wielokąty opisane na okręgu

Przykładowe zadania – wielokąty opisane na okręgu:
Zad.1 W trapez równoramienny o kącie rozwartym Zad.2 W trapez równoramienny o podstawach
równym 120 stopni, wpisano okrąg o promieniu będących w stosunku 2:1 i ramieniu długości 30
równym r. Oblicz długość odcinka łączącego środki wpisano okrąg. Znajdź promień okręgu.
ramion trapezu.
D
C
a
D
30
30
m
h
r
r
A
C
B
E
Dane:
A
Szukane:
m=?
x
E
r
2a
x
B
Z własności czworokąta opisanego na okręgu
mamy:
r - promień okręgu
2a + a = 30 + 30, 3a = 60, a = 20
Długość odcinka m (tzw linii środkowej trapezu)
x=
= 20 = 10
wyrażona jest wzorem: m=
Z własności czworokąta opisanego na okręgu
z
mamy:
stąd m=
=
i
(z
z
sin
)
h=
=
r=
,
Odp. Długość odcinka łączącego środki ramion
Odp. Długość promienia okręgu wynosi
trapezu wynosi
Zad.3 Jedna z podstaw trapezu jest średnicą okręgu na nim opisanego, promień okręgu jest równy 5 cm,
a wysokość trapezu 4 cm. Oblicz obwód trapezu.
b
4
5
y
c
Ob = 2r + b + 2c
x+y=r
x
,
Z tw. Pitagorasa
stąd
x + y = r, x + 3 = 5, stąd x = 2
b = 2r – 2x = 2
= 10 – 4 = 6
,
Ob =2
+6+2
, stąd
= 16 +
Odp. Obwód trapezu wynosi 16 +
y=3
c=
Zad.4 Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny jest równy 2. Oblicz pole tego sześciokąta.
a
a
r
a
W trójkącie równobocznym o boku a:
Wysokośd h =
a
Pole P =
a
Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych o boku równym bokowi naszego
sześciokąta. Zauważ ponadto, że promień okręgu jest jednocześnie wysokością trójkąta.
Oznaczmy pole sześciokąta literką S.
. Wystarczy zatem wyliczyć bok a. Znajdziemy go ze wzoru na wysokość trójkąta
równobocznego.
Ponieważ h = r, stąd r =
Podstawmy dane: 2 =
Zatem pole sześciokąta S =
=
=6
8
Odp. Pole sześciokąta wynosi 8
Zad.5 Środek okręgu wpisanego w trapez prostokątny znajduje się w odległości 2cm i 4cm od końców
ramienia pochyłego danego trapezu. Znaleźć pole trapezu.
D
C
2
(bo
to
2r
O
dwusieczne kątów).
r
4
Z
A
=
Z
=
i tw. Pitagorasa mamy:
Pole trapezu P =
=
i P
P
=
E
B
= 20, stąd
. Porównujemy:
=
,
Z warunku opisania czworokąta na okręgu mamy:
, więc
Zatem: P =
Odp. Pole trapezu wynosi
Zad.6 W kwadrat o przekątnej długości 4 cm wpisano koło. Oblicz pole tego koła.
4
r
a
4=a
r=
, stąd a =
(z własności przekątnej kwadratu)
=
a
Pk=
Pk=
=
=
Odp. Pole koła opisanego na tym kwadracie wynosi
=