1. W stęp. Rynek instrumentów dłużnych różni się w sposób

DZIAŁ NAUKOWY
M A T E M A T Y K A S T O S O W A N A 3, 200 2
A n d r z e j Pa l
c ze ws ki
(Warszawa)
M o d e le s to p y p ro c e n to w e j
1.
W s tę p . Rynek instrumentów dłużnych różni się w sposób zasadniczy
od rynku akcji. Rynek akcji jest w każdym momencie czasu opisywany przez
skończenie wymiarowy wektor cen akcji, podczas gdy stan rynku instrumentów dłużnych opisywany jest całą krzywą struktury stóp procentowych,
która jest zmienną nieskończenie wymiarową, na dodatek bezpośrednio nie
obserwowaną na rynku. Stwarza to podwójny problem: z jednej strony należy zbudować matematycznie poprawny model stóp procentowych, z drugiej znaleźć metody weryfikacji modelu, w tym w szczególności wybrać dane
rynkowe, które będą podstawą tej weryfikacji.
Podstawową decyzją, którą należy podjąć, przystępując do modelowania struktury stóp procentowych, jest wybór obiektu modelowania. Istnieje
bowiem wiele możliwych do zdefiniowania stóp procentowych. Nim przystąpimy do przedstawienia ścisłej teorii matematycznej, pokażemy w sposób
niesformalizowany, jakie stoją przed nami możliwości wyboru.
Niech T* > 0 będzie horyzontem czasowym wszystkich inwestycji finansowych podejmowanych na rynku. Jako podstawowy instrument dłużny
istniejący na rynku przyjmiemy obligację zero-kuponową.
D e f in ic j a 1.1. Obligacja zero-kuponowa o czasie zapadalności T
(T ^ T ) to papier wartościowy, który gwarantuje właścicielowi wypłatę
jednostki waluty w chwili T. Cena w chwili t ^ T obligacji o czasie zapadalności T oznaczana jest symbolem P(£, T ).
Z definicji tej wynika, że P (T , T ) = 1. Oczywista obserwacja, że pieniądze można przechowywać bez ponoszenia dodatkowych kosztów, prowadzi
do wniosku, że P ( t , T) ^ 1 dla każdego t ^ T (w normalnych warunkach
P(£, T ) < 1 dla t < T, co oznacza, że obligacje zero-kuponowe są sprzedawaPraca była częściowo finansowana przez Komitet Badań Naukowych w ramach grantu
P B Z K B N 0 1 6 /P 0 3 /9 9 .
[
52]
Modele stopy procentowej
53
ne z dyskontem). Przyjmując jako instrument podstawowy obligacje zerokuponowe, możemy zdefiniować kilka stóp procentowych.
D ef in ic ja 1.2. Stopę terminową (ang. forward interest rate) w chwili t
na okres [S, T] definiujemy następująco:
R (t;S ,T ) = - l I
M
M
1 —O
.
Dysponując stopą terminową możemy zdefiniować stopę natychmiastową
(ang. spot interest rate) na okres [5, T ]:
R (S ,T ) = R(S-,S,T),
a także chwilową stopę terminową (ang. instantaneous forward rate)
f { t , T ) = Jim R (t;S ,T ) = ~ \ n P ( t , T ),
i chwilową stopę natychmiastową (ang. instantaneous spot rate)
r{t) =
Powyższe definicje mają sens, jeśli na rynku istnieją obligacje zero-kuponowe z continuum teminów zapadalności, o gładkiej zależności
ceny od czasu zapadalności (aby istniały odpowiednie pochodne).
U
w a g a
W n io se
.
k
1.1.
T
P ( t , T ) — e x p (— J f ( t , u) d u j.
t
Znacznie mniej oczywiste jest powiązanie cen obligacji zero-kuponowych
z chwilową stopą natychmiastową. Stopa ta pozwala natomiast na zdefiniowanie rachunku oszczędnościowego.
D ef in ic ja 1.3. Rachunek oszczędnościowy to proces stochastyczny zdefiniowany równością
t
B (t) = e x p (j r(u) duj ,
o
lub równoważnie równaniem różniczkowym
d B (t) = r(t)B (t)d t,
B ( 0) = 1.
Sens finansowy tego procesu jest następujący: B (t) reprezentuje kapitał
zgromadzony do czasu t z inwestycji jednostki waluty w chwili t = 0 przy
strategii polegającej na inwestowaniu w sposób ciągły po chwilowej stopie
r(u).
A . Palczewski
54
Jak wynika z tej skrótowej prezentacji, rynek możemy opisywać, używając dwóch rodzajów stóp procentowych: chwilowej stopy terminowej i chwilowej stopy natychmiastowej. Stopa terminowa wiąże się w naturalny sposób
z procesem cen obligacji zero-kuponowych, a stopa natychmiastowa z procesem rachunku oszczędnościowego.
Wymienione wyżej obiekty traktujemy jako procesy stochastyczne. Celem naszym będzie modelowanie dynamiki tych procesów w czasie. Niezależnie od związanych z tym trudności matematycznych, przy tworzeniu modeli
musimy zmierzyć się z podstawową trudnością każdego modelowania, jaką
jest weryfikacja stworzonych modeli.
W interesującym nas przypadku dodatkowa trudność weryfikacji modeli
wynika z faktu, że obiekty naszego modelowania nie są bezpośrednio obserwowane w rzeczywistości. Z wymienionych wcześniej obiektów (dwie stopy
procentowe, rachunek oszczędnościowy i obligacje zero-kuponowe) jedynie
obligacje zero-kuponowe są obiektem istniejącym na rynku. Jednak rynkowe
obligacje zero-kuponowe tylko w bardzo ograniczonym zakresie mogą służyć
do weryfikacji modeli. Po pierwsze, ich terminy zapadalności nie tworzą continuum (terminy te tworzą zbiór dyskretny, który w czasie do jednego roku
składa się z terminów odległych od siebie o 1 tydzień, a dla dłuższych terminów zapadalności - o kilka miesięcy). Po drugie, na większości rynków
obligacje zero-kuponowe emitowane są tylko na okres do 2-3 lat. Oznacza
to, że na dalsze terminy zapadalności nie mamy bezpośrednich danych rynkowych pozwalających weryfikować tworzone modele.
W tej sytuacji weryfikacja modeli odbywać się musi drogą pośrednią.
Zwykle sprawdzamy, czy model nie prowadzi do wyników absurdalnych
z ekonomicznego punktu widzenia, np. postulujemy, aby modelowane stopy
procentowe były nieujemne. Porównujemy także otrzymane z modelu ceny
instrumentów pochodnych z praktyką rynkową. Pierwszy z tych warunków
jest dość oczywisty, drugi wymaga dokładniejszego komentarza.
W matematycznej teorii rynków finansowych krokiem wstępnym jest
tworzenie modelu ewolucji cen instrumentów podstawowych (akcji, obligacji). Celem nie jest jednak przewidywanie ich przyszłych cen, ale wykorzystanie modelu do znajdowania cen instrumentów pochodnych (opcji) w oparciu
o tzw. wycenę bezarbitrażową. Dla rynku stóp procentowych najważniejszą
opcją jest opcja na górny (dolny) pułap stopy procentowej, zwana capletem
(floor letem).
1.4. Capletem na okres (£,£ + 8) o górnym pułapie stopy
procentowej k nazywamy kontrakt, którego wartość w chwili t jest dana
wzorem
S
(R (t,t + 6 ) - k ) + ,
1 -f- ńJ?(t, t -f- ń)
D
e f in ic j a
Modele stopy procentowej
55
gdzie R (t,t -j- £) jest natychmiastową stopą procentową w chwili t na
okres 6.
Taka postać wzoru na wartość capletu wynika ze stosowanej w praktyce rynkowej metody jego rozliczania. Formalnie caplet jest opcją na stopę
procentową stosowaną w regulowaniu płatności (np. odsetek od kredytu)
w chwili £+ <S. Stopa ta jest znana już w chwili t (stopa, po której płacone są
odsetki, musi być znana na początku okresu odsetkowego). Dlatego rzeczywiste rozliczenie capletu następuje w chwili t, a wartość opcji (R (t, t + 8 )—k )+
w momencie t + 5 jest dyskontowana do czasu t.
F. Black, wykorzystując bardzo uproszczoną teorię, wyprowadził wzór
na bezarbitrażową cenę capletu (patrz [12])
cap(O) = 6 P {0, t + 8 )(R (0; t, t + S)N (di) - kN (d2)),
gdzie
in fl(Q; *, t + (?) | <T^_t
d\ = -------------— -------- — ,
o\Jt
d2 = di - G\ft,
a N (-) oznacza dystrybuantę rozkładu normalnego. Wzór Blacka jest od
dawna wykorzystywany w praktyce rynkowej (analogicznie można wyprowadzić wzór na cenę fłoorletu). Ponieważ jego stosowanie nie prowadzi do
pojawienia się arbitrażu, w powszechnym przekonaniu wzór ten prawidłowo
wycenia caplety.
Podsumowując, można powiedzieć, że naszym celem jest zbudowanie takiego modelu stóp procentowych, którego przewidywania byłyby zgodne z
zachowaniem stóp rynkowych (np. dawałyby zawsze nieujemne stopy procentowe) i wyceniały caplety zgodnie ze wzorem Blacka.2
2.
M o d e lo w a n ie s to p y n a tych m ia stow ej. Niewątpliwe sukcesy
modelu Blacka-Scholesa zastosowanego do wyceny instrumentów pochodnych na rynku akcji spowodowały chęć przeniesienia go na rynek kontraktów pochodnych na stopy procentowe. Doprowadziło to do stworzenia wielu
modeli służących do opisu rynku instrumentów dłużnych. Przez długi czas
ograniczano się jedynie do modelowania stopy procentowej natychmiastowej
(spot), uważając ją za najbardziej naturalny obiekt badań. Poniżej przedstawimy kilka takich modeli oraz wynikające z nich wyceny kontraktów pochodnych.
Niech (f2, T , Tt, P) będzie przestrzenią probabilistyczną z filtracją Tt generowaną przez n-wymiarowy proces Wienera W . Na przestrzeni tej zdefiniujemy rynek obligacji zero-kuponowych o skończonym horyzoncie czasowym T* > 0.
56
A . Palczewski
D e f i n i c j a 2.1. Rynek obligacji to rodzina procesów stochastycznych
P (t ,T ) określonych na przestrzeni probabilistycznej (i?, P , P*, P) spełniająca warunki:
1. Dla każdego T € [0,T*] proces P (t,T ) jest dodatnim ciągłym semimartyngałem (2) względem £, adaptowanym do filtracji Tt i takim, że
P (T ,T ) = 1.
2. Rynek obligacji jest „wolny od arbitrażu” , tzn. dla każdej obligacji
istnieje miara Q, równoważna mierze P, względem której proces zdyskontowanych cen obligacji jest Q-martyngałem.
U w a g a . Dyskontowanie cen oznacza możliwość ich porównywania w jednym wybranym punkcie czasowym (zwykle w chwili t = 0). Służy do tego
proces, który odpowiada, mówiąc nieformalnie, wyborowi jednostki obliczeniowej, ale z uwzględnieniem „zmiany wartości pieniądza w czasie” . Proces
taki w matematyce finansowej nazywany jest numeraire. Matematycznie ścisłą definicję tego pojęcia można znaleźć w książce Binghama i Kiesela [2].
Na tak zdefiniowanym rynku chcemy modelować stopę spot. Naturalnym pomysłem, zgodnym z podejściem Blacka-Scholesa, jest zaproponowanie równania stochastycznego opisującego ewolucję stopy spot
(1)
d r(t) = n (t,r(t))d t + cr(t,r(t))d W (t),
gdzie /i(£,r) i cr(t,r) są funkcjami rzeczywistymi dwóch zmiennych, wystarczająco gładkimi, aby gwarantować istnienie silnych rozwiązań równania ( 1)
(a (t, r) jest oczywiście wektorem n-wymiarowym).
To bezpośrednie naśladownictwo rynku akcji prowadzi do nieoczekiwanych trudności. Jedynym instrumentem bazowym na rynku stopy spot jest
rachunek oszczędnościowy zdefiniowany we wstępie (obligacje są na tym
rynku instrumentami pochodnymi)
B {t) = exp
t
r(u) d u j,
o
który pełni jednocześnie rolę numeraire dla tego rynku. Jeśli równanie (1)
potraktować jako równanie względem miary P, tzn. uważać W za P-proces
Wienera, to zgodnie z ogólną teorią Blacka-Scholesa powinniśmy rozpatrywać zdyskontowane procesy cen instrumentów bazowych i poszukiwać miar
Q, równoważnych mierze P, dla których te zdyskontowane procesy cen są
Q-martyngałami (<Q> nazywa się wtedy równoważnymi miarami martyngałowymi (RM M )). Problem polega na tym, że na naszym rynku zdyskontowany
proces cen
Z (t) = B (t)B ~ 1(t) = 1
jest trywialny i każda miara Q ~ P jest RMM.
f 1) Definicję ciągłego semimartyngału można znaleźć w wielu podręcznikach teorii
procesów stochastycznych, np. Karatzasa i Shreve’a [11], roz. 3.3.
Modele stopy procentowej
57
Jakie są konsekwencje tego faktu? Ponieważ obligacje są instrumentami
pochodnymi, więc ich ceny należy wyznaczyć zgodnie z ogólną zasadą przedstawioną w poniższym twierdzeniu.
T w i e r d z e n ie 2.1. Niech na przestrzeni { Q , T , J^,P) zdefiniowany będzie rynek finansowy z numeraire B (t) oraz miarą Q będącą RMM. Jeśli
na rynku tym dany jest osiągalny instrument pochodny (2) X ( t ) o terminie zapadalności T < T*, to jego cena I I x (t) w chwili t € [0, T] jest dana
wzorem
nx (t) = B(t)e q
■x
T,
.W )
Jeśli twierdzenie 2.1 zastosujemy do obligacji, to otrzymamy
(2)
T
P (t, T ) = E q [exp ( - \ r(u) du) |pt •
t
Istnienie wielu równoważnych miar martyngałowych Q oznacza istnienie
wielu cen obligacji, a dokładniej wielu rynków obligacji „wolnych od arbitrażu” (każda miara Q będąca RM M wyznacza taki rynek). Jest to sprzeczne
z podstawową cechą modelu Blacka-Scholesa, w którym ceny osiągalnych instrumentów pochodnych są wyznaczone jednoznacznie.
Wyjściem z tej sprzeczności jest przyjęcie, że równanie (1) nie zachodzi
względem miary rynkowej P, ale względem a priori danej miary martyngałowej Q
(3)
dr(t) = f i ( t ,r ( t ) ) d t o - ( t ,r ( t ) ) d W ( t ) ,
gdzie W jest Q-procesem Wienera. Oczywiście w modelu opisywanym równaniem (3) w dalszym ciągu pozostaje prawdziwy wzór (2) na cenę obligacji
jako instrumentu pochodnego.
Odchodząc od modelowania stopy procentowej względem miary rynkowej, pozbawiamy się oczywiście możliwości łatwego kalibrowania modelu,
tzn. znajdowania współczynników p i a na podstawie danych rynkowych.
Problem ten rozwiązuje częściowo twierdzenie Girsanowa, z którego wynika
niezmienność współczynnika a przy zmianie miary. Można także skorzystać
z twierdzenia o markowskości procesów dyfuzji.
T w i e r d z e n ie 2.2. Niech dla równania
d X (t) = /i(ż, X (t )) dt + c r (t,X (t))d W (t),
t > s ^ 0,
X (s) = x ,
spełnione będą warunki:
(2) Instrument pochodny nazywamy osiągalnym, jeśli daje się on replikować przez
kombinację instrumentów podstawowych na danym rynku. Ceny instrumentów osiągalnych obliczane na drodze wyceny bezarbitrażowej są wyznaczone jednoznacznie. Sposób
znalezienia tych jedynych cen podaje właśnie twierdzenie 2.1.
A . Palczewski
58
1. Współczynniki p (t ,x ) i a ( t ,x ) są ciągłe i o wzroście liniowym, tj.
rc)| + |a(t, x)| < :K ( 1 + |x|).
2. Istnieje jednoznaczne (słabe) rozwiązanie X (t).
Wtedy dla funkcji ( ciągłej, nieujemnej, o wzroście wielomianowym
otrzymujemy
gdzie F ( t , x ) spełnia równanie
xd F
dF
1 2
dt + » (t' x ) ^ + r
F (T ,x ) = ( (x).
d2F
{t' x ) dx>
= 0,
Z twierdzenia 2.2 wynika jako prosty wniosek równanie na cenę obligacji
P (t,T ) = F T(t,r (t))
dFT
(4)
dt
dFT
1 0d2F T
- r F T = 0,
F fidr ~h 2 a dr2
F t (T, r) = 1.
Ponieważ naszym celem jest wycena opcji na stopy procentowe, sprawą
istotną jest łatwość rozwiązania równania (3). Możemy to osiągnąć, jeśli uprościmy rozważane modele do modeli jednoczynnikowych, tj. takich,
w których proces Wienera W jest jednowymiarowy.
Poniżej przedstawiamy kilka najpopularniejszych modeli jednoczynnikowych. W większości tych modeli występujące parametry są stałe. Jeśli zależą
one od czasu, zostało to wyraźnie zaznaczone.
1. Model Vasicka [15]:
dr = (b — ar)dt + adW.
2. Model Coxa-Ingersolla-Rossa [6]:
dr = (b — ar)dt + <j\/rdW.
3. Model Blacka-Dermana-Toya [3]:
dr = a(t)rdt + a(t)rdW .
4. Model Ho-Lee [8]:
dr = Ś>(t)dt + adW .
5. Model Hulla-W hite’a [9] (rozszerzony model Vasicka):
dr = (b(t) — a(t)r)dt + a(t)dW .
6. Model Blacka-Karasińskiego [4]:
dr = r(rj(t) — a ln r)dt + ardW.
Modele stopy procentowej
59
Większość przedstawionych modeli ma bardzo miłe własności obliczeniowe. Poza modelami Blacka-Dermana-Toya i Blacka-Karasińskiego pozostałe dają analityczne wzory na ceny obligacji i ceny opcji. Niestety, posiadają one liczne wady. Modele Vasicka, Ho-Lee i Hulla-White’a prowadzą
do ujemnych stóp procentowych. Model Coxa-Ingersolla-Rossa daje stopy
procentowe jako procesy nieujemne, ale wzór na opcje na stopy procentowe
nie jest zgodny z rynkowym wzorem Blacka. Modele Blacka-Dermana-Toya
i Blacka-Karasińskiego są znacznie trudniejsze obliczeniowo. Poza tym oba
te modele posiadają inny istotny mankament. Proste obliczenia pokazują,
że rachunek oszczędnościowy zbudowany na stopie procentowej otrzymanej
z tych modeli osiąga w skończonym czasie nieskończoną wartość. Jak się
okazuje, jest to ogólna własność wszystkich modeli, w których stopa procentowa ma rozkład lognormalny (lnr ma rozkład normalny) i odpowiada
dyskontowaniu z czasem ciągłym. Problem ten zostanie bardziej szczegółowo
omówiony w następnym rozdziale.
3.
M o d e lo w a n ie s to p y term in ow ej. W poprzednim rozdziale wskazaliśmy na trudności związane z powiązaniem cen obligacji z modelem stopy
natychmiastowej. Przy modelowaniu tej stopy obligacje pojawiają się jako
naturalny instrument pochodny. Bliższym rzeczywistości rynkowej byłby
jednak model, w którym obligacje traktowane byłyby jako instrumenty pierwotne, a instrumentami pochodnymi byłyby dopiero opcje czy kontrakty
futures na obligacje. Wniosek 1.1 wskazuje nam obiekt modelowania, który
jest właściwy dla takiego podejścia. Obiektem tym jest mianowicie chwilowa stopa terminowa. Pomysł wyboru tej stopy jako naturalnego obiektu
modelowania pochodzi od Heatha, Jarrowa i Mortona [7], a zaproponowane
przez nich podejście powszechnie nazywane jest modelem HJM. Prezentację
modelu HJM oprzemy na nieco późniejszej pracy Baxtera [1].
Jako punkt wyjścia weźmiemy model rynku obligacji opisany w definicji
2.1. W modelu tym prawdziwe jest następujące twierdzenie.
T
3.1. Niech P ( t ,T ) będzie rodziną cen obligacji zero-kupo^ , P ) , spełniającą założenia definicji 2.1. Wtedy:
w ie r d z e n ie
nowych w
1.
Dla każdej daty zapadalności T ^ T* istnieją procesy prognozowalne
a i(t,T ) (i = 1, . . . ,n ) i a ( t ,T ) spełniające warunek
k i£ ^
0 i=l
+
r )0 * <
które pozwalają zdefiniować semimartyngal P (t , T ) równaniem
n
dP(t, T) = P(t, T ) (a(t, T)dt + Y , <(<> T)dWi(t)).
i=1
A . Palczewski
60
2.
Jeśli ustalimy horyzont czasowy r i wybierzemy obligację P ( t , r ) jako
numeraire, to istnieje m iaraW równoważnaP i prognozowalny proces ^(t) —
( 7i ( t ) , . . . , 7n(t)) taki, ie
<tPr
<tP
= exp f - X ^ ( s) dW i(5) “ ^5 Ms)|2 ds
2=1 0
oraz
w [ ( t ) = w i(t) + \'H(s)d s
0
jest PT-procesem Wienera. Dla każdego okresu zapadalności T mamy następujące równanie względem tej nowej miary:
d P (t, T ) = P (t, T ) (a (i, T)dt + £
2=1
a?(t, T )d W [ ( t ) ) ,
gdzie
2=1
jest procesem prognozowalnym i spełniającym oszacowanie
\a(t,T)\dt
< co. Także P (t ,T )/ P (t ,r ) jest Pr -martyngalem dla każdego T ^ r.
3. Istnieje proces prognozowalny rt taki, ie
J |n|dt < oo.
o
Proces rt pozwala zdefiniować proces
(/
Ą = ex p ($ rs ds)
jako proces absolutnie ciągły, a tafcie zapisać równanie na cenę obligacji
w nowej postaci
d P (t,T ) = P ( t , T ) ( ( X ; C7Ki,T’)<7*(<,r) + rt)d i + ^ ^ ( i , T ) d W iT(t)).
2=1
2=1
4.
Istnieje wersja procesu P (t ,T ), która jest progresywnie mierzalna, tciągła i spełnia warunek
P(t,T) = P(t,T)ET(p-\T,T)\Pt).
W powyższym twierdzeniu, przyjmując jako instrumenty pierwotne obligacje, znaleźliśmy proces rt, który jest dobrym kandydatem na natychmiastową stopę procentową. Widać tu oczywiste korzyści w porównaniu do modelu opisanego w poprzednim rozdziale, gdzie postulowaliśmy istnienie tej
Modele stopy procentowej
61
stopy, a jedynym instrumentem rynku pierwotnego był rachunek oszczędnościowy. Niestety, przy bardzo ogólnych założeniach zawartych w definicji 2.1
nie możemy pokazać, że proces Bt zdefiniowany w twierdzeniu 3.1 jest instrumentem pierwotnym (nie wiadomo, czy zdyskontowany proces jest martyngałem). Jednak równanie z punktu 3. twierdzenia, z którego wynika zależność ewolucji cen obligacji od ich zmienności a* i procesu r*, jeszcze raz
potwierdza, że rt jest właściwym kandydatem na proces natychmiastowej
stopy procentowej. Aby udowodnić, że tak jest w rzeczywistości, potrzebujemy nieco mocniejszych założeń, przy których prawdziwe jest następne
twierdzenie.
T w i e r d z e n i e 3.2. Niech rynek obligacji spełnia założenia definicji 2.1
oraz dodatkowo poniższe warunki regułamości:
1. Proces
n
t
Ct = exp^—^2 5ai (5, r) dW[(s) - i j |a?(s, r)|2 dsj
i=i o
zo
jest jednostajnie całkowalnym W-martyngałem aż do czasu r.
2.
T
Eq Q \ru\B~l duj < oo,
o
gdzie miara Q jest zdefiniowana w punkcie 2. tezy twierdzenia.
Przy tych założeniach:
1. Proces B tP ~ x{t, r ) jest PT-martyngałem.
2. Istnieje miara Q równoważna z P i PT taka, że B fil P (t ,T ) są Qmartyngałami, a proces
t
Wi(t) = W T(t) + \o'i (s,T )d s
0
jest Q-procesem Wienera. Mamy także równości:
d P (t,T ) = P ( t , T ) ( j r a ‘ (t,T )d W i(t) + rtdt),
i= 1
T
P ( t , T) = Eę ( e x p ( - J ru duj śF^j.3
*
3. Proces P ( t , T ) jest absolutnie ciągły względem T i spełnione są równości
d
A . Palczewski
62
oraz
~ ł a . P ( t , T ) = f(t,T) = P -H t,r)E «(rrexp (- Jrudu)\ft).
4. Proces f ( t , T ) jest ciągłym semimartyngalem spełniającym równanie
n
n
i=1
i=l
gdzie procesy G{ są procesami prognozowałnymi i
|cr(t, T )|2 dt < oo.
5. Procesy
są procesami absołutnie ciągłymi wzgłędem T oraz
T
er* (t, T) == — J
u) du.
t
W szczegółności cr*(t,t) — 0.
6. Proces rt jest opisany równaniem
t
n
t
n
rt = f ( 0 ,t ) - \ Y l (Ti(u ^t )CTi ( u ^t) du + \'^2ai(U^t ) dWi(U)
0 i=l
0 i—1
łub odpowiednim równaniem stochastycznym
n
drt — a(t)dt + ^
bi(t)dWi(t),
i= 1
gdzie
a(t) = f r ( t , t) +
b% — (Ti(t)t).
i= i
^K* (*> *)>
Wprowadzona w twierdzeniu 3.2 miara Q nazywa się w literaturze miarą
martyngałową spot. Otrzymane względem tej miary równania na stopę procentową terminową / ( t , T ) , stopę natychmiastową r(t) oraz ceny obligacji
P (t, T) pozwalają wyznaczyć te procesy, jeśli tylko wyspecyfikujemy Tt~
prognozowalne procesy <Tj(t, T ). Poniżej na prostych przykładach pokażemy,
jak w praktyce wygląda wyznaczanie odpowiednich stóp procentowych, gdy
znane są funkcje <j{.
P r z y k ł a d 3.1. Rozważmy model 1-wymiarowy (n = 1), w którym
zmienność przyjmiemy jako stałą, tj. a {t,T ) — a = const. Równania na
stopę terminową i cenę obligacji mają wtedy postać:
df(t,T) = <t 2( T - t)dt + adW(t),
dP{t,T) = P(t,T)(ndt - <r(T —t)dW(t)).
Modele stopy procentowej
63
Z ostatniego punktu twierdzenia 3.2 mamy także wzór na natychmiastową
stopę procentową
n = /(O , t) + ^ a 2t2 + crW (t).
Podstawiając wzór na /(O , t), można się łatwo przekonać, że model z naszego
przykładu pokrywa się z przedstawionym w poprzednim rozdziale modelem
Ho-Lee.
Drugi z przykładów, który przedstawimy, jest pewną modyfikacją znanego modelu Vasicka.
P r z y k ł a d 3.2. Podobnie jak w poprzednim przykładzie, rozważać będziemy przypadek 1-wymiarowy. Funkcję zmnienności przyjmiemy w postaci
a (t, T) = crexp(—A(T — t)).
Dostajemy wtedy równania na stopę terminową i cenę obligacji:
d f(t,T ) = —
2
A
exp(—A(T — t))(exp (—A(T — t)) - 1)dt
+ crexp(—A(T — t))d W {t),
dP(t, T) = P(t, T) (rtdt + ^(exp(-A(T - t)) - 1)dW(t)j.
Po prostych obliczeniach otrzymujemy równanie na natychmiastową stopę
procentową
drt = (a(t) — Xrt)dt + a d W (t) ,
gdzie
2
a(t) = A /(0 ,t) + /'(O ,*) + ^ ( i - exp(—2At)).
Z postaci równania na stopę rt widać, że jest to model Vasicka z funkcją a (t)
zmienną w czasie.
Zauważmy, że model przedstawiony w twierdzeniach 3.1 i 3.2 pozwolił na
zdefiniowanie procesu natychmiastowej stopy procentowej przy dość słabych
założeniach, ale równanie stochastyczne na tę stopę otrzymaliśmy dopiero
jako wniosek z równania na stopę terminową. Można zatem uważać przedstawiony model jako model stopy terminowej. W taki sposób model ten został
po raz pierwszy przedstawiony przez Heatha, Jarrowa i Mortona [7]. W literaturze model ten nazywany jest modelem HJM. W jego oryginalnym wyprowadzeniu autorzy zaproponowali równanie stochastyczne opisujące stopę
terminową w postaci
n
df(t,T) = a(t,T)dt + ^2<Ti(ł,T)dWi(t).
1=1
64
A . Palczewski
Warunek braku arbitrażu na rynku obligacji prowadzi do następującego
związku między a i erf.
n
T
co dokładnie odpowiada postaci równania w twierdzeniu 3.2. Dlatego w dalszej części naszych rozważań będziemy traktować model z twierdzenia 3.2
jako model stopy terminowej.
Do pełnego wyspecyfikowania modelu potrzebna nam jest jeszcze znajom ość funkcji zmienności cr(£, T ). Rozważymy kilka możliwych postaci tej
funkcji i wynikające stąd konsekwencje.
1. Deterministyczne funkcje a i(t,T ). Proces stopy terminowej jest wtedy
procesem gaussowskim, co samo w sobie jest przyjemną własnością. Jednak
konsekwencje finansowe są znacznie mniej pożądane. Łatwo można zauważyć, że w takim modelu stopy terminowe mogą przyjmować wartości ujemne,
co jest sprzeczne z praktyką rynkową.
2. Zmienność jest liniową funkcją stopy terminowej. Oznacza to, że cr(t,T)
= 7 (£, T ) / ( t , T ) z deterministyczną funkcją 7 (t,T ). Przyjęcie takiej postaci
funkcji zmienności rozwiązuje problem ujemnych stóp procentowych (model
jest lognormalny, więc jego rozwiązania są zawsze nieujemne). Są jednak
inne niepożądane efekty. Przy tej specyfikacji zmienności, dryf w równaniu
stochastycznym jest kwadratową funkcją niewiadomej. Kwadratowa zależność od niewiadomej prowadzi do rozwiązania, które w skończonym czasie
ucieka do nieskończoności (eksplozja). W konsekwencji ceny obligacji stają
się zerowe, co prowadzi do arbitrażu na rynku.
3. Z trudności opisanych w poprzednich punktach zdawali sobie sprawę
autorzy modelu. Dlatego w ich oryginalnej pracy [7] znalazła sie propozycja funkcji zmienności, która nie prowadzi do opisanych wyżej negatywnych
skutków. Jeśli weźmiemy cr(t,T) = <7m in (/(t, T ), k) z dodatnimi a i fc, to
w takim modelu stopy terminowe f ( t , T ) są skończone i dodatnie. Model
ten można więc uważać za poprawny z ekonomicznego punktu widzenia.
Jednak otrzymane w nim ceny instrumentów pochodnych nie zgadzają się
z praktyką rynkową. W szczególności, w modelu tym nie otrzymujemy wzoru
Blacka na ceny kontraktów caplet i floorlet.
Przedstawiona wyżej lista specyfikacji zmienności nie wyczerpuje wszystkich możliwości. W idać jednak, że znalezienie takiej postaci tej funkcji, która
dawałaby stopy procentowe sensowne ekonomicznie, a jednocześnie pozwalała zgodnie z praktyką rynkową wyceniać instrumenty pochodne, jest bardzo trudne. Dlatego też rozwój modeli matematycznych poszedł w kierunku
poszukiwania nowych modeli, a nie nowych postaci funkcji zmienności. Okazało się, że na tej drodze łatwiej można spełnić oczekiwania praktyków.
Modele stopy procentowej
65
4.
M o d e le ryn k ow e. Spośród problemów z modelami stopy terminowej, opisanych w poprzedniej części, największe wątpliwości budziła eksplozja w modelu lognormalnym. Te wątpliwości wynikały z faktu, że w opinii
praktyków poprawny model powinien mieć charakter lognormalny. Kluczowe
znaczenie dla rozwiązania tego dylematu miała obserwacja uczyniona po
raz pierwszy przez Sandmanna i Sondermanna [14]. Poddali oni krytyce,
bardzo wygodną z matematycznego punktu widzenia, kapitalizację ciągłą
przepływów pieniężnych. Jak wiadomo, w praktyce rynkowej nie używa się
kapitalizacji ciągłej. Praktycy posługują się efektywną stopą procentową na
określony (skończony) odcinek czasu. Okazuje się, że ta elementarna obserwacja pozwala rozwiązać dylemat modelu lognormalnego - model lognormalny stopy efektywnej nie prowadzi już do eksplozji.
Obserwacja Sandmanna i Sondermanna doprowadziła do rozwoju klasy
modeli, które w literaturze nazywane są modelami rynkowymi. Pierwszy
kompletny model tego typu został opracowany przez Brace’a, Gątarka i
Musielę [5] i dość powszechnie nazywany jest modelem BGM (przynajmniej
w Europie). Ze względu na rodzaj modelowanej stopy procentowej, model
ten można uważać za model stopy LIBOR. Poniżej przedstawimy główne
elementy tej konstrukcji.
Używana w praktyce rynkowej stopa LIBOR L(t, T) na okres S oznacza
stopę procentową terminową widzianą z chwili czasu t dla depozytu założonego w chwili T i rozwiązanego po okresie ó, tj. L(t, T ) = R (t; T ,T + 6).
Stopa f ( t , T ) jest związana ze stopą LIBOR związkiem
T+5
6 L (t,T ) = exp^ J f ( t ,u ) d u j '— 1.
T
Wykorzystując lemat Ito i równanie na stopę f ( t , T ) z twierdzenia 3.2, otrzymujemy równanie stochastyczne dla stopy LIBOR:
dL(t, T ) = (£ (t, T ) + \/S) £
tr*(t,T +
T + S ) - <7?(t, T))dt
i= 1
+ (L (t,T ) + \/S) f > * ( t , T + S) - a t(t,T ))d W i(t).
i= 1
Ponieważ naszym celem jest zbudowanie modelu lognormalnego, więc zakładamy, że wyraz przy różniczce procesu Wienera powinien być proporcjonalny
do L (t,T ):
(L (t,T ) + l/S ){at(t, T + S ) - a *(t, T )) = L(t, T )yi(t, T).
Otrzymujemy wtedy równanie
n
n
(5) dL(t, T ) = L(t, T) £
T + S )n {t , T)dt + L(t, T) £ 7<(t, T)dW<(t)
i—1
i= 1
A . Palczewski
66
i rekurencyjne równanie na a*:
( 6)
«7?(t, T + ó) =
T) + a t(t, T )
z warunkiem <r*(£, T) — O dla t ^ T ^ t + <5.
T w i e r d z e n ie 4.1. Niech 5 będzie stałą dodatnią, a 7*(£, T) deterministyczną funkcją ograniczoną, kawałkami ciągłą. Wtedy równanie (5) 2 u/arunkiem (6) ma jednoznaczne rozwiązanie L(t, T ) G?/a każdego nieujemnego
warunku początkowego T(0, T ) = L q (T ). Jeśłi L q {T) > O, to L (t,T ) > O dła
każdego t > 0 .
W n io se k 4.1. Wzgłędem miary martyngałowej ¥ T+S stopa LIBOR spełnia równanie
d U t , T ) = L(t, T ) j r 7i (i, T )d W ? +\ t).
i= 1
Model BGM posiada w porównaniu z modelem HJM wiele zalet. Po
pierwsze, dzięki lognormalnej postaci modelu otrzymujemy rynkowy wzór
Blacka na ceny capletów i floorletów. Po drugie, wprowadzenie efektywnej
stopy procentowej LIBOR zapewnia skończoną wartość stóp procentowych
(brak eksplozji). Model ten przyjmuje jednak nieprawdziwe założenie o ciągłej zależności od terminu zapadalności. W modelu tym pojawiają sie także
problemy z wyceną obligacji, ponieważ można to zrobić dopiero po wybraniu
numeraire.
Dalsze modyfikacje modelu rynkowego zostały dokonane przez Musielę
i Rutkowskiego [13] oraz Jamshidiana [10]. Zasadnicza zmiana polega na
wprowadzeniu struktury dyskretnych terminów zapadalności
0 = T0 < T i <
... < T m.
Dla uproszczenia przyjmijmy, że wszystkie terminy zapadalności są jednakowo od siebie odległe, tj. Tj — Tj-\ = S dla j = 1, . . . , m. Stopę LIBOR
definiujemy teraz poprzez ceny obligacji P (t,T j):
L (t,T j)
P (t,T j. 1
-1)
6 P (t,T j+1)
t
e [o, T j ] .
D e f in ic j a 4.1. Ustalmy T i , . . . , T m. Miarę
równoważną mierze P
nazywamy miarą LIBOR forward dla daty Tj, jeśli dla każdego k zdyskontowana cena obligacji
P (t,T k)
P {t,T jY
t
e [0, T k A T j ] ,
jest (lokalnym) martyngałem względem PTL
T w i e r d z e n ie 4.2. Istnieje taka rodzina stóp LIBOR L(t, Tj), j =
1, . . . , m —1, rodzina miar probabilistycznych
i rodzina procesów Wienera
Modele stopy procentowej
67
W Ti , że spełnione są warunki:
1. Procesy W Tj są standardowymi procesami Wienera względem PTj' .
2. Stopy LIBOR spełniają równanie
dL{t,Tj) = L(t,Tj )'£ 'y i(t,Tj )dWp+1
i=1
z warunkiem początkowym
’ 3>
p(o,rj)-.P(o,
ÓP(0,Tj+1)
Zauważmy, że w przedstawionym modelu można w naturalny sposób
zdefiniować rachunek oszczędnościowy jako przyrost kapitału w wyniku inwestowania w obligację o najbliższym terminie zapadalności P (T j,T j+ i),
j = 0, . . . , m — 1, i powtarzania tej inwestycji do odpowiedniej chwili czasu.
Mamy wtedy
B n
Ponieważ
więc
=
i d
3= 1
-1
k = 1, . . . , m — 1.
p - l(Tjt Tj+1) = 1 + SL(Tj, Tj) > 1,
Brj+1 = P ~ l (Tj, T j + i ) ^ > B t p
j = 0, . . . , m - 1.
Wynika stąd, że B t ó jest ściśle rosnącym procesem dyskretnym. Definiując
miarę P* równoważną z P wzorem
dF*
= BTrnP (0 ,T m),
dostajemy także
p(ThTk) = r
B Tl
B rk
P
t
,
l ś. k ś. m.
Powyższy model posiada wiele cech oczekiwanych przez praktyków. Po
pierwsze, otrzymujemy lognormalny model stopy LIBOR i wzór Blacka na
ceny opcji na te stopy. Poza tym wykorzystujemy dyskretną strukturę terminów zapadalności (tenor), a nie ciągłą zależność niezgodną z rzeczywistością
rynkową. Mamy także dobrze zdefiniowany rachunek bankowy i możliwość
wyceniania obligacji (choć tylko w dyskretnych chwilach czasu).
5.
K o n tra k ty w ym ian y. Kontrakty wymiany (swap) polegają na wymianie między stronami kontraktu określonych przepływów gotówkowych
w ustalonych momentach czasu. Standardowy kontrakt wymiany stóp procentowych ( interest rate swap, IRS) polega na zamianie płatności odsetkowych z tytułu kredytu. Jedna ze stron oferuje odsetki naliczane według
A . Palczewski
68
zmiennej stopy procentowej (LIBOR lub jego wariant przystosowany do konkretnego kraju), a druga odsetki naliczane według stałej stopy procentowej.
Przy zawieraniu kontraktu IRS zadanie polega na znalezieniu takiego poziomu stałej stopy procentowej, przy którym kontrakt ma zerową wartość.
Taką stopę procentową nazywa się stopą SWAP. Poniżej przedstawimy opis
konstrukcji tej stopy.
Podobnie jak w poprzedniej części, wprowadzamy strukturę dyskretnych
dat Tj, j = 0, . . . , m . Dla uproszczenia przyjmijmy, że wszystkie daty są
jednakowo od siebie odległe, tj. Tj — T j- 1 = S dla j = 1
Daty
To, . . . , T m_i są datami ustalania wielkości przepływów ( reset dates), daty
T i , . . . , Tm są datami przepływów (settlement dates), a m nazywa się długością trwania kontraktu. W każdym z momentów T i , . . . ,Tm następują przepływy gotówkowe SL(Tj,Tj)N i SSmN, gdzie L(Tj,Tj) jest stopą LIBOR
ustalaną w chwili Tj na odcinek czasu [Tj,Tj+6\, Sm jest stałą stopą procentową, a N jest wielkością sumy pożyczki (wielkość tej sumy nie ma znaczenia
dla naszych rozważań i dlatego przyjmiemy N = 1).
Ponieważ stopa LIBOR związana jest z cenami obligacji relacją
więc wartość kontraktu IRS w chwili t < To dla daty To wyraża się wzorem
m
IRS(t, Sm) = P(t,T0) - P(t,Tm) - SS m ^ P & T j).
3=1
5.1. Ustalmy To, . . . ,T m. Stopę procentową Sm(t,T j) nazywamy stopą SW AP w chwili t dla daty Tj, jeśli przy tej stopie wartość
kontraktu IR S (t, Sm) wynosi zero. Stopa ta wyraża się wzorem
D
e f in ic j a
m
= ( P(t,Tj) - P(t,Tm))(s £
i=j+1
P(t,Ti))
.
5.1. Istnieje taka rodzina stóp SWAP Smi^tTj)i j —
1, . . . , m — 1, rodzina miar probabilistycznych
zwanych miarami SWAP
T
w ie r d z e n ie
forward i rodzina procesów Wienera W Ti , że spełnione są warunki:
1. Procesy W Ti są standardowymi procesami Wienera względem PTU
2. Stopy SW AP spełniają równanie
n
dSm(t,Tj) = Sm(t, Tj) ^2,
Tj)dwP ' ■
i=1
Przedstawiony model stóp SWAP ma podobne dobre cechy jak opisany
w poprzedniej części model stóp LIBOR. Jest to model lognormalny, więc
otrzymane na jego podstawie ceny opcji na stopy SWAP (swapcji) można
obliczyć z wzoru Blacka (powszechnie używanego przez praktyków). Ponieważ stopy SWAP wiążą się prostą zależnością ze stopami LIBOR i cenami
Modele stopy procentowej
69
obligacji, powstaje pytanie, jak powiązane są ze sobą miary LIBOR forward i SWAP forward, względem których odpowiednie stopy mają rozkłady
lognormalne. Problem ten został rozwiązany przez Jamshidiana [10] przez
wprowadzenie miary LIBOR spot.
W celu zdefiniowania tej miary rozszerzymy na dowolne t definicję rachunku oszczędnościowego wprowadzonego w poprzedniej części
. '
m(t)
Bt = P(t,Tm(t)) I ] P -\ T j-UTjl
3= 1
gdzie
m (t) = inf{A; € N :
> t}.
D e f i n i c j a 5.2. Miarę PL równoważną mierze P nazywamy miarą LIBOR
spot, jeśli zdyskontowana cena obligacji
Bt
jest lokalnym martyngałem względem PL. Odpowiadający tej mierze proces
Wienera będziemy oznaczali symbolem W L(t).
Dynamika procesów L (t,T j) i Sm(t,T j) względem miary PL wyraża się
wzorami:
dL(t, Tj) = a (t , Tj)dt + (5(t, Tj) •d W L(t),
dSm (t,Tj) = C(t,T j)dt + <p(t,Tj) •d W L{t).
Ze względu na brak arbitrażu współczynnik a jest funkcją /?, a £ funkcją <p
(odpowiednie wzory można znaleźć w pracy [10]).
Ponieważ stopy SWAP i LIBOR powiązane są zależnością
,
nE,,(i + M (t,rQ)-i
więc wykorzystując wzór Ito i dynamikę odpowiednich stóp względem miary
LIBOR spot, znajdujemy
¥>(*,!))■ _ 6 Z ? = j f3(t,Ti)n T = j ,k M 1 + 6L(t <Tk))
Sm&Tj)
n£j(l + <5Ł(t,T<))-l
* T,T=j s x w m m n Ł +1,i^(i+ m t, m
E g ^ I K L i + i (l + SL(t,Tk))
Jeśli założyć, że zmienność w równaniu opisującym stopę SWAP ma postać <p (t,T j) = crs{t, Tj'jSmft, Tj) z deterministyczną funkcją crs(t, Tj), tzn.
założyć lognormalny model stopy SWAP, to z powyższego równania widać
natychmiast, że zmienność w równaniu opisującym stopę LIBOR nie może
A . Palczewski
70
być postaci (3(t,Tj) = a£,(t,T j)L (t,T j). Oznacza to niemożność równoczesnego opisania stopy LIBOR i stopy SWAP modelami lognormalnymi. Nie
można więc mieć jednocześnie wzoru Blacka dla capletów i swapcji (mimo
że tak właśnie robią praktycy).
Opisana powyżej niezgodność modeli stóp LIBOR i SWAP ma charakter
podstawowy. Stanowi to najpoważniejszy nierozwiązany problem w modelowaniu stóp procentowych.
Literatura
[1]
M . Baxter, General interest-rate models and the universality o f H J M , w: Mathematics o f Derivative Securities, M . Dempster, S. Pliska (red)., Cambridge Univ.
Press, 1997, 3 1 5 -3 3 5 .
[2]
N. H. Bingham, R. Kiesel, Risk-Neutral Valuation, Springer, 2000.
[3]
F. Black, E. Derman, W . Toy, A one-factor model o f interest rates and its appli-
[4]
F. Black, P. Karasiński, Bond and option pricing when short rates are lognormal,
cation to Treasury bond options, Fin. Analysts J. 46 (1) (1990), 3 3 -3 9 .
Fin. Analysts J. 47 (4) (1991), 5 2 -5 9 .
[5]
A . Brace, D . Gątarek, M . Musiela, The market model o f interest rate dynamics,
Math. Fin. 7 (1997), 12 7-154.
[6]
J. C. Cox, J. E. Ingersoll, S. A . Ross, The theory o f the term structure of interest
[7]
D . C. Heath, R. A . Jarrow, A . Morton, Bond pricing and the term structure of
rates, Econometrica 53 (1985), 3 8 5-40 7.
interest rates-, a new methodology fo r contingent claim valuation, Econometrica 60
(1992), 7 7 -1 0 5 .
[8]
T . S. Y . Ho, S. B. Lee, Term structure movements and pricing interest rate con-
[9]
J. C. Hull, A . W h ite, Pricing interest-rate derivative securities, Rev. Fin. Stud. 3
[10]
F. Jamshidian, L IB O R and swap market models and measures, Fin. Stochast. 1
[11]
I. Karatzas, S. E. Shreve, Brownian M otion and Stochastic Calculus, Springer,
[12]
M . Musiela, M . Rutkowski, Martingale Methods in Financial Modelling, Springer,
[13]
M . Musiela, M . Rutkowski,
tingent claims, J. Fin. 41 (1986), 1011-1029.
(1990), 5 7 3 -5 9 2 .
(1997), 2 9 3 -3 3 0 .
1991.
1997.
Continuous-time term structure models: forward
measure approach, Fin. Stochast. 1 (1997), 2 6 1-29 1.
[14]
K . Sandmann, D . Sondermann, On the stability o f lognormal interest rate models,
working paper B -263, Univ. Bonn, 1993.
[15]
O . Vasicek, A n equilibrium characterisation o f the term structure, J. Fin. Econ. 5
(1977), 1 7 7-18 8.
Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki
Uniwersytet Warszawski
Banacha 2, 02-097 Warszawa