Bez tytułu slajdu

Drzewa
Las - graf, który nie zawiera cykli
Drzewo - las spójny
Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i
k składowych, to G ma n–k krawędzi.
Własności drzew
Niech T – graf o n wierzchołkach będący drzewem
(1) T nie zawiera cykli i ma n–1 krawędzi
(2) T jest grafem spójnym i każda krawędź jest mostem
(3) Każde dwa wierzchołki T są połączone dokładnie jedną drogą
(4) T nie zawiera cykli, ale po dodaniu dowolnej nowej krawędzi
otrzymamy graf z dokładnie jednym cyklem
(5) W każdym drzewie są przynajmniej dwa wierzchołki wiszące.
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
1
Drzewo z wyróżnionym korzeniem
drzewo, w którym wyróżniono jeden z wierzchołków
r
q
p
s
t
z
y
x
w
v
u
Korzeń – r
Liście – w, x, y, u, z
s jest rodzicem w i x.
y jest dzieckiem t.
Każdy wierzchołek poza korzeniem ma jednego rodzica.
Numer poziomu wierzchołka v – długość drogi od korzenia do v
Wysokość drzewa – największy numer poziomu wierzchołka.
Tylko liście mogą mieć numer poziomu równy wysokości drzewa.
Zliczanie drzew
Np. pytanie o liczbę drzew oznakowanych mających daną własność?
1
2
3
4
3
4
2
1
3
4
2
1
Liczba sposobów znakowania takiego drzewa: (4!)/2 = 12
liczba sposobów znakowania drzewa = 4
liczba drzew oznakowanych o 4 wierzchołkach wynosi 12 + 4 = 16
Twierdzenie (Cayley):
Cayley):
Istnieje nn-2 różnych drzew oznakowanych o n wierzchołkach.
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
2
Drzewa spinające
Dopóki w grafie spójnym są cykle:
wybieramy cykl w grafie G,
usuwamy którąś krawędź cyklu
graf pozostaje spójny
↓
W
Y
X
U
powstaje drzewo, które spina wszystkie
wierzchołki grafu
drzewo spinające grafu G
V
V
W
Y
X
U
- podgraf grafu G będący drzewem
i zawierający wszystkie wierzchołki G
Każdy graf spójny ma drzewo spinające.
Ogólnie:
G dowolny graf o n wierzchołkach i m krawędziach oraz
k składowych
stosujemy procedurę do każdej składowej G => las spinający
Rząd cykliczności (liczba cyklomatyczna)
cyklomatyczna) grafu G: γ(G)
– łączna liczba usuniętych krawędzi
γ(G) = m – n + k
Rząd rozcięcia (rząd spójności) grafu G: ξ(G)
– liczba krawędzi w lesie spinającym
ξ(G) = n – k
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
3
Definicja: Dopełnieniem lasu spinającego T grafu G (niekoniecznie
prostego) nazywamy graf otrzymany z grafu G przez usunięcie
krawędzi należących do T.
V
W
V
W
Y
X
U
U
Y
X
Twierdzenie:
Jeśli T jest lasem spinającym grafu G, to:
(a) każde rozcięcie grafu G ma wspólną krawędź z T
(b) każdy cykl w grafie G ma wspólną krawędź z dopełnieniem T.
Problem najkrótszych połączeń
Wybudować sieć kolejową, która połączy n miast w taki sposób, by
pasażerowie mogli podróżować z każdego miasta do dowolnego
innego miasta
Jeżeli ze względów oszczędnościowych całkowita długość linii ma być
najmniejsza, to graf, którego wierzchołkami są te miasta, a
krawędziami linie kolejowe, musi być drzewem.
Zadanie polega na znalezieniu drzewa spinającego,
którego całkowita waga byłaby jak najmniejsza.
Rozwiązanie - algorytm zachłanny polegający na wybieraniu krawędzi o
najmniejszej wadze w taki sposób, by nie utworzyć cyklu.
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
4
A
Pytanie:
Które z nn-2 możliwych
drzew spinających ma
najmniejszą całkowitą wagę?
E
B
(nn-2 = 125 w tym przypadku)
C
D
A
Zaczynamy od wybrania krawędzi AB
o wadze 2 i BD o wadze 3.
Następnie DE o wadze 5,
a potem BC o wadze 7.
E
B
C
D
Algorytm Kruskala
Niech G – graf spójny o n wierzchołkach.
(1) wybieramy krawędź e1 o najmniejszej wadze,
(2) definiujemy krawędzie e2, e3, ... , en-1 wybierając za
każdym razem nową krawędź o najmniejszej możliwej
wadze, która nie tworzy cyklu z dotychczas wybranymi
krawędziami ei .
Podgraf T grafu G, którego krawędziami są krawędzie
e1, e2, ... , en-1 jest szukanym drzewem spinającym.
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
5
Algorytm Prima
Niech G – graf spójny o n wierzchołkach.
E := ∅
Wybierz w ze zbioru V(G) i V := {w}
Dopóki V ≠ V(G) wykonuj
wybierz w zbiorze E(G) krawędź {u , v} o najmniejszej możliwej
wadze taką, że u ∈V i v ∈ V(G)–V
dołącz krawędź {u , v} do zbioru E i wierzchołek v do zbioru V.
Też algorytm zachłanny. W każdym kroku szukana jest krawędź o
najmniejszej wadze łącząca jakiś wierzchołek istniejącego do tej pory
drzewa spinającego T z nowym wierzchołkiem spoza T.
Grafy planarne
Graf płaski - graf narysowany na płaszczyźnie w taki sposób,
że żadne dwie krawędzie nie przecinają się geometrycznie
z wyjątkiem wierzchołków, z którymi są incydentne.
Graf planarny - graf izomorficzny z grafem płaskim
(graf jest planarny, jeśli może być umieszczony na płaszczyźnie w taki
sposób, że takie jego przedstawienie jest grafem płaskim)
graf płaski
graf płaski
wszystkie trzy - planarne
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
6
Twierdzenie: Grafy K3,3 oraz K5 są nieplanarne.
A
E
B
A
C
D
E
B
C
D
Homeomorfizm grafów
Dwa grafy są homeomorficzne,
homeomorficzne jeśli mogą być otrzymane z
tego samego grafu poprzez umieszczenie nowych
wierzchołków stopnia 2 na jego krawędziach.
Twierdzenie (Kuratowski, 1930):
Graf jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera
podgrafu homeomorficznego z K3,3 i K5.
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
7
Ściany grafu płaskiego
Jeśli G jest grafem planarnym, to każdy rysunek płaski grafu G dzieli
zbiór punktów płaszczyzny, które nie leżą na G na obszary zwane
ścianami.
f6
f4
f1
f2
f1
f2
f3
f3
f5
f4
Twierdzenie Eulera:
Niech G będzie rysunkiem płaskim spójnego grafu planarnego i niech n,
m i f oznaczają odpowiednio liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian
grafu G. Wtedy:
n–m+f=2
Twierdzenie:
Niech G jest grafem płaskim mającym n wierzchołków, m krawędzi,
f ścian oraz k składowych spójnych. Wtedy:
n–m+f=k+1
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
8
Grafy dualne
Jeśli mamy dany rysunek płaski grafu planarnego G, to konstruujemy
graf G*, który nazywamy grafem (geometrycznie) dualnym do grafu G
w następujący sposób:
(1) wewnątrz każdej ściany f grafu G wybieramy punkt v* te punkty będą
wierzchołkami grafu G*;
(2) dla każdej krawędzi e grafu G prowadzimy linię e* przecinającą e (ale
nie przecinającą żadnej innej krawędzi grafu G) i łączącą wierzchołki
v* ścian f oddzielonych od siebie krawędzią e – linie te będą
krawędziami grafu G*.
Twierdzenie:
Niech G będzie spójnym grafem płaskim mającym n wierzchołków, m
krawędzi i f ścian oraz niech graf G* geometrycznie dualny do niego
ma n* wierzchołków, m* krawędzi i f * ścian. Wtedy:
n* = f
m* = m
Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości
Barbara Głut
f *= n
9