Lab3 - dodatek

PWSZ w Głogowie
Laboratorium Podstaw Automatyki i Reg. Automatycznej
Stabilność asymptotyczna, sterowalność, obserwowalność ciągłych liniowych ukł.
dynamicznych
Weźmy pod uwagę dynamiczny liniowy układ ciągły stacjonarny opisany równaniami:
ẋ = Ax + Bu, x(0) = x0 ,
y = Cx + Du
(1)
przy czym x = x(t) ∈ Rn jest wektorem stanu, u = u(t) ∈ Rm jest wektorem wymuszenia, y = y(t) ∈ Rp jest
wektorem odpowiedzi, a A,B,C,D są macierzami rzeczywistymi o odpowiednich wymiarach.
Definicja 1. Układ (1) nazywać będziemy sterowalnym, jeżeli dla dowolnego stanu początkowego x0 istnieje
chwila tf > 0 oraz sterowanie u(t) na przedziale [0, tf ] takie, że x(tf ) = 0.
Twierdzenie 1. Układ (1) jest sterowalny , wtedy i tylko wtedy, gdy jest spełniony jeden z niżej podanych
(wybranych) równoważnych warunków:
1. rank[B, AB, . . . , An−1 B] = n
2. rank[Is − A, B] = n
∀s ∈ C, przy czym C jest zbiorem liczb zespolonych.
3. rank[Is − A, B] = n
macierzy)
∀s ∈ σA , przy czym σA jest widmem macierzy A (zbiorem wartości własnych tej
Matlab: poniższe polecenie oblicza macierz sterowalności [B, AB, . . . , An−1 B]
CO = CTRB(A,B)
Definicja 2. Układ (1) nazywać będziemy obserwowalnym, jeżeli istnieje chwila tf > 0 taka, że dla danych
u(t) i y(t) w przedziale [0, tf ] można wyznaczyć stan początkowy x0 tego układu.
Twierdzenie 2. Układ (1) jest obserwowalny , wtedy i tylko wtedy, gdy jest spełniony jeden z niżej podanych
(wybranych) równoważnych warunków:


C
 CA 


1. rank 
=n
..


.
n−1
CA
Is − A
2. rank
= n ∀s ∈ C, przy czym C jest zbiorem liczb zespolonych.
C
Is − A
3. rank
= n ∀s ∈ σA , przy czym σA jest widmem macierzy A (zbiorem wartości własnych tej
C
macierzy)


C
 CA 


Matlab: poniższe polecenie oblicza macierz obserwowalności 

..


.
CAn−1
OB = OBSV(A,C)
Weźmy pod uwagę uogólniony autonomiczny (nie poddany wymuszeniu) układ liniowy opisany równaniem:
E ẋ = Ax
n
nn
(2)
gdzie x = x(t) ∈ R jest semiwektorem stanu, E, A ∈ R są macierzami o stałych, niezależnych od czasu
elementach.
Twierdzenie 3. Układ (2) jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie pierwiastki s1 , s2 , . . . , sn
wielomianu charakterystycznego d(s) = det[Es − A] mają ujemne części rzeczywiste.
Uwaga 1. Jeżeli E = I, to układ (2) jest stabilny asymptotycznie wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości
własne macierzy A mają ujemne części rzeczywiste.
1