Algebra liniowa z geometrią

Wojciech Maćkowiak
2 lipca 2004 roku
Algebra liniowa z geometrią
1. Definicja działania dwuargumentowego, grupy i ciała liczbowego.
2. Ciało liczb zespolonych, własności, arytmetyka.
3. Definicja i własności sprzężenia, modułu, postaci trygonometrycznej, wzór de Moivre’a.
4. Definicja i własności pierwiastka i pierwiastka pierwotnego.
5. Definicja przestrzeni liniowej nad ciałem liczbowym i podprzestrzeni, przykłady.
6. Definicja kombinacji liniowej wektorów.
7. Definicja przestrzeni liniowej rozpiętej na wektorach.
8. Definicja i własności warstwy przestrzeni liniowej względem podprzestrzeni.
9. Definicja i własności przestrzeni ilorazowej.
10. Suma i suma prosta podprzestrzeni.
11. Definicja liniowej niezależności i zależności wektorów.
12. Definicja i własności bazy przestrzeni.
13. Twierdzenie Steinitza o wymianie.
14. Definicja i własności wymiaru przestrzeni.
15. dim(V1 + V2 ) = dim V1 + dim V2 − dim(V1 ∩ V2 ).
16. Definicja i przykłady odwzorowań liniowych.
17. Definicja jądra i obrazu, odwzorowanie f jest monomorfizmem ⇐⇒ ker f = 0.
18. Jeżeli f : V → W , to dim V = dim ker f + dim imf .
19. Definicja izomorfizmu przestrzeni liniowych, jeżeli dim V = n, to V jest izomorficzne z K n .
20. Przyporządkowanie wektorowi v warstwy v + W definiuje epimorfizm f : V → V /W , ker f = W .
21. dim V /W = dim V − dim W .
22. Jeżeli f : V → W jest homomorfizmem, to V / ker f jest izomorficzne z imf .
23. Definicja L(V, W ), L(V, W ) z operacjami + i · tworzą przestrzeń liniową nad K.
24. dim V = n ⇒ dim V ∗ = n, istnieje dokładnie jedno f : V → W przeprowadzające bazę na bazę.
25. Jeżeli f : V → W jest liniowe, to f ∗ : V ∗ → W ∗ jest liniowe.
26. Definicja macierzy, transponowania, mnożenie macierzy, macierzy jednostkowej.
27. Definicja macierzy przekształcenia, przejścia.
28. Twierdzenie o macierzy przekształcenia równej iloczynowi...
29. Twierdzenie o macierzy przekształcenia złożenia homomorfizmów... + wniosek + twierdzenie.
30. Definicja układu równań liniowych, stowarzyszonej macierzy i macierzy rozszerzonej.
31. Definicja równoważności układów, rozwiązania układu.
32. Równoważne układy równań mają te same zbiory rozwiązań.
33. Zbiór rozwiązań układu jednorodnego jest podprzestrzenią K n , roz(∗) = a + roz(∗∗).
34. Definicja rzędu macierzy, rząd kolumnowy jest równy rzędowi wierszowemu.
35. Twierdzenie Kronekera-Capelliego.
1
36. Metoda Eliminacji – Rugowania zmiennych – Gaussa.
37. Definicja macierzy diagonalnej, trójkątnej, układu Cramera.
38. Definicja wyznacznika, permutacji zbioru, cyklu, transpozycji.
39. Dowolną permutację można napisać jako superpozycję cykli, dowolny cykl jest permutacją.
40. W każdym z rozkładów permutacji występuje parzysta albo nieparzysta ilość transpozycji.
41. Własności wyznacznika, lemat o wyznaczniku iloczynu macierzy.
42. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności wyznacznika.
43. Twierdzenie Cauchy’ego + wniosek.
44. Rząd macierzy wymiaru n wynosi n ⇐⇒ det A 6= 0.
45. Twierdzenie Cramera.
46. Twierdzenie Laplace’a.
47. Definicja macierzy odwrotnej. Macierz jest nieosobliwa ⇐⇒ posiada macierz odwrotną.
48. Metoda rozwiązywania dowolnych układów równań wzorami Cramera.
49. Wartość wyznacznika endomorfizmu nie zależy od wyboru bazy.
50. f : V → V jest endomorfizmem. Wtedy ker f 6= 0 ⇐⇒ det f = 0.
51. Definicja podprzestrzeni niezmienniczej, wektora własnego wartości własnej.
52. v jest wektorem własnym endomorfizmu f ⇐⇒ W = lin(v) jest podprzestrzenią f -niezmienniczą.
53. Definicja wielomianu charakterystycznego i spektrum endomorfizmu
54. Niezerowe wektory własne endomorfizmu f są liniowo niezależne.
55. Stopień wielomianu charakterystycznego, wyraz a0 , an i a1 .
56. Twierdzenie Jordana, klatka Jordana.
57. Twierdzenie Calyley’a-Hamiltona.
58. Definicja przekształcenia n-liniowego i alternującego.
59. Jeżeli n-liniowe przekształcenie f jest alternujące, to f = a · det(K1 , K2 , . . . , Kn ).
60. Definicja iloczynu skalarnego i uogólnionego iloczynu skalarnego.
61. Definicja przestrzeni ortogonalnej i L(V1 , V2 , K) jako przestrzeni liniowej.
62. f1 : V1 → V2∗ oraz f2 : V2 → V1∗ są przekształceniami liniowymi.
63. Lemat o izomorfizmie funkcjonału dwuliniowego.
64. Definicja przestrzeni ortogonalnej niezdegenerowanej.
65. Definicja ortogonalności wektorów, zbiorów, zbioru wszystkich wektorów ortogonalnych do v.
66. Lemat, że A0 = (lin(A))0 i A0 jest podprzestrzenią przestrzeni V .
67. Dowolny niezerowy układ wektorów parami prostopadłych jest liniowo niezależny.
68. Definicja sumy ortogonalnej swoich podprzestrzeni V1 , V2 i dopełnienia ortogonalnego V1 ,V2 .
69. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności dopełnienia ortogonalnego.
70. Ortogonalizacja Gramma-Schmidta.
71. Definicja bazy ortogonalnej, unormowanej i na wpółunormowanej.
72. Definicja macierzy iloczynu skalarnego i jej rzędu.
73. Twierdzenie o macierzach iloczynu skalarnego w różnych bazach.
74. Przestrzeń ortogonalna jest euklidesowa ⇐⇒ det(Ai ) > 0 dla dowolnego i = 1, . . . , n.
75. Definicja i własności normy, miary kąta i automorfizmu przestrzeni euklidesowej.
76. Definicja kąta niezorientowanego jako klasa abstrakcji relacji równoważności.
2