Grafy spójne Definicja 1. Niech G = (V,E) będzie dowolnym grafem

Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (wykład 10)
Grafy spójne
Definicja 1. Niech G = (V, E) będzie dowolnym grafem.
Trasą (albo marszrutą) w grafie G nazywamy dowolny ciąg krawędzi tego grafu postaci
v0 v1 , v1 v2 , . . . , vn−1 vn .
Zauważmy, że dwie sąsiednie krawędzie w tym ciągu mają wspólny wierzchołek, dlatego trasę
będziemy czasem zapisywać w postaci
v0 → v1 → v2 → · · · → vn .
Liczbę krawędzi występujących w tym ciąu nazywamy długością trasy, wierzchołek v0 początkiem,
a vn – końcem trasy.
Scieżką w grafie G nazywamy trasę, w której nie ma powtórzeń tych samych krawędzi (wierzchołki
mogą się powtarzać).
Drogą w grafie G nazywamy ścieżkę, w której nie ma powtórzeń wierzchołków poza ewentualną
równością pierwszego i ostatniego wierzchołka (zatem droga jest trasą, w której nie ma powtórzeń
ani wierzchołków, ani krawędzi).
Cyklem w grafie G nazywamy drogę lub ścieżkę zawierające co najmniej jedną krawędź, w której
ostatni wierzchołek jest równy pierwszemu. Cykl długości 3 nazywamy trójkątem.
Lemat 1. W dowolnym grafie dwudzielnym każdy cykl ma długość parzystą. W szczególności, w
grafie dwudzielnym nie ma trójkątów.
Definicja 2. Graf G nazywamy spójnym jeśli dla każdych dwóch wierzchołków tego grafu istnieje
droga o początku w jednym i końcu w drugim z nich.
Niech G = (V, E) będzie dowolnym grafem. W zbiorze V wprowadzamy relację przyjmując,
że dwa wierzchołki są w relacji, jeśli w tym grafie stnieje droga o początku w jednym i końcu w
drugim z tych wierzchołków. Łatwo sprawdzić, że jest to relacja równoważności i rozbija zbiór V
na rozłączne klasy abstrakcji V1 , V2 , . . . , Vk . Z definicji relacji wynika, że żadna krawędź grafu G
nie łączy wierzchołków z różnych klas abstrakcji. Zatem zbiór krawędzi grafu rozpada się na zbiory
E1 , E2 , . . . , Ek takie, że Ei ⊆ P2 (Vi ), i = 1, 2, . . . , k. Grafy G1 = (V1 , E1 ), G2 = (V2 , E2 ), . . . , Gk =
(Vk , Ek ) są spójne. Nazywamy je składowymi spójnymi grafu G.
Lemat 2. Jeżeli G = (V, E) ma dokładnie dwie składowe spójne i |V | = n > 1, to
(n − 1)(n − 2)
.
2
Dowód. Niech V1 będzie zbiorem wierzchołków jednej składowej spójnej, a V2 – drugiej. Załóżmy
przy tym, że |V1 > |V2 |. Jeżeli |V2 | = 1, to |V1 | = n−1 i krawędzie grafu łączą wyłącznie wierzchołki
z V1 . Maksymalnie możemy mieć (n−1)(n−2)
krawędzi i to tylko wtedy, gdy każdy wierzchołek z
2
V1 jest połączony z każdym. Załóżmy teraz, że |V2 | = k > 1. Oczywiście |V1 | = n − k > k. Z
grafu G tworzymy teraz nowy graf G1 w następujący sposób: wybieramy jakikolwiek wierzchołek
v z V2 – jego stopień nie przekracza k − 1 (bo może mieć wspólną krawędź tylko z wierzchołkami z
V2 ). Usuwamy z grafu wszystkie krawędzie, które z niego wychodzą, a następnie do grafu dodajemy
wszystkie możliwe krawędzie łączące wierzchołek v z wierzchołkami zbioru V1 , zatem dodajemy n−k
krawędzi, tzn. więcej niż tych, które wcześniej usunęliśmy. Tę operację powtarzamy tak długo, aż
w zbiorze V2 zostanie tylko jeden element. Z początku dowodu wiemy, że w tak zbudowanym grafie
jest nie więcej niż (n−1)(n−2)
krawędzi, a to z kolei znaczy, że liczba krawędzi grafu G jest od tej
2
liczby mniejsza.
|E| 6
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (wykład 10)
Uwaga 3. Wśród wszystkich grafów niespójnych mających dokładnie dwie składowe spójne i n
wierzchołków najwięcej krawędzi ma graf, w którym jedna składowa spójna składa się z jednego
izolowanego punktu, a druga z grafu pełnego o n − 1 wierzchołkach.
Powtarzając rozumowanie z dowodu 2 łatwo teraz dowieść następującego twierdzenia
Twierdzenie 4. Jeżeli w grafie niespójnym G = (V, E) o n wierzchołkach jest dokładnie k składowych spójnych, to
(n − k + 1)(n − k)
|E| 6
.
2
Uwaga 5. Wśród wszystkich grafów niespójnych mających dokładnie k składowych spójnych i n
wierzchołków najwięcej krawędzi ma graf, w którym k − 1 składowych stanowią izolowane wierzchołki, a k-ta sładowa jest grafem pełnym o n − k + 1 wierzchołkach.
Lemat 6. Każdy graf spójny o n wierzchołkach ma co najmniej n − 1 krawędzi.
Dowód można przeprowadzić łatwą indukcją względem liczby krawędzi.
Wniosek 7. Każdy graf o n wierzchołkach mający dokładnie k składowych spójnych ma co najmniej
n − k krawędzi.
Przykład 1. Każdy graf regularny stopnia 6 o 13 wierzchołkach jest spójny (przypomnijmy, że
graf regularny stopnia r, to graf, w którym każdy wierzchołek jest stopnia r). Rzeczywiście, niech
a i b będą dowolnymi niesąsiadującymi wierzchołkami tego grafu. Niech A będzie zbiorem sąsiadów
wierzchołka a, natomiast B – zbiorem sąsiadów wierzchołka b. Ponieważ a, b ∈
/ A ∪ B, więc
|A ∪ B| 6 11. Oczywiście |A| = d(a) = 6 = d(b) = |B|, zatem istnieje wierzchołek c, który należy
do obu zbiorów A i B. Stąd ac, cb jest trasą od a do b w naszym grafie.
Ogólniej, niech r = b n2 c i G niech będzie grafem regularnym stopnia r o n wierzchołkach.
Powtarzając powyższe rozumowanie dowodzimy, że G jest spójny. Dla r < b n2 c można łatwo podać
przykłady zarówno grafów spójnych, jak i niespójnych, które mają n wierzchołków i są regularne
stopnia r.
Przykład 2. Istnieją różne parametry, które pozwalają na mierzenie poziomu spójności grafu.
Jeden z nich jest zademonstrowany na poniższych rysunkach. Na wszystkich zademonstrowano
spójne grafy regularne stopnia 3. W pierwszym z nich istnieje krawędź, której usunięcie, czyni
graf niespójnym, w drugim nie istnieje krawędź, której usunięcie czyni graf niespójnym, ale istnieją
dwie krawędzie, których usunięcie rozspójnia graf. W trzecim natomiast usunięcie dwóch dowolnych
krawędzi go nie rozspójnia. O pierwszym z nich mówimy, że jest krawędziowo 1-spójny, drugi nazywa
się 2-spójnym krawędziowo, a trzeci 3-spójnym (oczywiście krawędziowo).
s
@
s
s
@
@
s
@
@
@s
@s
s
@
@
@
@
@s
@
@s
s
@
@
@s
s
@
@
@s
s
@
s
@
s
@
@
@
@
@s
@s
s
s
s
HH
@
@ HH @
@
@ H
H@
@
H@
H@
s @s
Hs
Opracował: Cz. Bagiński
Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego