Lista 8

Lista 8 – 21.11.2012
Ruch obrotowy bryły sztywnej, Dynamika bryły sztywnej
1. Oblicz moment bezwładności rury grubościennej o masie M, grubość ścian rury wynosi p. Oś
obrotu pokrywa się z osią rury.
2. Korzystając z twierdzenia Steinera policzyć momenty bezwładności brył z rys. poniżej względem
osi zaznaczonych przerywaną linią.
3. Dwa odważniki o masach m1=2 kg, m2=1 kg są połączone nicią przerzuconą przez krążek. Promień
krążka R=0.1 m, a jego masa m=1 kg. Obliczyć:
a) przyspieszenie a z jakim poruszają się odważniki,
b) naciągi F1 i F2 nici, na których są zawieszone odważniki.
Krążek uważać za jednorodny, a tarcie pominąć.
4. Z równi pochyłej o kącie nachylenia α staczają się bez poślizgu: kula i obręcz. Prędkość
początkowa kuli wynosi zero. Jaką prędkość początkową należy nadać obręczy aby kula i obręcz
przebyły tę samą odległość w jednakowym czasie t? Moment bezwładności kuli względem osi
przechodzącej przez jej środek wynosi I =
promienia.
2
2
5 mk Rk .
Grubość obręczy jest dużo mniejsza od jej
5. Człowiek stoi na osi obrotowego stolika trzymając pionowo nad głową obracające się wokół
pionowej osi (za którą człowiek trzyma oburącz) z prędkością kątową koło rowerowe o momencie
bezwładności Wyznaczyć prędkość kątową ruchu obrotowego stolika po:
a) obróceniu przez człowieka koła o kąt 180·
b) zahamowaniu koła przez człowieka, jeżeli moment bezwładności człowieka i stolika wynosi J.
6. Pionowy słup o wysokości h=5m po podpiłowaniu przy podstawie pada na ziemię. Znaleźć liniową
prędkość jego górnego końca w chwili uderzenia o ziemię.
Zadania 7 i 8 rozwiąż korzystając z zasady zachowania energii lub z twierdzenia
o równoważności pracy i energii kinetycznej.
R
7.Nieważki sznur jest owinięty dziesięć razy wokół dysku o masie M i promieniu R.
Dysk obraca się bez tarcia wokół osi przechodzącej przez jego środek. Na koniec
sznura działa siła F dopóki sznur nie zostanie całkowicie odwinięty. Początkowo
dysk jest nieruchomy . Założyć, że sznur nie ślizga się po dysku.
Jak szybko obraca się dysk po odwinięciu nici?
M
F
I
8. Ciężarek o masie m wisi na sznurze owiniętym wokół krążka o promieniu R i
momencie bezwładności I. Sznur nie ślizga się po krążku; jego prędkość
początkowa jest równa zeru.
Oblicz prędkość ciężarka po przebyciu odległości L
R
T
m
v
L
Zad. 70 Zapisz równania ruchu dla wahadeł przedstawionych na poniższych rysunkach (a) i (b) i
znajdź okresy ich drgań. Porównaj jak otrzymany wynik odnosi się do okresu drgań wahadła
matematycznego (c).
(a) Wahadło fizyczne
(b) Wahadło torsyjne
(c) Whadło matematyczne
Zad. 71 Przez zamocowany bloczek o masie m przerzucono nierozciągliwą nitkę na której zawieszono
dwa obciążniki o masach odpowiednio m1 i m2. Oblicz przyspieszenie z jakim będą poruszać się
obciążniki. Masę nitki i opory zaniedbać. Przyjmij, że moment bezwładności bloczka o promieniu r
jest równy mr2/2, masę nitki pomiń.
Zad. 72. Jednorodny pręt o długości L i masie M może obracać się bez tarcia wokół sworznia
umieszczonego w jednym z jego końców (Rys. 1). Pręt jest zwolniony z horyzontalnego położenia
początkowego, w którym spoczywał. Jakie jest początkowe przyspieszenie kątowe pręta i początkowe
przyspieszenie liniowe końca pręta? Jaka jest szybkość kątowa pręta w jego najniższym położeniu?
Określ prędkość liniową środka masy i najniższego punktu pręta w momencie pionowego położenia
pręta.
Zad. 73. Dwie masy m1 i m2 są połączone struną przechodzącą przez blok o promieniu R (Rys. 2).
Masa m1 porusza się w górę z przyspieszeniem a. Określić naprężenia struny T1, T2 i moment
bezwładności bloku I.
Zad. 74. Cząstka o masie m porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym z prędkością v.
Obliczyć moment pędu cząstki względem punktu odległego o d od prostej, po której porusza się
cząstka.
Zad. 75. Cząstka o masie m porusza się ze stałym przyspieszeniem a po linii prostej znajdującej się w
odległości d od punktu O. Ruch rozpoczął się w punkcie będącym rzutem O na prostą. Znajdź moment
pędu cząstki względem punktu O po upływie czasu t. Sprawdź zgodność rozwiązania z drugą zasadą
dynamiki ruchu obrotowego.
Zad. 76. Pocisk o masie m i prędkości liniowej v0 trafia cylinder (pełny) o masie M i promieniu R
(Rys. 3). Początkowo cylinder umocowany na stałej osi przechodzącej przez jego środek masy jest w
spoczynku. Tor ruchu pocisku jest prostopadły do osi cylindra i w odległości d < R. Znaleźć szybkość
kątową układu po tym, jak pocisk utkwi w powierzchni cylindra.
Zad. 77. Dwie poziome tarcze wirują wokół pionowej osi przechodzącej przez ich środki
geometryczne (Rys. 4). Momenty bezwładności tarcz wynoszą I1, I2, a ich prędkości kątowe ω1 i ω2.
Po upadku górnej tarczy na dolną obie tarcze w wyniku działania sił tarcia obracają się razem ze
wspólną prędkością kątową ω. Wyznaczyć ω oraz pracę wykonaną przez siły tarcia.
Zad. 78. Cienka lina przechodzi przez lekki i obracający się bez tarcia blok (Rys. 5). Na jednym końcu
liny zawieszona jest kiść bananów o masie M, a na drugim uwiesiła się małpa także o masie M. Małpa
wspina się po linie, aby dosięgnąć bananów. Przyjmijmy, że układ składa się z małpy, bananów, liny i
bloku. Policzyć wypadkowy moment siły względem osi obrotu bloku. Obliczyć całkowity moment
pędu względem tej osi. Czy małpa zje banany?
Zad. 80. Na poziomym doskonale gładkim stole leży listwa o długości l i masie M. W koniec listwy
trąca pocisk o masie m lecący z prędkością v prostopadle do osi listwy. Znaleźć prędkość środka masy
układu i prędkość kątową z jaką się obraca.