Wykład 9 Interpolacja wielomianowa Niech K będzie
Transkrypt
Wykład 9 Interpolacja wielomianowa Niech K będzie
Wykład 9 Interpolacja wielomianowa Niech K będzie pewnym ciałem i niech a1 , a2 , . . . , an , b1 , b2 , . . . , bn będą pewnymi elementami ciała K (ai 6= aj dla i 6= j). Zadanie jest następujące. Chcemy znaleźć wielomian f (x) ∈ K[x], taki że f (a1 ) = b1 , f (a2 ) = b2 , . . . , f (an ) = bn Podamy teraz dwa sposoby konstrukcji takich wielomianów. I. Interpolacja Lagrange’a. Budujemy wyrażenia: fi (x) = (x − a1 )(x − a2 ) . . . (x − ai−1 )(x − ai+1 ) . . . (x − an ) (ai − a1 )(ai − a2 ) . . . (ai − ai−1 )(ai − ai+1 ) . . . (ai − an ) Można zauważyć, że fi (ai ) = 1 i dla i 6= j, fi (aj ) = 0. Wtedy naszym poszukiwanym wielomianem będzie: f (x) = b1 f1 (x) + b2 f2 (x) + . . . + bn fn (x) Przykład Wyznaczyć wielomian f (x) ∈ R[x], taki że f (1) = 2, f (2) = −1, f (3) = 3 Korzystając z interpolacji Lagrange’a otrzymujemy: f (x) = 2 (x−2)(x−3) − (x−1)(x−3) + 3 (x−1)(x−2) = (−1)(−2) 1(−1) 2·1 3 (x − 2)(x − 3) + (x − 1)(x − 3) + 2 (x − 1)(x − 2) II. Interpolacja Newtona. Wielomian w tym przypadku budujemy następująco: f (x) = c0 + c1 (x − a1 ) + c2 (x − a1 )(x − a2 ) + . . . + cn−1 (x − a1 ) . . . (x − an−1 ) Wstawianie kolejno za x wartości a1 , . . . , an i przyrównanie ich do b1 , . . . , bn pozwoli nam jednoznacznie wyznaczyć wartości c0 , . . . , cn−1 . Przykład Wyznaczymy tą metodą wielomian f (x), który spełnia te same własności co wielomian z poprzedniego przykładu. Nasz wielomian ma teraz postać: f (x) = c0 + c1 (x − 1) + c2 (x − 1)(x − 2) Wstawiamy kolejno za x: 1, 2, 3 i otrzymujemy: f (1) = c0 = 2 f (2) = c0 + c1 = −1 f (3) = c0 + 2c1 + 2c2 = 3 Rozwiązaniem tego układu jest c0 = 2, c1 = −3, c2 = 27 . To nam daje nasz wielomian. 1 Wniosek 1 Jeśli K jest ciałem skończonym to każda funkcja K → K może być zapisana jako wielomian. Kongruencje w pierścieniach wielomianów Niech K będzie dowolnym ciałem i niech K[x] oznacza pierścień wielomianów nad K. Niech f (x) ∈ K[x]. Rozważmy następującą relację. Jeśli g(x), h(x) ∈ K[x] to: g(x) ∼f h(x) ⇐⇒ f (x)|(g(x) − h(x)) Relacja ∼f jest relacją równoważności w K[x]. Ponadto spełnia ona następujące własności: g(x) ∼f h(x) g1 (x) ∼f h1 (x) ) ⇒ (g(x) + g1 (x)) ∼f (h(x) + h1 (x)) g(x)g1 (x) ∼f h(x)h1 (x) Relację tą nazywać będziemy relacją przystawania modulo f (x) lub kongruencją w pierścieniu K[x]. Podobnie jak dla analogicznych relacji w pierścieniu liczb całkowitych, relacja przystawania pozwala nam wprowadzić działania w zbiorze klas abstrakcji: [g(x)] + [h(x)] = [g(x) + h(x)] [g(x)] · [h(x)] = [g(x)h(x)] Zbiór klas abstrakcji oznaczać będziemy w tym przypadku przez K[x]/(f (x)). Twierdzenie 1 Struktura (K[x]/(f (x)), +, ·) jest pierścieniem przemiennym z jedynką. Zerem jest klasa [0], a jedynką [1]. Jak można opisywać klasy abstrakcji tej relacji? Okazuje się, że istnieje prosty sposób takiego opisu. Załóżmy, że wielomian f (x) który definiuje naszą relacje ma stopień n. Wtedy w każdej klasie abstrakcji istnieje dokładnie jeden wielomian stopnia mniejszego niż n. Rzeczywiście jeśli wielomian g(x) ma stopień większy od n to możemy podzielić g(x) przez f (x) z resztą: g(x) = q(x)f (x) + r(x), r(x) = 0 lub st(r(x)) < st(f (x)) i wtedy wielomiany g(x) i r(x) są ze sobą w relacji. A więc każda klasa abstrakcji jest jednoznacznie wyznaczona przez wielomian stopnia mniejszego niż stopień wielomianu f (x). Twierdzenie 2 Struktura K[x]/(f (x)) jest ciałem wtedy i tylko wtedy gdy f (x) jest wielomianem nierozkładalnym nad K. 2 Przykład Niech K = Z2 i niech f (x) = x3 + x + 1. Wtedy f (x) jest wielomianem nierozkładalnym na Z2 . Relacja ∼f wyznacza podział na następujące klasy abstrakcji: [0], [1], [x], [x + 1], [x2 ], [x2 + 1], [x2 + x], [x2 + x + 1]. Pokażemy kilka przykładów dodawania i mnożenia: [x2 + x] + [x + 1] = [x2 + 1] [x2 + x] · [x + 1] = [(x2 + x)(x + 1)] = [x3 + 1] = [(x3 + x + 1) + x] = [x] [x2 + x + 1]2 = [(x2 + x + 1)2 ] = [x4 + x2 + 1] = [x(x + 1) + x2 + 1] = [x2 + x + x2 + 1] = [x + 1] 3