Zadania z fizyki

Zadania z fizyki
Wydział PPT
9
Moment pędu; bryła sztywna
Uwaga: Zadania oznaczone przez ‘(c)’ należy w pierwszej kolejności rozwiązać na ćwiczeniach.
Zadania (lub ich części) opatrzone gwiazdką są (zdaniem wykładowcy) nieco ambitniejsze, ale
również obowiązkowe.
Zad. 1. Znajdź iloczyny wektorowe a × b, a × c, b × c i
d × d dla wektorów z rysunku obok.
Zad. 2. Niech u = ux ı̂ + uy ̂ + uz k̂ i v = vx ı̂ + vy ̂ + vz k̂ Korzystając z liniowości (rozdzielności
względem dodawania wektorów) iloczynu wektorowego pokaż, że u × v = (uy vz − uz vy )î + (uz vx −
ux vz )ĵ + (ux vy − uy vx )k̂.
Zad. 3. Dane są wektory a = 3ı̂ + 4̂ + 5k̂ i b = −1ı̂ + 1k̂. Znajdź iloczyn wektorowy a × b
Zad. 4(c). Położenie kątowe koła o średnicy 0,36 m zmienia się według wzoru θ = (2,0 s−3 )t3 .
(a) Znajdź drogę, jaką przebył punkt na obwodzie koła w przedziale czasu od t1 = 2,0 s do
t2 = 5,0 s. (b) Znajdź średnią prędkość kątową w tym przedziale czasu i przedstaw ją w s−1 i w
obrotach na minutę. (c) Znajdź chwilowe prędkości kątowe w chwilach t1 i t2 . (d) Znajdź średnie
przyspieszenie kątowe w przedziale czasu od t2 do t2 . (e) Znajdź chwilowe przyspieszenie kątowe
w chwilach t1 i t2 .
Zad. 5. Dysk blue-ray zmniejsza obroty od prędkości kątowej 27,5 s−1 ze stałym przyspieszeniem
kątowym −10,0 s−2 . Niech współrzędna kątowa w t = 0 wynosi 0. (a) Jaka jest prędkość kątowa
dysku w t = 0,300 s? (b) Jaka jest wtedy współrzędna kątowa dysku?
Zad. 6. Siła F = 30î + 40ĵ N przyłożona jest w punkcie, którego położenie opisane jest wektorem
r = 8î + 6ĵ m. Oblicz: (a) moment tej siły względem początku układu; (b) ramię siły; (c) wartość
składowej siły prostopadłej do r.
1
Zad. 7. Znaleźć wypadkowy moment siły działający na kwadrat w
sytuacji na rysunku względem środka kwadratu. Wartości sił wynoszą
F1 = 18,0 N, F2 = 26,0 N, F3 = 14,0 N. Siły działają w płaszczyźnie
rysunku.
Źródło grafiki: Young, Freedman, University Physics.
Zad. 8(c). W pewnych warunkach gwiazda może zapaść się do gwiazdy neutronowej – niezwykle
gęstego obiektu złożonego głównie z neutronów. Gęstość gwiazdy neutronowej jest około 1014
razy większa niż gęstość zwykłych ciał stałych. Przypuśćmy, że gwiazdy (zarówno przed, jak i po
transformacji) można reprezentować jako sztywne, jednorodne sfery. Początkowo gwiazda miała
promień 7,0 · 105 km (zbliżony do promienia Słońca), a promień powstałej gwiazdy neutronowej
wynosi 16 km. Jeśli początkowo gwiazda wykonywała jeden obrót w czasie 30 dni, to jaka będzie
prędkość kątowa powstałej gwiazdy neutronowej?
Zad. 9. W „eksperymencie” z obrotowym stołkiem i hantlami (wykład) przyjmijmy, że każda z
hantli ma masę 5,0 kg, momenty bezwładności profesora (bez hantli) z rozłożonymi i ze złożonymi
ramionami wynoszą, odpowiednio, 3,0 kg·m2 i 2,2 kg·m2 , a hantle znajdują się początkowo 1,0 m
od osi obrotu, a potem 0,20 m od osi. (a) Jaka jest prędkość kątowa profesora ze złożonymi
ramionami, jeśli początkowo wykonywał on jeden obrót na sekundę? (b) Jaką pracę wykonał
profesor przemieszczając hantle?
Zad. 10*. Mała kulka toczy się bez tarcia po wewnętrznej powierzchni stożka obróconego wierzchołkiem w dół. W chwili początkowej kulka znajduje się na wysokości h0 nad wierzchołkiem
i ma prędkość v0 skierowaną poziomo. Znajdź wartość v0 , jeśli wiadomo, że kulka wzniosła się
na maksymalną wyskość h, po czym zaczęła opadać. Znaleźć wartość prędkości w najwyższym
punkcie.
Zad. 11(c). Znaleźć moment bezwładności hantli względem osi przechodzącej przez jej geometryczny środek i prostopadłej do osi hantli. Przyjąć, że hantla złożona jest z uchwytu w kształcie
pręta o masie m i długości l, który można uznać za bardzo cienki, oraz z dwóch kul masie M i
promieniu R. Moment bezwładności kuli o masie M i promieniu R względem osi przechodzącej
przez jej środek wynosi I = (2/5)M R2 .
Zad. 12. Znajdź moment bezwładności układu złożonego z czterech punktów materialnych umieszczonych w wierzchołkach kwadratu o boku a względem (a) osi prostopadłej do płaszczyzny kwadratu i przechodzącej przez jego środek; (b) osi prostopadłej do płaszczyzny kwadratu i przechodzącej
przez jeden z jego wierzchołków; (c) osi zawierającej jeden z boków kwadratu.
Zad. 13(c). Znajdź moment bezwładności pręta o długości l i masie m względem osi do niego
prostopadłej i przechodzącej przez jego środek korzystając jedynie z twierdzenia Steinera o osiach
równoległych oraz z faktu, że moment bezwładności musi mieć postać I = βml2 , gdzie β jest
współczynnikiem liczbowym (dlaczego?). Wskazówka: Moment bezwładności pręta względem
osi przechodzącej przez środek równy jest łącznemu momentowi bezwładności dwóch połówek
pręta względem osi przechodzącej przez ich końce.
2
Zad. 14*. Znajdź moment bezwładności dysku o masie m i promieniu r względem średnicy dysku.
Wskazówka: Podziel dysk na „pręty” sparametryzowane kątem θ jak
na rysunku. Pokaż, że moment bezwładności takiego „pręta” wynosi
dI =
2
mr2 sin4 θdθ.
3π
Wysumuj (scałkuj) momenty bezwładności poszczególnych „prętów”, korzystając z faktu, że
Z π
3π
.
sin4 θdθ =
8
0
Zad. 15(c). Masa m2 wisi na sznurku owiniętym wokół pełnego walca o
promieniu r i o masie m1 . Walec jest zawieszony w ten sposób, że może się
obracać bez tarcia wokół swojej osi (patrz rysunek). Sznurek nie ślizga się
po walcu. Jakie jest przyspieszenie masy m2 ?
Zad. 16. Opisać ruch (znaleźć przyspieszenie) ciężarków o masach m1 i
m2 zawieszonych na bloczku o momencie bezwładności I i promieniu R
(rysunek). Przyjąć m1 > m2 . Nić nie ślizga się po bloczku, a bloczek obraca się bez tarcia. Znaleźć prędkość ciężarków i prędkość kątową bloczka
po przemieszczeniu ciężarków o l (układ początkowo jest w spoczynku):
(a) z równań ruchu; (b) z zasady zachowania energii.
Zad. 17(c). Opisać ruch kuli po równi pochyłej (rysunek; µ –
współczynnik tarcia). Rozważyć przypadek słabego tarcia (ruch z
poślizgiem) i silnego tarcia (ruch bez poślizgu). W drugim przypadku preprowadzić analizę dwukrotnie: jako obrót wokół osi ruchomej
przechodzącej przez środek masy i jako obrót wokół osi chwilowej.
Sporządzić bilans energii w tym ruchu i sprawdzić, że w przypadku
braku poślizgu energia mechaniczna jest zachowana (tarcie nie wykonuje żadnej pracy). Jaką pracę wykonuje siła tarcia w przypadku
ruchu z poślizgiem?
Zad. 18(c). Kula toczy się bez poślizgu pod górę po równi pochyłej nachylonej pod kątem β do
poziomu. (a) Rozrysuj siły działające na kulę. Wyjaśnij, dlaczego siła tarcia musi być skierowana
w górę równi. (b) Jakie jest przyspieszenie środka masy kuli? (c) Jaki musi być współczynnik
tarcia statycznego, by zapobiec poślizgowi?
Zad. 19. Jednorodny walec o masie m i promieniu r, rozkręcono w powietrzu do prędkości kątowej
ω0 , a następnie postawiono na poziomym podłożu o współczynniku tarcia kinetycznego µ. Moment
bezwładności walca względem jego osi wynosi I = (1/2)mr2 . Tarcie toczne pomijamy. (a) Jak
3
długo walec będzie się ślizgał po podłożu? (b) Jaką pracę wykona siła tarcia kinetycznego podczas
całego ruchu walca?
Zad. 20. Na gładkiej poziomej płaszczyźnie leży deska o masie m1 , na której umieszczono jednorodną kulę o masie m2 . Do deski przyłożono poziomą siłę F . Z jakim przyspieszeniem będą się
poruszać deska i środek kuli, jeśli nie ma między nimi poślizgu?
Zad. 21*. Na płaszczyźnie poziomej leży szpulka nici o
masie m i momencie bezwładności I = βmR2 , gdzie β
jest stałą, a R – zewnętrznym promieniem szpulki (rysunek). Promień warstwy nawiniętych nici wynosi r, a
współczynnik tarcia między szpulką a podłożem równy
jest µ (przyjmujemy jednakowe tarcie statyczne i kinetyczne). Do odwiniętego końca nici przyłożono siłę F ,
tworzącą kąt θ z poziomem. Tarcie toczne można pominąć. Znaleźć: (a) Wartość i kierunek przyspieszenia osi
szpulki, gdy toczy się ona bez poślizgu; (b) Zakres wartości siły F , przy których nie występuje poślizg; (c) Pracę
siły F od początku ruchu do chwili t w przypadku toczenia bez poślizgu.
Zad. 22. Jednorodna kulka o promieniu r stacza się bez poślizgu z wierzchołka powierzchni sferycznej o promieniu R. Znaleźć prędkość kątową kulki w chwili, gdy oderwie się ona od powierzchni
sferycznej. W chwili początkowej prędkość kulki jest zaniedbywalna.
Zad. 23. W pewnym mechanizmie znajduje się koło zębate o momencie bezwładności względem
osi IA , obracające się z prędkością kątową ωA . W pewnej chwili zostaje do niego dociśnięta tarcza
sprzęgła o momencie bezwładności względem osi IB , obracająca się z prędkością kątową ωB . Po
krótkim okresie poślizgu oba elementy obracają się razem. Siła dociskająca tarczę do koła zębatego
działa dokładnie wzdłuż osi, a wpływ oporów ruchu w czasie trwania opisywanego procesu można
pominąć. Znaleźć: (a) końcową prędkość kątową, z jaką obraca się układ; (b) Zmianę energii
kinetycznej układu.
Zad. 24. Nieuważny ptak o masie 0,500 kg, lecąc poziomo z prędkością 2,2 m/s, uderza w pionowy
słupek, zamocowany u dołu na zawiasie. Słupek jest jednorodny, ma długość 0,750 m i masę
1,50 kg, a ptak uderza w niego 25,0 cm poniżej górnego końca. Po zderzeniu, ogłuszony ptak
spada pionowo do podstawy słupka (ale wkrótce dochodzi do siebie i szczęśliwie leci dalej). Znaleźć
prędkość kątową słupka (a) tuż po uderzeniu ptaka; (b) w momencie uderzenia o ziemię.
Zad. 25*. Środek uderzenia to punkt bryły sztywnej, posiadającej ustaloną oś obrotu, o takiej
własności, że prostopadłe uderzenie w ten punkt nie generuje sił reakcji w osi obrotu. Oznacza to,
że gdyby ta sama bryła spoczywała swobodnie i została uderzona w środku uderzenia, to punkty
leżące na osi obrotu miałyby zerową prędkość. Znajdźmy środek uderzenia kija bejsbolowego1 :
1
Oczywiście wszędzie poza USA większe znaczenie ma to pojęcie w projektowaniu młotków, siekier i innych tego
typu narzędzi: ergonomia wymaga, by uderzenie w główkę młotka lub w środek ostrza siekiery nie powodowało
„bicia” w uchwycie.
4
Kij bejsbolowy ma masę 0,800 kg i moment bezwładności
względem środka masy 0,0530 kg·m2 . Jego geometria przedstawiona jest na rysunku („cm” – środek masy). Znaleźć odległość x od uchwytu kija, odpowiadającą środkowi uderzenia.
W tym celu rozważyć prostopadłe uderzenie piłki, które przekazuje kijowi pewien popęd siły J w bardzo krótkim czasie,
w którym kij praktycznie się nie obraca. Powiązać ten popęd
siły z przekazem momentu pędu. Czy położenie środka uderzenia zależy od wartości popędu J?
Źródło grafiki: Young, Freedman, University Physics.
Zad. 26(c). (Wahadło fizyczne) Znaleźć okres drgań wahadła w postaci bryły sztywnej o
momencie bezwładności względem środka masy I0 , zaczepionej w odległości l od środka masy.
Zad. 27*. (Podwieszenie trójniciowe) W układzie na rysunku
górny dysk jest nieruchomy, a dolny ma masę m0 i moment bezwładności I0 . Promienie okręgów, na obwodzie których zaczepione
są nici wynoszą a dla górnego dysku i b dla dolnego. Odległość
pomiędzy dyskami w stanie spoczynku wynosi l. (a) Znajdź okres
drgań ukłądu po lekkim skręceniu dolnego dysku. (b) Na dolnym
dysku położono pewną bryłę o znanej masie m. Zmierzony okres
drgań układu pod takim obciążeniem wynosi T . Znajdź moment
bezwładności tej bryły.
Źródło grafiki: Sivukhin, Mechanika.
5