Praca domowa

Praca domowa
Zadanie 1
Znalezienie rozkładu na czynniki pierwsze liczby RSA-768:
123018668453011775513049495838496272077285356959533479219732245215172
640050726365751874520219978646938995647494277406384592519255732630345
373154826850791702612214291346167042921431160222124047927473779408066
5351419597459856902143413
zajęło 2 lata pracy około tysiąca rdzeni (w 2009 roku). Liczba ta ma 232 cyfr, a zapisana w kodzie
binarnym ma 768 zer i jedynek - czyli ma ona 768 bitów (co tłumaczy jej nazwę). Zakładając,
że rozkładano ją na czynniki pierwsze przy użyciu najlepszego znanego algorytmu klasycznego,
oszacujcie, ile lat zajęłoby tym samym komputerom rozłożenie liczby składającej sie z 835 bitów.
Zadanie 2
Mamy trzy algorytmy, które wykonują dane im zadania przez
a) T1 (n) = b1 τ n
b) T2 (n) = b2 τ nk
c) T3 (n) = b3 τ 2kn
gdzie n to liczba bitów danych wejściowych, a τ to jednostka czasu pracy (n.p. jeden cykl zegara procesora). Załóżmy teraz, ze te same obliczenia chcemy wykonać dla danych wejściowych
składających sie z n + 1 bitów (czyli liczba przyjmowana na wejściu jest co najwyżej dwa razy
większa). Chcemy jednak, aby całkowity czas obliczeń pozostał ten sam. O ile musimy zmniejszyć τ , aby tak było w każdym z powyższych przypadków?
Zadanie 3
Spin elektronu jest w czystym stanie kwantowym
|Ψi = cos
θ
θ
|0i + eiφ sin |1i .
2
2
(1)
Jakie są wartości oczekiwane składowych operatora spinu Ŝi = ~2 σ̂i (i = x, y, z)? Co stanie się z
tymi wartościami, jeżeli zamiast |Ψi weźmiemy stan
0
Ψ = e−iφ/2 cos θ |0i + eiφ/2 sin θ |1i .
2
2
(2)
Jak ogólny jest wniosek płynący z porównania wyników dla stanów |Ψi i |Ψ0 i?
Przypominam, że macierze Pauliego podane na wykładzie są napisane w bazie, w której
σ̂z |0i = |0i, a σ̂z |1i = − |1i.
Zadanie 4
Sprawdźcie, że stany
1
√ (|0i ± i |1i)
2
(3)
to stany własne operatora σ̂y . Jakie są wartości własne tego operatora, które odpowiadają tym
stanom? Jeżeli jeden z tych stanów poddamy pomiarowi powiązanemu z obserwablą σ̂z (czyli
zmuszenie spinu do “zdeklarowania się” czy jest skierowany “w górę” cz “w dół” wzdłuż osi z),
to z jakimi prawdopodobieństwami otrzymamy możliwe wyniki? A co jeżeli będziemy robili
pomiar związany z obserwablą σ̂x ? Wynik można łatwo zgadnąć - ale czy potraficie go uzasadnić
(wskazówki: reguła Borna i iloczyn skalarny pomiędzy stanami własnymi σ̂x i σ̂y .
Dodatkowe zadanie dla chętnych (i lubiących algebrę liniową): jak uzyskać powyższe stany? Należy zdiagonalizować macierz σ̂y , czyli najpierw sprawdzić, dla jakich λ istnieje
rozwiązanie równania
0 −i
a
a
=λ
,
(4)
i 0
b
b
a następnie rozwiązać to równanie na a i b dla znalezionych dozwolonych wartości λ.
Wskazówka: powyższe równanie można zapisać jako
a
M̂
=0
b
(5)
gdzie macierz M̂ jest dana przez
−λ −i
i −λ
.
(6)
Warunkiem koniecznym na istnienie rozwiązania takiego problemu jest zerowanie się wyznacznika
macierzy M̂ .