Szereg Fouriera

Szereg Fouriera
Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg postaci
a0 ∞
(1)
+ ∑ (an cos nx + bn sin nx )
2 n =1
gdzie a0 , an , bn są pewnymi stałymi.
Szeregiem Fouriera odpowiadającym danej funkcji f całkowalnej w przedziale − π , π nazywamy
taki szereg trygonometryczny, którego współczynniki zwane współczynnikami Eulera-Fouriera
obliczono wg wzorów:
π
1
a0 = ∫ f ( x)dx
π
an =
(2)
bn =
−π
π
1
π
1
π
∫ f ( x) cos nxdx
−π
π
∫ f ( x) sin nxdx
−π
dla n = 1, 2, 3...
Szereg Fouriera odpowiadający danej funkcji f może być zbieżny (i to niekoniecznie do f (x) ) lub
rozbieżny.
Szereg trygonometryczny Fouriera
Trygonometryczny szereg Fouriera dla przebiegów okresowych ma postać:
∞
f (t ) = a0 + ∑ (ak cos kω 0t + bk sin kω 0t )
k =1
2
ak =
T
T
2
∫ x(t ) cos(kω 0t )dt
−
- współczynniki widma parzystego
T
2
2
bk =
T
T
2
∫ x(t ) sin(kω t )dt
- współczynniki widma nieparzystego
0
T
−
2
Trygonometryczny szereg Fouriera jest równoważny wykładniczemu szeregowi Fouriera i zawsze
postać wykładniczą można przekształcić do postaci trygonometrycznej i odwrotnie. Wynika to z
faktu, że każdą liczbę zespoloną można przedstawić w postaci wykładniczej lub trygonometrycznej.
Amplituda i faza harmonicznej
ak cos kω 0t + bk sin kω 0t = ak2 + bk2 sin(kω 0t + Ψk )
gdzie:
cos Ψk =
lub
bk
a +b
2
k
2
k
sin Ψk =
ak
a + bk2
2
k
ak cos kω 0t + bk sin kω 0t = ak2 + bk2 cos(kω 0t + ϑk )
gdzie:
ak
bk
cos ϑk =
sin ϑk =
2
2
2
ak + bk
ak + bk2
podstawiając za
hk = ak2 + bk2
otrzymamy inną postać szeregu trygonometrycznego Fouriera:
∞
f (t ) = a0 + ∑ hk sin(kω 0t + Ψk )
k =1
∞
f (t ) = a0 + ∑ hk cos(kω 0t + ϑk )
k =1
hk – amplituda k-tej harmonicznej, ψk, ϑk – faza początkowa k-tej harmonicznej, ω0-pulsacja podstawowa
Widmo sygnału
Funkcja okresowa o okresie T rozłożona w szereg Fouriera zawiera składowe o
częstotliwościach ω0, 2ω0, 3ω0...Wartości poszczególnych składowych są równe współczynnikom
szeregu Fouriera. Układ współczynników odpowiadających poszczególnym częstotliwościom
tworzy tzw. widmo częstotliwościowe. Istnieją więc dwa sposoby przedstawiania funkcji: w
dziedzinie czasu i w dziedzinie częstotliwości.
Dla przedstawienia funkcji w dziedzinie częstotliwości potrzebne są dwa widma: widmo
amplitudowe i widmo fazowe.
Widmo amplitudowe rzeczywistej funkcji okresowej jest symetryczne względem osi pionowej
przechodzącej przez początek układu (jest to funkcja parzysta). Widmo fazowe jest funkcją
symetryczną względem początku układu (funkcja nieparzysta).
ICkI
2A
35
-6
2A
3
2A
15
-4
-2
2A
2A
3
0 2
2A
15
2A
35
4
6
4
6
k
Widmo amplitudowe
i fazowe wyprostowanego
sygnału sinusoidalnego
-6
-4
-2
0 2
Szereg wykładniczy Fouriera
Warunki Dirichleta dla funkcji f(t):
1. funkcja f(t) musi posiadać skończone wartości maksimów i minimów w każdym
skończonym przedziale
2. funkcja f(t) musi posiadać skończoną liczbę punktów nieciągłości w każdym skończonym
przedziale
3. funkcja f(t) musi być bezwzględnie całkowalna
Dowolną, spełniającą warunki Dirichleta funkcję f(t) w przedziale (t0, t0+T) można przedstawić za
pomocą sumy funkcji wykładniczych:
f (t ) =
∞
∑c
k = −∞
k
⋅ e jkω 0t
dla
t0 +
t0 < t < t0+T
Współczynniki ck szeregu Fouriera przyjmują postać:
ck =
1
T
2π
ω0
∫ f (t ) ⋅ e
− jkω0t
dt
t0
Współczynnik ck otrzymujemy poprzez aproksymację funkcji zespolonych w określonym przedziale. Współczynniki ck
wyznaczone zostały z warunku minimalizacji błędu średniokwadratowego.
∫ f ( x) g ( x)dx = ∫ v' ( x)u ( x)dx =v( x)u( x) − ∫ v( x)u ' ( x)dx
Przykład 4.
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f ( x) = x 2 .
Przedłużając w sposób 2π-okresowy naszą funkcję, otrzymujemy funkcję spełniającą założenia
twierdzenia. Liczymy kolejno wg (2):
π
1
a0 = ∫ x 2 dx
π
an =
bn =
1
π
1
π
−π
π
∫π x
2
cos nxdx
2
sin nxdx
−
π
∫π x
−
Zatem, zgodnie z (1), dostajemy dla każdego x ∈ − π , π
∞
1
cos nx
S ( x) = π 2 + 4∑ (−1) n
= x2
2
3
n
n =1
Kładąc x = 0 otrzymujemy po prostych przekształceniach ciekawy wynik:
∞
∑ (−1)
n =1
n +1
1
1
= π2
2
n
12