny
2
2
jednostajnie. Analogiczne twierdzenie Zygmunda z kolei wymaga, by f miaªa sko«czone
wahanie caªkowite i speªniaªa warunek Höldera z dowolnym wykªadnikiem
α ∈ (0, 1].
Za-
dowolimy si¦ du»o prostszym warunkiem, podanym w nast¦puj¡cym ¢wiczeniu. Z kolei
1
du»o ogólniejsze kryterium zbie»no±ci jednostajnej (ale nie wªasno±ci fˆ ∈ ` ) jest zawarte
w twierdzeniu 5.20.
wiczenie 5.2. Udowodnij, »e je±li
f
oraz
f0
speªnia warunek Höldera z
α ∈ (0, 1] (co jest cz¦sto zapisywane w postaci f ∈ C 1,α (T)),
bezwzgl¦dnie i jednostajnie zbie»ny do f .
dowolnym wykªadnikiem
to szereg Fouriera
f ∈ C 1 (T)
jest
W dalszej cz¦±ci tego rozdziaªu dowodzimy dokªadniejszych kryteriów zbie»no±ci. Konstrukcja niezbie»nych szeregów Fouriera jest raczej skomplikowana (i du»o mniej istotna),
po±wi¦cony jej jest rozdziaª 7.
Lemat 5.3. Je±li
h(y) =
f ∈ L 1 (T), k ≥ 1, x ∈ T, a ∈ C
oraz
f (x + y) + f (x − y) − 2a
,
2 tan y2
to
1
S̃k f (x) = a +
π
Je±li
h ∈ L 1 (T),
lematu
Z
π
h(s) sin(ks)ds.
0
1
S̃k f (x) = a + 4πi
(ĥ(k) − ĥ(−k)). W tym przypadku
RiemannaLebesgue'a S̃k f (x) i Sk f (x) d¡»¡ do a gdy k → ∞.
to
na mocy
18
Dowód.
Poniewa»
S̃k 1(x) = 1
dla
k ≥ 1 (1
oznacza funkcj¦ stale równ¡
1),
wi¦c
1
(f − a) ∗ D̃k (x)
S̃k f (x) = a + (S̃k (f − a)(x)) = a + 2π
Z π
1
sin(ky)
=a+
(f (x − y) − a)dy.
2π −π tan y2
Podstawiaj¡c now¡ zmienn¡ za
−y
w caªce po prawej stronie, otrzymujemy analogiczn¡
f (x + y) zamiast f (x − y). Wobec tego
Z π
1
sin(ky)
S̃k f (x) = a +
(f (x + y) + f (x − y) − 2a)dy
4π −π tan y2
Z π
1
=a+
h(y) sin(ky)dy.
2π −π
caªk¦ z wyra»eniem
Poniewa»
h
jest funkcj¡ nieparzyst¡, ostatnia caªka ma warto±¢
i
ĥ(−k)
2
− 2i ĥ(k).
Z powy»szego lematu natychmiast wynika wiele wa»nych twierdze«.
Kryterium DiniegoDirichleta ).
1 f (x + s) + f (x − s)
ds < ∞,
−
a
s
2
Twierdzenie 5.4 (
π
Z
(5.1)
0
to
Sk f (x) → a
gdy
f ∈ L 1 (T), x ∈ T, a ∈ C i
k → ∞.
Warunek (5.1) jest speªniony, je±li
s ∈ (−π, π).
Je±li
|f (x+s)−f (x)|/s jest funkcj¡ caªkowaln¡ wzgl¦dem
f w x.
W szczególno±ci wystarcza zatem hölderowska ci¡gªo±¢
zasada lokalizacji ). Je±li f1 , f2 ∈ L 1 (T), x ∈ T oraz f1 = f2
prawie wsz¦dzie w pewnym otoczeniu x, to Sk f1 (x) → a gdy k → ∞ wtedy i tylko
wtedy, gdy Sk f2 (x) → a gdy k → ∞.
Twierdzenie 5.5 (
Twierdzenie 5.6 (
Z
π
0
to
Sk f
test Diniego ).
Je±li
f ∈ C(T)
speªnia warunek
ωf (s)
ds < ∞,
s
d¡»y punktowo do
f
gdy
k → ∞.
f ∈ L 1 (T), x ∈ T , a ∈ C
oraz speªniony jest jeden z
warunków:
(a)
(b)
(c)
f
f
f
jest ró»niczkowalna w
jest ci¡gªa w
y→x
oraz
f
oraz
a = f (x);
i ma pochodne jednostronne w
ma granice jednostronne
lim+
(d)
x
x
f+ (x) i f− (x)
f (y) − f+ (x)
,
y−x
w
x,
lim−
y→x
x
oraz
a = f (x);
istniej¡ pochodne jednostronne
f (y) − f− (x)
y−x
a = 12 (f+ (x) + f− (x));
ma granice jednostronne
lim sup
y→x+
f+ (x) i f− (x)
|f (y) − f+ (x)|
< ∞,
|y − x|ε
w
x,
dla pewnego
lim sup
y→x−
ε ∈ (0, 1]
|f (y) − f− (x)|
<∞
|y − x|ε
zachodzi
19
a = 12 (f+ (x) + f− (x)),
to Sk f (x) → a gdy k → ∞. W szczególno±ci je±li poza sko«czonym zbiorem punktów
T funkcja f jest ci¡gªa i ró»niczkowalna oraz f 0 jest ograniczona, to szereg Fouriera
jest zbie»ny punktowo do f w ka»dym punkcie ci¡gªo±ci f oraz do ±redniej arytmetycznej granic jednostronnych f w punktach nieci¡gªo±ci.
oraz
Dowód.
Ka»dy nast¦pny warunek jest sªabszy od poprzedniego, wystarczy wi¦c zbada¢
ostatni. W kryterium DiniegoDirichleta
f (x + s) − f+ (x) f (x − s) − f− (x) 1 f (x + s) + f (x − s)
− a ≤ +
s
2
s
s
i prawa strona jest caªkowalna.
wiczenie 5.8. Badaj¡c rozwini¦cie w szereg Fouriera funkcji
∞
X
n=1
∞
X
1
,
(2n − 1)2
n=1
∞
X
1
,
n2
n=1
f (x) = |x|,
(−1)n−1
.
n2
f (x) = x,
(−1)n−1 (−1)n−1
+
.
3n − 2
3n − 1
wiczenie 5.9. Badaj¡c rozwini¦cie w szereg Fouriera funkcji
∞
X
(−1)n−1
n=1
2n − 1
∞ X
,
n=1
wiczenie 5.10. Znajd¹ informacje na temat tzw.
Wyniki uzyskane wy»ej mo»na nieco uogólni¢.
wyznacz
wyznacz
efektu Gibbsa .
Potrzebny do tego jest nast¦puj¡cy
techniczny lemat.
Lemat 5.11. Je±li
g
jest niemalej¡ca na
(0, δ), 0 ≤ g(s) ≤ ε dla s ∈ (0, δ) oraz k ≥ 0,
to
Z δ
sin(ks) g(s)
ds ≤ επ.
s
0
Dowód.
Niech
g− (s)
oznacza lewostronn¡ granic¦
ϕ(s) =
0
dla
s ≥ 0.
z tego
s
g−
s, niech µ b¦dzie
s ∈ (0, π)), i niech
w
miar¡ na
[0, π),
µ([0, s)) = g− (s) dla
Z s
sin t
1 − cos s
1 − cos t
dt =
+
dt
t
s
t2
0
której dystrybuant¡ jest
Z
g
(tj.
ϕ jest ograniczona, osi¡ga maksimum globalne równe ϕ(π) ∈ (0, π)
powodu 0 ≤ ϕ(s) < π . Na mocy twierdzenia Fubiniego
Z δ
Z δ Z
Z
sin(ks)
0
g(s)
ds =
µ(dt) kϕ (ks)ds =
(ϕ(kδ) − ϕ(kt))µ(dt).
s
0
0
[0,s)
[0,δ)
Funkcja
i
Wobec tego
Z δ
sin(ks) ds ≤ πµ([0, δ)) = πg− (δ) ≤ επ.
g(s)
s
0
20
twierdzenie Jordana ).
Twierdzenie 5.12 (
Je±li
f : T → C jest dystrybuant¡ pewnej
µ ∈ M (T), lub ogólniej funkcj¡ o sko«czonym wahaniu caªkowitym na
[−π, π], to Sk f jest zbie»ny punktowo do funkcji f ∗ (x) = 12 (f+ (x) + f− (x)), gdzie
f+ (x), f− (x) oznaczaj¡ granice jednostronne f w x.
miary
Dowód.
Na mocy lematu 5.3 i równo±ci
f+ (y) = f− (y) = f (y)
dla wszystkich
y
poza
zbiorem co najwy»ej przeliczalnym,
1
S̃k f (x) − f (x) =
π
∗
Z
π
0
(f− (x + s) − f+ (x)) + (f+ (x − s) − f− (x))
sin(ks)ds
2 tan 2s
g(s) = (f− (x + s) − f+ (x)) + (f+ (x − s) − f− (x)) (s ∈ [0, π]) ma sko«czone
wahanie caªkowite i jest lewostronnie ci¡gªa. Wobec tego g jest dystrybuant¡ pewnej
miary zespolonej ν na przedziale [0, π), a poniewa» g+ (0) = 0, ν({0}) = 0. Gdy wyj±ciowa
funkcja f jest dystrybuant¡ µ, to ν([0, s)) = g(s) = µ((x, x + s)) + µ((x − s, x)).
Na mocy twierdzenia Hahna miar¦ ν mo»na przedstawi¢ w postaci ν = ν1 −ν2 +iν3 −iν4
dla pewnych sko«czonych miar nieujemnych ν1 , ν2 , ν3 , ν4 na [0, π), przy czym νj ({0}) = 0
dla j = 1, 2, 3, 4. Niech gj (s) = νj ([0, s)). Otrzymujemy zatem
Funkcja
4 Z
1 X π gj (s) sin(ks) |S̃k f (x) − f (x)| ≤
ds .
π j=1 0
2 tan 2s
∗
ε > 0 i dobierzmy δ ∈ (0, π) tak, aby gj (δ) < ε dla j = 1, 2, 3, 4. Wówczas
Z π
Z
gj (s) sin(ks) δ
sin(ks) ds
ds ≤ gj (s)
2 tan 2s
s
0
0
Z π
1
(s)
1
(0,δ)
+ gj (s)
sin(ks)ds .
s −
2 tan
s
Ustalmy
0
2
Na mocy lematu 5.11, pierwszy skªadnik nie przekracza
d¡»y do zera gdy
k → ∞.
επ .
Poka»emy za chwil¦, »e drugi
Wówczas otrzymamy
4
1X
(επ + 0) = 4ε,
lim sup |S̃k f (x) − f (x)| ≤
π j=1
k→∞
∗
ε > 0 mo»e by¢ dowolnie maªy, twierdzenie zostanie udowodnione.
s −1
Zauwa»my, »e (2 tan )
− s−1 1(0,δ) (s) jest funkcj¡ ograniczon¡ na (0, π), zatem
2
!
1(0,δ) (|x|)
1
hj (x) = gj (|x|)
−
|x|
2 tan |x|
a poniewa»
2
(−π, π) \ {0}. Ponadto
1(0,δ) (s)
−
sin(ks)ds = 12 (iĥj (−k) − iĥj (k)).
s
jest funkcj¡ ograniczon¡ na
Z
π
gj (s)
0
1
2 tan 2s
Zbie»no±¢ wyra»enia po lewej stronie do zera wynika z lematu RiemannaLebesgue'a.
21
wiczenie 5.13. Udowodnij, »e szeregi Fouriera funkcji caªkowalnych mo»na caªko-
wa¢ wyraz po wyrazie nawet wtedy, gdy nie s¡ zbie»ne.
1
ci±lej: udowodnij, »e je±li f ∈ L ( ), a, b ∈
, a < b, to
T
b
Z
f (x)dx =
a
R
fˆ(0)(b − a)
1
+ lim
k→∞ 2π
2π
inb
e
fˆ(n)
X
n∈{−k,...,k}\{0}
− eina
,
in
przy czym szereg po prawej stronie jest zbie»ny nawet wtedy, gdy szereg Fouriera
funkcji
f
nie jest zbie»ny.
f ∈ L 1 (T)
Wywnioskuj, »e je±li
f (x) ∼ a0 +
∞
X
odpowiada klasycznemu szeregowi Fouriera
(an cos(nx) + bn sin(nx)),
n=1
to nawet je±li powy»szy szereg nie jest zbie»ny, zachodzi
b
Z
f (x)dx = a0 (b − a) +
a
∞ X
n=1
cos(nb) − cos(na)
sin(nb) − sin(na)
− bn
an
n
n
i szereg po prawej stronie jest zbie»ny.
wiczenie 5.14. Zapisz analogiczny wzór na
warunek
µ({a}) = µ({b}) = 0.
µ([a, b])
dla
Co wyra»a ten wzór, gdy
µ
µ ∈ M (T)
speªniaj¡cych
ma atom w
a
µ ∈ M (T)
lub
b?
T
o wªasno±ci µ( ) = 0 istRπ
nieje dokªadnie jedna dystrybuanta f miary µ, która speªnia warunek
f (x)dx = 0,
−π
tj. fˆ(0) = 0. Ponadto udowodnili±my ju», »e fˆ(n) = µ̂(n)/(in) dla n 6= 0. Wpro-
wiczenie 5.15. Zauwa», »e dla ka»dej miary
f = I(µ); gdy µ(dx) = g(x)dx, piszemy f = I(g).
1
1
Niech µ(dx) = δ0 (dx)−
dx, tj. µ(E) = 1E (0)− 2π
|E|. Udowodnij, »e dla k ≥ 1,
2π
wad¹my oznaczenie
(a)
∞
X
1
= (−1)k π I 2k (µ)(0),
2k
n
n=1
gdzie
I
2k
oznacza
2k -krotne
∞
X
(−1)n−1
n2k
n=1
= (−1)k−1 π I 2k (µ)(π),
I , tj. I 2k (µ) = I(I(...I(µ)...)).
k = 1 i k = 2.
zªo»enie operacji
(b) Wyznacz warto±ci powy»szych sum dla
(c) Przy pomocy komputera wyznacz warto±ci powy»szych sum dla kilku wi¦kszych
warto±ci
k.
(d) Podaj analogiczny sposób wyznaczania sum
∞
X
n=1
∞
X
(−1)n−1
.
2k
(2n
−
1)
n=1
1
,
(2n − 1)2k
Ostatnie twierdzenie tego rozdziaªu dotyczy zbie»no±ci jednostajnej.
oszacowa« wspóªczynników szeregu Fouriera funkcji
Wymaga ono
h
z lematu 5.3 nie wystarcza
π
kf k∞
ωf (s)
ds +
.
2
s
k
zbie»no±¢ do zera, któr¡ wykorzystywali±my powy»ej.
Lemat 5.16. Je±li
f ∈ L ∞ (T) i k ≥ 2,
kS̃k f − f k∞ ≤
Wobec tego ci¡gi
4ωf ( 2π
)
k
to
ωf ( πk ) ln k2
π2
+
+
π
2k
kS̃k f − f k∞ / ln(2 + k)
oraz
Z
π/k
kSk f − f k∞ / ln(2 + k)
s¡ ograniczone.
22
Dowód.
Niech
x∈T
h
i niech
b¦dzie funkcj¡ z lematu 5.3 dla
a = f (x).
Na mocy tego
lematu,
Z
π
Z
π−π/k
h(s + πk ) sin(ks)ds.
h(s) sin(ks)ds = −
π(S̃k f (x) − f (x)) =
−π/k
0
Post¦puj¡c tak, jak w dowodzie lematu 3.11, otrzymujemy
Z
π/k
2π(S̃k f (x) − f (x)) =
Z
π−π/k
+
Z
h(s) sin(ks)ds −
!
Z
Z
0
π/k
2π/k
+
0
π−π/k
π/k
h(s + πk ) sin(ks)ds
π
+
0
Z
π−π/k
2π/k
+
=
!
h(s) sin(ks)ds
π/k
Z
π
+
0
Z
Z
h(s) sin(ks)ds
π−π/k
π−π/k
+
π/k
(h(s) − h(s + πk )) sin(ks)ds.
|h(s)| ≤ ωf (s)/ tan 2s ,
Z π/k Z 2π/k !
Z π/k Z 2π/k !
ks ωf (s)
+
h(s) sin(ks)ds ≤
+
ds
tan 2s
0
0
0
0
Z 2π/k
ωf (s)ds ≤ 8πωf ( 2π
≤ 4k
)
k
Caªki szacujemy osobno. W pierwszej i drugiej mamy
zatem
0
s
2
tan ≥ s dla s ∈ (0, π)). Trzecia caªka speªnia
Z π
Z π
2kf k∞
2πkf k∞
2πkf k∞
h(s) sin(ks)ds ≤
≤
.
s ds ≤
1
π
k
k tan( 2 (π − k ))
π−π/k
π−π/k tan 2
(wykorzystali±my tu nierówno±¢
Przy szacowaniu czwartej korzystamy z równo±ci
(f (x + s) − f (x + s + πk )) + (f (x − s) − f (x − s − πk ))
2 tan( 12 (s + πk ))
1
1
f (x + s) + f (x − s) − 2f (x)
+
−
2
tan 2s
tan( 12 (s + πk ))
h(s) − h(s + πk ) =
oraz nierówno±ci
π
1
sin 2k
1
π π π
−
=
1
π s
1
π ≤
tan s
2k s s +
tan( 2 (s + k ))
sin 2 sin( 2 (s + k ))
2
π
k
≤
π3
2ks2
sin 2s ≥ π1 s dla s ∈ (0, π)). Otrzymujemy
Z
Z
π−π/k
π−π/k ωf ( πk )
π 3 ωf (s)
π
+
ds
(h(s) − h(s + k )) sin(ks)ds ≤
π/k
ks2
tan( 12 (s + πk ))
π/k
Z
π 3 π ωf (s)
π
k
≤ 2ωf ( k ) ln 2 +
ds.
k π/k s2
(dwukrotnie u»yli±my oszacowania
Potrzebne b¦dzie oszacowanie caªki po prawej stronie nierówno±ci z lematu.
23
wiczenie 5.17. Przypu±¢my, »e
g
f, g
s¡ funkcjami borelowskimi na przedziale
(a, b),
jest nieujemna,
s
Z
f (t)dt,
F (s) =
G(s) =
a
s ∈ (a, b), G(s) → ∞ gdy s → b−
|F (s)|/G(s) → 0 gdy s → b− .
wiczenie 5.18. Wywnioskuj, »e je±li
s → 0+ ,
g(t)dt
a
s¡ sko«czone dla
Udowodnij, »e
s
Z
h
oraz
|f (s)|/g(s) → 0
jest rosn¡ca na
(0, π]
oraz
gdy
s → b− .
h(s) → 0
gdy
to
Z
lim+ ε
ε→0
π
ε
h(s)
ds = 0.
s2
Z lematu i powy»szego ¢wiczenia natychmiast wynikaj¡ nast¦puj¡ce dwa rezultaty.
Wniosek 5.19. Je±li
f ∈ C(T),
to
kSk f − f k∞
kS̃k f − f k∞
= lim
= 0.
k→∞
k→∞
ln k
ln k
lim
test DiniegoLipschitza ).
lim+ ωf (ε) ln 1ε = 0,
Twierdzenie 5.20 (
Je±li
f ∈ C(T)
oraz
ε→0
to
Sk f
d¡»y jednostajnie do
α ∈ (0, 1],
to
Sk f
f
gdy
f ∈ C(T)
k → ∞.
speªnia warunek Höldera z pewnym wykªadnikiem
d¡»y jednostajnie do
f
gdy
k → ∞.
Mo»liwych jest wiele wariantów i uogólnie« powy»szych kryteriów zbie»no±ci szeregów
Fouriera, np. zbie»no±¢ w twierdzeniu 5.7 jest jednostajna na ka»dym przedziale domkni¦0
tym, na którym f istnieje i jest ci¡gªa. Przedstawione powy»ej twierdzenia s¡ jednak w
pewnym sensie optymalne, o czym ±wiadczy¢ b¦dzie przykªad w rozdziale 7.
p
Rozdziaª ten zako«czmy uwag¡ o zbie»no±ci prawie wsz¦dzie i w L ( ). Na pewno
T
warto wspomnie¢ o twierdzeniu Carlesona z 1966 roku. Jego dowód jest zbyt skompliko2
wany, by go tu zamie±ci¢. W oryginalnym sformuªowaniu wyst¦puje L ( ) z informacj¡
p
o tym, »e rozszerzenie do wszystkich L ( ) jest ªatwe. Formalnie dowód dla wszystkich
L p ( ) (p ∈ (1, ∞)) zostaª spisany przez Hunta dwa lata pó¹niej.
T
T
twierdzenie Carlesona ; bez dowodu).
Sk f d¡»y do f prawie wsz¦dzie.
Twierdzenie 5.22 (
nego
T
p ∈ (1, ∞),
to
Je±li
f ∈ L p (T) dla pew
Wci¡» skomplikowane, lecz du»o ªatwiejsze jest twierdzenie o zbie»no±ci w
Twierdzenie 5.23 (bez dowodu). Je±li
w
L (T).
p
p ∈ (1, ∞) i f ∈ L p (T),
to
Sk f
L p (T).
d¡»y do
f
24
Przypadki p = 1 oraz p = ∞ s¡ zupeªnie inne. Widzieli±my ju», »e nie ma zbie»no1
±ci w L ( ) (dowód byª niekonstruktywny, ale omin¡¢ odwoªanie do zasady Banacha
T
Steinhausa i skonstruowa¢ odpowiedni przykªad). Z kolei dla dowolnej nieci¡gªej funkcji
f ∈ L ∞ ( ) ci¡g Sk f jest zbie»ny do f w L 2 ( ), ale z pewno±ci¡ nie w L ∞ ( ), bowiem
T
granica jednostajna funkcji ci¡gªych
T
Sk f
T
musiaªaby by¢ ci¡gªa. Ponadto w rozdziale 7
podany b¦dzie przykªad funkcji caªkowalnej, której szereg Fouriera jest prawie wsz¦dzie
rozbie»ny.
25
6.
Szeregi Fouriera ±rednie Cesàro
Spo±ród wielu technik uzbie»niania niezbie»nych ci¡gów ±rednie Cesàro wyró»niaj¡
si¦ prostot¡ i doskonale stosuj¡ si¦ do bada« szeregów Fouriera.
wiczenie 6.1. Udowodnij, »e je±li ci¡g
an
jest zbie»ny do
a, to ci¡g ±rednich Cesàro
k
1X
bk =
an
k n=1
równie» jest zbie»ny do
a.
Uzasadnij, »e twierdzenie przeciwne nie jest prawdziwe.
wiczenie 6.2. Dowiedz si¦ o sumowaniu metod¡ Abela.
Definicja 6.3. Dla
σk f (x) =
nazywamy
σk f (x) =
Fk
jest
funkcji
f.
Analogicznie deniujemy sumy Fejéra miary
f ∈ L 1 (T) i k ≥ 0,
1
2π
µ.
to
f ∗ Fk (x),
j¡drem Fejéra,
Fk (x) = 1 + 2
k
X
k+1−n
n=1
Dowód.
funkcje
k
k
l
1 XX ˆ
1 X
1
Sl f (x) =
f (n)einx
k + 1 l=0
2π k + 1 l=0 n=−l
sumami Fejéra
Lemat 6.4. Je±li
gdzie
f ∈ L 1 (T)
Z denicji
σk
k+1
oraz wªasno±ci
1
cos(nx) =
k+1
Sk , σk f =
1
2π
sin( 21 (k + 1)x)
sin( 12 x)
f ∗ Fk (x)
2
.
dla
k
Fk (x) =
1 X
Dl (x).
k + 1 l=0
Zdenicji j¡dra Dirichleta otrzymujemy
k
l
k
1 X X inx
1 X
Fk (x) =
e =1+
2(k − n + 1) cos(nx).
k + 1 l=0 n=−l
k + 1 n=1
Z kolei ze wzoru na j¡dro Dirichleta,
k
k
1 X sin((l + 12 )x)
1 X ei(l+1/2)x − e−i(l+1/2)x
=
k + 1 l=0
k + 1 l=0
sin( 12 x)
2i sin( 12 x)
ix/2 i(k+1)x
1
1
e (e
− 1) e−ix/2 (e−i(k+1)x − 1)
=
−
k + 1 2i sin( 21 x)
eix − 1
e−ix − 1
Fk (x) =
=
1
1
ei(k+1)x + e−i(k+1)x − 2
1 2 − 2 cos((k + 1)x)
=
.
1
ix/2
−ix/2
k + 1 2i sin( 2 x)
e
−e
k+1
4(sin( 12 x))2
Teza wynika z to»samo±ci
1 − cos((k + 1)x) = 2(sin( 12 (k + 1)x))2 .
26
wiczenie 6.5. Udowodnij, »e gdy
1
2π
Z
k ≥ 0,
to
π
Fk (x)dx = 1.
−π
1
0 ≤ Fk (x) ≤ min(k + 1, k+1
π 2 /x2 )
dla ka»dego
Fk (x) → 0
x ∈ T \ {0}.
x∈
[−π, π] \ {0}.
gdy
0 ≤ k ≤ l,
k+1
l−k
Sk Fl (x) =
Fk (x) +
Dk (x).
l+1
l+1
wiczenie 6.8. Udowodnij, »e gdy
k→∞
dla ka»dego
to
1
F speªnia poni»sz¡ denicj¦ jedno±ci aprok2π k
symatywnej (sªowo jedno±¢ dotyczy tu operacji splotu). Spotyka si¦ kilka wariantów tej
Z powy»szych wªasno±ci wynika, »e ci¡g
denicji, na potrzeby pó¹niejszych zastosowa« wykorzystamy wersj¦ stosunkowo ogóln¡.
Definicja 6.9. Ci¡g rzeczywistych funkcji
ϕk ∈ L 1 (T)
jest
tywn¡, je±li istnieje zbie»ny do zera ci¡g εk o nast¦puj¡cych
Z π
ϕk (x)dx ≥ 1 − εk oraz kϕk k1 ≤ 1 + εk ;
(A)
−π
Z −εk Z π +
(B)
|ϕk (x)|dx ≤ εk .
−π
εk
regularn¡,
x ∈ [−π, −εk ] ∪ [εk , π].
Jedno±¢ aproksymatywn¡ nazywamy
(C)
|ϕk (x)| ≤ εk
dla
jedno±ci¡ aproksyma-
wªasno±ciach:
je±li dodatkowo
Rπ
1−εk ≤ −π ϕk (x)dx ≤ 1+εk . Ponadto je±li ϕk jest (regularn¡) jedno±ci¡
aproksymatywn¡, to |ϕk | równie» jest (regularn¡) jedno±ci¡ aproksymatywn¡. Czasem
+
−
zamiast ci¡gu ϕk b¦dziemy rozwa»ali rodzin¦ ϕr , gdzie r → 0 lub r → 1 .
Zauwa»my, »e
wiczenie 6.10. Uzasadnij, »e ci¡g
(B) z
εk =
p
π/(k + 1)
1
F speªnia warunek (A) z
2π k
p
oraz warunek (C) z
εk =
wiczenie 6.11. Udowodnij, »e je±li funkcje
3
εk = 0,
warunek
π/(2k + 2).
ϕk ∈ L 1 (T)
przyjmuj¡ warto±ci rze-
czywiste oraz
Z
−ε
lim
k→∞
dla ka»dego
Z π
+
−π
ε > 0,
ϕk (x)dx = 0
ε
to speªniony jest warunek (B). Sformuªuj analogiczne twierdzenie
dla warunku (C).
ϕk jest jedno±ci¡ aproksymatywn¡, to:
dla ka»dego f ∈ L (T) oraz ka»dego punktu ci¡gªo±ci x ∈ T funkcji f zachodzi
f ∗ ϕk (x) → f (x) gdy k → ∞, a je±li f ∈ C(T), to zbie»no±¢ jest jednostajna;
∞
je±li ponadto funkcje ϕk s¡ parzyste, to dla ka»dego f ∈ L (T) oraz ka»dego
punktu x ∈ T w którym funkcja f ma jednostronne granice f− (x) i f+ (x) za1
chodzi f ∗ ϕk (x) → (f− (x) + f+ (x)) gdy k → ∞.
2
(a)
(b)
∞
27
Je±li
ϕk
jest regularn¡ jedno±ci¡ aproksymatywn¡, to:
f ∈ L 1 (T) oraz ka»dego punktu ci¡gªo±ci x ∈ T funkcji f zachodzi
f ∗ ϕk (x) → f (x) gdy k → ∞;
1
je±li ponadto funkcje ϕk s¡ parzyste, to dla ka»dego f ∈ L (T) oraz ka»dego
punktu x ∈ T w którym funkcja f ma jednostronne granice f− (x) i f+ (x) za1
chodzi f ∗ ϕk (x) → (f− (x) + f+ (x)) gdy k → ∞.
2
(c) dla ka»dego
(d)
Dowód. Niech x ∈ T oraz f ∈ L ∞ (T). Przypu±¢my, »e f ma w x jednostronne granice
f− (x), f+ (x). Ustalmy ε > 0. Dobierzmy δ > 0 tak, aby |f (y) − f− (x)| < ε gdy
x − δ < y < x oraz |f (y) − f+ (x)| < ε gdy x < y < x + δ . Niech k b¦dzie tak du»e, »e
εk < δ , εk kf k∞ < ε oraz εk < 1. Wówczas
Z −εk
Z 0
Z 0
|ϕk (y)|εdy
|ϕk (y)| 2kf k∞ dy +
ϕk (y)(f (x − y) − f− (x))dy ≤
−εk
Z 0
−π
−π
Z
−εk
|ϕk (y)|dy
|ϕk (y)|dy + ε
≤ 2kf k∞
−π
−π
i analogicznie
π
Z
0
Z
ϕk (y)(f (x − y) − f+ (x))dy ≤ 2kf k∞
π
Z
|ϕk (y)|dy + ε
εk
π
|ϕk (y)|dy.
0
Wobec tego
Z
π
−π
Z
0
Z
π
ϕk (y)dy ϕk (y)f (x − y)dy − f− (x)
ϕk (y)dy − f+ (x)
−π
0
Z −εk Z π Z π
|ϕk (y)|dy
≤ 2kf k∞
+
|ϕk (y)|dy + ε
−π
−π
εk
≤ 2kf k∞ εk + ε(1 + εk ) < 4ε.
Je±li
f
jest ci¡gªa, otrzymujemy wi¦c
Z
f ∗ ϕk (x) − f (x)
π
−π
ϕk (y)dy < 4ε.
St¡d
Z
|f ∗ ϕk (x) − f (x)| < 4ε + π
−π
ϕk (y)dy − 1 |f (x)| ≤ 4ε + εk kf k∞ ≤ 5ε,
k jest dostatecznie du»e. Gdy f ∈ C(T), to wybór δ i k nie zale»y od x i otrzymujemy
kf ∗ ϕk − f k∞ ≤ 5ε dla dostatecznie du»ych k . To dowodzi cz¦±ci (a) twierdzenia.
Podobnie dowodzi si¦ cz¦±ci (b): je±li ϕk s¡ funkcjami parzystymi, to
1
f ∗ ϕk (x) − 1 f− (x) − 1 f+ (x)
2π
2
2
Z 0
Z π
1
1
< 4ε + ϕk (y)dy − 2 |f− (x)| + ϕk (y)dy − 2 |f+ (x)|
o ile
≤ 4ε +
dla
k
−π
εk
kf (x)k∞
2
0
+
εk
kf k∞
2
≤ 5ε
dostatecznie du»ych. Cz¦±ci (c) i (d) maj¡ analogiczne dowody, wystarczy zast¡-
pi¢ warunek
εk kf k∞ < ε
warunkami
εk kf k1 < ε, εk |f− (x)| < ε, εk |f+ (x)| < ε
oraz
28
wykorzysta¢ oszacowanie
−εk
ϕk (y)(f (x − y) − f− (x))dy −π
Z
Z −εk
|f (x − y)|dy + |f− (x)|
≤ εk
Z
−εk
|ϕk (y)|dy
−π
−π
w miejsce
Z
−εk
Z
ϕk (y)(f (x − y) − f− (x))dy ≤ 2kf k∞
−εk
|ϕk (y)|dy.
−π
−π
Szczegóªy pozostawiamy jako ¢wiczenie.
wiczenie 6.13. Uzupeªnij dowód cz¦±ci (c) i (d) twierdzenia.
twierdzenie Fejéra ). Dla ka»dego f ∈ L 1 (T) oraz ka»dego
punktu ci¡gªo±ci x ∈ T funkcji f zachodzi σk f (x) → f (x) gdy k → ∞. Je±li
f ∈ C(T), to zbie»no±¢ jest jednostajna. Ponadto dla ka»dego f ∈ L 1 (T) oraz
ka»dego punktu x ∈ T w którym funkcja f ma jednostronne granice f− (x) i f+ (x)
1
zachodzi σk f (x) → (f− (x) + f+ (x)) gdy k → ∞.
2
Twierdzenie 6.14 (
k → ∞,
to
f ∈ L 1 (T), x ∈ T, f
jest ci¡gªa w
x
oraz
Sk f (x) → a
gdy
a = f (x).
Twierdzenie Fejéra mo»na sprytnie wykorzysta¢ do dowodu zbie»no±ci w
L p (T).
p ∈ [1, ∞] i niech (X, µ) oraz (Y, ν) b¦d¡ przestrzeniami miarowymi z nieujemnymi σ -sko«czonymi miarami µ i ν . Przypu±¢my, »e hy (x) = h(x, y)
R
jest nieujemna i mierzalna na X × Y i niech g(x) =
hy (x)ν(dy). Wówczas
Z
kgkL p (X) ≤
khy kL p (X) ν(dy).
Lemat 6.16. Niech
Y
Dowód.
Rozwa»my wpierw funkcj¦
h(x, y) =
n
X
h
postaci
1Bj (y)hj (x),
j=1
gdzie
B1 , ..., Bn ⊆ Y s¡
n
X
ν(Bj )hj j=1
parami rozª¡czne. Nierówno±¢ przyjmuje posta¢
≤
L p (X)
n
X
ν(Bj )khj kL p (X) ,
j=1
która jest prostym zastosowaniem nierówno±ci Minkowskiego (tj. nierówno±ci trójk¡ta dla
p
normy w L (X)).
Z odpowiedniej wersji twierdzenia Fubiniego wynika, »e nierówno±¢ z lematu wystarczy
udowodni¢ dla funkcji b¦d¡cych liniowymi kombinacjami indykatorów zbiorów postaci
A×B
dla
dowodu.
A ⊆ X, B ⊆ Y .
Takie funkcje s¡ postaci rozwa»anej w pierwszej cz¦±ci
29
Z powy»szego wyniku natychmiast wynika szczególny przypadek nierówno±ci Younga,
o której wi¦cej w rozdziale 12.
p ∈ [1, ∞], f ∈ L 1 (T)
oraz
g ∈ L p (T),
to
f ∗ g ∈ L p (T)
i
kf ∗ gkp ≤ kf k1 kgkp .
Dowód.
Stosujemy lemat 6.16 dla
Twierdzenie 6.18. Niech
Dla ka»dego
f ∈ L (T)
p
h(x, y) = g(x − y)
ϕk
ν(dy) = f (y)dy .
oraz
b¦dzie jedno±ci¡ aproksymatywn¡ i niech
p
zachodzi f ∗ ϕk → f w L ( ) gdy k → ∞.
T
p ∈ [1, ∞).
Dowód. Niech Ty f (x) = f (x + y) oraz F (y) = kTy f − f kp . Na mocy lematu
F jest ci¡gªa. Zauwa»my, »e
Z π
ϕ
(y)f
(x
−
y)dy
−
f
(x)
k
−π
Z π
Z π
≤
|ϕk (y)||f (x − y) − f (x)|dy + ϕk (y)dy − 1 |f (x)|
−π
Z−π
π
≤
|ϕk (y)||f (x − y) − f (x)|dy + εk |f (x)|.
4.4 funkcja
−π
X = T, µ(dx)
= dx oraz Y = T, ν(dy) = |ϕk (y)|dy . Niech
Rπ
hy (x) = |f (x − y) − f (x)| oraz g(x) = −π |ϕk (y)|hy (x)dy . Otrzymujemy
Z π
kf ∗ ϕk − f kp ≤ kg + εk |f |kp ≤ kgkp + εk kf kp ≤
|ϕk (y)|khy kp dy + εk kf kp .
Wykorzystamy lemat 6.16 dla
−π
khy kp = kT−y f − f kp = F (−y). Wobec tego
Z π
kf ∗ ϕk − f kp ≤
|ϕk (y)|F (−y)dy + εk kf kp = |ϕk | ∗ F (0) + εk kf kp .
Ponadto
−π
|ϕk | jest jedno±ci¡ aproksymatywn¡) wynika, »e |ϕk | ∗ F (0)
k → ∞.
Z twierdzenia 6.12 (i faktu, »e
d¡»y do
F (0) = 0
gdy
gdy
p ∈ [1, ∞)
oraz
f ∈ L p (T),
to
σk f
d¡»y do
f
k → ∞.
f ∈ L 1 (T)
wszystkich x ∈ T.
dla prawie
wsz¦dzie gdy
k → ∞,
oraz
f ∈ L 1 (T)
i
fˆ(n) = 0
Sk f
dla wszystkich
f
prawie wsz¦dzie.
ϕk b¦dzie jedno±ci¡ aproksymatywn¡
Udowodnij, »e dla f ∈ C(T) i µ ∈ M (T) zachodzi
Z π
Z π
µ ∗ ϕk (x)f (x)dx =
f ∗ ϕ̃k (x)µ(dx).
−π
−π
to
L p (T)
f (x) = 0
jest zbie»ny wzgl¦dem miary lub prawie
to granica jest równa
n ∈ Z,
w
oraz
ϕ̃k (x) = ϕk (−x).
30
µ ∈ M (T),
to
µ ∗ ϕk (x)dx
d¡»y *sªabo do
µ.
µ ∈ M (T),
wszystkich n ∈ Z,
wiczenie 6.23. Wywnioskuj z poprzedniego ¢wiczenia, »e je±li
to
σk µ(x)dx
µ = 0.
d¡»y *sªabo do
to
Zbie»no±¢
σk f
do
f
µ.
W szczególno±ci je±li
prawie wsz¦dzie dla
µ̂(n) = 0
f ∈ L 1 (T)
dla
wyniknie z ogólnych metod omó-
wionych w nast¦pnych rozdziaªach. Poni»ej jedynie formuªujemy odpowiednie twierdzenie.
Twierdzenie 6.24 (dowód w rozdziale 13). Je±li
prawie wsz¦dzie gdy
k → ∞.
f ∈ L 1 (T),
to
σk f
d¡»y do
f
31
Szeregi Fouriera przykªady szeregów rozbie»nych
7.
W pierwszej cz¦±ci tego rozdziaªu skonstruujemy funkcj¦ ci¡gª¡, której szereg Fouriera
jest rozbie»ny. Opisany ni»ej pomysª pochodzi of Fejéra. Gdy
fk,l (x) =
l
X
cos((k + l − n)x) − cos((k + l + n)x)
n
n=1
Zauwa»my, »e
fk,l (0) = 0.
Przypomnijmy, »e
k≥0
Z
x
0
oraz
Dk
1 ≤ l < k,
okre±lamy
.
oznacza j¡dro Dirichleta.
x ∈ (−π, π),
Dk (y)dy ≤ π 2 .
Mo»esz wykorzysta¢ lemat 5.11.
wiczenie 7.2. Uzasadnij, »e
fk,l (x) = 2 sin((k + l)x)
l
X
sin(nx)
n=1
i wobec tego
n
Z
x
Dl (y)dy − x
= sin((k + l)x)
0
kfk,l k∞ ≤ π(π + 1).
Sk+l fk,l (x) =
l
X
cos((k + l − n)x)
n
n=1
Pl
Sk+l fk,l (0) = n=1 n1 ≥ ln l. Wyka» ponadto, »e dla
Sm fk,l (x) = 0 dla m < k oraz Sm fk,l (x) = fk,l (x) dla m ≥ k + 2l.
i wobec tego
wszystkich
x ∈ T,
am b¦dzie sumowalnym ci¡giem liczb nieujemnych, za± km i lm rosn¡cymi ci¡gami
naturalnych o wªasno±ci km + 2lm < km+1 dla wszystkich m ≥ 1. Okre±lamy
Niech
liczb
g(x) =
∞
X
am fkm ,lm (x).
m=1
g jest poprawnie okre±lona, ci¡gªa i ma nast¦g(0) = 0, Skm −1 g(0) = 0, Skm +lm g(0) ≥ am ln lm dla wszystkich
wiczenie 7.4. Wyka», »e funkcja
puj¡ce wªasno±ci:
m ≥ 1.
wiczenie 7.5. Dobierz ci¡gi
Sk g(0)
am , km
i
lm
w poprzednim ¢wiczeniu tak, aby ci¡g
byª nieograniczony.
wk liczb rzeczywiam , km i lm tak, aby ci¡g (wk / ln k)Sk g(0) byª nieograniczony. Porównaj
wiczenie 7.6. Dla dowolnego nieograniczonego ci¡gu rosn¡cego
stych dobierz
uzyskany wynik z wnioskiem 5.19.
Druga cz¦±¢ tego rozdziaªu po±wi¦cona jest imponuj¡cemu przykªadowi funkcji z
L 1 (T),
której szereg Fouriera jest rozbie»ny prawie wsz¦dzie. Pokazuje on, »e twierdzenie Carle1
sona nie rozszerza si¦ do L ( ). Pierwsza taka funkcja zostaªa opisana przez Koªmogo-
T
rowa w 1923 roku, poni»sza konstrukcja jest bardzo podobna.
Zaªó»my, dla ka»dego dostatecznie maªego
f
oraz zbiór borelowski
E ⊆ [0, 2π)
ε>0
istnieje wielomian trygonometryczny
o nast¦puj¡cych wªasno±ciach:
kf k1
jest ograniczona
32
ε, fˆ(0) = 0, miara E wynosi co najmniej 2π(1 − ε2 ) oraz dla
x ∈ E zachodzi |Sl f (x)| > ε12 dla pewnego l nie przekraczaj¡cego stopnia wielomianu
trygonometrycznego f . Istnienie f i E b¦dzie wykazane pó¹niej.
Dobierzmy funkcje fk i zbiory Ek zgodnie z powy»szymi warunkami do sumowalnego
ci¡gu εk o nast¦puj¡cej wªasno±ci:
jednostajnie ze wzgl¦du na
k−1
X
εj kfj k∞ <
j=1
k ≥ 1.
dla wszystkich
qk+1 /qk
1
2εk
Dobierzmy ponadto ci¡g dodatnich liczb caªkowitych
byªo wi¦ksze od stopnia wielomianu trygonometrycznego
g(x) =
∞
X
fk .
qk
tak, aby
Okre±lamy
εj fj (qj x).
j=1
Skoro ci¡g
εk
jest sumowalny, a normy kfj k1 wspólnie ograniczone, szereg po prawej
L 1 ( ), wi¦c g jest poprawnie okre±lona i g ∈ L 1 ( ).
T
stronie jest zbie»ny w
T
h ∈ L 1 (T), q ≥ 1 oraz hq (x) = h(qx). Udowodnij, »e
ĥq (qn) = ĥ(n) dla n ∈ Z oraz ĥq (n) = 0 gdy n ∈ Z nie dzieli si¦ przez q . Wywnioskuj,
»e Sql hq (x) = Sl h(qx).
wiczenie 7.7. Niech
wiczenie 7.8. Wykorzystuj¡c poprzednie ¢wiczenie i denicj¦
Sqk l g(x) =
k−1
X
qk ,
udowodnij, »e
εj fj (qj x) + εk Sl fk (qk x).
j=1
gdy
l ≤ qk+1 /qk .
E ⊆ [0, 2π) niech 1q E oznacza zbiór liczb z przedziaªu [0, 2π)
x+2nπ
1
postaci
dla x ∈ E i n ∈ Z. Zauwa», »e E ma t¦ sam¡ miar¦, co E . Wykorzyq
q
1
E , to istnieje
stuj¡c poprzednie ¢wiczenie oraz denicj¦ εj , udowodnij, »e je±li x ∈
qk k
l takie, »e |Sqk l g(x)| > 1/(2εk ).
wiczenie 7.9. Dla
x nale»y do niesko«czenie wielu spo±ród zbio1
rów
E , to ci¡g Sk g(x) jest rozbie»ny. Wykorzystuj¡c wªasno±¢ zbiorów Ek , udoqk k
wodnij, »e szereg Fouriera g jest rozbie»ny dla prawie wszystkich x ∈
.
T
Poni»ej konstruujemy funkcj¦
f
E
o »¡danych wªasno±ciach. Przypomnijmy, »e
Dk i Fk oznaczaj¡ j¡dra Dirichleta i Fejéra oraz »e gdy 0 ≤ k ≤ l, to Sk Fl = k+1
F + l−k
D.
l+1 l
l+1 l
Ustalmy k ≥ 1. Dla j = 0, 1, .., k okre±lamy
xj = 2π
i zbiór
2j
2k+1
i deniujemy
k
1X
Fl (x − xj ),
f (x) =
k j=1 j
lj ≥ k 4 , lj+1 >
2lj oraz 2lj +1 jest podzielne przez 2k+1. Na przykªad mo»emy obra¢ lj = 3j k 4 (2k+1)+k ,
cho¢ dokªadna posta¢ lj nie b¦dzie nam potrzebna (wa»na natomiast b¦dzie posta¢ xj ).
gdzie l1 , ..., lk jest ustalonym ci¡giem, speªniaj¡cym nast¦puj¡ce warunki:
33
Ponadto okre±lamy przedziaªy
Ij = (xj−1 +
Oczywi±cie
f
1
, xj
k2
−
1
).
k2
jest nieujemna i ma caªk¦
2π .
Szukan¡ funkcj¡ b¦dzie
»e zerowy wspóªczynnik szeregu Fouriera funkcji
4π .
Ponadto
f −1
f (x)−1 wynosi zero i ponadto kf −1k1 ≤
2k + 1
2l + 1,
dzieli
to
sin((l + 21 )nx).
wiczenie 7.12. Udowodnij, »e jesli
to zbiór
Zauwa»my,
jest wielomianem trygonometrycznym stopnia lk .
wiczenie 7.11. Zauwa», »e gdy
b∈R
c|I|.
f (x) − 1.
E
tych
x∈I
I
c ∈ (0, 21 ), a > 2π/(c|I|),
| sin(a(x − b))| < c ma miar¦ mniejsz¡ ni»
jest przedziaªem,
dla których
wiczenie 7.13. Zauwa», »e je±li
sin((l + 12 )n(x − xj )) =
1 ≤ n < k,
to
n
k
1X
1 X ln + 1
Sln f (x) =
Fl (x − xj ) +
Fl (x − xj )
k j=1 j
k j=n+1 lj + 1 n
k
1 X lj − ln
+
Dl (x − xj ).
k j=n+1 lj + 1 n
1≤n<k
oraz
x ∈ In ,
to
n
k
1X
1 X ln + 1
0≤
Fl (x − xj ) ≤ π 2
Fl (x − xj ) +
k j=1 j
k j=n+1 lj + 1 n
(wykorzystaj oszacowania j¡dra Fejéra, denicj¦
korzystuj¡c podzielno±¢
2lj + 1
przez
2k + 1),
Ij
≥ k 4 ).
oraz lj
Wywnioskuj (wy-
»e
k
1 X lj − ln sin((ln + 12 )x) |Sln f (x)| ≥ − π2.
k j=n+1 lj + 1 sin( 21 (x − xj )) wiczenie 7.15. Udowodnij, »e je±li
1≤n<k−
√
k
oraz
x ∈ In ,
to
k
| sin((ln + 21 )x)| X
1
− π2
|Sln f (x)| ≥
k
x − xn−1
j=n+1 j
| sin((ln + 12 )x)| 1
( 2 ln k − 1) − π 2
4π
denicj¦ xj oraz lj+1 ≥ 2lj ).
≥
(wykorzystaj
ε = (ln k)−1/5 i niech E b¦dzie zbiorem tych x ∈ [0, 2π), dla
1
których |Sln f (x)| > 2 +1 dla pewnego n. Udowodnij, »e je±li k jest dostatecznie du»e
√ ε
1 2
oraz 1 ≤ n < k − k , to miara zbióru In \E wynosi co najwy»ej ε |In |. Wywnioskuj,
2
2
»e dla dostatecznie du»ych k miara E wynosi co najmniej 2π(1 − ε ).
k jest dostatecznie
ε = (ln k)−1/5 .
Wobec tego je±li
wªasno±ci dla
du»e, funkcja
f −1
oraz zbiór
E
maj¡ »¡dane
34
8.
Transformata Fouriera na Rd denicje i wªasno±ci
Teori¦ szeregów Fouriera mo»na uogólnia¢ na wiele sposobów, których nie b¦dziemy tu
omawia¢ (np. funkcje prawie okresowe). Skupimy si¦ na najwa»niejszym poj¦ciu: transd
formacie Fouriera w przestrzeniach euklidesowych
, d ≥ 1. Pó¹niej krótko omówimy
R
teori¦ dla lokalnie zwartych grup topologicznych.
x·y oznaczamy iloczyn skalarny wektorów x, y ∈ Rd , za± przez B(x, r) oznaczamy
d
otwart¡ kul¦ o ±rodku w x ∈ R i promieniu r > 0. Przestrze« funkcji ci¡gªych i ograd
niczonych oznaczamy przez Cb (R ). No±nik funkcji f , oznaczany supp f , to domkni¦cie
d
zbioru {x ∈ R : f (x) 6= 0}. Zbiór funkcji ci¡gªych o ograniczonym (i przez to zward
d
tym) no±niku oznaczamy Cc (R ). Jego domkni¦cie w Cb (R ) (w normie jednostajnej) to
d
przestrze« C0 (R ) funkcji ci¡gªych zbie»nych do zera w niesko«czono±ci.
Przez
Denicja transformaty Fouriera jest podobna do denicji szeregu Fouriera, zamiast
ek (x) = eikx mamy funkcje eξ (x) = eiξx .
funkcji
funkcji
f ∈ L 1 (Rd ),
i
ξ ∈ Rd ,
to okre±lamy
transformat¦ Fouriera
f:
fˆ(ξ) =
Z
R
f (x)e−iξ·x dx.
d
Analogicznie je±li
Z
µ̂(ξ) =
T
µ ∈ M (Rd ) i ξ ∈ Rd , to okre±lamy transformat¦ Fouriera
miary
µ:
e−iξ·x µ(dx).
Przyporz¡dkowanie funkcji lub mierze jej transformaty Fouriera to transformacja Fouriera. Proste wªasno±ci transformacji Fouriera s¡ zawarte w nast¦puj¡cych ¢wiczeniach.
f ∈ L 1 (Rd ), µ ∈ M (Rd ),
to
fˆ, µ̂ ∈ Cb (Rd )
kfˆk∞ ≤ kf k1 , kµ̂k∞ ≤ kµk, zatem transformacja Fouriera jest ograniczonym
1
d
d
d
d
torem liniowym z L (R ) w Cb (R ) oraz z M (R ) w Cb (R ).
ĝ(ξ) = fˆ(−ξ)
oraz
f ∈ L 1 (Rd ), g(x) = f (x)
opera-
h(x) = f (−x),
to
ĥ(ξ) = fˆ(−ξ).
f ∈ L 1 (Rd ), a ∈ Rd
fˆ(ξ), ĥ(ξ) = e−iξ·a fˆ(−ξ).
h(x) = f (a − x),
oraz
i
to
ĝ(ξ) = e
iξ·a
oraz
g(x) = f (a + x),
f ∈ L 1 (Rd ), r > 0 oraz g(x) = rd f (rx), to
ĝ(ξ) = fˆ(ξ/r). Ogólniej, udowodnij, »e je±li f ∈ L 1 (Rd ), A jest niezdegenerowan¡
−1 T
macierz¡ d × d oraz g(x) = | det A|f (Ax), to ĝ(ξ) = fˆ((A ) ξ). Wywnioskuj, »e
1
d
je±li f (x) = g(|x|) i f ∈ L (R ), to fˆ(ξ) = h(|ξ|) dla pewnej funkcji h. Poczytaj o
transformacji Hankela.
f1 ∈ L 1 (Rd1 ), f2 ∈ L 1 (Rd2 ) i okre±lmy f (x) =
f1 (x1 )f2 (x2 ) dla x = (x1 , x2 ), x1 ∈ Rd1 , x2 ∈ Rd2 . Udowodnij, »e fˆ(ξ) = fˆ1 (ξ1 )fˆ2 (ξ2 )
d
d
dla ξ = (ξ1 , ξ2 ), ξ1 ∈ R 1 , ξ2 ∈ R 2 .
35
f, g ∈ L 1 (Rd ), v ∈ Rd
oraz
t
Z
f (x + tv) − f (x) =
g(x + sv)ds
0
v jest j -tym wektorem bazowym, pochodna
g = ∂j f ∈ L (Rd )). Udowodnij, »e ĝ(ξ) = iv · ξ fˆ(ξ).
(w szczególno±ci tak jest, gdy
∂j f
istnieje oraz
Udowodnij, »e pochodna
Splot funkcji
f
cz¡stkowa
1
g
oraz
f ∈ L 1 (Rd ), g(ξ) = −iξj f (ξ)
∂j fˆ istnieje
i jest transformat¡ Fouriera
f ∗g
to funkcja
g ∈ L 1 (Rd ).
oraz
g.
dana wzorem
Z
f ∗ g(x) =
Rd
f (x − y)g(y)dy
wsz¦dzie tam, gdzie caªka ma sens. Z twierdzenia Fubiniego wynika, »e je±li f, g ∈
L 1 ( d ), to f ∗ g jest okre±lona prawie wsz¦dzie i f ∗ g ∈ L 1 ( d ). Je±li f ∈ L 1 ( d ) oraz
g ∈ L ∞ ( d ), to f ∗ g jest okre±lona wsz¦dzie i f ∗ g ∈ L ∞ ( d ), a nawet f ∗ g ∈ Cb ( d )
2
d
na mocy wniosku 4.5 (z minimaln¡ zmian¡). Podobnie je±li f, g ∈ L (
), to f ∗ g jest
∞
d
d
okre±lona prawie wsz¦dzie i f ∗ g ∈ L (
), a nawet f ∗ g ∈ Cb ( ).
R
R
R
R
R
R
Lemat 8.9. Je±li
Dowód.
R
f, g ∈ L 1 (Rd ) i h = f ∗ g ,
to
R
R
ĥ(ξ) = fˆ(ξ)ĝ(ξ).
Na mocy twierdzenia Fubiniego,
Z
ĥ(ξ) =
−iξ·x
h(x)e
Rd Z
= fˆ(ξ)
Rd
Z
dx =
Rd
g(y)e
−iξ·y
Z
−iξ·(x−y)
Rd
f (x − y)e
dx dy
g(y)e−iξ·y g(y)dy = fˆ(ξ)ĝ(ξ).
f, g ∈ L 1 (Rd ), to
Z
f (x)ĝ(x)dx =
fˆ(ξ)g(ξ)dξ.
Lemat 8.10. Je±li
Z
Rd
Dowód.
Rd
Ponownie na mocy twierdzenia Fubiniego,
Z
Z
Rd
f (x)
Rd
−ix·ξ
g(ξ)e
Z
dξ dx =
Z
Rd
Rd
f (x)e
−iξ·x
dx g(ξ)dξ.
Bardziej zaawansowane wªasno±ci transformaty Fouriera mo»na uzyska¢ w rozmaity
sposób. Jednym z najprostszych jest wykorzystanie j¡dra GaussaWeierstrassa, zdeniod
wanego dla r > 0 i x ∈
wzorem
R
Kr (x) =
1
2
e−|x| /(4r) .
d/2
(4πr)
Lemat 8.11. Zachodzi
Dowód.
K̂r (ξ) = exp(−r|ξ|2 ).
r = 1/2. Zauwa»my,
Z ∞
∞
e
1
2
ξ 2 /2
−x2 /2 −iξx
e K̂1/2 (ξ) = √
e
e
dx = √
e−(x+iξ) /2 dx.
2π −∞
2π −∞
Rozwa»my najpierw przypadek
ξ 2 /2
Z
d=1
oraz
»e
36
exp(−z 2 /2)
Funkcja
jest holomorczna wzgl¦dem
[−R, R] × [0, ξ],
Z
Z ξ
−(R+iy)2 /2
−x2 /2
e
idy −
e
dx +
z ∈ C,
zatem na mocy tw. Cauchy'ego
dla brzegu prostok¡ta
Z
R
0=
−R
2
2
2
2
|e−(±R+iy) /2 | = e−(R −y )/2 ≤ e−(R −4r
do zera gdy R → ∞. Wobec tego
Z ∞
Z ∞
2
−x2 /2
e−(x+iξ) /2 dx.
e
dx −
0=
d¡»¡
−(x+iξ)2 /2
e
Z
2 )/2
ξ
dx −
−R
0
Poniewa»
R
e−(−R+iy)
2 /2
idy.
0
dla
y ∈ [0, ξ],
druga i czwarta caªka
−∞
−∞
Caªkuj¡c we wspóªrz¦dnych biegunowych, otrzymujemy
Z
∞
−x2 /2
e
2
dx
Z
∞
Z
∞
=
−(x2 +y 2 )/2
e
−∞
−∞
Z
∞
dydx = 2π
−∞
re−r
2 /2
dr = 2π.
0
Otrzymujemy zatem
e
ξ 2 /2
1
K̂1/2 (ξ) = √
2π
Z
∞
e−x
2 /2
dx = 1.
−∞
d = 1 i r = 1/2 zostaª udowodniony.
√
√
d = 1 i r > 0, zachodzi Kr (x) = (1/ 2r)K1/2 (x/ 2r),
√ 2
√
2
K̂r (ξ) = K̂1/2 (ξ 2r) = e−(ξ 2r) /2 = e−rξ .
Lemat dla
Gdy
W przypadku wielowymiarowym
gdzie
K̃r
zatem
Kr (x) = K̃r (x1 )K̃r (x2 )...K̃r (xd )
jest j¡drem GaussaWeierstrassa w
R
1
dla
x = (x1 , x2 , ..., xd ),
, przez co
ˆ (ξ ) = e−rξ12 e−rξ22 ...e−rξd2
ˆ (ξ )...K̃
ˆ (ξ )K̃
K̂r (ξ) = K̃
r d
r 2
r 1
dla
ξ = (ξ1 , ξ2 , ..., ξd ).
Udowodnimy, »e
Kr
jest regularn¡ jedno±ci¡ aproksymatywn¡ gdy
odpowiednio zmodykowan¡ denicj¡ 6.9. ci±lej, rodzin¦ funkcji
jedno±ci¡ aproksymatywn¡, je±li istniej¡ liczby
εr > 0
r → 0+ ,
zgodnie z
ϕr
nazywamy regularn¡
+
zbie»ne do zera gdy r → 0
o
nast¦puj¡cych wªasno±ciach:
Z
(A)
(B)
(C)
ZRd
ϕr (x)dx ≥ 1 − εr
Rd \B(0,εr )
oraz
kϕr k1 ≤ 1 + εr ;
|ϕr (x)|dx ≤ εr ;
|ϕr (x)| ≤ εr
dla
x ∈ Rd \ B(0, εr ).
Je±li speªnione s¡ tylko pierwsze dwa z powy»szych warunków, mówimy po prostu, »e
ϕr
jest jedno±ci¡ aproksymatywn¡.
Widzimy, »e
Kr (x) ≥ 0
z ogólniejszego faktu.
oraz
R
Rd Kr (x)dx = ϕ̂r (0) = 1.
Pozostaªe wªasno±ci wynikaj¡
α(r) b¦dzie funkcj¡ o warto±ciach dodatnich, zbie»n¡ do zera gdy
r → 0R . Dowolny ukªad funkcji ϕr postaci ϕr (x) = (α(r))−d f (x/α(r)), gdzie f (x) ≥ 0
oraz
(III),
Rd f (x)dx = 1, jest jedno±ci¡ aproksymatywn¡. Aby zachodziª warunek
d
wystarczy zaªo»y¢ dodatkowo, »e lim|x|→∞ f (x) = 0 (czyli np. f ∈ C0 (R )).
Lemat 8.12. Niech
+
37
Dowód.
Oczywi±cie speªniony jest warunek (A). Ponadto dla dowolnego
Z
lim
r→0+
Z
ϕr (x)dx = lim+
Rd \B(0,ε)
r→0
Rd
ε>0
zachodzi
f (x)1Rd \B(0,ε/α(r)) (x)dx = 0
na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci ograniczonej. Niech wi¦c
r0 (ε) > 0
b¦dzie
najwi¦ksz¡ liczb¡ o wªasno±ci
Z
Rd \B(0,ε)
ϕr (x)dx < ε
r ∈ (0, r0 (ε)) (dopuszczamy r0 (ε) = ∞). Oczywi±cie r0 jest rosn¡c¡
ε > 0. Okre±lmy εr = 2 inf{ε > 0 : r0 (ε) > r}. Wówczas dla dowolnego r > 0
zachodzi r ∈ (0, r0 (εr )), a wi¦c speªniony jest warunek (B). Ponadto dla ka»dego ε > 0
+
je±li r0 (ε) > r , to εr ≤ 2ε, zatem εr d¡»y do zera gdy r → 0 (powy»szy argument jest
dla wszystkich
funkcj¡
rozwi¡zaniem ¢w. 6.11).
Gdy
lim|x|→∞ f (x) = 0,
to analogicznie otrzymujemy
lim sup{ϕr (x) : x ∈ Rd \ B(0, ε)} = 0
r→0+
dla ka»dego
ε>0
i w powy»szej konstrukcji okre±lamy
r0 (ε)
tak, aby dla
r ∈ (0, r0 (ε))
dodatkowo
sup{ϕr (x) : x ∈ Rd \ B(0, ε)} < ε.
Poni»sze twierdzenie zostaªo udowodnione (w nieco rozszerzonej wersji, uwzgl¦dniaj¡cej
pewne funkcje nieci¡gªe) dla funkcji okre±lonych na
T jako twierdzenia 6.12 i 6.18.
Dowód
wersji euklidesowej w zasadzie nie ró»ni si¦ niczym.
Twierdzenie 8.13.
(a) Je±li
ϕr
jest jedno±ci¡ aproksymatywn¡, to dla ka»dego
f ∈ L ( ) oraz ka»dego punktu ci¡gªo±ci x ∈ d funkcji f zachodzi f ∗
ϕr (x) → f (x) gdy r → 0+ . Je±li f ∈ Cb ( d ), to zbie»no±¢ jest jednostajna na
d
d
zwartych podzbiorach
, a je±li f jest jednostajnie ci¡gªa (np. f ∈ C0 (
)),
∞
R
R
d
R
R
R
to zbie»no±¢ jest jednostajna.
jest regularn¡ jedno±ci¡ aproksymatywn¡, to dla ka»dego f ∈
d
oraz ka»dego punktu ci¡gªo±ci x ∈
funkcji f zachodzi f ∗ ϕr (x)
+
gdy r → 0 .
(b) Je±li
ϕr
R
ϕr jest jedno±ci¡ aproksymatywn¡ oraz p ∈ [1, ∞),
L (Rd ) zachodzi f ∗ ϕr → f w L p (Rd ) gdy r → 0+ .
(c) Je±li
p
L 1 (Rd )
→ f (x)
to dla ka»dego
f ∈
wiczenie 8.14. Sprawdzi¢, »e w dowodzie odpowiednich twierdze« w rozdziale 6
wystarczy zamieni¢
T na Rd i usun¡¢ cz¦±¢ dotycz¡c¡ funkcji nieci¡gªych, by uzyska¢
dowód twierdzenia 8.13.
Powy»sze twierdzenie stosuje si¦ w szczególno±ci do j¡dra GaussaWeierstrassa.
lemat RiemannaLebesgue'a ).
Twierdzenie 8.15 (
Je±li
f ∈ L 1 (Rd ), to fˆ ∈ C0 (Rd ).
Dowód. Transformata Fouriera fr = f ∗ Kr jest równa fˆr (ξ) = exp(−r|ξ|2 )fˆ(ξ),
fˆr ∈ C0 (Rd ). Ponadto kfˆr − fˆk∞ ≤ kfr − f k1 → 0 gdy r → 0+ .
wi¦c
38
wzór na transformat¦ odwrotn¡ ).
Twierdzenie 8.16 (
zbie»no±ci w
L (R )
1
d
Je±li
f ∈ L 1 (Rd ),
to w sensie
zachodzi
Z
1
2
f (x) = lim+
e−r|ξ| fˆ(ξ)eiξ·x dξ,
d
r→0 (2π)
Rd
1
d
d
a je±li ponadto fˆ ∈ L (R ), to powy»sza zbie»no±¢ jest jednostajna wzgl¦dem x ∈ R
oraz
1
f (x) =
(2π)d
Z
fˆ(ξ)eiξ·x dξ
R
d
x ∈ Rd .
funkcji fˆ(ξ). W
dla wszystkich
Fouriera
Dowód.
t > 0,
Niech
Innymi sªowy, w tym przypadku
d
szczególno±ci f ∈ C0 (
).
R
fx (y) = f (x − y)
dla
x, y ∈ Rd .
Z
f ∗ K̂t (x) =
Rd
Z
fx (y)K̂t (y)dy =
Rd
Zachodzi
f (−x)
jest transformat¡
fˆx (ξ) = e−iξ·x fˆ(−ξ),
zatem dla
fˆx (ξ)Kt (ξ)dξ.
K̂t (x) = exp(−t|x|2 ) = (π/t)d/2 K1/(4t) (x) oraz Kt (ξ) = (4πt)−d/2 K̂1/(4t) (ξ).
Przyjmuj¡c r = 1/(4t), otrzymujemy
Z
d/2 −d/2
−d/2
π t
f ∗ Kr (x) = (4πt)
fˆx (ξ)K̂r (ξ)dξ,
Zauwa»my, »e
Rd
czyli
1
f ∗ Kr (x) =
(2π)d
Z
1
fˆx (ξ)K̂r (ξ)dξ =
(2π)d
Rd
Z
Rd
2
e−iξ·x fˆ(−ξ)e−rξ dξ.
Wraz z twierdzeniem 8.13 ko«czy to dowód pierwszej cz¦±ci.
Gdy
fˆ ∈ L 1 (Rd ),
drugi
wzór z twierdzenia wynika z pierwszego na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci
ograniczonej. Ponadto
1
|f (x) − f ∗ Kr (x)| ≤
(2π)d
a prawa strona nie zale»y od
Z
2
Rd
(1 − er|ξ| )|fˆ(ξ)|dξ,
x i d¡»y do zera gdy r → 0+ na mocy twierdzenia Lebesgue'a
o zbie»no±ci ograniczonej. Oznacza to, »e zbie»no±¢ w pierwszym wzorze z twierdzenia
jest jednostajna.
f, g ∈ L 1 (Rd )
oraz
fˆ = ĝ
prawie wsz¦dzie, to
f =g
prawie
wsz¦dzie.
Poni»sze ¢wiczenia zawieraj¡ kolejne proste wªasno±ci transformaty Fouriera.
wtedy, gdy
f ∈ L 1 (Rd )
ma warto±ci rzeczywiste wtedy i tylko
fˆ(−ξ) = fˆ(ξ).
f ∈ L 1 (Rd )
wtedy, gdy
fˆ(−ξ) = fˆ(ξ) =
Z
Rd
f (x) cos(ξ · x)dx.
jest funkcj¡ parzyst¡ wtedy i tylko
39
f ∈ L 1 (Rd )
jest funkcj¡ nieparzyst¡ wtedy i tylko
wtedy, gdy
−fˆ(−ξ) = fˆ(ξ) = i
Z
Rd
f (x) sin(ξ · x)dx.
f ∗ Kr
W nast¦pnym dowodzie wykorzystamy zbie»no±¢
L 2 ( d ).
R
twierdzenie Plancherela ).
Twierdzenie 8.21 (
f ḡ ∈ L (R ) i
Z
f (x)g(x)dx =
1
Rd
Z
Rd
w
L 2 (Rd )
f ∈
to
fˆ(ξ)ĝ(ξ)dξ.
Wobec tego transformacja Fouriera rozszerza si¦ do ci¡gªego operatora
−d/2
i (2π)
F jest operatorem unitarnym na L 2 ( d ).
R
Dowód.
dla
f, g ∈ L 1 (Rd ) ∩ L 2 (Rd ),
Je±li
d
1
(2π)d
f
do
F na L 2 (Rd )
f, g ∈ L 1 (Rd ). Zauwa»my, »e dla r > 0, funkcja f ∗ g ∗ Kr oraz jej
1
d
Fouriera, tj. fˆĝ K̂r , nale»¡ do L (R ). Na mocy wzoru na transformat¦
Niech
transformata
odwrotn¡,
Z
1
f (x)g ∗ Kr (−x)dx = f ∗ g ∗ Kr (0) =
(2π)d
Rd
Z
Rd
2
fˆ(ξ)ĝ(ξ)e−r|ξ| dξ.
f, g ∈ L 2 (Rd ). Gdy r → 0+ , g ∗ Kr d¡»y do g w L 2 (Rd ), zatem
Rd f (x)g(−x)dx. Rozwa»my g(x) = f (−x). Wówczas ĝ(ξ) = fˆ(ξ),
Przypu±¢my, »e ponadto
lewa strona d¡»y do
R
zatem na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci monotonicznej
Z
1
|f (x)| dx = lim+
r→0 (2π)d
Rd
2
Z
R
e
−r|ξ|2
d
1
|fˆ(ξ)| dξ =
(2π)d
2
Z
R
|fˆ(ξ)|2 dξ.
d
R
2
d
W szczególno±ci fˆ ∈ L (
) i kfˆk2 = (2π)d/2 kf k2 . Wobec tego dla ogólnych
1
d
2
d
L ( ) ∩ L ( ), na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci ograniczonej,
R
R
Z
1
f (x)g(−x)dx = lim+
r→0 (2π)d
Rd
Z
−r|ξ|2
R
e
fˆ(ξ)ĝ(ξ)dξ =
d
Twierdzenie Plancherela uzyskujemy, zast¦puj¡c funkcj¦
g(x)
1
(2π)d
Z
przez
g(−x).
R
f, g ∈
fˆ(ξ)ĝ(ξ)dξ.
d
L 2 (Rd ) nie jest podzbiorem L 1 (Rd ). Cho¢ rozró»nienie mi¦dzy trans1
d
2
d
formacj¡ Fouriera na L (R ) oraz na L (R ) cz¦sto jest nieistotne, b¦dziemy konse1
d
kwentnie oznacza¢ transformat¦ Fouriera f ∈ L (R ) przez fˆ, za± transformat¦ Fouriera
f ∈ L 2 (Rd ) przez Ff .
Zauwa»my, »e
Dowód.
f, g ∈ L 2 (Rd )
oraz
h = f g,
to
ĥ = (2π)−d Ff ∗ Fg .
gξ (x) = eiξx g(x). Na mocy twierdzenia Plancherela,
Z
Z
1
Ff (η)Fgξ (η)dη.
ĥ(ξ) =
f (x)gξ (x)dx =
(2π)d Rd
Rd
Niech
Fgξ (η) = Fg(ξ − η) (wzór ten zachodzi dla g ∈ L 1 (Rd )∩L 2 (Rd )
2
d
ci¡gªo±¢ do L (R )).
Pozostaje zauwa»y¢, »e
i rozszerza si¦ przez
40
wzór na transformat¦ odwrotn¡ na L 2 (Rd )). Je±li f ∈ L 2 (Rd ),
2
d
to w sensie zbie»no±ci w L (R ) zachodzi
Z
1
2
f (x) = lim+
e−r|ξ| Ff (ξ)eiξ·x dξ,
d
r→0 (2π)
Rd
1
d
d
a je±li ponadto fˆ ∈ L (R ), to powy»sza zbie»no±¢ jest jednostajna wzgl¦dem x ∈ R
Twierdzenie 8.23 (
oraz
1
f (x) =
(2π)d
Z
R
fˆ(ξ)eiξ·x dξ
d
x ∈ Rd . Innymi sªowy, w tym przypadku f (−x)
d
funkcji Ff (ξ). W szczególno±ci f ∈ C0 (R ).
dla wszystkich
Fouriera
jest transformat¡
Dowód. Je±li f ∈ L 2 (Rd ), g = Ff i g ∈ L 1 (Rd ), to g ∈ L 1 (Rd ) ∩ L 2 (Rd ), a wi¦c
Fg = ĝ . St¡d wynika drugi wzór z twierdzenia.
−r|ξ|2
Na mocy wniosku 8.22, transformat¡ Fouriera Kr ∗f jest caªkowalna funkcja e
Ff (ξ).
2
d
Ponadto f ∗ Kr d¡»y do f w L (R ). Wraz z wykazanym ju» drugim wzorem z twierdzenia dowodzi to pierwszego wzoru. Jednostajno±ci zbie»no±ci dowodzi si¦ tak samo, jak w
1
d
dowodzie wzoru na transformat¦ odwrotn¡ na L (
).
R
wiczenie 8.24. Sformuªuj i udowodnij odpowiedniki ¢wicze« 8.38.8 dla transfor-
maty Fouriera na
L 2 (Rd ).
F 2 f (x) = (2π)d f (−x)
2
d
jednostkowym na L (R ).
−2d
(2π)
F
4
jest operatorem
dla
f ∈ L 2 (Rd )
oraz »e
L 2 (Rd ) rozkªada si¦
na ortogonaln¡ sum¦ prost¡ czterech podprzestrzeni liniowych H1 , Hi , H−1 , H−i , na
−d/2
których (2π)
F dziaªa jako operator mno»enia odpowiednio przez 1, i, −1, −i.
wiczenie 8.26. Wywnioskuj z twierdzenia spektralnego, »e
R
1
d
Udowodnili±my, »e transformacja Fouriera jest ci¡gªym operatorem liniowym z L (
)
∞
d
2
d
2
d
˜
ˆ
w L (
) oraz z L ( ) w L ( ). Pisz¡c Ff = f1 + Ff2 dla f = f1 + f2 ,
1
f1 ∈ L ( d ), f2 ∈ L 2 ( d ), mo»emy rozszerzy¢ F do przestrzeni L 1 ( d ) + L 2 ( d ).
1
d
Rozszerzenie to jest jednoznaczne, bowiem je±li f = f1 + f2 = g1 + g2 , f1 , g1 ∈ L (
),
2
d
1
d
2
d
f2 , g2 ∈ L ( ), to h = f1 − g1 = g2 − f2 jest funkcj¡ z L ( ) ∩ L ( ), a wi¦c
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
fˆ1 + Ff2 = (fˆ1 − ĥ) + (Ff2 + Fh) = ĝ1 + Fg2 .
Wobec tego
˜
Ff
nie zale»y od wyboru
f1 , f2 .
L p (Rd ) dla p ∈ [1, 2].
˜ jest operatorem
Wrócimy do tego tematu pó¹niej, w rozdziale ?? udowodnimy m.in., »e F
1
1
p
d
q
d
ograniczonym z L (R ) w L (R ), gdzie p ∈ [1, 2], q ∈ [2, ∞],
+ q = 1. Okazuje si¦
p
p
d
jednak, »e dla p > 2 operator F nie mo»e zosta¢ w sposób ci¡gªy rozszerzony na L (R ).
W szczególno±ci wi¦c
Lemat 8.27. Niech
√
F˜
okre±lone jest na ka»dej przestrzeni
a ∈ R, r > 0
fˆ(ξ) = ( 1 − 4iar)−d e
Dowód.
oraz
f (x) = Kr (x)eia|x|
−r|ξ|2 /(1−4iar)
2
. Wówczas
.
Dowód przebiega identycznie, jak wyznaczanie transformaty Fouriera
2
2
macie 8.11, lecz zamiast funkcji exp(−z /2) wyst¦puje exp(−(1 − 2ia)z /2).
Kr
w le-
41
p, q ∈ [1, ∞]. Dla funkcji f z poprzedniego lematu zachodzi
kf kp = kKr kp oraz kfˆkq = (1 + 16a2 r2 )−d/4 kK̂% kq dla % = r/(1 + 16a2 r2 ). W szczególno±ci dla pewnego c > 0 (zale»¡cego od wymiaru i q ),
kfˆkq ≥ cr−d/(2q) (1 + 16a2 r2 )d/(2q)−d/4 .
Lemat 8.28. Niech
|fˆ(ξ)| = (1 + 16a2 r2 )−d/4 K̂% (ξ), pierwsza cz¦±¢ wynika
przedniego lematu. Druga (dla q ∈ [1, ∞)) jest konsekwencj¡ oszacowania
Z
Z
|B(0, 1)|
2
q
−q%|ξ|2
e−q%|ξ| dξ ≥
.
kK̂% kq =
e
dξ ≥
√
e(q%)d/2
Rd
B(0,1/ q%)
Dowód.
Poniewa»
Badaj¡c
r=1
oraz
a → ∞,
Wniosek 8.29. Niech
wprost z po-
natychmiast otrzymujemy nast¦puj¡cy wniosek.
p ∈ [1, ∞], q ∈ [1, 2). Transformacja Fouriera nie rozszerza si¦
L p (Rd ) do L q (Rd ).
do ograniczonego operatora z
1
p
d
+ 1q 6= 1. Rozwa»aj¡c
1
∞
d
funkcje postaci f (rx) dla dowolnej niezerowej f ∈ L (R ) ∩ L (R ), wyka», »e
p
d
transformacja Fouriera nie rozszerza si¦ do ograniczonego operatora z L (R ) do
q
d
L (R ).
d/2 ˆ
f gdy
wiczenie 8.31. Rozwa»my funkcj¦ f z lematu 8.27. Do czego d¡»y r
2
r → ∞? W jaki sposób mo»na interpretowa¢ transformat¦ Fouriera funkcji eia|x| ?
p, q ∈ [1, ∞]
i przypu±¢my, »e
42
9.
Transformata Fouriera rozszerzenia
f ∈ L p (Rd )
Badanie zbie»no±ci transformaty odwrotnej dla funkcji
niem podobnym do badania zbie»no±ci szeregów Fouriera.
jest zagadnie-
Wpierw zajmiemy si¦ teraz
analogami braku zbie»no±ci sum cz¦±ciowych oraz zbie»no±ci ±rednich Cesàro.
It = [−t, t]d oznacza d-wymiarow¡ kostk¦.
Lemat 9.1. Transformat¡ Fouriera funkcji
td
d
Y
2 sin(tξj )
tξj
j=1
d
Y
2(1 − cos(tξj ))
Qd
Dowód.
j=1
Wystarczy rozwa»y¢ przypadek
Z
∞
−∞
1It (x)eiξx dx = 2
max(1 −
|xj |
, 0) jest
t
.
t2 ξj2
j=1
jest
,
za± transformat¡ Fouriera funkcji
td
1It
Niech
d = 1.
t
Z
cos(ξx)dx =
0
Wówczas
2 sin(tξ)
.
ξ
Caªkuj¡c przez cz¦±ci, otrzymujemy analogicznie
Z
∞
max(1 −
−∞
|x| iξx
)e dx
t
Z
t
(1 − xt ) cos(ξx)dx
=2
0
2
=
ξt
Z
r
sin(ξx)dx =
0
2(1 − cos(ξt))
.
ξ2t
Jednym z analogów sum cz¦±ciowych s¡ wyra»enia wyst¦puj¡ce w poni»szym wyniku.
Twierdzenie 9.2. Istnieje funkcja
1
(2π)d
Z
dla której ukªad funkcji
fˆ(ξ)eiξ·x dξ
[−t,t]d
nie jest zbie»ny w
gdy
f ∈ L 1 (Rd )
L 1 (Rd )
(a wr¦cz normy
L 1 (Rd )
tych funkcji s¡ nieograniczone)
t → ∞.
Dowód.
Ze wzoru na transformat¦ odwrotn¡ na
L 2 (Rd ),
funkcja
1It
jest transformat¡
Fouriera funkcji
d
td Y 2 sin(txj )
ft (x) =
,
(2π)d j=1
txj
L 2 (Rd )
C0 (Rd ).
Ustalmy t > 0. Ukªad
ft ∗ Kr (Kr jest j¡drem GaussaWeierstressa) d¡»y punktowo (a nawet jednostaj+
+
nie) do ft gdy r → 0 . Gdyby normy kft ∗ Kr k1 byªy ograniczone gdy r → 0 , to z
1
d
lematu Fatou wynikaªoby, »e ft ∈ L (R ). Wobec tego kft ∗ Kr k1 mo»e by¢ dowolnie
która nie jest caªkowalna, ale nale»y do
oraz
funkcji
du»e.
t > 0 istniej¡ zatem liczby r(t) oraz s(t) takie, »e k1Is(t) · (ft ∗ Kr(t) )k1 > t.
Okre±lmy operator At wzorem At f (x) = 1Is(t) (x)ft ∗f (x). Wówczas At jest ograniczonym
Dla ka»dego
43
operatorem z
L 1 (Rd )
w
L 1 (Rd ),
bowiem
kAt f k1 ≤ kIs(t) k2 kft ∗ f k2 ≤ kIs(t) k2 kft k2 kf k1
na mocy nierówno±ci Schwarza oraz wniosku 6.17. Udowodnili±my ju», »e norma opera1
d
tora At przekracza t. Wobec zasady BanachaSteinhausa istnieje funkcja f ∈ L (
)
R
kAt f k1 jest nieograniczona gdy t → ∞. Poniewa» kf ∗ ft k1 ≥ kAt f k1 ,
kf ∗ ft k1 s¡ nieograniczone. Z drugiej strony f ∗ ft jest funkcj¡ z L 2 (Rd ) o
2
d
transformacie Fouriera 1It (ξ)fˆ(ξ), zatem ze wzoru na transformat¦ odwrotn¡ na L (R ),
Z
1
f ∗ ft (x) =
fˆ(ξ)eiξ·x dξ.
(2π)d [−t,t]d
dla której norma
równie» normy
Przy powy»szej analogii sum cz¦±ciowych, odpowiednikiem ±rednich Cesaàro s¡ wyra»enia w poni»szym twierdzeniu.
f ∈ L 1 (Rd ), w sensie zbie»no±ci w L 1 (Rd ),
!
Z
d
Y
1
|ξ |
max(1 − tj , 0) fˆ(ξ)eiξ·x dξ.
f (x) = lim
t→∞ (2π)d Rd
j=1
Twierdzenie 9.3. Dla
Dowód.
Ze wzoru na odwracanie, funkcja
Qd
j=1
max(1 −
|ξj |
, 0) jest transformat¡ Fouriera
t
funkcji
d
td Y 2(1 − cos(tξj ))
gt (x) =
.
(2π)d j=1
t2 ξj2
gt tworz¡ jedno±¢ aproksymatywn¡ gdy t → ∞: s¡ nieujemne, gt (x) = td g1 (tx)
1
d
oraz kgt k1 = ĝt (0) = 1. Wobec tego f ∗ gt d¡»y do f w L (R ). Ponadto f ∗ gt nale»y
1
d
do L (R ) i ma transformat¦ Fouriera równ¡
!
d
Y
|ξ |
max(1 − j , 0) fˆ(ξ).
Funkcje
t
j=1
Teza wynika ze wzoru na odwracanie.
wiczenie 9.4. Udowodnij, »e przy oznaczeniach z twierdzenia 9.2 zachodzi
L (R )
1
d
dla wszystkich
K1 ∗ft ∈
/
t > 0.
wiczenie 9.5. Udowodnij twierdzenia analogiczne do powy»szych dla granic
1
lim
t→∞ (2π)d
Z
Rd
max(1 −
|ξ|
, 0)fˆ(ξ)eiξ·x dξ
t
L 1 (Rd ) i jest równa f )
Z
1
lim
fˆ(ξ)eiξ·x dξ
t→∞ (2π)d B(0,t)
(istnieje w
(nie musi istnie¢ w
L 1 (Rd )).
oraz
44
wiczenie 9.6. Poszukaj informacji o zbiorach Kakeyi/Bezikowicza i ich zastosowa-
niu do badania zbie»no±ci granicy
1
lim
t→∞ (2π)d
w
Z
fˆ(ξ)eiξ·x dξ
B(0,t)
L p (Rd ), p ∈ (1, ∞).
Dowód twierdzenia 9.3 jest uniwersalny: po prawej stronie mo»na zamieni¢ czynnik
|ξj |
j=1 max(1− t , 0) transformat¡ Fouriera dowolnej jedno±ci aproksymatywnej. Wa»nym
przykªadem takiej jedno±ci aproksymatywnej jest j¡dro Poissona (lub j¡dro Cauchy'ego ),
Qd
zdeniowane wzorem
Γ( d+1
)
t
2
π (d+1)/2 (t2 + |x|2 )(d+1)/2
Pt (x) =
dla
t > 0 oraz x ∈ Rd .
Potrzebny nam b¦dzie nast¦puj¡cy wynik. Dowód dla
d = 1 mo»na
upro±ci¢, wykorzystuj¡c metody caªki zespolonej. W ogólnym przypadku pomocny jest
Pt (x)
trik polegaj¡cy na wyra»eniu
Kr (x)
wzgl¦dem
Lemat 9.7. Zachodzi
Dowód.
jako caªkowej ±redniej j¡dra GaussaWeierstrassa
r > 0.
P̂t (ξ) = e−t|ξ| .
a, b > 0,
Zauwa»my, »e dla dowolnych
stosuj¡c podstawienie
√
√
u = a v − b/ v
otrzymujemy
√
Z
∞
π=
−u2
e
−∞
Ponadto podstawienie
∞
Z
1
du =
2
∞
√
(av −1/2 + bv −3/2 )e−(a
√
v−b/ v)2
dv.
0
v = b2 /(a2 w)
√
av −1/2 e−(a
Z
√
v−b/ v)2
daje
Z
dv =
0
∞
bw−3/2 e−(b/
√
√
w−a w)2
dw,
0
zatem
√
Z
∞
e
π=
−∞
Niech
−u2
Z
du =
∞
√
bv −3/2 e−(a
√
v−b/ v)2
dv.
0
gt (r) = (4π)−1/2 tr−3/2 exp(−t2 /(4r)) dla t, r > 0. Otrzymujemy
Z ∞
Z ∞
√ 2
√
1
t|ξ|
−r|ξ|2
gt (r)e
tr−3/2 e−(|ξ| r−t/(2 r)) dr = 1,
e
dr = √
4π 0
0
czyli
Z
∞
gt (r)K̂r (ξ)dr = e−t|ξ| .
0
R∞
W szczególno±ci
gt (r)dr = 1. Z drugiej strony, stosuj¡c podstawienie r = (t2 +
0
|x|2 )/(4s), otrzymujemy
Z ∞
Z ∞
t
2
2
gt (r)Kr (x)dr =
r−(d+3)/2 e−(t +|x| )/(4r) dr
(d+1)/2
(4π)
0
0
Z ∞
1
t
= (d+1)/2 2
s(d−1)/2 e−s ds = Pt (x).
π
(t + |x|2 )(d+1)/2 0
Teza wynika z twierdzenia Fubiniego.
45
R
Pt (x) = td P1 (tx), Pt (x) ≥ 0 oraz Rd Pt (x)dx = P̂t (0) = 1, j¡dro Poissona
+
jest jedno±ci¡ aproksymatywn¡ (gdy t → 0 ). St¡d natychmiast wynika zbie»no±¢ f ∗ Pt
p
d
+
p
d
do f w L (R ) gdy t → 0 dla wszystkich f ∈ L (R ) i dla ka»dego p ∈ [1, ∞).
Poniewa»
P̃t (x) = π1 x/(t2 + x2 ) dla x ∈ R (jest to sprz¦»one j¡dro
2
»e f ∈ L (R), ale f ∈
/ L 1 (R). Udowodnij, »e FP̃t (ξ) =
wiczenie 9.8. Niech
Poissona ). Zauwa»,
(−i sign ξ)e−t|ξ| .
wiczenie 9.9. Wykonaj analogiczny rachunek w
1≤j≤d
oraz
Pt
jest j¡drem Poissona w
R
d
Rd dla P̃j,t (x) = (xj /t)Pt (x), gdzie
.
W podobny sposób wyznacza si¦ transformat¦ Fouriera tzw. j¡dra potencjaªu Riesza.
Wynik ten mo»na rozszerzy¢ do
α ∈ (0, d)
przy odpowiedniej interpretacji transformaty
Fouriera.
Lemat 9.10. Transformat¡ Fouriera funkcji
dla pewnej staªej
f (x) = |x|−d+α
dla
α ∈ (0, d2 ) jest cα |ξ|−α
Cα > 0.
R
R
R
1
d
Poniewa» f ∈ L (
) + L 2 ( d ), transformata f jest poprawnie okre±lona i
2
d
˜ (ξ/r) = rα Ff
˜ (ξ).
nale»y do L (
) + L ∞ ( d ). Ponadto rd f (rx) = rα f (x), zatem Ff
Dowód.
R
f (x) jest funkcj¡ |x|,
Ff (ξ/|ξ|) dla ξ ∈ Rd \ {0}
Poniewa»
−α ˜
|ξ|
˜ (ξ) jest funkcj¡ |ξ|. Ostatecznie Ff
˜ (ξ) =
Ff
d
˜
Ff (ξ/|ξ|) nie zale»y od ξ ∈ R \ {0}.
równie»
oraz
wiczenie 9.11. Uzasadnij, »e funkcja
2α π d/2
Γ( d−α
)
2
f (x) =
Wynacz staª¡
Cα
Z
f
z lematu 9.10 speªnia
∞
r−1+α/2 Kr (x)dr.
0
z tego lematu.
Wszystkie rozwa»ane powy»ej metody odwracania transformaty Fouriera, które s¡
1
d
zbie»ne w L (
), s¡ równie» zbie»ne w L p ( d ) dla p ∈ [1, 2] oraz prawie wsz¦dzie.
R
R
Pierwsze stwierdzenie wynika ªatwo z wªasno±ci splotu i dwóch wzorów na odwracanie:
1
d
w L (
) i L 2 ( d ). Drugie stwierdzenie jest konsekwencj¡ nast¦puj¡cego wyniku.
R
R
f ∈ L 1 (Rd ), za± ϕr (x) jest jednoto f ∗ ϕr d¡»¡ do f prawie wsz¦dzie
Twierdzenie 9.12 (dowód w rozdziale 13). Je±li
±ci¡ aproksymatywn¡ tak¡, jak w lemacie 8.12,
+
gdy r → 0 .
W dalszej cz¦±ci tego rozdziaªu zajmiemy si¦ zwi¡zkami pomi¦dzy regularno±ci¡ i szybko±ci¡ zaniku
f
i analogicznymi wªasno±ciami
fˆ.
f jest szybko malej¡ca, je±li (1 + |x|2 )n f (x) jest
n ≥ 0. Mówimy, »e funkcja f jest klasy Schwartza,
funkcj¡ ograniczon¡ dla ka»dego
∞
d
je±li f ∈ C (
) oraz f i wszystkie jej pochodne cz¡stkowe (dowolnego rz¦du) s¡
R
szybko malej¡ce. Klas¦ funkcji Schwartza oznaczamy symbolem
f ∈ S,
to
fˆ ∈ S .
S.
46
Dowód.
Af = f − ∆f = f − (∂12 + ∂22 f + ... + ∂d2 f ). Z denicji klasy Schwartza
2
2
2
wynika, »e Af ∈ S , ponadto transformat¡ Fouriera Af jest (1 + ξ1 + ξ2 + ... + ξd )fˆ(ξ), a
2
2 n
wi¦c (1 + |ξ| )fˆ(ξ) jest funkcj¡ ograniczon¡. Przez indukcj¦ dowodzimy, »e (1 + |ξ| ) fˆ(ξ)
jest ograniczona dla dowolnego n ≥ 0, a wi¦c fˆ jest szybko malej¡ca.
Równie» z denicji klasy Schwartza wynika, »e ξj f (ξ) jest funkcj¡ klasy Schwartza,
a wi¦c ∂j fˆ istnieje i jest szybko malej¡ca. Przez indukcj¦ dowodzi si¦, »e wszystkie
pochodne cz¡stkowe fˆ istniej¡ i s¡ szybko malej¡ce, co ko«czy dowód.
Niech
Cc∞ (Rd ) ⊆ S , klasa Schwartza jest g¦stym podzbiorem C0 (Rd ) oraz L p (Rd )
dla p ∈ [1, ∞). Ponadto j¡dro GaussaWeierstrassa Kr skªada si¦ z funkcji z klasy
Schwartza. atwo sprawdzi¢, »e f ∗g ∈ S je±li f ∈ S i g jest szybko malej¡ca. Podobnie
f · g ∈ S je±li f ∈ S i g ∈ C ∞ (Rd ) ma wszystkie pochodne cz¡stkowe ograniczone. W
szczególno±ci zatem (f ∗ Kr ) · K̂q oraz (f · K̂q ) ∗ Kr s¡ funkcjami klasy Schwartza dla
1
d
∞
d
dowolnej funkcji f ∈ L (R ) + L (R ).
Cz¦sto wygodnie jest dowodzi¢ wpierw twierdze« dla funkcji z S , a nast¦pnie uogólnia¢
1
d
je do np. L (R ), wykorzystuj¡c ci¡gªo±¢.
Poniewa»
s ∈ [0, ∞) okre±lamy przestrze« Sobolewa H s (Rd ) jako
2
d
2 s/2
funkcji f ∈ L (R ) takich, »e (1 + |ξ| )
Ff (ξ) jest w L 2 (Rd ). Na H s (Rd )
±lamy norm¦ Sobolewa
1/2
Z
2 s
2
(1 + |ξ| ) |Ff (ξ)| dξ
.
kf kH s (Rd ) =
Definicja 9.15. Dla
Rd
Tak, jak w przypadku
L 2 (Rd )
w przestrzeni
H s (Rd )
zbiór
okre-
uto»samiamy funkcje równe
prawie wsz¦dzie.
p ∈ [1, ∞), f ∈ L p (Rd ), Q ≥ 1, w jest ci¡gª¡,
d
nieujemn¡ funkcj¡ o wªasno±ci w(x + y) ≤ Q(w(x) + w(y)) dla x, y ∈ R oraz
f · w ∈ L p (Rd ). Przypu±¢my ponadto, »e ϕr jest jedno±ci¡ aproksymatywn¡, która
Lemat 9.16. Przypu±¢my, »e
dodatkowo speªnia warunek
Z
Rd \B(0,εr )
|ϕr (x)|w(x)dx < εr
εr → 0 gdy r → 0+ jest takie, jak w denicji
p
d
Wówczas w · (f ∗ ϕr ) d¡»y do w · f w L (R ).
(gdzie
Dowód.
jedno±ci aproksymatywnej).
Zachodzi
kw · (f ∗ ϕr ) − w · f kp ≤ kw · (f ∗ ϕr ) − (w · f ) ∗ ϕr kp + k(w · f ) ∗ ϕr − w · f kp .
47
Poniewa»
w · f ∈ L p (Rd ),
drugi skªadnik po prawej stronie d¡»y do zera gdy
r → 0+ .
Ponadto na mocy lematu 6.16,
kw · (f ∗ ϕr ) − (w · f ) ∗ ϕr kp
p 1/p
Z Z
dx
=
(w(x)
−
w(x
−
y))f
(x
−
y)|ϕ
(y)|dy
r
Rd Rd
Z
Z
≤
Rd
Rd
Rd
Wobec nierówno±ci
p
Rd
1/p
|(w(x) − w(x − y))f (x − y)| dx
Z
Z
=
p
p
1/p
|w(z + y) − w(z)| |f (z)| dz
0 ≤ w(z + y) ≤ Q(w(z) + w(y)),
|ϕr (y)|dy
|ϕr (y)|dy.
zachodzi
|w(z + y) − w(z)|p ≤ Qp (w(z) + w(y))p ≤ (2Q)p ((w(z))p + (w(y))p ).
Zatem funkcja
Z
g(y) =
p
Rd
p
1/p
|w(z + y) − w(z)| |f (z)| dz
2Q(kw · f kp + w(y)kf kp ) i ci¡gªa (na mocy twierdzenia Lebesgue'a
zbie»no±ci ograniczonej). Ponadto g(0) = 0. Ustalmy ε > 0. Zachodzi zatem
Z
Z
|ϕr (y)|dy
g(y)|ϕr (y)|dy ≤ sup{g(y) : y ∈ B(0, εr )}
B(0,εr )
Rd
Z
+ 2Q
(kw · f kp + w(y)kf kp )|ϕr (y)|dy
jest ograniczona przez
o
Rd \B(0,εr )
≤ εr sup{g(y) : y ∈ B(0, εr )} + 2Qεr (kw · f kp + kf kp ).
Gdy
r → 0+ ,
prawa strona d¡»y do zera.
s ∈ [0, ∞) oraz f ∈ H s (Rd ), za± Kr jest j¡drem
f ∗ Kr oraz f · K̂r d¡»¡ do f w H s (Rd ) gdy r → 0+ .
Lemat 9.17. Je±li
Weierstrassa, to
Dowód.
Gaussa
Na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci ograniczonej,
kf ∗ Kr −
Rd ) =
f k2H s (
Z
R
(1 + |ξ|2 )s |Ff (ξ)|2 (1 − K̂ξ (ξ))2 dξ → 0
d
r → 0+ . To dowodzi pierwszej cz¦±ci. Niech w(ξ) = (1 + |ξ|2 )s/2 oraz g(ξ) = Ff (ξ).
Poniewa» F(f · K̂r ) = g ∗ Kr , z poprzedniego lematu otrzymujemy zbie»no±¢
gdy
kf K̂r − f kH s (Rd ) = kw · F(f K̂r ) − w · Ff k2 = kw · (g ∗ Kr ) − w · gk2
do zera gdy
r → 0+ .
S jest g¦stym podzbiorem H s (Rd ) dla ka»dego s ∈
[0, ∞). Co wi¦cej, dla ka»dych s, t ∈ [0, ∞) oraz dla ka»dej funkcji f ∈ H s (Rd )
t
d
s
d
takiej, »e Ff ∈ H (R ) istnieje ci¡g fn ∈ S taki, »e fn → f w H (R ) oraz
t
d
Ffn → Ff w H (R ).
Lemat 9.18. Klasa Schwartza
48
Dowód. Oczywi±cie funkcje klasy Schwartza (oraz ich transformaty Fouriera) nale»¡ do
H s (Rd ) dla ka»dego s ∈ [0, ∞). G¦sto±¢ S w H s (Rd ) wynika z drugiej cz¦±ci lematu,
zastosowanej dla t = 0.
Je±li f speªnia warunki lematu i r > 0, to niech fq,r = (f · K̂q ) ∗ Kr , gdzie Kr jest
j¡drem GaussaWeierstrassa. Zauwa»my, »e Ffq,r = ((Ff ) ∗ Kq ) · K̂r . Wiemy ju», »e
fq,r ∈ S . Na mocy poprzedniego lematu,
lim kfq,r − f · K̂q kH s (Rd ) = 0,
lim kFfq,r − (Ff ) ∗ Kq kH t (Rd ) = 0.
r→0+
r→0+
Ponadto, znów na mocy poprzedniego lematu,
lim kf · K̂q − f kH s (Rd ) = 0,
lim k(Ff ) ∗ Kq − Ff kH t (Rd ) = 0.
r→0+
q→0+
Stosuj¡c metod¦ przek¡tniow¡, znajdujemy szukany ci¡g
fn = fqn ,rn .
Dla informacji przytoczmy jeden z najwa»niejszych wyników dotycz¡cych przestrzeni
Sobolewa. Wynika z niego, »e szybko±¢ zaniku
caªkowalno±¢ i regularno±¢
f.
fˆ w niesko«czono±ci oznacza odpowiedni¡
Warto podkre±li¢, »e jest wiele rozmaitych uogólnie« tego
twierdzenia.
(a) Niech s ∈ [0, ∞) i
p ∈ [2, ∞] b¦d¡ takie, »e p1 ≥ 12 − ds . Wówczas H s (Rd ) jest podzbiorem
L p (Rd ), a odpowiednia norma Sobolewa jest sªabsza od normy L p (Rd ).
d
Niech s ∈ [0, ∞), n ≥ 0 oraz α ∈ (0, 1] b¦d¡ takie, »e s − n − α ≥ . Wów2
s
d
n,α
czas H (R ) jest podzbiorem C
(Rd ), tj. klasy funkcji, których wszystkie
pochodne cz¡stkowe rz¦du nie wi¦kszego od n speªniaj¡ warunek Höldera z
wykªadnikiem α.
Twierdzenie 9.19 (zanurzenie Sobolewa; bez dowodu).
(b)
Wykorzystuj¡c lemat 9.18, udowodnimy matematyczne sformuªowanie sªynnej zasady
nieoznaczono±ci Heisenberga.
f ∈ L 2 (Rd ), to
1/2
2
2
|ξ| |Ff (ξ)| dξ
≥ d2 kf k22 .
Twierdzenie 9.20 (zasada nieoznaczono±ci). Je±li
1
(2π)d/2
1/2 Z
|x| |f (x)| dx
Z
2
2
Rd
Rd
f ma pierwsze
j = 1, ..., d, to
W szczególno±ci je±li
dla wszystkich
kxf k2 k∇f k2 ≥
d
2
pochodne cz¡stkowe oraz
f, xj f, ∂j f ∈ L 2 (Rd )
kf k22 ;
tutaj norma funkcji wektorowej to norma euklidesowa wektora norm wspóªrz¦dnych.
Dowód.
Niech
dkf k22
f ∈ S.
=
Na mocy wzoru na caªkowanie przez cz¦±ci,
d Z
X
j=1
Rd
f (x)f (x)dx = −
d Z
X
Rd
j=1
≤2
d Z
X
j=1
Rd
xj (f (x)∂j f (x) + f (x)∂j f (x))dx
|xj ||f (x)||∂j f (x)|dx
49
Z nierówno±ci Schwarza i to»samo±ci Plancherela otrzymujemy
dkf k22 ≤ 2
!1/2
d Z
X
|xj |2 |f (x)|2 dx
R
d
j=1
2
≤
(2π)d/2
j=1
!1/2
d Z
X
j=1
Rd
|xj |2 |f (x)|2 dx
|∂j f (x)|2 dx
R
d
!1/2
d Z
X
Rd
j=1
f ∈ S.
Zatem nierówno±¢ zachodzi dla
!1/2
d Z
X
|ξj |2 |Ff (ξ)|2 dξ
.
Ponadto oczywi±cie nierówno±¢ z twierdzenia
zachodzi, gdy jej lewa strona jest niesko«czona.
2
d
Przypu±¢my, »e f ∈ L (
), za± |x|2 |f (x)|2 oraz
R
|ξ|2 |Ff (ξ)|2 s¡ caªkowalne. Na mocy
2 1/2
lematu 9.18 istnieje ci¡g fn ∈ S taki, »e (1 + |x| )
fn (x) d¡»y do (1 + |x|2 )1/2 f (x)
2
d
2 1/2
2 1/2
w L (R ) oraz (1 + |ξ| )
Ffn (ξ) d¡»y do (1 + |ξ| ) Ff (ξ) w L 2 (Rd ). Nierówno±¢
zostaªa ju» udowodniona dla fn , przej±cie graniczne daje nierówno±¢ dla f .
wiczenie 9.21. Dla jakich
f
zachodzi równo±¢ w powy»szym twierdzeniu?
Inna wersja zasady nieoznaczono±ci Heisenberga mówi, »e
f i Ff
nie mog¡ jednocze±nie
mie¢ zwartego no±nika. Udowodnimy nawet wi¦cej.
Twierdzenie 9.22 (twierdzenie PaleyWienera). Je±li
fˆ rozszerza
f (x) = 0 gdy |x| > R, to
|fˆ(ξ)| ≤ eR| Im ξ| kf k1
dla
na
ξ ∈ Cd .
C
d
Przeciwnie, je±li
R > 0, f ∈ L 1 (Rd )
si¦ do funkcji holomorcznej na
f ∈ L 1 (Rd ) i fˆ rozszerza
C
d
oraz
oraz
si¦ do funkcji holomorcznej
, która speªnia
|fˆ(ξ)| ≤ ceR| Im ξ| ,
to
f (x) = 0
Dowód.
x ∈ Rd ,
które speªniaj¡
|x| > R.
Funkcja
fˆ(ξ) =
Z
R
e
iξ·x
Z
f (x)dx =
d
e−(Im ξ)·x ei(Re ξ)·x f (x)dx
B(0,R)
jest poprawnie okre±lona dla
ξ ∈ Cd i, z twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci ograniczonej,
holomorczna. Ponadto
|fˆ(ξ)| ≤
Z
B(0,R)
e−(Im ξ)·x |f (x)|dx ≤ eR| Im ξ| kf k1 .
50
Dowód przeciwnej implikacji wykorzystuje wzór na transformat¦ odwrotn¡: gdy
, to
R/(1 − ε) oraz η = εx
r
|x| >
Z
1
i(ξ+iη)·x
−r(ξ+iη)·(ξ+iη)
ˆ(ξ + iη)e
|f ∗ Kr (x)| = f
dξ
e
(2π)d Rd
Z
c
2
2
≤
e−r|ξ| +r|η| eR|η| e−η·x dξ
d
(2π) Rd
Z
c
2
2
2
2
=
e−r|ξ| +(ε /r)|x| e(εR/r)|x| e−(ε/r)|x| dξ
d
(2π) Rd
2d/2 c −d/2 −ε|x|((1−ε)|x|−R)/r
r
e
→0
π d/2
=
gdy
r → 0+ ;
szczegóªy pomijamy.
Znane s¡ rozmaite warianty powy»szego twierdzenia; jeden z najwa»niejszych dotyczy
funkcji na póªprostej.
Twierdzenie 9.23 (twierdzenie PaleyWienera; bez dowodu). Je±li
f ∈ L 1 (R)
x < 0, to fˆ rozszerza si¦ do ograniczonej funkcji holomorcznej w
dolnej póªpªaszczy¹nie {ξ ∈ C : Im ξ < 0}, ci¡gªej na brzegu. Przeciwnie, gdy takie
rozszerzenie fˆ istnieje, to f (x) = 0 dla prawie wszystkich x < 0.
oraz
f (x) = 0
gdy
f ∈ L 1 (Rd ) ma no±nik zwarty, to zbiór miejsc zerowych funkcji
wn¦trze. W szczególno±ci fˆ nie mo»e mie¢ zwartego no±nika.
fˆ w R
d
ma puste
Dowód. Przypu±¢my, »e fˆ(ξ) = 0 dla ξ z pewnej (by¢ mo»e nieograniczonej) kostki I1 ×
... × Id . Wówczas dla ustalonych ξj ∈ Ij , j = 2, ..., d, funkcja f (ξ) zmiennej ξ1 jest
C i zbiór jej miejsc zerowych ma punkt skupienia. Wobec tego jest ona
stale równa zero. Mo»na zatem I1 zast¡pi¢ przez R. Powtarzaj¡c to rozumowanie d razy,
uzyskujemy równo±¢ fˆ(ξ) = 0 dla ξ z kostki R × ... × R.
holomorczna na
51
10.
Transformata Fouriera na grupach
Teori¦ szeregów i transformaty Fouriera mo»na dalej uogólnia¢ w rozmaity sposób. W
poni»szym rozdziale bardzo skrótowo przedstawimy ogólne idee dotycz¡ce grup topologicznych.
Definicja 10.1. Zbiór
G
z dziaªaniem i topologi¡ nazywamy
grup¡ topologiczn¡,
G jest grup¡, topologia rozdziela punkty, a dziaªanie jest ci¡gªe, tj. funkcja
f (x, y) = x−y jest ci¡gªa z G×G (z topologi¡ produktow¡) do G. Grup¦ topologiczn¡
je±li
nazywamy:
• lokalnie zwart¡, je±li pewne otoczenie 0 ma zwarte domkni¦cie;
• zwart¡, je±li G jest przestrzeni¡ zwart¡;
• dyskretn¡, je±li G jest przestrzeni¡ dyskretn¡ (tj. wszystkie podzbiory G
s¡
otwarte).
B¦dziemy si¦ zajmowa¢ wyª¡cznie grupami przemiennymi.
Przykªady przemiennych
grup lokalnie zwartych to:
•
•
•
•
R (z dodawaniem) i ogólniej Rd ;
T = R/(2π Z) (z dodawaniem modulo 2π ) i ogólniej Td ;
Z (z dodawaniem) i ogólniej Zd ;
Zp = Z/(pZ) (z dodawaniem modulo p).
Kolejne dwa przykªady zawarte s¡ w nast¦puj¡cych ¢wiczeniach.
x ∈ Q niech |x|p = p−n , gdzie
n ∈ Z ma nast¦puj¡c¡ wªasno±¢: licznik i mianownik liczby p−n x (zapisanej w postaci
nieskracalnej) nie dziel¡ si¦ przez p. Przyjmujemy ponadto |0|p = 0. Udowodnij, »e
dp (x, y) = |x − y|p jest metryk¡ na Q, w której dziaªania dodawania i mno»enia s¡
p
b¦dzie liczb¡ pierwsz¡. Dla
ci¡gªe.
wiczenie 10.3. Zbiór
Q
z metryk¡
liczb p-adycznych Qp
Q
dp .
to uzupeªnienie przestrzeni metrycznej
Udowodnij, »e elementy
p mo»na w naturalny sposób uto»sami¢
P∞
n
z formalnymi szeregami
n=−∞ an p , w których an ∈ {0, 1, ..., p − 1} oraz an =
0 dla dostatecznie maªych n. Wyka» ponadto, »e dziaªania dodawania i mno»enia
s¡ zgodne z naturalnymi denicjami, tj. dodawanie odbywa si¦ z przeniesieniem po
wspóªrz¦dnych, za± mno»enie jest iloczynem Cauchy'ego szeregów z przeniesieniem.
Wywnioskuj, »e
Qp
jest grup¡ lokalnie zwart¡, a tak»e ciaªem liczbowym (z wy»ej
opisanymi denicjami dodawania i mno»enia).
caªkowitych liczb p-adycznych Q∗p (zwany cz¦sto odometrem )
to analogiczne uzupeªnienie zbioru Z w metryce dp , czyli równowa»nie domkni¦cie
wiczenie 10.4. Zbiór
zbioru
Z w Qp .
Wyka», »e
Q∗p
jest zwart¡ grup¡ topologiczn¡.
T Z
d
W±ród podanych przykªadów zwartymi grupami s¡
,
p i
d
i
p . Odt¡d G oznacza przemienn¡ grup¡ lokalnie zwart¡.
Z
Z
D
za± dyskretnymi b¦dzie dowolnym symetrycznym otoczeniem
0
o zwartym
G najmniejsz¡ domkni¦t¡ podgrup¡ G zawieraj¡c¡ D. Udowodnij,
S
D1 = D, Dn+1 = D + Dn = {x + y : x ∈ D, y ∈ Dn }, to G0 = ∞
n=1 Dn ,
domkni¦ciu, za±
»e je±li
0
Q∗p ,
52
wobec czego
G0
jest zbiorem otwarto-domkni¦tym,
σ -zwartym
(tj. b¦d¡cym sum¡
przeliczalnie wielu zbiorów zwartych).
miara Haara
G: nieujemna
miara borelowska µ na G taka, »e µ(K) < ∞ dla dowolnego zwartego K ⊆ G, µ(K) >
0 dla pewnego (równowa»nie: dowolnego) K o niepustym wn¦trzu oraz µ(x + E) =
µ(E) dla dowolnego x ∈ G i wszystkich borelowskich E ⊆ G. Ponadto miara µ jest
wyznacznona jednoznacznie, z dokªadno±ci¡ do przemno»enia przez czynnik staªy. Twierdzenie 10.6 (A. Weil; bez dowodu). Istnieje
wiczenie 10.7. Wska» miary Haara na
na
Rd , Td , Zd , Zp , Qp i Q∗p .
wiczenie 10.8. Udowodnij, »e miara Haara jest sko«czona wtedy i tylko wtedy,
gdy
G
jest zwarta.
wiczenie 10.9. Udowodnij, »e miara Haara jest
σ -sko«czona (tj. jest sum¡ przeG jest σ -zwarta (tj. jest
liczalnie wielu miar sko«czonych) wtedy i tylko wtedy, gdy
sum¡ przeliczalnie wielu zbiorów zwartych).
wiczenie 10.10. Udowodnij, »e miara Haara jest symetryczna, tj.
dla wszystkich borelowskich
µ(E) = µ(−E)
E.
inx
W szeregach Fouriera kluczow¡ rol¦ odgrywaªy funkcje e
, w transformacie Fouriera
iξ·x
funkcje e
. W przypadku przemiennych grup lokalnie zwartych t¦ funkcj¦ peªni¡
tzw. charaktery.
ϕ : G → T nazywamy charakterem
G. Zbiór wszystkich charakterów oznaczamy Ĝ i nazywamy grup¡ dualn¡ do G lub
grup¡ charakterów na G. Ponadto na Ĝ okre±lamy topologi¦ zbie»no±ci jednostajnej
na zwartych podzbiorach G (tj. baz¡ topologii s¡ zbiory U (K, ε, ϕ0 ) = {ϕ ∈ Ĝ :
|ϕ(x) − ϕ0 (x)| < ε dla x ∈ K}) oraz dziaªanie (ϕ1 + ϕ2 )(x) = ϕ1 (x) + ϕ2 (x).
Definicja 10.11. Dowolny ci¡gªy homomorzm
na
Bardzo cz¦sto charakterem nazywa si¦ funkcje postaci
eiϕ(x) ,
gdzie
ϕ
jest charakterem
w rozumieniu powy»szej denicji.
Ĝ
jest grup¡ topologiczn¡.
D ⊆ G b¦dzie otoczeniem 0 i ε ∈ (0, π2 ), oraz niech
K̂ = {ϕ ∈ Ĝ : ϕ(x) ∈ [−ε, ε] dla x ∈ D} (uto»samiamy T z przedziaªem [−π, π)).
Uzasadnij, »e dla n ≥ 1 istnieje otoczenie zera Dn o zwartym domkni¦ciu i takie, »e
Dn + Dn + ... + Dn ⊆ D (n skªadników po lewej stronie). Dowied¹, »e |ϕ(x)| ∈ [− nε , nε ]
dla x ∈ Dn oraz ϕ ∈ K̂ . Wywnioskuj, »e funkcje z K̂ s¡ jednakowo ci¡gªe i wobec
tego K̂ jest zwarty na mocy twierdzenia ArzeliAscoliego. Wywnioskuj, »e grupa Ĝ
jest lokalnie zwarta.
charakterem na
Ĝ.
x ∈ G oraz ψx : Ĝ → T, ψx (ϕ) = ϕ(x).
Udowodnij,
ψx
jest
53
G
jest zwarta, to funkcje
eiψ(x) ,
ψ ∈ Ĝ,
sytuacji Ĝ
gdzie
s¡ wzajemnie ortogonalne wzgl¦dem miary Haara. Wywnioskuj, »e w tej
jest grup¡ dyskretn¡.
We wszystkich przykªadach podanych powy»ej grup¦ dualn¡ stosunkowo ªatwo wyznaczy¢. Potrzebne s¡ do tego pewne proste fakty topologiczne. W poni»szych ¢wiczeniach
T
jest przedziaªem
[0, 2π)
z topologi¡ uto»samiaj¡c¡
podawa¢ sformuªowania dla
R).
grupy
0
2π .
i
(W nawiasach b¦dziemy
T = R/(2π Z), tj. gdy T jest rodzin¡ warstw podgrupy 2π Z
f : R → T jest ci¡gªa, to istnieje ci¡gªa funkcja
taka, »e f (x) przystaje do f˜(x) modulo 2π (tzn. f (x) = f˜(x) + 2π Z).
Wyka», »e funkcja f˜ jest wyznaczona jednoznacznie, je±li za»¡damy, by f (0) ∈ [0, 2π).
Przy tym zaªo»eniu udowodnij (rozwa»aj¡c funkcj¦ f˜(x + y) − f˜(x) − f˜(y)), »e je±li
f jest homomorzmem, to równie» f˜ jest homomorzmem.
f˜ : R → R
wiczenie 10.17. Udowodnij, »e wszystkie charaktery na
(mod 2π)
(tzn.
izomorczna z
ϕξ (x) = ξx + 2π Z)
R.
dla pewnego
ξ ∈ R.
R
s¡ postaci
ϕξ (x) = ξx
Wywnioskuj, »e
R̂
jest
T s¡ postaci ϕn (x) = nx
(mod 2π) (tzn. ϕξ (x + 2π Z) = nx + 2π Z) dla pewnego n ∈ Z. Wywnioskuj, »e T̂ jest
izomorczna z Z.
wiczenie 10.19. Zauwa», »e wszystkie charaktery na Z s¡ postaci ϕξ (k) = ξk
(mod 2π) (tzn. ϕξ (k) = ξk + 2π Z) dla pewnego ξ ∈ [0, 2π). Wywnioskuj, »e Ẑ jest
izomorczna z T.
wiczenie 10.20. Zauwa», »e wszystkie charaktery na Zp s¡ postaci ϕn (k) = nk
(mod p) (tzn. ϕn (k) = nk + pZ) dla pewnego n ∈ {0, 1, ..., p − 1}. Wywnioskuj, »e
Ẑp jest izomorczna z Zp .
wiczenie 10.18. Udowodnij, »e wszystkie charaktery na
wiczenie 10.21. Udowodnij, »e grupa dualna do
z
d
Ĝ
Gd
jest kanonicznie izomorczna
.
wiczenie 10.22. Opisz grupy dualne do
Qp i Q∗p .
Wymienione wy»ej wyniki sugeruj¡, »e grupa dualna do grupy dualnej do
morczna do
G.
Twierdzenie 10.23 (twierdzenie Pontriagina; bez dowodu).
(c)
jest izo-
Zauwa»my, »e w przypadku
x∈G
(a) Charaktery
ϕ ∈ Ĝ taki, »e ϕ(x) 6= 0.
Grupa dualna do Ĝ jest kanonicznie izomorczna z G przez przyporz¡dkowanie elementowi x ∈ G charakteru ψx (ϕ) = ϕ(x) na Ĝ.
Grupa G jest dyskretna wtedy i tylko wtedy, gdy Ĝ jest zwarta. Grupa G jest
zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy Ĝ jest dyskretna.
rozdzielaj¡ punkty: dla ka»dego
(b)
G
Mówi o tym twierdzenie Pontriagina.
istnieje
Rd i kilku innych przykªadów grup lokalnie zwartych twier-
dzenie Pontriagina zostaªo udowodnione w ¢wiczeniach poprzedzaj¡cych sformuªowanie
twierdzenia. Najtrudniejsz¡ cz¦±ci¡ dowodu w ogólnym przypadku jest istnienie dostatecznie wielu charakterów, tj. pierwszy punkt twierdzenia.
54
G.
Za pomoc¡ charakterów okre±la si¦ transformat¦ Fouriera na
G
ustalamy pewn¡ miar¦ Haara na
pewn¡ miar¦ Haara na
Ĝ
i oznaczamy j¡ symbolem
i oznaczamy j¡ symbolem
f ∈ L 1 (G) (tj. f
format¦ Fouriera funkcji f wzorem
Z
ˆ
f (x)e−iϕ(x) µ(dx).
f (ϕ) =
Definicja 10.24. Dla
µ.
W dalszej cz¦±ci
Analogicznie ustalamy
ν.
caªkowalnych wzgl¦dem
µ) okre±lamy trans-
G
Przeksztaªcenie Fouriera lub transformacja Fouriera
f ∈ L 1 (G) jej transformaty Fouriera fˆ.
f ∈ L 1 (G),
to
to przyporz¡dkowanie funkcji
fˆ ∈ C(Ĝ).
f ∈ L 1 (G) i niech τx (f )(y) = f (x + y). Udowodnij
Cc (G) w L 1 (G)), »e kτx f − f k1 → 0 gdy x → 0 w G.
rzystuj¡c g¦sto±¢
(wyko-
lemat RiemannaLebesgue'a : je±li f ∈ L 1 (G), to
fˆ ∈ C0 (Ĝ) (tzn. dla dowolnego ε > 0 istnieje zbiór zwarty K̂ ⊆ Ĝ taki, »e |fˆ(ϕ)| < ε
gdy ϕ ∈ Ĝ\ K̂ ). W tym celu rozwa» otoczenie zera Dε ⊆ G dla którego kτx f −f k1 < ε.
wiczenie 10.27. Udowodnij
Transformacja Fouriera na G ma wiele wªasno±ci znanych z teorii szeregów Fouriera i
d
transformaty Fouriera na
.
R
Twierdzenie 10.28 (bez dowodu).
(a) Transformacja Fouriera jest operatorem
ró»nowarto±ciowym z L (G) w C0 (Ĝ).
1
2
2
(b) Je±li f ∈ L (G) ∩ L (G), to fˆ ∈ L (Ĝ) i ponadto
1
staªej
kfˆk2 = Ckf k2
dla pewnej
C.
W szczególno±ci przeksztaªcenie Fouriera rozszerza si¦ do operatora
F unitarnego (z dokªadno±ci¡ do czynnika C ) z L 2 (G) w L 2 (Ĝ).
1
1
(c) Je±li f ∈ L (G) oraz fˆ ∈ L (Ĝ), to dla x ∈ G zachodzi wzór
1
f (x) = 2
C
deniuj¡cy
Z
fˆ(x)eiϕ(x) ν(dϕ),
Ĝ
odwrotne przeksztaªcenie Fouriera.
Na zako«czenie zauwa»my, »e denicja i wªasno±ci splotu funkcji uogólniaj¡ si¦ w prosty
sposób na przemienne grupy lokalnie zwarte.
Definicja 10.29. Okre±lamy
splot f ∗ g
funkcji
f, g
wzorem
Z
f ∗ g(x) =
f (y)g(x − y)µ(dy)
G
dla tych
x ∈ G,
dla których caªka jest zbie»na.
f, g ∈ L 1 (G), to splot f ∗ g(x) jest poprawnie
x ∈ G i wówczas kf ∗ gk1 ≤ kf k1 kgk1 .
okre±lony dla prawie wszystkich
splot
albo
f ∗ g(x) jest poprawnie
kf ∗ gk∞ ≤ kf k1 kgk∞ .
f, g ∈ L 2 (G)
okre±lony dla
f ∈ L 1 (G) i g ∈ L ∞ (G), to
wszystkich x ∈ G i kf ∗ gk∞ ≤ kf k2 kgk2
lub
55
wiczenie 10.32. Zauwa», »e splot jest przemienny i ª¡czny.
jest
fˆ(ϕ)ĝ(ϕ).
f, g ∈ L 1 (G),
to transformat¡ Fouriera
f ∗g
56
11.
Niech
X
Twierdzenie interpolacyjne Marcinkiewicza
b¦dzie przestrzeni¡ miarow¡ z miar¡
zbiór wszystkich (klas równowa»no±ci) funkcji
f,
µ.
Przypomnijmy, »e
dla których
kf kp < ∞,
L p (X)
oznacza
gdzie
1/p
p
|f (x)| µ(dx)
Z
kf kp =
X
p ∈ [1, ∞) oraz kf k∞ = ess sup |f |. Analogiczne denicje wprowadza si¦ równie» dla
p ∈ (0, 1), lecz wtedy otrzymuje si¦ przestrzenie, które nie s¡ przestrzeniami Banacha.
Przez 1ϕ oznaczmy funkcj¦ równ¡ 1 gdy ϕ jest prawdziwe, 0 gdy ϕ jest faªszywe. W
gdy
tym rozdziale stosujemy oznaczenie
µf (λ) = µ({x : |f (x)| > λ}).
p ∈ (0, ∞),
Z ∞
Z
1/p
1|f (x)|p >s dsµ(dx) =
µf (s )ds = p
Z twierdzenia Fubiniego wynika, »e dla
(11.1)
kf kpp =
Z Z
X
∞
0
0
∞
λp−1 µf (λ)dλ.
0
f ∈ L (X) wtedy i tylko wtedy, gdy λ µf (λ) jest caªkowalna na (0, ∞)
λ−1 dλ. Ponadto µf jest funkcj¡ nierosn¡c¡, a wi¦c
Z Λ
p
kf kp ≥ p
λp−1 µf (λ)dλ ≥ Λp µf (Λ)
p
Widzimy wi¦c, »e
p
wzgl¦dem miary
0
dla ka»dego
Λ > 0.
p
p
nale»y do sªabego L (p ∈ (0, ∞)), je±li t µf (t) nale»y
∞
p,∞
do L (0, ∞). Piszemy wówczas f ∈ L
(X). Okre±lamy ponadto kwazinorm¦
Definicja 11.1. Mówimy, »e
f
kf kp,∞ = sup{λ(µf (λ))1/p : λ > 0}.
Ponadto deniujemy
L ∞,∞ (X) = L ∞ (X) i kf k∞,∞ = kf k∞ .
przestrzenie Lorentza L p,q (X) jako przestrze« tych (klas równo1/q
wa»no±ci) funkcji f , dla których p
λ(µf (λ))1/p nale»y do przestrzeni L q ((0, ∞)), gdzie
−1
p
p,p
na (0, ∞) rozpatrujemy miar¦ λ dλ; zatem L (X) = L
(X). Nie b¦dziemy jednak
p
p,∞
wykorzystywa¢ przestrzeni innych ni» L (X) i L
(X).
p,∞
Oczywi±cie L
(X) zawiera L p (X) oraz kf kp,∞ ≤ kf kp . Funkcja k · kp,∞ dla p ∈
(0, ∞) nie jest norm¡; speªnia jednak warunek kwazinormy, tj.
Ogólniej deniuje si¦
kf + gkp,∞ ≤ c(kf kp,∞ + kgkp,∞ ),
c=2
gdzie
dla
p ∈ [1, ∞)
oraz
x = 21/p
dla
p ∈ (0, 1).
W istocie,
(2t)p µf +g (2t) ≤ 2p tp µ({x : |f (x)| > t} ∪ {x : |g(x)| > t})
(11.2)
≤ 2p (kf kpp,∞ + kgkpp,∞ ) ≤ (2max(1,1/p) (kf kp,∞ + kgkp,∞ ))p .
Wprowadzamy nast¦puj¡ce oznaczenia na obci¦cia funkcji z góry i z doªu:
fλ (x) = f (x)1|f (x)|≤λ ,
f λ (x) = f (x)1|f (x)|>λ .
µ nie skªada
L p (X).
to
L p,∞ (X)
jest istotnie wi¦ksze od
wiczenie 11.3. Udowodnij, »e dla
nierówno±ci trójk¡ta.
p ∈ (0, ∞)
si¦ ze sko«czenie wielu atomów,
kwazinorma
k · kp,∞
nie speªnia
57
jest podzbiorem
L (X).
to
fλ ∈ L p1 (X)
0 < p0 < p < p1 ≤ ∞, to L p0 ,∞ (X)∩L p1 ,∞ (X)
p
f λ ∈ L p0 (X).
oraz
λ > 0, 0 < p0 < p < p1 ≤ ∞ oraz f ∈ L p,∞ (X),
p ∈ (1, ∞),
to kwazinorma
k · kp,∞
jest jedno-
stajnie równowa»na normie
Z
1/p−1
sup (µ(E))
|f (x)|µ(dx) : E ⊆ X, µ(E) ∈ (0, ∞) ,
E
w której
L
p,∞
(X)
jest przestrzeni¡ Banacha.
p
W niniejszym rozdziale badamy operatory dziaªaj¡ce z przestrzeni L (X) w przestrze«
L q (Y ) lub L q,w (Y ); miar¦ na przestrzeni miarowej Y oznaczamy przez ν i analogicznie
do
µf (λ)
zakªadali
νT f (λ).
kwaziliniowo±¢ :
deniujemy
Rozwa»ane operatory nie musz¡ by¢ liniowe, b¦dziemy
|T (f + g)(x)| ≤ Q(|T f (x)| + |T g(x)|)
dla wszystkich
f, g
z dziedziny operatora i wszystkich
x∈X
oraz dla pewnej staªej
Q.
T jest mocnego typu p, q je±li kT f kq ≤ Akf kp
dla wszystkich f ∈ L (X) z dziedziny T i pewnego A. Najmniejsz¡ liczb¦ A o tej
wªasno±ci nazywamy norm¡ T i oznaczamy kT kp→q .
Mówimy, »e T jest sªabego typu p, q , je±li kT f kq,∞ ≤ Akf kp dla wszystkich f ∈
L p (X) z dziedziny T i pewnego A. Najmniejsz¡ liczb¦ A o tej wªasno±ci równie»
nazywamy norm¡ T i oznaczamy kT kp→q,∞ .
Definicja 11.7. Mówimy, »e operator
p
p
p
W poni»szym twierdzeniu L 0 (X) + L 1 (X) oznacza zbiór wszystkich sum funkcji z
L p0 (X) i funkcji z L p1 (X). W szczególno±ci zbiór ten zawiera L p (X) dla wszystkich
p ∈ (p0 , p1 ).
Twierdzenie 11.8 (Twierdzenie interpolacyjne Marcinkiewicza). Przypu±¢my, »e
0 < p0 < p < p1 ≤ ∞, kwaziliniowy operator T jest okre±lony na L p0 (X) + L p1 (X)
i jest sªabego typu p0 , p0 oraz sªabego typu p1 , p1 , z normami A0 i A1 . Wówczas T
α β
jest mocnego typu p, p, z norm¡ co najwy»ej γA0 A1 , gdzie
!1/p
1
1
1
1 1
1
1
−
−
(
−
)
p
p1
p
p
p p0
p1
β = 10 1 ,
γ = 2Q
.
α= 1
1 ,
1
1
1
− p1
− p1
( p − p1 )( p0 − p1 )
p0
p0
Przyjmujemy tu, »e
1
∞
= 0,
za±
Q
jest staª¡ kwaziliniowo±ci
Dowód. Przypu±¢my wpierw, »e p1 < ∞.
λ we wzorze (11.1), otrzymujemy
kT f kpp
Z
=p
∞
p−1
t
0
r > 0.
Niech
p
Z
νT f (t)dt = p(2rQ)
0
T.
Podstawiaj¡c
∞
λp−1 νT f (2rQλ)dλ.
t = 2rQλ w miejsce
58
Szacuj¡c tak, jak w (11.2), otrzymujemy
νT f (2rQλ) = ν({y : |T f (y)| > 2rQλ})
≤ ν({y : Q(|T fλ (y)| + |T f λ (y)|) > 2rQλ})
≤ ν({y : |T fλ (y)| > rλ}) + ν({y : |T f λ (y)| > rλ})
= νT fλ (rλ) + νT f λ (rλ).
Ponadto
fλ ∈ L p1 (X)
f λ ∈ L p0 (X),
oraz
zatem
νT fλ (rλ) ≤ (rλ)−p1 kT fλ kpp11 ,∞ ≤ (rλ)−p1 Ap11 kfλ kpp11 ,
νT f λ (λ) ≤ (rλ)−p0 kT f λ kpp00 ,∞ ≤ (rλ)−p0 Ap00 kf λ kpp00 .
Prawe strony wyra»amy ponownie za pomoc¡ wzoru (11.1),
kfλ kpp11
λ
Z
p1 −1
= p1
t
kf λ kpp00 = p0
tp1 −1 µf (λ)dt,
µf (t)dt − p1
0
Z
λ
Z
0
λ
tp0 −1 µf (λ)dt + p0
0
Z
∞
tp0 −1 µf (t)dt.
p0
Podsumowuj¡c,
kT f kpp
Ap11
Ap00
p1
λ p0
≤ p(2rQ)
λ
kfλ kp1 +
kf kp0 dλ
(rλ)p1
(rλ)p0
0
Z λ
Z
pp1 Ap11 (2rQ)p ∞ p−p1 −1
p1 −1
λ
t
µf (t)dt dλ
=
r p1
0
0
Z λ
Z
pp1 Ap11 (2rQ)p ∞ p−p1 −1
p1 −1
t
µf (λ)dt dλ
−
λ
r p1
0
0
Z λ
Z
pp0 Ap00 (2rQ)p ∞ p−p0 −1
p0 −1
+
λ
t
µf (λ)dt dλ
r p0
0
0
Z ∞
Z
pp0 Ap00 (2rQ)p ∞ p−p0 −1
p0 −1
+
λ
t
µf (t)dt dλ.
r p0
0
λ
p
Z
∞
p−1
Zmieniaj¡c kolejno±¢ caªkowania w pierwszej i ostatniej caªce, otrzymujemy
kT f kpp
pp1 Ap11
≤
(2Q)p
(p1 − p)rp1 −p
Z
pAp11 ∞ p−1
t µf (t)dt − p1 −p
λ µf (λ)dλ
r
0
0
Z ∞
Z
pp0 rp−p0 Ap00 ∞ p−1
p−p0 p0
p−1
+ pr
A0
λ µf (λ)dλ +
t µf (t)dt
p − p0
0
0
Ap11
p0 rp−p0 Ap00
p1 Ap11
p−p0 p0
− p1 −p + r
A0 +
kf kpp
=
p
−p
1
(p1 − p)r
r
p − p0
p1
p−p0 p0
pA1
pr
A0
=
+
kf kpp .
p
−p
(p1 − p)r 1
p − p0
Obierzmy
r
tak, by
Z
∞
p−1
rp1 −p0 = Ap11 /Ap00 .
Wówczas
p (p −p)/(p −p )
p (p−p )/(p −p )
1
0
0
1
0
pAp11
prp−p0 Ap00
pAp11 A00 1
pAp00 A11
+
=
+
p (p −p)/(p1 −p0 )
p (p−p0 )/(p1 −p0 )
(p1 − p)rp1 −p
p − p0
(p1 − p)A11 1
(p − p0 )A00
1 1
( − p11 )
1
1
p p0
pα pβ
pα pβ
= pA0 A1
+
= A0 A1 1
.
p 1 − p p − p0
( p − p11 )( p10 − p11 )
St¡d otrzymujemy tez¦ twierdzenia.
59
Gdy
p1 = ∞
r > 0,
dowód jest nieco prostszy. Jak poprzednio, dla
kT f kpp = p(2rQ)p
∞
Z
λp−1 νT f (2rQλ)dλ,
0
przy czym
νT f (2rQλ) ≤ νT fλ (rλ) + νT f λ (rλ).
Tym razem
kT fλ k∞ ≤ A1 kfλ k∞ ≤ A1 λ,
zatem dla
r = A1
zachodzi
νT fλ (rλ) = 0.
Drugi
skªadnik szacujemy tak, jak poprzednio. Otrzymujemy (jak poprzednio)
kT f kpp
p
p−p0 p0
Ap00
A0
p pr
λ p0
dλ
=
(2Q)
kf kpp .
kf
k
p0
p
0
(rλ)
p − p0
∞
Z
λp−1
≤ p(2rQ)
0
Skoro
r = A1 ,
mamy
0
kT f kpp ≤ (2Q)p Ap00 Ap−p
1
p
pβ
kf kpp = (2Q)p Apα
0 A1
p − p0
1
p0
1
p0
−
1
p
,
co ko«czy dowód.
Twierdzenie interpolacyjne Marcinkiewicza ma mnóstwo uogólnie«, przede wszystkim
na operatory sªabego typu
p0 , q0
oraz sªabego typu
p, q ,
operatory takie s¡ mocnego typu
1
p
=
1−ϑ
p0
+
p1 , q1 ,
gdzie
1−ϑ
q0
ϑ
.
q1
p0 ≤ q0 , p1 ≤ q1 , q0 6= q1 :
gdzie
ϑ
,
p1
1
q
=
Dowód jest bardzo podobny, ale wykorzystuje uci¦cia
f
+
na poziomie innym ni»
λ.
Inne
uogólnienie dotyczy przestrzeni Lorentza. Twierdzenie interpolacyjne Marcinkiewicza jest
wreszcie podstaw¡ rzeczywistej interpolacji mi¦dzy przestrzeniami Banacha.
p, q > 0, f ∈ L p (X), g ∈ L q (X), to f g ∈
r takiego, »e p1 + 1q = 1r . Udowodnij ponadto, »e
L r (X)
oraz
kf gkr ≤ kf kp kgkq
dla
kf kp = sup {kf gkr : g ∈ L q (X), kgkq = 1} .
wiczenie 11.10. Udowodnij
sªab¡ nierówno±¢ Höldera :
f ∈ L p,∞ , g ∈ L q,∞ , to
kf gk1,∞ ≤ ( pq )1/p + ( pq )1/q kf kp,∞ kgkq,∞ .
f g ∈ L r,∞ (X)
dla
r
takiego, »e
1
p
+
1
q
=
je±li
p, q ∈ (1, ∞), p1 + 1q = 1,
p, q > 0, f ∈ L p,∞ (X), g ∈ L q,∞ (X),
1
.
r
to
60
12.
Twierdzenie interpolacyjne RieszaThorina
I = {z ∈ C : 0 ≤ Re z ≤ 1}. Mówimy,
holomorczna we wn¦trzu I i ci¡gªa na I .
Niech
»e
ϕ
jest holomorczna na
I
je±li jest
ϕ jest ograniczon¡ funkcj¡ holomors ∈ [0, 1],
1−s s
sup |ϕ(s + it)| ≤ sup |ϕ(it)|
sup |ϕ(1 + it)| .
Lemat 12.1 (lemat PhragmenaLindelöfa). Je±li
I,
czn¡ na
to dla wszystkich
R
t∈
t∈
R
t∈
Dowód. Niech Ms = supt∈R |ϕ(s + it)|
M1 ≤ 1, oraz »e
dla
R
s ∈ [0, 1].
Przypu±¢my wpierw, »e
M0 ≤ 1
i
lim sup{|ϕ(s + it)| : s ∈ [0, 1]} = 0.
t→±∞
t0 , warto±ci |ϕ| na brzegu prostok¡ta {s + it : s ∈
[0, 1], |t| ≤ t0 } s¡ ograniczone przez 1. Z zasady maksimum moduªu wynika, »e |ϕ| jest
ograniczona przez 1 na ka»dym takim prostok¡cie, i wobec tego |ϕ| jest ograniczona przez
1 na I .
Rozwa»my teraz ogólny przypadek. Niech ε > 0 oraz niech
Wówczas dla dostatecznie du»ych
ϕ̃(z) = eε(z
Wówczas
ϕ̃
2 −z)
(M0 + ε)1−z (M1 + ε)z ϕ(z).
jest holomorczna w
ε(s2 −s−t2 )
|ϕ̃(s + it)| = e
dla
s ∈ [0, 1], t ∈ R.
I
oraz
(M0 + ε)−(1−s) (M1 + ε)−s |ϕ(s + it)|
ϕ̃ jest ograniczona na I i speªnia warunki pierwszej
ograniczona przez 1 na I . Oznacza to, »e
W szczególno±ci
cz¦±ci dowodu. Wobec tego
|ϕ̃|
−ε(s2 −s−t2 )
|ϕ(s + it)| ≤ e
Przechodz¡c do granicy
jest
(M0 + ε)1−s (M1 + ε)s .
ε → 0+ ,
otrzymujemy
|ϕ(s + it)| ≤ M01−s M1s .
wiczenie 12.2. Udowodnij, »e w powy»szym lemacie wystarczy zaªo»y¢, »e
ograniczona na brzegu
I
oraz
c2 | Im z|
|ϕ(z)| ≤ c1 e
dla
ϕ
jest
z ∈ I.
wiczenie 12.3. Udowodnij, »e lemat nie zachodzi, je±li zaªo»ymy wyª¡cznie, »e
jest ograniczona na brzegu
I.
W dalszej cz¦±ci rozdziaªu
X
i
Y
ϕ
s¡ pewnymi przestrzeniami miarowymi, z miarami
Je±li p ∈ [1, ∞], to przez p̃ oznaczamy wykªadnik
1
hölderowsko sprz¦»ony, tj. taki,
= 1.
p̃
Pn
Przypomnijmy, »e funkcje proste to funkcje postaci
k=1 ak Ak , gdzie Ak s¡ parami
rozª¡cznymi zbiorami o sko«czonej mierze.
oznaczanymi odpowiednio przez
(twierdzenie
1
interpolacyjne
RieszaThorina).
Niech
1
1−ϑ
ϑ
1
1−ϑ
ϑ
p0 , q0 , p1 , q1 ∈ [1, ∞], ϑ ∈ [0, 1] oraz p = p0 + p1 , q = q0 + q1 . Przypup
p
±¢my, »e T jest okre±lony na L 0 (X) + L 1 (X) i jest ograniczonym operatorem
p
q
p
q
liniowym z L 0 (X) do L 0 (Y ) z norm¡ M0 oraz z L 1 (X) do L 1 (Y ) z norm¡ M1 .
p
q
Wówczas T jest ograniczonym operatorem liniowym z L (X) do L (X) z norm¡ co
1−ϑ
ϑ
najwy»ej M0
M1 .
Twierdzenie
12.4
µ i ν.
1
»e
+
p
61
Dowód.
Wybierzmy parami rozª¡czne zbiory
rowe wspóªczynniki
n
X
f (x) =
a1 , ..., an i b1 , ..., bm
A1 , ..., An ⊆ X , B1 , ..., Bm ⊆ Y
i okre±lmy
ak 1Ak (x),
g(y) =
m
X
k=1
Niech
=
1−z
p0
fz (x) =
dla
z ∈ I.
+
q̃(s)
Zauwa»my, »e
bl 1Bl (y).
l=1
p(z), q(z) i q̃(z)
1
p(z)
oraz nieze-
b¦d¡ dane wzorami
z
,
p1
1
q(z)
=
1−z
q0
+
z
,
q1
jest wykªadnikiem sprz¦»onym do
1
f (x)
|f (x)|1/p(z) f (x)6=0 ,
|f (x)|
1
q̃(z)
q(s)
gz (y) =
dla
=
1−z
q̃0
+
s ∈ [0, 1].
z
.
q̃1
Niech wreszcie
1
g(y)
|g(y)|1/q̃(z) g(y)6=0
|g(y)|
Rozwa»my
Z
ϕ(z) =
=
Poniewa»
T fz (y)gz (y)ν(dy)
Y
n X
m
X
ak
|a |1/p(z) |bbll | |bl |1/q̃(z)
|ak | k
k=1 l=1
Z
T 1Ak (y)1Bl (y)ν(dy).
Y
1Ak ∈ L p0 (X), wi¦c T 1Ak ∈ L q0 (Y ), a skoro 1Bl ∈ L q̃0 (Y ), to T 1Ak (y)1Bl (y)
ν(dy). Zatem ϕ jest poprawnie okre±lona i holomorczna na I .
Poniewa» Re p(z), Re q̃(z) ∈ [0, 1], ϕ jest ograniczona na I . Ponadto na mocy nierówno±ci
jest caªkowalna wzgl¦dem
Höldera,
1/p0
|ϕ(it)| ≤ kT fit kq0 kgit kq̃0 ≤ M0 kfit kp0 kgit kq̃0 = M0 kf k1
1/q̃0
kgk1
.
Analogicznie
1/p1
|ϕ(1 + it)| ≤ M1 kf k1
1/q̃1
kgk1
.
Z lematu PhragmenaLindelöfa wynika, »e
1/p(s)
|ϕ(s)| ≤ M01−s M1s kf k1
1/q̃(s)
kgk1
= M01−s M1s kfs kp(s) kgs kq̃(s) .
Zbiór wszystkich funkcji gs rozwa»anej postaci to zbiór wszystkich funkcji prostych. Jest
q̃(s)
on g¦sty w L
(Y ), a wi¦c na mocy lematu Fatou,
Z
T fs (y)g(y)ν(dy) ≤ M01−s M1s kfs kp(s) kgkq̃(s)
Y
dla wszystkich
g ∈ L q̃(s) (Y ).
Wybieraj¡c
g
(o niezerowej normie) tak, by zachodziªa
równo±¢ w nierówno±ci Höldera zastosowanej do caªki po lewej stronie, otrzymujemy
kT fs kq(s) ≤ M01−s M1s kfs kp(s) .
Zbiór wszystkich funkcji
rozwa»anej postaci to ponownie zbiór wszystkich funkcji pro-
otrzymujemy tez¦ twierdzenia dla wszystkich funkcji prostych f .
p
Z g¦sto±ci zbioru funkcji prostych w L (X) wynika, »e zaw¦»enie T do przestrzeni
p
funkcji prostych ma jednoznaczne ci¡gªe rozszerzenie do L (X) o normie nie przekra1−ϑ
czaj¡cej M0
M1ϑ . Teza dla dowolnej funkcji f ∈ L p (X) wynika z równo±ci granicy w
L q (Y ) i L qj (Y ): na zbiorze L p (X) ∩ L pj (X) ci¡gªe rozszerzenie w sensie zbie»no±ci
q
q
w L (Y ) jest zgodne z ci¡gªym rozszerzeniem w sensie zbie»no±ci w L j (Y ), które jest
p
p
p
zgodne z denicj¡ operatora T , a przy tym L (X) ⊆ L 0 (X) + L 1 (X).
stych. Bior¡c
s = ϑ,
fs
62
wiczenie 12.5 (twierdzenie interpolacyjne Steina). Udowodnij, »e operator
twierdzeniu RieszaThorina mo»na zast¡pi¢ rodzin¡ operatorów
Tz , z ∈ I ,
T
w
pod wa-
Tz 1A (y)1B (y)ν(dy) s¡ holomorczne i ograniczone
p
q
na I , operatory Tit przeksztaªcaj¡ L 0 (X) w L 0 (Y ) i ich normy s¡ ograniczone przez
p1
M0 , za± operatory T1+it przeksztaªcaj¡ L (X) w L q1 (Y ), z normami ograniczonymi
przez M1 .
runkiem, »e funkcje
ϕA,B (z) =
R
wiczenie 12.6. Sformuªuj i udowodnij wersj¦ twierdzenia RieszaThorina dla prze-
strzeni Sobolewa
H s (Rd ), s ∈ [0, ∞).
wiczenie 12.7. Poczytaj o interpolacji zespolonej mi¦dzy przestrzeniami Banacha.
p, q, r ∈ [1, ∞] speªniaj¡
f ∈ L (R ) oraz g ∈ L q (Rd ) zachodzi
Twierdzenie 12.8 (nierówno±¢ Younga). Je±li
1
p
+
1
q
1
r
=
+ 1,
to dla wszystkich
p
równo±¢
d
kf ∗ gkr ≤ kf kp kgkq .
Dowód. Niech f ∈ L 1 (Rd ) oraz T g = f ∗ g . Z twierdzenia Fubiniego wiemy, »e kT gk1 ≤
kf k1 kgk1 , za± z prostego oszacowania caªki wynika, »e kT gk∞ ≤ kf k1 kgk∞ . Z twierdzenia
RieszaThorina wynika, »e kT gkp ≤ kf k1 kgkp dla wszystkich p ∈ [1, ∞] (fakt ten zostaª
ju» udowodniony innymi metodami we wniosku 6.17).
p
d
Niech teraz f ∈ L (
) dla pewnego p ∈ [1, ∞] i niech ponownie
R
T g = f ∗ g . Wiemy
ju», »e kT gkp ≤ kf kp kgk1 . Ponadto z nierówno±ci Höldera wynika, »e kT gk∞ ≤ kf kp kgkp̃ ,
gdzie p̃ jest wykªadnikiem sprz¦»onym do p. Wobec tego kT gkr ≤ kf kp kgkq , o ile dla
pewnego ϑ ∈ [0, 1] zachodzi
1
q
1−ϑ
1
=
+ ϑp̃ ,
1
r
ϑ i p̃,
Eliminuj¡c z ukªadu
=
1−ϑ
p
1
p
otrzymujemy
k(y, x)
+
+
ϑ
,
∞
1
q
1
p̃
=
1
r
= 1 − p1 .
+ 1.
b¦dzie j¡drem operatora
T,
tj.
Z
T f (y) =
k(y, x)f (x)µ(dx),
X
dla wszystkich
f,
dla których caªka ma sens. Je±li
Z
Z
|k(y, x)|µ(dx) ≤ M0 ,
|k(y, x)|ν(dy) ≤ M1 ,
X
Y
T jest operatorem ograniczonym z
1−1/p
1/p
M0
M1 .
to
Dowód.
L p (X)
do
Z prostego oszacowania caªki wynika, »e
Fubiniego kT f k1
M01−ϑ M1ϑ kf kp gdy p1
≤ M1 kf k1 .
= 1−ϑ
+ ϑ1 .
∞
L p (Y ),
z norm¡ nie przekraczaj¡c¡
kT f k∞ ≤ M0 kf k∞ ,
Twierdzenie 12.10 (nierówno±¢ HausdoraYounga). Je±li
f ∈ L p (Rd ),
to
za± z twierdzenia
Z twierdzenia RieszaThorina otrzymujemy
kF̃f kq ≤ (2π)d/q kf kp
kT f kp ≤
p ∈ [1, 2], p1 + 1q = 1 oraz
63
F̃ ma norm¦ 1 jako operator z L 1 (Rd ) do L ∞ (Rd ) oraz norm¦ (2π)d/2
2
d
2
d
jako operator z L (R ) w L (R ). Na mocy twierdzenia RieszaThorina, F̃ jest ope1
p
d
q
d
= 1−ϑ
+ ϑ2 , 1q = 1−ϑ
+ ϑ2 , a norma
ratorem ograniczonym z L (R ) do L (R ), gdzie
p
1
∞
dϑ/2
tego operatora nie przekracza (2π)
.
Dowód.
Operator
Twierdzenie 12.11 (nierówno±¢ HausdoraYounga dla szeregów Fouriera). Je±li
p ∈ [1, 2], p1 + 1q = 1 oraz f ∈ L p (T),
p
−1/p ˆ
oraz fˆ ∈ ` , to kf kq ≤ (2π)
kf kp .
Dowód.
to
kfˆkq ≤ (2π)1/q kf kp .
Je±li za±
f ∈ L 1 (T)
Dowód pierwszej cz¦±ci jest taki sam, jak w przestrzeniach euklidesowych. Druga
kf k∞ ≤ (2π)−1 kfˆk1 oraz kf k2 = (2π)−1/2 kfˆk2 .
wynika podobnie, bowiem
64
Operator maksymalny
13.
Jednym z najwa»niejszych zastosowa« twierdzenia Marcinkiewicza jest oszacowanie
p
norm L operatora maksymalnego Hardy'ego-Littlewooda. Poni»ej rozwa»amy przypad
dek funkcji okre±lonych na
; teoria dla
(i innych grup lokalnie zwartych) jest niemal
d
identyczna. Mówimy, »e funkcja f jest lokalnie caªkowalna na
, je±li f jest borelow1
d
ska i f K ∈ L (
) dla ka»dego zbioru zwartego K . Zbiór wszystkich funkcji lokalnie
1
d
caªkowalnych oznaczamy Lloc (
).
R
1
R
T
R
R
Operator maksymalny Hardy'ego-Littlewooda
Z
1
M f (x) = sup
|f (y)|dy : r > 0 .
|B(x, r)| B(x,r)
Definicja 13.1.
1
f ∈ Lloc
(Rd ).
dla
Oznaczmy
Funkcja
Mf
jest okre±lony wzorem
przyjmuje warto±ci z przedziaªu
ψr (x) = |B(0, r)|−1 1B(0,r) (x).
[0, ∞].
Wówczas
M f (x) = sup {|f | ∗ ψr (x) : r > 0} .
|f | ∗ ψr (x) = (|f |1B(x0 ,2r) ) ∗ ψr (x) dla x ∈ B(x0 , r), za± |f |1B(x0 ,2r) ∈ L 1 (Rd ),
|f | ∗ ψr (x) jest ci¡gªa. Wobec tego zbiór
[
x ∈ Rd : M f (x) > t =
x ∈ Rd : |f | ∗ ψr (x) > t
Ponadto
zatem
r>0
M f jest funkcj¡ borelowsk¡.
Wprost z denicji wynika, »e M (f +g)(x) ≤ M f (x)+M g(x), a wi¦c M jest operatorem
kwaziliniowym ze staª¡ Q = 1 (inaczej mówi¡c operatorem podaddytywnym). Ponadto
je±li f jest ograniczona, to równie» M f jest ograniczona i kM f k∞ ≤ kf k∞ , czyli M jest
mocnego (lub równowa»nie sªabego) typu ∞, ∞.
jest otwarty. W szczególno±ci
Lemat 13.2 (lemat pokryciowy Vitalego). Przypu±¢my, »e
Bi , i ∈ I ,
jest rodzin¡
kul (w dowolnej przestrzeni metrycznej), których promienie s¡ ograniczone od góry.
Wówczas istnieje podrodzina
Bj , j ∈ J , J ⊆ I ,
Bj , j S
∈ J , s¡ parami rozª¡czne;
0
0
i∈I Bi ⊆
j∈J Bj , gdzie Bj oznacza
o wªasno±ciach:
(a) kule
(b)
S
kul¦ o tym samym ±rodku, co
Bj ,
lecz o
pi¦ciokrotnie wi¦kszym promieniu.
Dowód.
Bi = B(xi , ri ) oraz M = sup{ri : i ∈ I}. Zbiór J konstruujemy
J0 = ∅. Przypu±¢my, »e
Jn−1 .
S mamy ju» okre±lony zbiór −n
Niech In b¦dzie zbiorem tych i, dla których Bi ∩
M.
j∈Jn−1 Bj = ∅ oraz ri > 2
Niech Kn b¦dzie dowolnym maksymalnym podzbiorem In takim, »e Bi dla i ∈ Kn s¡
parami rozª¡czne (istnienie Kn wynika z lematu KuratowskiegoZorna). Przyjmujemy
S
Jn = Jn−1 ∪ Kn . Ponadto okre±lamy J = ∞
n=1 Jn .
−n
Przypu±¢my, »e x ∈ Bi dla pewnego i ∈ I i dobierzmy n tak, by 2
M < ri ≤ 2−n+1 M .
S
0
Je±li i ∈ Kn , to oczywi±cie i ∈ J , zatem x ∈
/ Kn , to Bi przecina si¦ z
j∈J Bj . Gdy i ∈
0
pewnym Bk , k ∈ Kn lub z pewnym Bj , j ∈ Jn−1 . W pierwszym przypadku x ∈ Bk , w
S
0
0
drugim x ∈ Bj . Zatem zawsze x ∈
j∈J Bj .
Przypu±¢my, »e
indukcyjnie.
Przyjmujemy
65
f ∈ L 1 (Rd ), to M f ∈ L 1,∞ (Rd ) oraz kM f k1,∞ ≤ 5d kf k1 ,
1, 1.
tj.
M
Dowód.
jest sªabego typu
t > 0 i rozwa»my zbiór E R= {x ∈ Rd : M f (x) > t}. Dla ka»dego x ∈ E
Bx = B(x, rx ) taka, »e |Bx |−1 Bx |f (y)|dy > t. Wybierzmy podrodzin¦ kul
Ustalmy
istnieje kula
Bx , x ∈ F ,
X
zgodnie z lematem pokryciowym Vitalego. Otrzymujemy
|Bx |t ≤
x∈F
XZ
Z
|f (y)|dy =
|f (y)|dy ≤ kf k1 .
S
Bx
x∈F
x∈F
Bx
0
Z drugiej strony je±li Bx
= B(x, 5rx ), to E ⊆
X
X
|Bx0 | ≥ 5−d |E|.
|Bx | = 5−d
x∈F
Bx0 ,
a wi¦c
x∈F
x∈F
St¡d
S
t|E| ≤ 5d kf k1 .
Z twierdzenia interpolacyjnego Marcinkiewicza wynika natychmiast, »e
torem mocnego typu
p, p
dla wszystkich
»e je±li
M f ∈ L (R ),
1
d
to
f =0
M
M
jest opera-
p ∈ (1, ∞).
nie jest mocnego typu
1, 1.
Udowodnij ponadto,
prawie wsz¦dzie.
wiczenie 13.5. Rozwa»a si¦ czasami uci¦ty operator maksymalny, dany wzorem
MR f (x) = sup{|f | ∗ ψr (x) : r ∈ (0, R)}. Oczywi±cie 0 ≤ MR f (x) ≤ M f (x). Udo1
d
wodnij, »e równie» MR nie jest mocnego typu 1, 1, lecz tym razem MR f ∈ L (R )
d
dla wszystkich funkcji f ∈ Cc (R ).
Operator maksymalny jest jednym z fundamentalnych poj¦¢ analizy harmonicznej,
niezwykle u»ytecznym przy dowodzeniu zbie»no±ci prawie wsz¦dzie.
W szczególno±ci
udowodnimy zbie»no±¢ prawie wsz¦dzie ±rednich Cesàro transformat i szeregów Fouriera.
−1
Przypomnijmy, »e ψr (x) = |B(0, r)|
B(0,r) (x). Wprowad¹my oznaczenie:
1
ϑf (x) = lim sup |ψr ∗ f (x) − f (x)|.
r→0+
ϑ(f + g)(x) ≤ ϑf (x) + ϑg(x) i ϑf (x) ≤ |f (x)| + M f (x). Poniewa» ψr jest
d
jedno±ci¡ aproksymatywn¡, dla wszystkich f ∈ Cb (R ) funkcje f ∗ψr d¡»¡ do f punktowo
d
(a nawet jednostajnie na zbiorach zwartych), zatem ϑf (x) = 0 dla wszystkich x ∈ R .
Zauwa»my, »e
Oznacza to, »e g¦sto±¢ miary o ci¡gªej g¦sto±ci mo»na odzyska¢ przez ró»niczkowanie na
kulach. Poni»sze twierdzenie podaje analogiczny wynik dla ogólniejszych miar.
kich
x ∈ Rd .
1
f ∈ Lloc
(Rd ), to f ∗ ψr (x) d¡»y do f (x) dla prawie wszyst-
Dowód. Przypu±¢my wpierw, »e f ∈ L 1 (Rd ). Ustalmy t > 0 i
Rd : ϑf (x) > t}. Dla dowolnej funkcji g ∈ Cc (Rd ) zachodzi
rozwa»my zbiór
E = {x ∈
E ⊆ {x ∈ Rd : ϑ(f − g)(x) > t} ⊆ {x ∈ Rd : |f (x) − g(x)| + M (f − g)(x) > t},
a wi¦c
t|E| ≤ k|f − g| + M (f − g)k1,∞ ≤ ckf − gk1 dla pewnego c > 0. Prawa strona
= 0. Tak jest dla wszystkich t > 0, a
mo»e by¢ dowolnie maªa, sk¡d otrzymujemy |E|
d
wi¦c ϑf (x) = 0 dla prawie wszystkich x ∈
.
R
66
1
(Rd ) oczywi±cie ϑf (x) = ϑ(1B(x0 ,2) f )(x) = 0 dla prawie wszystf ∈ Lloc
d
kich x ∈ B(x0 , 1). Pozostaje zauwa»y¢, »e przestrze« R mo»na pokry¢ przeliczaln¡ liczb¡
kul B(x0 , 1).
Dla ogólnych
Powy»sze twierdzenie mówi, »e ±rednia warto±¢ (f (y) − f (x)) dla
x ∈ d i r → 0+ d¡»y do zera dla prawie wszystkich x
R
ustalonym
y ∈ B(x, r) przy
∈ Rd . Wynik ten
mo»na wzmocni¢ przez dodanie warto±ci bezwzgl¦dnej.
x ∈ Rd
Definicja 13.7. Punkt
nazywamy
punktem Lebesgue'a
funkcji
1
(Rd )
f ∈ Lloc
je±li
1
lim sup
r→0+ |B(x, r)|
Z
|f (y) − f (x)|dy = 0.
B(x,r)
1
Ef punktów Lebegue'a dowolnej funkcji f ∈ Lloc
(Rd ) jest
|Rd \ Ef | = 0.
Twierdzenie 13.8. Zbiór
peªnej miary, tj.
Dowód.
s ∈ R zbiór Fs = {x ∈ Rd : ϑ(|f − s|)(x) > 0} jest zbiorem miary
s∈Q Fs oraz E = R \ F . Oczywi±cie |F | = 0. Ponadto je±li x ∈ E ,
Dla dowolnego
zero. Niech
u = f (x)
S
F =
s ∈ Q,
oraz
to
1
ϑ(|f − u|)(x) ≤ lim sup
r→0+ |B(x, r)|
Z
|f (y) − s|dy + |s − u|
B(x,r)
= ϑ(|f − s|)(x) + |s − u| = |s − u|.
Prawa strona mo»e by¢ dowolnie maªa, a wi¦c
1
lim sup
r→0+ |B(x, r)|
Wobec tego
x
ϑ(f − u)(x) = 0,
tj.
Z
|f (y) − u|dy = 0.
B(x,r)
jest punktem Lebesgue'a, czyli
E ⊆ Ef .
Z twierdzenia o punktach Lebesgue'a wynika mo»liwo±¢ ró»niczkowania wzgl¦dem dowolnego ci¡gu zbiorów dobrze zbie»nego do
x.
f ∈ L ∞ (Rd ) oraz ci¡g
En ⊆ Rd zbiorów mierzalnych speªnia nast¦puj¡cy warunek: istnieje staªa C > 0 i ci¡g
rn > 0 zbie»ny do 0, dla którychR|En \ B(x, rn )|/|B(x, rn )| → 0 oraz |En ∩ B(x, rn )| ≥
C|B(x, rn )| gdy n → ∞, to |E1n | En f (y)dy d¡»y do f (x).
wiczenie 13.9. Je±li
x
wiczenie 13.10. Je±li
x
jest punktem Lebesgue'a funkcji
jest punktem Lebesgue'a funkcji
1
f ∈ Lloc
(Rd )
oraz ci¡g
En ⊆ R zbiorów mierzalnych speªnia nast¦puj¡cy warunek: istnieje staªa C > 0 i
ci¡g rn > 0 zbie»ny do 0, dla których En ⊆ B(x, rn ) oraz |En | ≥ C|B(x, rn )|, to
R
1
f (y)dy d¡»y do f (x).
|En | En
d
ψr mo»na zast¡pi¢
ϕr , r > 0 i okre±lmy
Funkcje
funkcje
du»o ogólniejsz¡ jedno±ci¡ aproksymatywn¡.
ϕ∗r (s) = sup{|ϕr (x)| : |x| ≥ s}.
Rozwa»my
67
B¦dziemy zakªadali, »e
I>0
ϕr
r → 0+
jest jedno±ci¡ aproksymatywn¡ gdy
oraz dla pewnego
zachodzi
Z
R
d
ϕ∗r (|x|)dx ≤ I
dla wszystkich
r > 0.
Niech
ϑ̃f (x) = lim sup |f ∗ ϕr (x) − f (x)|.
r→0+
f ∈ L 1 (Rd ),
Lemat 13.11. Je±li
to
|f ∗ ϕr (x)| ≤ IM f (x)
Dowód.
ϑ̃f (x) ≤ |f (x)| + IM f (x).
oraz
ϕ∗r
jest malej¡ca i lewostronnie ci¡gªa, jest wi¦c ogonem
∗
dystrybuanty pewnej nieujemnej miary µr na (0, ∞), tj. ϕr (s) = µr ([s, ∞)) dla s > 0.
Zachodzi
Zauwa»my, »e funkcja
Z
|f ∗ ϕr (x)| ≤
=
|f (x −
d
ZR Z
Rd
y)|ϕ∗r (|y|)dy
Z
=
Rd
|f (x − y)|µr ([|y|, ∞))dy
1[|y|,∞) (s)|f (x − y)|µr (ds)dy.
(0,∞)
Z twierdzenia Fubiniego wynika, »e
Z
|f ∗ ϕr (x)| ≤
(0,∞)
Z
Z
Rd
Z
1[|y|,∞) (s)|f (x − y)|dyµr (ds)
Z
Z
|f (x − y)|dyµr (ds) =
=
(0,∞)
B(0,s)
|f (z)|dzµr (ds).
(0,∞)
B(x,s)
Wobec tego
Z
|f ∗ ϕr (x)| ≤ M f (x)
|B(0, s)|µr (ds).
(0,∞)
Wykonuj¡c analogiczne kroki w odwrotnej kolejno±ci otrzymujemy
Z
Z
|f ∗ ϕr (x)| ≤ M f (x)
(0,∞)
Rd
1[|y|,∞) (s)dyµr (ds)
Z
= M f (x)
Z
Rd
µr ([|y|, ∞))dy = M f (x)
Rd
ϕr (|y|)dy ≤ IM f (x).
To dowodzi pierwszej cz¦±ci lematu. Druga wynika z pierwszej i denicji
ϑ̃f (x).
L 1 (Rd )+L ∞ (Rd ) oznacza zbiór sum funkcji z L 1 (Rd ) i z L ∞ (Rd ).
p
d
wszystkie przestrzenie L (R ) dla p ∈ [1, ∞].
Przypomnijmy, »e
Zawiera on
prawie wszystkich
x∈R
d
f ∈ L 1 (Rd ) + L ∞ (Rd ),
. Co wi¦cej, dla prawie
Z
lim
r→0+
Rd
|f (y) − f (x)||ϕr (y − x)|dy = 0.
f ∗ ϕr (x) d¡»y do f (x)
d
wszystkich x ∈ R zachodzi
to
dla
68
Dowód. Dowód pierwszej cz¦±ci jest caªkiem analogiczny do dowodu twierdzenia 13.6.
1
d
d
Niech f ∈ L (R ), t > 0 oraz E = {x ∈ R : ϑ̃f (x) > t}. Dla dowolnej funkcji
d
g ∈ Cc (R ) zachodzi
E ⊆ {x ∈ Rd : ϑ̃(f − g)(x) > t} ⊆ {x ∈ Rd : |f (x) − g(x)| + IM (f − g)(x) > t},
t|E| ≤ k|f − g| + IM (f − g)k1,∞ ≤ Ckf − gk1 dla pewnej staªej C > 0. St¡d
|E| = 0. Tak jest dla wszystkich t > 0, a wi¦c ϑ̃f (x) = 0 dla prawie wszystkich x ∈ Rd .
1
d
∞
d
Dowoln¡ funkcj¦ f ∈ L (R ) + L (R ) mo»emy zapisa¢ w postaci f = f1 + f∞ , gdzie
f1 ∈ L 1 (Rd ), f∞ ∈ L ∞ (Rd ). atwo sprawdzi¢, »e ϑ̃f (x) = ϑ̃(f1 + 1B(x0 ,2) f2 )(x) = 0
d
dla prawie wszystkich x ∈ B(x0 , 1). Poniewa» przestrze« R mo»na pokry¢ przeliczaln¡
liczb¡ kul B(x0 , 1), pierwsza cz¦±¢ twierdzenia zostaªa udowodniona. Dowód drugiej
cz¦±ci niczym nie ró»ni si¦ od dowodu twierdzenia 13.8.
a wi¦c
wiczenie 13.13. Wyka», »e zbie»no±ci w twierdzeniu 13.12 zachodz¡ w ka»dym
punkcie Lebesgue'a funkcji
f.
wiczenie 13.14. Zaªó»my dodatkowo, »e
ϕ̃r
maj¡ no±nik zawarty w pewnym usta-
lonym zbiorze zwartym K . Udowodnij, »e wówczas powy»sze twierdzenie zachodzi
1
d
dla wszystkich f ∈ Lloc (
).
R
Bezpo±rednim wnioskiem z twierdzenia 13.12 jest zbie»no±¢ prawie wsz¦dzie we wzorach
na transformat¦ odwrotn¡, takich jak twierdzenie 9.3. Odpowiednie modykacje pozwalaj¡ uzyska¢ analogiczny wynik tak»e dla szeregów Fouriera.
Szczegóªy pozostawiamy
jako ¢wiczenie.
wiczenie 13.15. Sformuªuj odpowiedniki twierdze« 13.6 i 13.12 dla funkcji
L (T)
1
(a wi¦c dla
2π -okresowych
funkcji lokalnie caªkowalnych). Wykorzystaj je do
udowodnienia twierdzenia 6.24: ±rednie Cesàro
L 1 ( ) d¡»¡ do f prawie wsz¦dzie.
T
Przypu±¢my, »e
stem
|x|.
ϕr (x) = ϕ∗r (|x|),
f ∈
σk f
a wi¦c »e funkcje
szeregów Fouriera funkcji
ϕr (x)
f ∈
s¡ radialne i malej¡ ze wzro-
Rozwa»my operator maksymalny zwi¡zany z jedno±ci¡ aproksymatywn¡
ϕr ,
czyli
M̃ f (x) = sup{|f | ∗ ϕr (x) : r > 0}.
Lemat 13.11 dowodzi, »e
M̃ f (x) ≤ IM f (x).
Z drugiej strony
|B(0, s)| |f | ∗ ψs (x) ≤ (ϕ∗r (s))−1 |f | ∗ ϕr (x) ≤ (ϕ∗r (s))−1 M̃ f (x),
wobec czego
M̃ f (x) ≥ |B(0, 1)| inf sd sup{ϕ∗r (s) : r > 0} : s > 0 M̃ f (x).
Je±li np.
ϕ r = Kr
jest j¡drem GaussaWeierstrassa, otrzymujemy
CM f (x) ≤ M̃ f (x) ≤ M f (x),
d d/2 −d/2
C = ( 2π
) e
|B(0, 1)|. Taka sama nierówno±¢ zachodzi dla j¡dra Poissona
ϕr = Pr , ze staª¡ C = Γ( d+1
)π −(d+1)/2 (d + 1)d/2 (d + 2)−(d+1)/2 |B(0, 1)|. W tym (i w
2
wielu innych przypadkach) operatory maksymalne M̃ s¡ wi¦c porównywalne z operatorem Hardy'egoLittlewooda M i mo»na korzysta¢ z tego operatora, który w danej sytuacji
gdzie
69
jest najwygodniejszy. Jeszcze inny rodzaj operatora maksymalnego zostanie opisany w
kolejnym rozdziale.
70
Rozkªad CalderónaZygmunda
14.
k ∈ Z niech Qk oznacza rodzin¦ elementarnych kostek o wierzchoªkach w punktach
−k d
kratowych 2
Z . ci±lej mówi¡c, kostki z Qk s¡ przesuni¦ciami kostki [0, 2−k )d o wektory
−k d
z kraty 2
Z . Oznaczmy przez Q sum¦ wszystkich rodzin Qk .
d
Dla x ∈ R niech Qk (x) oznacza jedyn¡ kostk¦ z Qk , która zawiera x. Dla funkcji
f ∈ L 1 (Rd ) okre±lamy
Z
kd
|f (y)|dy.
fk (x) = 2
Dla
Qk (x)
Je±li
λ > 0,
to okre±lamy
(
Qk (x)
Qf,λ (x) =
∅
je±li
je±li
fj (x) ≤ λ
fj (x) ≤ λ
dla
dla
j<k
fk (x) > λ,
wszystkich j ∈ Z.
oraz
f jest caªkowalna, dla dostatecznie du»ych ujemnych j ∈ Z zachodzi fj (x) ≤ λ,
zatem Qf,λ (x) jest poprawnie okre±lone. Rodzin¦ wszystkich niepustych zbiorów Qf,λ (x)
oznaczamy Qf,λ , za± ich sum¦ Qf,λ . Zauwa»my, »e kostki z Qf,λ s¡ parami rozª¡czne.
Poniewa»
wiczenie 14.1. Udowodnij, »e ka»da kostka
jest (przeliczaln¡) rozª¡czn¡ sum¦ kostek z
kostek z
Q, które s¡ rozª¡czne z Qf,λ
Definicja 14.2.
fλgood + fλbad ,
Q∈Q
Qf,λ
(daj¡cych w sumie
(daj¡cych w sumie
Rozkªadem CalderónaZygmunda
Qf,λ ,
Q ∩ Qf,λ )
albo zawiera si¦ w
albo
oraz
Q \ Qf,λ ).
funkcji
f
nazywamy rozkªad
f=
gdzie
X 1 Z
f (y)dy 1Q (x),
= f (x)1Rd \Qf,λ (x) +
|Q| Q
Q∈Qf,λ
Z
X 1
bad
fλ (x) =
f (y)dy 1Q (x).
f (x) −
|Q| Q
Q∈Q
fλgood (x)
f,λ
diadyczny operator maksymalny :
Z
1
Md f (x) = sup{fk (x) : k ∈ Z} = sup
|f (y)|dy : k ∈ Z .
|Qk (x)| Qk (x)
Z powy»szym podziaªem naturalnie zwi¡zany jest
wiczenie 14.3. Znajd¹ rozkªad CalderónaZygmunda funkcji
g(x) = x−1/2 1(0,1) (x)
wiczenie
oraz
h(x) = x−2 1(1,∞) (x) (x ∈ R).
f (x) = 1(0,1) (x),
14.4. Wykorzystuj¡c wªasno±ci operatora maksymalnego Hardy'ego
Littlewooda i odpowiednie rozwa»ania geometryczne, uzasadnij, »e operator
sªabego typu
Md
jest
1, 1.
Z powy»szego ¢wiczenia, a tak»e z ¢wicze« dotycz¡cych dobrej zbie»no±ci w poprzednim rozdziale, wynika natychmiast wiele wªasno±ci diadycznego operatora maksymalnego.
Mo»na jednak te wªasno±ci udowodni¢ bezpo±rednio. B¦dzie to dobr¡ rozgrzewk¡ przed
badaniem caªek singularnych.
71
Twierdzenie 14.5. Operator
jest sªabego typu
1, 1
i mocnego typu
p, p
dla
p ∈ (1, ∞].
ka»dego
Dowód.
Md
∞, ∞. Na mocy twierdzenia interpolacyjnego
Marcinkiewicza wystarczy zatem dowie±¢, »e Md jest sªabego typu 1, 1.
1
d
Bez utraty ogólno±ci mo»emy przyj¡¢, »e f ∈ L (R ) przyjmuje warto±ci nieujemne.
d
Zauwa»my, »e ka»da kostka Q ∈ Qf,λ jest jedn¡ z 2 kostek skªadaj¡cych si¦ na pewn¡
0
0
wi¦ksz¡ kostk¦ Q . Mówi¡c ±ci±lej, je±li Q ∈ Qk , to Q jest t¡ kostk¡ z Qk−1 , która zawiera
Q. Wobec denicji Qf,λ ,
Z
Z
1
2d
f (x)dx ≤ 0
f (x)dx ≤ 2d λ,
|Q| Q
|Q | Q0
Oczywi±cie
Md
jest mocnego typu
good
d
jest ograniczona przez 2 λ na Qf,λ . Warto±¢ ±rednia fλ
na ka»dej kostce z
good
d
Qf,λ nie przekracza zatem 2 λ. Ponadto fλ
= f na ka»dej kostce z Q , która jest rozgood
na takich kostkach nie przekracza λ. Oznacza
ª¡czna z Qf,λ , zatem warto±¢ ±rednia fλ
good
d
to, »e na dowolnej kostce z Q warto±¢ ±rednia fλ
nie przekracza 2 λ.
bad
Z kolei warto±¢ ±rednia funkcji fλ
na ka»dej kostce z Qf,λ wynosi zero, zatem je±li
bad
kostka Q ∈ Q nie zawiera si¦ w Qf,λ , to warto±¢ ±rednia fλ
na Q wynosi zero. Udowodnili±my zatem, »e dla dowolnej kostki Q ∈ Q która nie jest zawarta w Qf,λ zachodzi
czyli
fλgood
1
|Q|
Z
1
f (x)dx =
|Q|
Q
Oznacza to, »e
Z
Md f (x) ≤ 2d λ
fλgood (x)dx ≤ 2d λ.
Q
dla
x∈
/ Qf,λ .
Z drugiej strony
Z
|f (x)|dx ≥ λ|Q|,
Q
zatem
|Qf,λ | ≤ λ1 kf k1 .
To dowodzi, »e
Md
jest sªabego typu
1, 1.
wiczenie 14.6. Wykorzystuj¡c powy»sze twierdzneie i odpowiednie rozwa»ania geo-
metryczne, uzasadnij, »e operator maksymalny Hardy'egoLittlewooda jest sªabego
typu
1, 1.
Powtarzaj¡c dowód twierdzenia 13.6 (lub wykorzystuj¡c ¢wiczenia o dobrej zbie»no±ci
z poprzedniego rozdziaªu) otrzymujemy nast¦puj¡cy wynik.
niego, »e
|f (x)| ≤ λ
W szczególno±ci wynika z
x∈
/ Qf,λ .
f ∈ L 1 (Rd ), to
Z
kd
f (y)dy
f (x) = lim 2
k→∞
Qk (x)
x ∈ Rd .
Ciekawy i bardzo krótki dowód powy»szych wyników mo»na uzyska¢ z nierówno±ci
maksymalnych dla martyngaªów i twierdze« o zbie»no±ci martyngaªów.
Rozkªad CalderónaZygmunda wykorzystuje si¦ przede wszystkim do badania wªasno±ci caªek singularnych. Udowodnimy tylko to, co b¦dzie nam potrzebne do badania
72
transformaty Hilberta i transformat Riesza, za± ogólniejszy wynik pozostawimy bez dowodu.
K ∈ L 2 (Rd )
b¦dzie funkcj¡ o nast¦puj¡cych wªasno-
±ciach:
(a)
(b)
FK ∈ L ∞ (Rd );
d
istnieje C takie, »e dla ka»dego x ∈ R
Z
|K(x + z) − K(z)|dz ≤ C.
zachodzi
Rd \B(0,2|x|)
Wówczas operator splotu z
(1, ∞),
K
jest sªabego typu
z ograniczeniami na normy zale»¡cymi
oraz staªej
C
(lecz nie zale»¡cymi od
1, 1 i jest ograniczony na L p dla p ∈
tylko od wymiaru d, normy kFKk∞
kKk2 ).
Drugie zaªo»enie nazywane jest zwykle
warunkiem Hörmandera.
T f = f ∗K dla f ∈ L p (Rd ), p ∈ [1, 2]. Na mocy twierdzenia Plancherela T
2
d
jest ograniczony na L (R ) z norm¡ kFKk∞ . Poni»ej wyka»emy, »e T jest sªabego typu
1, 1, z ograniczeniem zale»¡cym wyª¡cznie od d i C . Na mocy twierdzenia interpolacyjnego
p
d
Marcinkiewicza oznacza to, »e T jest ograniczony na L (R ) dla p ∈ (1, 2). Przypu±¢my,
1
»e p ∈ (2, ∞) oraz
+ 1q = 1. Wówczas q ∈ (1, 2). Na mocy twierdzenia Plancherela dla
p
p
d
2
d
q
d
2
d
wszystkich f ∈ L (R ) ∩ L (R ) oraz g ∈ L (R ) ∩ L (R ) zachodzi
Z
Z
Z
1
T f (x)g(x)dx =
FK(ξ)Ff (ξ)Fg(−ξ)dξ =
f (x)T g̃(−x)dx,
(2π)d Rd
Rd
Rd
Dowód.
gdzie
Niech
g̃(x) = g(−x). Na mocy nierówno±ci Höldera zachodzi
Z
≤ kf kp kT g̃kq ≤ kf kp kT kq→q kgkq ,
T
f
(x)g(x)dx
d
R
za± aproksymuj¡c przy pomocy
g
funkcj¦, dla której zachodzi równo±¢ w nierówno±ci
Höldera po lewej stronie powy»szej nierówno±ci, otrzymujemy kT f kp ≤ kf kp kT kq→q .
p
d
Oznacza to, »e T jest ograniczony na L (
) z t¡ sam¡ norm¡, co na L q ( d ). Pozostaje
R
zatem dowie±¢, »e
Przypu±¢my, »e
R
T jest sªabego typu 1, 1.
f ∈ L 1 (Rd ) i λ > 0. Poniewa» kfλgood k∞ ≤ 2d λ,
zachodzi
kfλgood k22
2d kfλgood k1
≤
.
|{x ∈ R :
> λ}| ≤
λ2
λ
0
Niech Q ∈ Qf,λ i niech Q oznacza kostk¦ o tym samym ±rodku yQ , co Q, lecz powi¦kszon¡
√
(2 d)-krotnie. Oznaczmy dla wygody g = fλbad 1Q . Je±li x ∈
/ Q0 , to
Z
Z
bad
bad
|g ∗ K(x)| = fλ (y)K(y − x)dy = fλ (y)(K(y − x) − K(yQ − x))dy Q
Q
Z
≤
|fλbad (y)||K(y − x) − K(yQ − x)|dy,
d
|T fλgood (x)|
Q
przez co
Z
Rd \Q0
Z
|fλbad (y)|
|g ∗ K(x)|dx ≤
Q
Z
Z
bad
≤
|fλ (y)|dy
Q
Z
Rd \Q0
|K(y − x) − K(yQ − x)|dx dy
Rd \B(0,2|y−yQ |)
|K(y − yQ + z) − K(z)|dz ≤ Ckgk1 .
73
Sumuj¡c powy»sze nierówno±ci dla wszystkich
Z
R
d \Q0
λ,f
gdzie
Q0λ,f
Q ∈ Qf,λ
otrzymujemy
|fλbad ∗ K(x)|dx ≤ Ckfλbad k1 ,
jest sum¡ kostek
Q0
dla wszystkich
|{x ∈ Rd : |T fλbad (x)| > λ}| ≤ |Q0λ,f | +
Q ∈ Qλ,f .
Ostatecznie otrzymujemy
Ckfλbad k1
(4d)d/2 kf k1 Ckfλbad k1
≤
+
.
λ
λ
λ
Z udowodnionych wy»ej nierówno±ci wynika, »e
2d kfλgood k1 (4d)d/2 kf k1 Ckfλbad k1
|{x ∈ R : |T f (x)| > 2λ}| ≤
+
+
.
λ
λ
λ
good
Pozostaje zauwa»y¢, »e kfλ
k1 ≤ kf k1 oraz kfλbad k1 ≤ kf k1 + kfλgood k1 ≤ 2kf k1 .
d
Twierdzenie 14.9 (bez dowodu). Niech
K
b¦dzie mierzaln¡ funkcj¡ o nast¦puj¡cych
wªasno±ciach:
C1 takie, »e |K(x)| ≤ C1 |x|−d
R > r > 0, to
(a) istnieje
(b) je±li
dla wszystkich
x ∈ Rd ;
Z
K(x)dx = 0;
B(0,R)\B(0,r)
(c) istnieje
C2
takie, »e dla ka»dego
x ∈ Rd
zachodzi
Z
Rd \B(0,2|x|)
|K(x + z) − K(z)|dz ≤ C2 .
x
K(x) = |x|−d k( |x|
) dla pewnej hölderowsko ci¡gªej funkcji k na sferze jednostkowej. Dla ε > 0 niech Kε =
K 1Rd \B(0,ε) i niech Tε b¦dzie operatorem splotu z Kε . Rozwa»my granic¦
W szczególno±ci powy»sze warunki s¡ speªnione, je±li
T f (x) = lim+ Tε f (x)
ε→0
Wówczas:
f ∈ L p (Rd ) dla p ∈ (1, ∞) powy»sza granica istnieje
p
d
p
d
prawie wsz¦dzie i w L (R ) i okre±la ograniczony operator na L (R );
1
d
dla dowolnej funkcji f ∈ L (R ) powy»sza granica istnieje prawie wsz¦dzie i
okre±la operator sªabego typu 1, 1.
(1) dla dowolnej funkcji
(2)
Pierwsze dwa zaªo»enia mo»na zast¡pi¢ warunkiem
splotu z
K
oraz transformata Fouriera
K
FK ∈ L ∞ (Rd ),
je±li operator
rozumiane s¡ w sensie dystrybucyjnym.
1
Analogiczne twierdzenia s¡ prawdziwe dla funkcji z L ( ): rozkªad CalderónaZygmunda
T
T, za± dowód twierdzenie 14.8
deniuje si¦ analogicznie, wykorzystuj¡c diadyczny podziaª
praktycznie nie wymaga zmian.
74
15.
Je±li
1≤j≤d
P̃j,t (x) =
jest
»e
Transformata Hilberta i transformaty Riesza
oraz
t > 0,
xj
P (x)
t t
=
ξ
to transformat¡ Fouriera
sprz¦»onego j¡dra Poissona
)
Γ( d+1
xj
2
π (d+1)/2 (t2 + |x|2 )(d+1)/2
FP̃j,t (ξ) = (−i |ξ|j )e−t|ξ| .
W szczególno±ci
|FP̃j,t (ξ)| ≤ 1.
|∇P̃j,t (ξ)| ≤ C|x|−d−1 dla pewnej staªej C zale»¡cej
Z
Z
|P̃j,t (x + z) − P̃j,t (z)|dz ≤
Rd \B(0,2|x|)
Ponadto ªatwo sprawdzi¢,
tylko od wymiaru
Rd \B(0,2|x|)
C|x||z|−d−1 dz =
d,
przez co
Cd |B(0, 1)|
.
2
P̃j,t speªnia warunek Hörmandera. Na mocy twierdzenia 14.8 oznacza to, »e dla
p
d
ka»dego p ∈ (1, ∞) splot z P̃j,t jest operatorem ograniczonym na L (R ), z norm¡
ograniczon¡ przez staª¡ zale»¡c¡ wyª¡cznie od p oraz od wymiaru d. Podobnie splot z
P̃j,t jest operatorem sªabego typu 1, 1, z norm¡ ograniczon¡ przez staª¡ zale»¡c¡ wyª¡cznie
od wymiaru d.
Zatem
wiczenie 15.1. Uzasadnij, »e norma operatora splotu z
ani od
t,
ani od
P̃j,t
na
L p (Rd )
nie zale»y
j.
Lemat 15.2. Je±li
p ∈ [1, ∞]
oraz
f ∈ L p (Rd ),
to dla prawie wszystkich
x ∈ Rd
zachodzi
lim
t→0+
Γ( d+1
)
2
f ∗ P̃j,t (x) − (d+1)/2
π
Z
Rd \B(0,t)
yj f (x − y)
dy
|y|d+1
!
= 0.
Dowód. W poni»szym dowodzie przez Cn oznaczamy staªe zale»¡ce tylko od wymiaru d.
−(d+1)/2
Niech gt,j (y) = π
Γ( d+1
)yj /|y|d+1 1Rd \B(0,t) (x). Zauwa»my, »e
2
Z 2
yj
yj (d + 1)|y| t
1
(d + 1)t2
−
=
ds
≤
,
(t2 + |y|2 )(d+1)/2 |y|d+1 2
(s + |y|2 )(d+3)/2
|y|d+2
0
czyli
|P̃t,j (y) − gt,j (y)| ≤ C1 t2 /|y|d+2
(t2
zatem
dla
y ∈ Rd \ B(0, t).
Ponadto oczywi±cie
1
1
yj
≤ 2
≤ d,
2
(d+1)/2
2
d/2
+ |y| )
(t + |y| )
t
|P̃t,j (y) − gt,j (y)| ≤ C2 t−d
dla
y ∈ B(0, t).
Oznacza to, »e
max(C1 , C2 )
min(1, (t/|y|)d+2 ).
td
Przy odpowietniej warto±ci C3 je±li oznaczymy praw¡ stron¦ powy»szej nierówno±ci przez
C3 ϕt (y), to ϕt jest jedno±ci¡ aproksymatywn¡ na Rd przy t → 0+ , speªniaj¡c¡ zaªo»enia
twierdzenia 13.12. Z nieparzysto±ci j¡dra P̃j,t − gj,t wynika, »e
Z
|f ∗ P̃j,t (x) − f ∗ gj,t (x)| = (P̃t,j (y) − gt,j (y))(f (x − y) − f (x))dy RZd
≤ C3
|f (x − y) − f (x)|ϕt (y)dy,
|P̃t,j (y) − gt,j (y)| ≤
Rd
75
a prawa strona d¡»y do zera gdy
t → 0+
x ∈ Rd
na mocy twier-
dzenia 13.12.
Twierdzenie 15.3. Rozwa»my granice
Γ( d+1
)
2
Rj f (x) = lim+ f ∗ P̃j,t (x) = (d+1)/2
lim
t→0
ε→0+
π
Z
Rd \B(0,ε)
yj f (x − y)
dy.
|y|d+1
Wówczas:
f ∈ L p (Rd )
dla
p ∈ (1, ∞)
powy»sze granice istniej¡
p
d
(i na mocy lematu 15.2 s¡ sobie równe) prawie wsz¦dzie i w L (
) oraz
p
d
okre±laj¡ ograniczony operator Rj na L (
);
1
d
(2) dla dowolnej funkcji f ∈ L (
) powy»sze granice istniej¡ prawie wsz¦dzie i
R
R
R
okre±laj¡ operator Rj sªabego typu 1, 1;
ξ
2
d
(3) dla f ∈ L (
) zachodzi F(Rj f )(ξ) = (−i |ξ|j )Ff (ξ).
R
Operatory
Rj
tów w analizie
Hilberta.
transformatami Riesza i s¡ jednym z najwa»niejszych obiekharmonicznej. Gdy d = 1 operator H = R1 nosi nazw¦ transformata
s¡ nazywane
Dowód. Niech 1 ≤ j ≤ d, p ∈ (1, ∞) oraz f ∈ L p (Rd ). Na mocy twierdzenia 14.8 normy
L p (Rd ) funkcji f ∗ P̃j,t s¡ ograniczone przez staª¡ zale»¡c¡ wyª¡cznie od p i wymiaru
d. Na mocy twierdzenia BanachaAlaoglu istnieje zbie»ny do zera ci¡g tn taki, »e ci¡g
p
d
p
d
funkcji f ∗ P̃j,tn jest ∗-sªabo zbie»ny w L (R ) do pewnej funkcji g ∈ L (R ) (bowiem
L p (T) jest przestrzeni¡ dualn¡ do L q (T), gdzie p1 + 1q = 1).
Zauwa»my, »e P̃j,t ∗ Ps = P̃j,t+s . Wobec tego f ∗ P̃j,tn +t = (f ∗ P̃j,tn ) ∗ Pt . Niech q b¦dzie
1
wykªadnikiem hölderowsko sprz¦»onym do p, tj.
+ 1q = 1. Poniewa» Pt ∈ L q (Rd ) oraz
p
P̃j,tn +t d¡»y do P̃j,t w L q (Rd ) gdy n → ∞ (obie te wªasno±ci zachodz¡ dla dowolnego
q ∈ (1, ∞]), otrzymujemy
g ∗ Pt (x) = lim (f ∗ P̃j,tn ) ∗ Pt (x) = lim f ∗ P̃j,tn +t (x) = f ∗ P̃j,t (x)
n→∞
n→∞
x∈R .
Poniewa» Pt jest jedno±ci¡
funkcje f ∗ P̃j,t = g ∗ Pt d¡»¡
d
dla ka»dego
aproksymatywn¡ speªniaj¡c¡ warunki twierdzenia 13.12,
p
d
do g w L (
) i prawie wsz¦dzie. To dowodzi pierwszej
R
cz¦±ci twierdzenia.
Dowód drugiej cz¦±ci wymaga powtórzenia pewnych elementów dowodu twierdzenia 14.8.
1
d
Niech f ∈ L (
). Dla λ > 0 niech f = fλgood + fλbad b¦dzie rozkªadem Calderóna
Zygmunda i niech Qf,λ b¦dzie rodzin¡ kostek wykorzystywan¡ w tym rozkªadzie. Sum¦
good
tych kostek oznaczamy Qf,λ . Skoro fλ
∈ L 2 ( d ), limt→0+ fλgood ∗ P̃j,t (x) istnieje dla
d
prawie wszystkich x ∈
. Ponadto na mocy twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci ogra-
R
R
R
niczonej dla ka»dego
Z
lim
t→0+
Q ∈ Qf,λ
granica
fλbad (y)P̃j,t (x − y)dy
Q
0
spoza kostki Q o tym samym ±rodku, co
bad
wi¦kszej. Oznacza to, »e limt→0+ fλ
∗ P̃j,t (x) istnieje dla x ∈ d \
0
sum¡ kostek Q dla wszystkich Q ∈ Qf,λ . Poniewa» miara zbioru
istnieje dla ka»dego
2d kf k1 /λ
i
λ
x
Q, lecz dwukrotnie
Q0f,λ , gdzie Q0f,λ jest
Q0f,λ nie przekracza
Rj f (x) = limt→0+ f ∗ P̃j,t (x) istnieje dla
R
mo»e by¢ dowolnie du»e, granica
d
prawie wszystkich x ∈
.
R
76
L 1,∞ (Rd ) funkcji Rj f (x), ale du»o
d
ªatwiej skorzysta¢ z twierdzenia 14.8: miary zbiorów {x ∈ R : |f ∗ P̃j,t (x)| > λ} s¡
ograniczone przez Ckf k1 /λ dla t > 0, gdzie C jest staª¡ zale»¡c¡ tylko od wymiaru d,
W podobny sposób mo»na by oszacowa¢ norm¦
zatem
|{x ∈ Rd : |Rj f (x)| > λ}| ≤ lim inf
|{x ∈ Rd : |f ∗ P̃j,t (x)| > λ}| ≤
+
t→0
Innymi sªowy
Rj
jest operatorem sªabego typu
Ckf k1
.
λ
1, 1.
Ostatnia cz¦±¢ twierdzenia wynika wprost z twierdzenia Plancherela i twierdzenia Le-
besgue'a o zbie»no±ci ograniczonej.
Odwzorowanie podobne do transformaty Hilberta mno»¡ce wspóªczynniki rozwini¦1
cia w szereg Fouriera przez −i sign n mo»na zdeniowa¢ na L ( ). Odwzorowanie
to, nazywane
Hilberta na
transformat¡ Hilberta na okr¦gu,
R
i transformaty Riesza na
Rd .
T
ma te same wªasno±ci, co transformata
Wa»n¡ motywacj¡ do badania tego od-
wzorowania jest teoria funkcji harmonicznych i holomorcznych w dysku jednostkowym,
zarysowana w kolejnym rozdziale.
77
16.
Niech
D
Funkcje harmoniczne i odwzorowanie sprz¦»one
b¦dzie niepustym otwartym podzbiorem
C.
Zakªadamy, »e
D
jest spójny (tj.
D nie jest sum¡ dwóch niepustych zbiorów o rozª¡cznych domkni¦ciach) i jednospójny (tj.
D = C albo C \ D jest nieograniczony i spójny). Przypomnijmy, »e funkcja h jest holo∂h
morczna wtedy i tylko wtedy, gdy h speªnia równania Cauchy'egoRiemanna
= −i ∂h
;
∂x
∂y
∂
∂
oraz
oznaczaj¡ pochodne cz¡stkowe funkcji h wzgl¦dem odpowiedw tym rozdziale
∂x
∂y
nio cz¦±ci rzeczywistej i cz¦±ci urojonej argumentu. Zbiór funkcji holomorcznych na D
oznaczamy Hol(D).
h jest antyholomorczna w D, je±li jej sprz¦»eh̄ jest funkcj¡ holomorczn¡ w D. Zbiór funkcji antyholomorcznych oznaczamy
e
e
Hol(D)
. Ponadto oznaczamy Harm(D) = Hol(D) + Hol(D)
; zatem Harm(D) jest
nie
przestrzeni¡ sum funkcji holomorcznych i antyholomorcznych.
Z denicji wynika, »e
h
h jest
∂h
= ∂y = 0.
− ∂h
,
∂x
jest antyholomorczna wtedy i tylko wtedy, gdy
jednocze±nie holomorczna i antyholomorczna,
∂h
∂x
∂h
∂x
= i ∂h
.
∂y
∂h
= i ∂y =
∂h
Wobec tego jedyne funkcje holomorczne i antyholomorczne
∂x
to funkcje staªe (wykorzystujemy tu spójno±¢ D ).
∗
Je±li h ∈ Hol(D), to funkcja h(z̄) jest holomorczna w D , odbiciu symetrycznym
zatem
e
wzgl¦dem osi rzeczywistej. Zatem h ∈ Hol(D)
wtedy i tylko wtedy, gdy h(z) =
∗
dla pewnej funkcji g ∈ Hol(D ). W szczególno±ci funkcje antyholomorczne w
zbioru
g(z̄)
D
otoczeniu
z0
∞
X
rozwijaj¡ si¦ w szeregi pot¦gowe postaci
an (z̄ − z̄0 )n .
n=0
Niech
∆
b¦dzie operatorem Laplace'a, tj.
Twierdzenie 16.2. Funkcja
h
∂2h
∂x2
+
∂2h
.
∂y 2
Harm(D) wtedy
∆h = 0 w D.
nale»y do
ci¡gªe drugie pochodne cz¡stkowe oraz
Dowód.
δh =
i tylko wtedy, gdy
h
ma
h ∈ Hol(D), to h jest ró»niczkowalna dowolnie wiele razy i na mocy równa«
2
∂2h
∂ ∂h
∂ ∂h
Cauchy'egoRiemanna zachodzi
= −i ∂x
= −i ∂y
= − ∂∂yh2 . Wobec tego ∆h = 0.
∂x2
∂y
∂x
e
Je±li h ∈ Hol(D)
, to h̄ jest holomorczna, wi¦c ponownie h jest ró»niczkowalna dowolnie
wiele razy i ∆h = ∆h̄ = 0. To dowodzi implikacji w jedn¡ stron¦.
1 ∂h
− i ∂h .
Zaªó»my, »e h ma ci¡gªe drugie pochodne cz¡stkowe i ∆h = 0 w D . Niech g =
2 ∂x 2 ∂y
Je±li
Wówczas
∂g
∂x
zatem
g
+
∂g
i ∂y
=
1 ∂ ∂h
2 ∂x ∂x
−
i ∂ ∂h
2 ∂x ∂y
+i
1 ∂ ∂h
2 ∂y ∂x
−
i ∂ ∂h
2 ∂y ∂y
= 21 ∆h = 0,
g ∈ Hol(D). Funkcja g
0
»e g = G ; tu korzystamy
∂G
istocie,
= G0 = g oraz
∂x
speªnia równania Cauchy'egoRiemanna. Wobec tego
ma wi¦c zespolon¡ funkcj¦ pierwotn¡
z jednospójno±ci D ). Twierdzimy, »e
∂G
= iG0 = ig , zatem
∂y
∂ G̃
∂x
− i ∂∂yG̃ =
Wobec tego
∂h
∂x
G ∈ Hol(D) (oznacza
e
G̃ = h − G ∈ Hol(D)
.
to,
W
∂G
∂G
∂h
∂h
− i ∂h
−
−
i
=
−
i
− 2g = 0.
∂y
∂x
∂y
∂x
∂y
h = G + G̃ ∈ Harm(D).
78
Powy»sze twierdzenie tªumaczy oznaczenie
harmonicznych
funkcji
w
D,
Harm(D):
jest to przestrze« zespolonych
tj. speªniaj¡cych równanie Laplace'a
∆h = 0
w
D.
∂h
= 21 ∂h
− 2i ∂h
oraz
= 12 ∂h
+ 2i ∂h
(s¡ to tzw. pochodne
∂x
∂y
∂ z̄
∂x
∂y
Wirtingera albo operatory Cauchy'egoRiemanna ). Udowodnij, »e h jest holomor∂h
= 0 i wówczas h0 = ∂h
. Udowodnij analogiczny
czna wtedy i tylko wtedy, gdy
∂ z̄
∂z
∂2h
∂2h
wynik dla funkcji antyholomorcznych. Udowodnij ponadto, »e ∆h =
= ∂z∂
.
∂ z̄∂z
z̄
∂h
∂z
wiczenie 16.4. Zapisz dowód twierdzenia i wcze±niejsze rozwa»ania za pomoc¡
pochodnych Wirtingera.
D = {z ∈ C : Re z > 0} oraz h(x + iy) = ln(x2 + y 2 ).
h ∈ Harm(D) i rozªó» h na cz¦±¢ holomorczn¡ i antyholomorczn¡.
Udowodnij, »e
h1 , h2 ∈ Harm(D) nazywamy harmonicznie
e
sprz¦»onymi, je±li h1 + ih2 ∈ Hol(D) oraz h1 − ih2 ∈ Hol(D)
. Przyporz¡dkowanie
funkcji h1 funkcji h2 nazywamy odwzorowaniem sprz¦»onym i oznaczamy H : h2 =
Hh1 .
Definicja 16.6. Funkcje harmoniczne
h1 i h2 s¡ harmonicznie sprz¦»one, to równie» h1 + c1 i h2 + c2 oraz
h2 i −h1 (lecz nie h2 i h1 ) s¡ harmonicznie sprz¦»one. Wynika st¡d, »e Hh1 jest okre±lone
jednoznacznie z dokªadno±ci¡ do staªej oraz H(Hh1 ) = −h1 .
Poniewa» ln z = ln |z|+i arg z oraz ln z̄ = ln |z|+i arg z dla z ∈ C\(−∞, 0], funkcje ln |z|
oraz arg z s¡ harmonicznie sprz¦»one. Wynika st¡d, »e funkcja harmonicznie sprz¦»ona
do funkcji ograniczonej mo»e by¢ nieograniczona. Naszym celem jest zbadanie zwi¡zku
mi¦dzy regularno±ci¡ funkcji i funkcji do niej harmonicznie sprz¦»onej, czyli wªasno±ci
odwzorowania sprz¦»onego.
e
f ∈ Hol(D), g ∈ Hol(D)
oraz h ∈ Harm(D). Niech ponadto
ϕ : Ω → D b¦dzie holomorczna, za± ψ : Ω → D antyholomorczna. Uzasadnij, »e
e
f ◦ ϕ, g ◦ ψ ∈ Hol(Ω), f ◦ ψ, g ◦ ϕ ∈ Hol(Ω)
oraz h ◦ ϕ, h ◦ ψ ∈ Harm(Ω).
wiczenie 16.8. Czy
je±li
h◦ϕ
jest holomorczna, antyholomorczna lub harmoniczna,
h jest holomorczna, antyholomorczna lub harmoniczna, a ϕ jest harmoniczna?
Wa»nym uzupeªnieniem ¢wiczenia 16.7 jest nast¦puj¡cy wynik.
funkcja
ϕ
Wyst¦puj¡ca w nim
nazywana jest odwzorowaniem Riemanna.
Twierdzenie 16.9 (Twierdzenie Riemanna i twierdzenie Carathéodory'ego; bez do-
Ω jest niepustym, spójnym i jednospójnym wªa±ciwym podzbiorem C, to
istnieje funkcja holomorczna ϕ odwzorowuj¡ca Ω wzajemnie jednoznacznie na dysk
jednostkowy D = {z ∈ C : |z| < 1}. Je±li ponadto brzeg D jest krzyw¡ Jordana, to
ϕ rozszerza si¦ do ci¡gªego, wzajemnie jednoznacznego odwzorowania Ω w D.
wodu). Je±li
Przykªadem niech b¦dzie funkcja
ϕ(z) =
z+i
,
1 + iz
ϕ−1 (z) =
z−i
,
1 − iz
wzajemnie jednoznacznie odwzorowuj¡ca górn¡ póªpªaszczyzn¦
w dysk jednostkowy
D.
H = {z ∈ C : Im z > 0}
79
Odt¡d zakªadamy, »e
jednostkowym.
Dr = {z ∈ C : |z| < r}
oraz
D = D1 ,
tj.
D
jest dyskiem
W tym przypadku funkcje holomorczne i antyholomorczne w
D
s¡
dane odpowiednio szeregami
∞
X
an z n
∞
X
oraz
n=0
zbie»nymi w
n=0
D.
Wobec tego funkcje harmoniczne w
h(z) = a0 +
(16.1)
a−n z̄ n ,
∞
X
an z n +
n=1
∞
X
∞
X
a−n z̄ n =
n=1
D
s¡ dane szeregiem
an r|n| einα ,
n=−∞
z = reiα ∈ D. Oznaczmy
∞
X
iα
fr (α) = h(re ) =
an r|n| einα .
zbie»nym, gdy
n=−∞
fˆr (n) = 2πan r|n| .
Niech Pr oznacza j¡dro Poissona dysku,
∞
1
re−iα
1
1 X |n| inα
+
r e =
Pr (α) =
2π n=−∞
2π 1 − reiα 1 − re−iα
Otrzymujemy zatem
=
dla
1
1
1 − r2
1 − r2
=
2π 1 + r2 − r(eiα + e−iα )
2π 1 + r2 − 2r cos α
r ∈ [0, 1), α ∈ T.
Niech ponadto
PD µ(reiα ) = µ ∗ Pr (α),
PD f (reiα ) = f ∗ Pr (α)
r ∈ [0, 1), α ∈ T, µ ∈ M (T)
caªkami Poissona.
dla
f ∈ L 1 (T).
i
h ∈ Harm(D)
Funkcje
PD µ
oraz
PD f
nazywamy
2πan w rozwini¦ciu h w szereg (16.1) s¡ wspóªczynnikami Fouriera pewnej miary µ ∈ M (T), to h = PD µ.
Przeciwnie, je±li µ ∈ M (T), to PD µ ∈ Harm(D) i h = PD µ ma rozwini¦cie (16.1),
gdzie 2πan = µ̂(n).
Lemat 16.10. Je±li
Dowód.
oraz wspóªczynniki
µ ∈ M (T) zachodzi
∞
∞
X
X
ˆ(µ)(−n)z̄ n .
2πPD µ(z) = µ̂(0) +
µ̂(n)z n +
Dla dowolnej miary
n=1
n=1
W szczególno±ci wi¦c
PD µ ∈ Harm(D).
Teza wynika z porównania powy»szego wzoru
z (16.1).
Lemat 16.11. J¡dro Poissona dysku
−
r→1
Dowód.
Oczywi±cie
Pr (α) =
Pr
jest regularn¡ jedno±ci¡ aproksymatywn¡ gdy
.
Pr
jest funkcj¡ nieujemn¡ o caªce
funkcj¡ parzyst¡, malej¡c¡ na
czyli
Pr
[0, π]
Pˆr (0) = r0 = 1.
Ponadto
Pr
jest
oraz
1
1 − r2
1
2 − 2r
1 1−r
≤
=
,
2
2π (1 − r) + 2r(1 − cos α)
2π 2r(1 − cos α)
4π r(sin α2 )2
d¡»y do zera jednostajnie na ka»dym przedziale
[ε, π]
gdy
r → 1− .
80
f ∗ Pr d¡»y do f w L p (T) gdy r → 1− dla ka»dej funkcji f ∈ L p (T),
f ∗ Pr d¡»y do f jednostajnie gdy r → 1− dla ka»dej funkcji f ∈ C(T).
W sczególno±ci
a tak»e
h ∈ Harm(D) oraz fr (α) = h(reiα ), to frs = fs ∗Pr
Lemat 16.12. Je±li
dla wszystkich
r, s ∈ [0, 1).
Dowód. Przypu±¢my, »e h ma reprezentacj¦ (16.1) ze wspóªczynnikami an . Funkcja
hs (z) = h(sz) jest harmoniczna w D, a w jej reprezentacji postaci (16.1) wspóªczynniki
an zast¡pione s¡ przez an s|n| . Poniewa» ci¡g an s|n| jest sumowalny, s¡ to wspóªczynniki
Fouriera pewnej funkcji f i wobec tego hs = PD f . Na mocy uwagi poprzedzaj¡cej lemat,
frs (α) = hs (reiα ) d¡»y jednostajnie do f , czyli f = fs .
h ∈ Harm(D)
µ ∈ M (T).
wiczenie 16.13. Wska» przykªad
h = PD µ
jest postaci
dla
gdzie
σ(dw)
1
2π
h ∈ Harm(D)
ma ci¡gªe rozszerzenie na
D,
to
2
Z
∂D
1 − |z|
h(w)σ(dw),
|w − z|2
oznacza miar¦ dªugo±ci na
∂D.
h(x1 , ..., xd ) jest harmoniczna
drugie pochodne cz¡stkowe i ∆h = 0 w D . Udowodnij, »e
kuli B(0, r) i ma ci¡gªe rozszerzenie na B(0, 1), to
Z
1 − |z|2
1
h(w)σ(dw),
h(z) =
σ(∂B(0, 1)) ∂B(0,1) |w − z|d
σ(dw)
która nie
zachodzi
wiczenie 16.15. Funkcja
gdzie
h ∈ Hol(D)),
1 1 − |z|2
.
2π |w − z|2
Pr (α − β) =
h(z) =
z = reiα , w = eiβ
(a nawet
oznacza miar¦ powierzchniow¡ na
D ⊆ Rd , je±li ma ci¡gªe
je±li h jest harmoniczna w
w
∂D.
h ∈ Harm(D), to funkcja Hh harmonicznie
Wówczas H(Hh)(z) = −h(z) + h(0). W tym
Dla jednoznaczno±ci przyjmujemy, »e je±li
sprz¦»ona do
przypadku
h
h
speªnia
oraz
Hh
h(z) = a0 +
Hh(0) = 0.
maj¡ nast¦puj¡ce rozwini¦cia w szeregi:
∞
X
n
an z +
n=1
∞
X
n
a−n z̄ ,
h̃(z) = −i
n=1
∞
X
n
an z + i
n=1
∞
X
a−n z̄ n .
n=1
h − iHh jest antyholomorczna w D.
Zauwa»my, »e wspóªczynniki rozwini¦cia (16.1) dla funkcji Hh s¡ dane przez (−i sign n)an ,
gdzie an to wspóªczynniki odpowiedniego rozwini¦cia h. Zdeniujmy zatem sprz¦»one
j¡dro Poissona dysku wzorem
!
∞
∞
X
X
1
1
−ireiα
ire−iα
n inα
n −inα
P̃r (α) =
−i
r e +i
r e
=
+
2π
2π 1 − reiα 1 − re−iα
n=1
n=1
W istocie, wówczas
=
h + iHh
jest holomorczna, a
1
ire−iα − ireiα
1
2r sin α
=
,
2
iα
−iα
2π 1 + r − r(e + e )
2π 1 + r2 − 2r cos α
81
a tak»e sprz¦»on¡ caªk¦ Poissona
P̃D µ(reiα ) = µ ∗ P̃r (α),
P̃D f (reiα ) = f ∗ P̃r (α)
α ∈ T.
Je±li zatem h = PD µ, to Hh = P̃D µ. Je±li ponadto Hh = PD µ̃, to piszemy µ̃ = Hµ
i nazywamy µ̃ transformat¡ Hilberta µ. Gdy jedna z miar µ, µ̃ ma g¦sto±¢, stosujemy
podobne zapisy, a wi¦c je±li h = PD f i Hh = Pd f˜, to piszemy f˜ = Hf .
Nasz cel to uzyskanie odpowiedzi na nast¦puj¡ce pytania: kiedy h ∈ Harm(D) wyra»a
p
p
si¦ jako caªka Poissona funkcji f ∈ L (T), kiedy Hh jest caªk¡ Poissona g ∈ L (T)
oraz jaki jest zwi¡zek mi¦dzy regularno±ci¡ f i g = Hf . Pierwsze pytanie jest wzgl¦dnie
dla
r ∈ [0, 1)
oraz
proste. Wpierw podamy wynik nieco innego rodzaju, ale posiadaj¡cy liczne zastosowania.
h ∈ Harm(D) i h ≥ 0, to h = PD µ
iα
dla pewnej miary nieujemnej µ ∈ M (T). Ponadto µ jest sªab¡ granic¡ miar h(re )dα
−
gdy r → 1 .
Twierdzenie 16.16 (twierdzenie Herglotza). Je±li
Dowód.
fr (α) = h(reiα ). Zachodzi
Z π
fr (α)dα = 2πh(0).
kfr k1 =
Niech
−π
fr (α)dα maj¡ wahanie caªkowite ograniczone przez 2πh(0).
M (T) jest przestrzeni¡ dualn¡ do C(T), na mocy twierdzenia BanachaAlaoglu,
∗
istnieje ci¡g rn zbie»ny do 1, dla którego frn (α)dα d¡»y sªabo (±ci±lej: -sªabo) do pewnej
miary µ ∈ M (T). Oczywi±cie µ jest nieujemna. Ponadto gdy r ∈ [0, 1), ci¡g funkcji frrn
d¡»y jednostajnie z jednej strony do fr , a z drugiej do
Wobec tego (nieujemne) miary
Poniewa»
lim frrn = lim frn ∗ Pr = µ ∗ Pr .
n→∞
Wobec tego
d¡»y sªabo
n→∞
fr = µ∗Pr , czyli h = PD µ.
−
do µ gdy r → 1 .
St¡d oczywi±cie wynika, »e
fr (α)dα = µ∗Pr (α)dα
Odpowied¹ na pierwsze pytanie podana jest w nast¦puj¡cym klasycznym twierdzeniu.
p ∈ (1, ∞]. Je±li
h ∈ Harm(D), fr (α) = h(re ) oraz kfr kp jest ograniczone dla r ∈ [0, 1), to h = PD f
p
p
−
dla pewnej funkcji f ∈ L (T) oraz f jest granic¡ fr w sensie L (T) gdy r → 1 . W
przypadku p = 1 przy tych samych zaªo»eniach zachodzi h = PD µ dla pewnej miary
µ ∈ M (T), która jest sªab¡ granic¡ miar fr (x)dx gdy r → 1− .
Twierdzenie 16.17 (twierdzenie o reprezentacji Poissona). Niech
iα
Dowód.
Dowód drugiej cz¦±ci jest niemal identyczny, jak dowód twierdzenia Herglotza, z
µ mo»e by¢ miar¡ zespolon¡. Dowód pierwszej cz¦±ci równie» jest podobny.
iα
Niech fr (α) = h(re ). Na mocy twierdzenia BanachaAlaoglu, istnieje ci¡g rn zbie»ny
∗
p
p
do 1, dla którego frn d¡»y -sªabo w L (T) do pewnej funkcji f ∈ L (T) (bowiem
L p (T) jest przestrzeni¡ dualn¡ do L q (T), gdzie p1 + 1q = 1). Gdy r ∈ [0, 1), ci¡g funkcji
frrn d¡»y z jednej strony jednostajnie do fr , a z drugiej punktowo do
t¡ ró»nic¡, »e
lim frrn = lim frn ∗ Pr = f ∗ Pr
n→∞
n→∞
Pr ∈ L (R)).
−
gdy r → 1 .
(bo
q
St¡d
f r = f ∗ Pr ,
czyli
h = PD f
i wobec tego
fr
d¡»y do
f
w
L p (T)
82
p ∈ [1, ∞), h ∈ Harm(D) oraz fr (α) = h(reiα ), to kfr kp ≤ kfs kp
gdy 0 ≤ r ≤ s < 1. W istocie, fr = fs ∗ Ps/r i rozwa»ana nierówno±¢ wynika z nierówno±ci
Younga.
Odpowiedzi na pozostaªe dwa pytania cz¦±ciowo zawarte s¡ w kolejnym rozdziale.
83
Wªasno±ci odwzorowania sprz¦»onego
17.
C,
h ∈ Harm(D) i niech h̃ ∈ Harm(D)
iα
b¦dzie harmonicznie sprz¦»ona do h. Dla r ∈ [0, 1) i α ∈ T oznaczmy fr (α) = h(re )
iα
oraz gr (α) = h̃(re ). Przypomnijmy, »e je±li h = PD µ, to fr = µ ∗ Pr oraz gr = µ ∗ P̃r ,
gdzie Pr i P̃r to zwykªe i sprz¦»one j¡dro Poissona dysku. Poni»ej rozwa»amy wyª¡cznie
p
przypadek miar µ z g¦sto±ci¡ f ∈ L (T) dla pewnego p ∈ [1, ∞] i szukamy funkcji
g = Hf takiej, »e h̃ = PD g .
Przypu±¢my, »e p ∈ (1, ∞). Na mocy twierdzenia 16.17 je±li funkcja g istnieje, to jest
p
−
granic¡ w L (T) funkcji gr = f ∗ P̃r gdy r → 1 . Powtarzaj¡c dowód twierdzenia 15.3
D
Niech
oznacza dysk jednostkowy w
niech
otrzymujemy nast¦puj¡cy wynik.
Twierdzenie 17.1. Rozwa»my granice
1
Hf (α) = lim− f ∗ P̃r (α) = lim+
r→1
ε→0 2π
Z
(−π,−ε)∪(ε,π)
f (α − β)
dβ.
tan β2
Wówczas:
sobie równe) prawie
H na L p ( );
T
f ∈ L p (T) dla p ∈ (1, ∞) powy»sze granice istniej¡ (i s¡
p
wsz¦dzie i w L (T) oraz okre±laj¡ ograniczony operator
f ∈ L 1 (T)
powy»sze granice istniej¡ (i s¡ sobie równe)
prawie wsz¦dzie i okre±laj¡ operator H sªabego typu 1, 1;
p
(3) dla p ∈ (1, ∞) i f ∈ L ( ) zachodzi (Hf )ˆ(n) = (−i sign n)fˆ(n).
T
W szczególno±ci oznacza to, »e dla p ∈ (1, ∞) je±li h ∈ Harm(D) jest caªk¡ Poissona
p
pewnej funkcji f ∈ L ( ), to funkcja harmonicznie sprz¦»ona h̃ równie» jest caªk¡
p
Poissona funkcji z L ( ). Ten wynik nie jest jednak prawdziwy dla p = 1 oraz p = ∞.
T
T
p = 1.
radialna funkcja maksymalna :
Poni»ej podamy bez dowodu wyniki cz¦±ciowo opisuj¡ce przypadek
Z j¡drem Poissona stowarzyszona jest
Mr h(α) = sup{|h(reiα )| : r ∈ [0, 1)}.
Poni»szy wynik stwierdza, »e je±li
h
jest caªk¡ Poissona
f,
to funkcja
walna z operatorem maksymalnym Hardy'egoLittlewooda na
Lemat 17.2. Je±li
h
jest nieujemna,
Mr h
jest porówny-
f.
h ∈ Harm(D) i h(reiα ) = µ ∗ Pr (α),
to
Mr h(α) ≤ M µ(α) ≤ (1 + π 2 )Mr h(α),
gdzie dla
µ ∈ M (T),
M µ(α) = sup
Dowód.
Poniewa»
1
2πr
Pr
|µ|((α − πr, α + πr))
: r ∈ (0, 1) .
2πr
jest parzysta i malej¡ca na
1(−πr,πr) (α) ≤
1 P1−r (α)
2πr P1−r (πr)
[0, π],
.
Ponadto
1
2πrP1−r (πr)
=
r2 + 2(1 − r)(1 − cos(πr))
r2 + π 2 r2 (1 − r)
≤
≤ 1 + π2.
r(1 − (1 − r)2 )
r2 (2 − r)
84
Wobec tego
1
µ((α
2πr
− πr, α + πr)) =
1
µ
2πr
∗ 1(−πr,πr) (α)
≤ (1 + π 2 )µ ∗ P1−r (α) = (1 + π 2 )h((1 − r)eiα ).
To dowodzi górnego oszacowania. Oszacowanie dolne zachodzi na mocy lematu 13.11 (w
wersji dla
T).
p ∈ (0, ∞), h ∈ Harm(D). Mówimy, »e h nale»y do rzeczywistej przestrzeni Hardy'ego na D, co zapisujemy h ∈ H p (D), je±li Mr h ∈ L p (T) (tzn.
(Mr h)p jest caªkowalna). Okre±lamy ponadto khkH p (D) = kMr hkp .
Definicja 17.3. Niech
p ∈ (1, ∞), to h ∈ H p (D) wtedy i tylko wtedy, gdy h = PD f dla
f ∈ L p (T), a z porównywalno±ci radialnego operatora maksymalnego
Wiemy ju», »e gdy
pewnej funkcji
z operatorem maksymalnym Hardy'egoLittlewooda i wªasno±ci tego drugiego otrzymujemy jednostajn¡ porównywalno±¢ norm khkH p (D) oraz kf kp .
p
p
wi¦c, »e h ∈ H (D) wtedy i tylko wtedy, gdy h̃ ∈ H (D).
W szczególno±ci wiemy
Powy»szy wynik jest prawdziwy dla wszystkich p ∈ (0, ∞). Szczególnie wa»ny jest
1
1
przypadek p = 1, je±li bowiem h ∈ H (D), to h = PD f dla pewnej funkcji f ∈ L ( ) i
1
wobec tego równie» h̃ = PD g dla pewnej g ∈ L ( ).
T
[cdn.]
T

notatki do wykładu

Transkrypt

Podobne dokumenty

Rozszerzona karta wzorów dla osób, które zaliczyły kartkówkę

(Stanowimy zgrany zesp\363\263)

1 De nicje 2 Granica

Z17 - Uniwersytet Jagielloński

Zadania przygotowawcze część I

Szczegółowy opis przedmiotu zamówienia

Szereg Fouriera