Zadania na wtorek, 27 października Zadanie 1. Niech A, B, C będą

Zadania na wtorek, 27 października
~ B,
~ C
~ będą dowolnymi wektorami. Pokazać, że
Zadanie 1. Niech A,
~ σ · B)
~ =A
~·B
~ + i~σ · (A
~ × B),
~
(~σ · A)(~
~ = 0,
Tr(~σ · A)
~ σ · B)(~
~ σ · C)].
~
a następnie obliczyć Tr[(~σ · A)(~
Zadanie 2. Elektron poruszający się wzdłuż osi x ma energię E = 1.5 keV. Prawdopodobiestwo pomiaru rzutu spinu na oś z o wartości ~/2 wynosi 0.2, zaś o rzucie −~/2
wynosi 0.8.
(i) Jaka jest funkcja falowa opisująca ten elektron?
(ii) Jakie są wartości liczby falowej k i częstości ω tego elektronu?
Zadanie 3. Rozważamy spinowe stopnie swobody elektronu. Niech |+i oznacza spin
o rzucie Sz = ~/2, zaś |−i o rzucie Sz = −~/2. Operator Hamiltona działa na stany
bazowe według wzorów: Ĥ|+i = ~ω|−i, Ĥ|−i = ~ω|+i.
(i) Napisać reprezentację macierzową Ĥ w bazie |±i.
(ii) Znaleźć wartości i wektory własne hamiltonianu.
(iii) Jeżeli w chwili t = 0 elektron jest w stanie |+i, to jakie jest prawdopodobieństwo, że w późniejszej chwili t będzie w stanie |−i?
Zadanie 4. Pokazać, że żadna oś kwantyzacji dla rzutu spinu nie jest wyróżniona.
~ · ~n = Ŝx nx + Ŝy ny + Ŝz nz , gdzie S
~ = ~~σ /2 to
W tym celu zdefiniować operator Ŝ~n = S
wektor macierzy Pauliego, zaś ~n = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) to jednostkowy wektor
wskazujący w dowolnym kierunku, sparametryzowany kątami θ, φ.
(i) Wypisać postać macierzy Ŝ~n w bazie wektorów własnych |+i, |−i operatora
Sz .
(ii) Znaleźć wartości własne operatora Ŝ~n oraz udowodnić, że jego wektory własne
są postaci
θ
θ
θ
θ
|~n, +i = cos |+i + sin eiφ |−i, |~n, −i = sin |+i − cos eiφ |−i.
2
2
2
2
(iii) Sprawdzić ortonormalność wektorów, a następnie pokazać, że redukują się one
do wektorów własnych operatorów Ŝx , Ŝy , Ŝz , gdy wektor jednostkowy wskazuje
kierunki x, y, z.
(iv) Przypuśćmy, że przez odpowiednio dobrany aparat Sterna-Gerlacha dokonano
pomiaru rzutu spin atomu, w wyniku którego jest on w stanie |~n, +i, gdzie ~n
leży w płaszczyźnie xy. Jeżeli teraz atom przejdzie przez drugi aparat, który
mierzy składową spinu wzdłuż osi x, to jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania składowej rzutu spinu na oś x równej +~/2?