ALGEBRA LINIOWA. ĆWICZENIA Przekształcenia linowe Ćwiczenie

ALGEBRA LINIOWA. ĆWICZENIA
Przekształcenia linowe
ALEXANDER DENISJUK
Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresem
http://users.pjwstk.edu.pl/~denisjuk/
Ćwiczenie 1. Wyznacz macierz przekształcenia liniowego w bazie kanonicznej:




x1
x1 − 2x2
x2 



(1) 
x3  7→ x2 − 4x3 + x4
0
x4


x1
−2x1 



(2) x1 7→ 
 x1 
−4x1 
x1
 
x1
x2 
 
x1 − 2x2

x
(3) 
→
7
 3
−17x1 + x2
x4 
x5

 

x1
x1 − 2x2
(4) x2  7→  x2 − x3 
x3
x3 − x1
 
x1
x2 
 

(5) 
x3  7→ x1 − 2x2 − 4x3 + x4 − x5
x4 
x5
 


x1
0
x2 

 x1 − 2x2 
(6) 
x3  7→
x2 − 4x3 + x4
x4
Ćwiczenie 2. Niech W4 będzie przestrzenią wielomianów
4. Sprawdź, że dane przekształ stopnia najwyżej
cenie jest liniowym oraz wyznacz jego maceirz w bazie 1, x, x2 , x3 , x4 :
(1) P (x) 7→ P (2x), P (x) 7→ P ′ (x);
(2) P (x) 7→ P (−x), P (x) 7→ P ′′ (x), P (x) 7→ P ′ (2x), P (x) 7→ P (x+1), P (x) 7→ P (2x−1), P (x) 7→ P (2x),
P (x) 7→ (xP (x))′ .
Ćwiczenie 3. Wypisz macierz przekształcenia liniowego wektorów płaszczyzny euklidesowej R2 w bazie
kanonicznej:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Obrót o kąt α.
Zrzut na oś Ox1 .
Zrzut na oś Ox2 .
Symetria względem osi Ox1 .
Symetria względem osi Ox2 .
(6) Symetria względem początku układu wspólrzędnych.
(7) Symetria względem prostej x1 = x2 .
(8) Przekształcenie tożsamościowe.
(9) Jednokładność o współczynniku λ.
Ćwiczenie 4. Niech dana będzie macierz przekształcania liniowego f w pewnej bazie. Wyznacz macierz
przekształcenia f −1 w tej samej bazie:


1 2 0
1 1
cos α sin α
1 2
(1)
,
(2)
,
(3)
,
(4) 1 5 1,
0 1
− sin α cos α
−2 1
1 4 1
Ćwiczenie 5. Niech A będzie macierzą przekształcenia liniowego f w pewnwej bazie, B będzie macierzą
przekształcenia g w tej samej bazie. Wyznacz macierz przekształcenia g ◦ f , gdzie
1 1
−1 1
(1) A =
, B=
0 1
0 −1
cos α sin α
cos β
sin β
(2) A =
, B=
− cos α sin α
− cos β sin β
1
2
ALEXANDER DENISJUK
1 0
0 0
(3) A =
, B=
0 0
0 1




1 1 0
1 0 0
(4) A = 0 1 0  , B = −1 1 0 
0 0 −2
0 0 −2
E-mail address: [email protected]
Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych, Zamiejscowy Ośrodek Dydaktyczny w Gdańsku, ul. Brzegi 55, 80-045 Gdańsk