Podziały zbioru Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji

Podziały zbioru
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Uporządkowany podział zbioru
X - zbiór n-elementowy
n
k1 ,k2 ,...,kr
n
k1 ,k2 ,...,kr
- liczba sposobów rozłożenia elementów zbioru X do r numerowanych pudełek w taki sposób, aby w
pierwszym pudełku było k1 elementów, w drugim k2 , itd.
- współczynnik wielomianowy
k1 + . . . + kr = n
Wartość liczbowa współczynnika wielomianowego
TWIERDZENIE
Dla n, k1 , . . . , kr ∈ N takich, że k1 + . . . + kr = n
n
n!
k1 ,...,kr = k1 !·...·kr ! .
TWIERDZENIE
(x1 + . . . + xr )n =
X
k1 +...+kr =n
n
xk1 xk2 . . . xkr r .
k1 , . . . , kr 1 2
Permutacja z powtórzeniami
DEFINICJA Każdy ciąg, który można utworzyć ze wszystkich elementów n-elementowego multizbioru, w którym
r różnych elementów występuje odpowiednio k1 , k2 , . . . , kr razy nazywamy permutacją z powtórzeniami.
TWIERDZENIE
Liczba permutacji z powtórzeniami, które można utworzyć z elementówn-elementowego
multizbioru, w którym r
n
różnych elementów występuje odpowiednio k1 , k2 , . . . , kr razy jest równa
.
k1 , . . . , kr
Nieuporządkowany podział zbioru
Zaniedbujemy numerację pudełek. Ma to znaczenie przy równej liczności pudełek.
TWIERDZENIE
Liczba sposobów rozłożenia elementów zbioru X na r = l1 +l2 +· · ·+ls podzbiorów w taki sposób, aby l1 podzbiorów
miało k1 elementów, l2 podzbiorów miało k2 , itd., ls podzbiorów miało ks elementów jest równa
n
k1 ,...,k1 ,...,ks ,...,ks
l1 !l2 ! . . . ls !
.
Podział zbioru na k bloków
Dzielimy zbiór n-elementowy na k podzbiorów (bez określania ich liczebności)
DEFINICJA Liczbą Stirlinga drugiego rodzaju
n
k
nazywamy liczbę podziałów zbioru n-elementowego na
dokładnie k bloków. 0
Przyjmujemy, że
= 1.
0
Liczby Stirlinga- zależność rekurencyjna
1
TWIERDZENIE
Dla
0< k 6n
n
n−1
n−1
=k
+
.
k
k
k−1
Liczba funkcji "na"
TWIERDZENIE
Dla skończonych zbiorów X, Y liczba funkcji ze zbioru X na zbiór Y wynosi |Y |! ·
|X|
|Y |
.
Podział zbioru na bloki
Dzielimy zbiór n-elementowy na podzbiory
DEFINICJA Liczbą Bella Bn nazywamy liczbę podziałów zbioru n-elementowego na bloki, czyli
n X
n
Bn =
.
k
k=0
Zależność rekurencyjna dla liczb Bella
TWIERDZENIE
n X
n
Bn+1 =
Bi , n ∈ N
i
i=0
2