wyklad 1a

Prawa fizyki i wielkości fizyczne
Fizyka (z stgr. φύσις physis – "natura") – nauka o przyrodzie w
najszerszym znaczeniu tego słowa.
Prawa fizyki wyrażają związki między różnymi
wielkościami fizycznymi.
Prawa te formułowane są w postaci równań
matematycznych wyrażają ścisłe ilościowe relacje
między tymi wielkościami, a to wiąże się zawsze
z pomiarami określającymi liczbowo stosunek danej
wielkości do przyjętej jednostki.
Wielkości fizyczne – pewne cechy materii, dla których ustalono sposób
pomiaru.
Wielkości fizyczne
Podstawowe
(mają wzorce): np.: długość,
czas, masa
Pochodne
(związane z wielkościami
podstawowymi):
prędkość, gęstość
1
Aktualnie obowiązującym w Polsce układem jednostek jest układ SI
(Systeme International d'Unites). Wielkości podstawowe i ich jednostki
są zestawione w tabeli poniżej.
1. Długość
metr
Symbol
jednostki
m
2. Masa
kilogram
kg
3. Czas
sekunda
s
4. Ilość materii (substancji)
mol
mol
5. Natężenie prądu elektrycznego
amper
A
6. Temperatura termodynamiczna
kelwin
K
7. Światłość
kandela
cd
Wielkość
Jednostka
Definicje jednostek podstawowych są związane albo ze wzorcami
albo z pomiarem.
- wzorzec masy- wzorcem kilograma (kg) jest walec platynowo-irydowy
przechowywany w Międzynarodowym Biurze Miar i Wag w Sevres
(Francja).
- wzorzec długość- metr (m) definiujemy jako długość drogi przebytej w
próżni przez światło w czasie 1/299792458 s.
2
Oprócz jednostek w fizyce posługujemy się pojęciem wymiaru jednostki
danej wielkości fizycznej. Wymiarem jednostki podstawowej jest po
prostu ona sama. Natomiast dla jednostek pochodnych wymiar jest
kombinacją jednostek podstawowych (w odpowiednich potęgach).
Jednostki wtórne, które są ich wielokrotnościami. Wyraża się je bardzo
prosto poprzez dodanie odpowiedniego przedrostka określającego
odpowiednią potęgę dziesięciu, która jest mnożnikiem dla jednostki:
Przedrostek
tera
Skrót
T
Mnożnik
1012
giga
G
109
mega
M
106
kilo
k
103
centy
c
10-2
mili
m
10-3
mikro
µ
10-6
nano
n
10-9
piko
p
10-12
femto
f
10-15
,
3
Wektory
Do opisu zjawisk fizycznych będziemy się posługiwać dwoma
podstawowymi pojęciami matematycznymi: skalarem - wielkością, którą
można przedstawić za pomocą liczby oraz wektorem.
Wielkości skalarne takie jak np. masa, objętość, czas, ładunek,
temperatura, praca, mają jedynie wartość.
Natomiast wielkości wektorowe np. prędkość, przyspieszenie, siła, pęd,
natężenie pola, posiadają wartość, kierunek, zwrot.
WEKTOR - para uporządkowanych punktów, z których jeden jest
początkiem, a drugi końcem.
Jeżeli długości, kierunki i zwroty dwóch wektorów są takie same, to
wektory te są równe
Wektory będziemy oznaczać tak jak na rysunku powyżej albo za pomocą
pojedynczej litery, np: .
Wektory posiadają następujące cechy:
•
•
•
•
długość - odległość pomiędzy końcem a początkiem wektora;
kierunek - każda prosta równoległa do prostej, na której leży
wektor;
zwrot - zwrot prostej, na której leży wektor, w którym początek
wektora poprzedza koniec wektora;
punkt przyłożenia
4
W działaniach na wektorach operuje się składowymi tych wektorów
wyznaczonymi w wybranym układzie
odniesienia.
Składowe
wektora
wyznaczamy
umieszczając
początek
wektora
w
początku układu współrzędnych i rzutując
koniec wektora na poszczególne osie
wybranego układu współrzędnych.
Rys. 1.1. Wektor r i jego składowe rx, ry, rz
w pewnym układzie współrzędnych
Suma wektorów
W wybranym układzie współrzędnych wektor jest definiowany przez
podanie jego współrzędnych np.
Zwróćmy w tym miejscu uwagę na przyjętą konwencję. Wszystkie
wektory wyróżnione są w tekście czcionką wytłuszczoną.
Sumą dwóch wektorów jest nowy wektor o współrzędnych
Geometrycznie jest to przekątna równoległoboku zbudowanego na tych
wektorach. Różnicę dwóch wektorów przedstawia druga przekątna
(rysunek poniżej).
Rys. 1.2. Suma i różnica wektorów
5
Iloczyn skalarny
Iloczyn skalarny dwóch wektorów a · b jest liczbą (skalarem) równą
iloczynowi wartości bezwzględnych (długości) tych wektorów pomnożony
przez cosinus kąta między nimi
Iloczyn skalarny jest często stosowany do opisu wielkości fizycznych.
Przykładem wielkości fizycznej, którą można przedstawić jako iloczyn
skalarny dwóch wielkości wektorowych jest praca. Praca jest iloczynem
skalarnym siły i przesunięcia.
Iloczyn wektorowy
Iloczyn wektorowy dwóch wektorów a x b jest nowym wektorem c,
którego długość (wartość bezwzględna) jest równa iloczynowi długości
tych wektorów i sinusa kąta pomiędzy nimi
Wektor c jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory a i
b. Zwrot jego jest określony regułą śruby prawoskrętnej lub regułą
prawej ręki. Jeżeli palce prawej ręki zginają się w kierunku obrotu
wektora a do wektora b (po mniejszym łuku) to kciuk wskazuje kierunek
wektora c = a x b tak jak na rysunku poniżej
Rys. 1.3. Iloczyn wektorowy
6
Elementy kinematyki.
Kinematyka to dział fizyki zajmujący się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego
przyczyny.
Czym jest ruch?? ….
Ruch- zmiana wzajemnego położenia jednych ciał względem drugich
wraz z upływem czasu.
Położenie określamy względem układu odniesienia tzn. wybranego ciała
lub układu ciał. Zwróćmy uwagę na to, że ruch tego samego
ciała widziany z różnych układów odniesienia może być różny. W
szczególności można wybrać taki układ odniesienia, w którym ciało nie
porusza się. Oznacza to, że ruch jest pojęciem względnym.
w naszych rozważaniach będziemy posługiwać się pojęciem punktu
materialnego
Punkt materialny to ciało obdarzone masą, lecz nie posiadające
objętości (których rozmiary możemy zaniedbać).
Rodzaje ruchu…..
7
Rodzaje ruchu:
- ze względu na tor: (ruch prostoliniowy, ruch krzywoliniowy w tym ruch po
okręgu)
Torem ruchu (trajektorią) nazywamy krzywą lub prostą zakreśloną w
przestrzeni, przez poruszający się punkt. Długość toru nazywamy drogą (s).
- ze względu na prędkość…
Prędkość definiujemy jako zmianę położenia ciała w jednostce czasu.
8
Prędkość stała
Jeżeli wskazania prędkościomierza samochodu nie zmieniają się to
oznacza, że samochód porusza się ze stałą prędkością v, i jeżeli w
pewnej chwili t0 znajdował się w położeniu x0 to po czasie t znajdzie się
w położeniu x
skąd
Zależność między położeniem x i czasem t pokazana jest na rysunku
poniżej dla dwóch ciał (np. pojazdów).
Nachylenie wykresu x(t) przedstawia prędkość danego ciała. Różne
nachylenia wykresów x(t) odpowiadają więc różnym prędkościom.
Prędkość v (wektor) może być dodatnia albo ujemna; jej znak wskazuje
kierunek ruchu. Wektor v dodatni - ruch w kierunku rosnących x, ujemny
to ruch w kierunku malejących x.
9
Prędkość chwilowa
prędkość chwilowa jest pochodną położenia względem czasu
Gdy samochód przyspiesza lub hamuje to wskazania
prędkościomierza zmieniają się i nie możemy mówić o "jednej" stałej
prędkości. Prędkość zmienia się i w każdej chwili jest inna.
Wówczas ograniczymy się do bardzo małych wartości x - x0 (∆x) czyli
również bardzo małego przedziału czasu ∆t = t - t0 (chwili). Prędkość
chwilową w punkcie x otrzymamy gdy ∆t dąży do zera
Nachylenie krzywej x(t) ponownie przedstawia prędkość v, a znajdujemy
je (zgodnie z definicją pochodnej) jako nachylenie stycznej do wykresu
x(t), w danym punkcie tj. dla danej chwili t (rysunek poniżej).
Nachylenie krzywej x(t) jest prędkością chwilową
10
Prędkość średnia
Prędkość średnia ciała w przedziale czasu t jest zdefiniowana jako
gdzie x - x0 jest odległością przebytą w czasie t.
Często określenie zależności x(t) nie jest możliwe, np. przy oszacowaniu
czasu dojazdu do wybranej miejscowości nie jesteśmy w stanie
przewidzieć wszystkich parametrów podróży wpływających na prędkość
takich jak natężenie ruchu, konieczność ograniczenia prędkości w
terenie zabudowanym itp. Posługujemy się wtedy pojęciem prędkości
średniej.
Przyspieszenie
Przyspieszeniem nazywamy tempo zmian prędkości, analogicznie do
prędkości definiujemy dwa przyspieszenia: średnie i chwilowe.
Jeżeli ciało przyspiesza lub hamuje i jego prędkość zmienia się
jednostajnie z czasem to przyspieszenie a tego ciała jest stałe
Gdy prędkość rośnie (a > 0) to ruch nazywamy jednostajnie
przyspieszonym, a gdy prędkość maleje (a < 0) to ruch określamy jako
jednostajnie opóźniony.
Przyspieszenie chwilowe
Jeżeli przyspieszenie nie jest stałe, zmienia się z czasem, musimy wtedy
ograniczyć się do pomiaru zmian prędkości ∆v w bardzo krótkim czasie
∆t (podobnie jak dla prędkości chwilowej). Wówczas przyspieszenie
chwilowe definiujemy jako pierwszą pochodną v względem t.
Ograniczamy się do pomiaru zmian prędkości ∆v w bardzo krótkim czasie ∆t
(podobnie jak dla prędkości chwilowej).
11
Ruch jednostajnie zmienny
Z ruchem jednostajnie zmiennym spotykamy się na co dzień, np. gdy
obserwujemy swobodny spadek ciał w pobliżu powierzchni Ziemi. Jeżeli
możemy zaniedbać opór powietrza (w porównaniu z ciężarem ciała) to
każde ciało upuszczone swobodnie porusza się ruchem jednostajnie
przyspieszonym z przyspieszeniem równym 9.81 m/s2.
Wyrażenie na prędkość i położenie ciała poruszającego się ze stałym
przyspieszeniem:
Ponieważ w ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość rośnie
jednostajnie od v0 do v więc prędkość średnia wynosi
Łącząc powyższe trzy równania otrzymujemy
Jako podsumowanie, pokazane jest graficzne przedstawienie ruchu
prostoliniowego jednostajnego i jednostajnie zmiennego w postaci
wykresów x(t), v(t) oraz a(t).
Graficzna prezentacja ruchu prostoliniowego jednostajnego i jednostajnie zmiennego
12
Ruch na płaszczyźnie
Ruch w dwóch wymiarach będziemy opisywać w układzie
współrzędnych x i y. Np. y - wysokość, x - odległość w kierunku
poziomym. Pokażemy, że taki ruch można traktować jak dwa niezależne
ruchy jednowymiarowe.
3.1 Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie
Położenie punktu w chwili t przedstawia wektor r(t); prędkość wektor
v(t), przyspieszenie wektor a(t). Wektory r(t), v(t), a(t) są wzajemnie
zależne od siebie i dadzą się przedstawić za pomocą wersorów i, j czyli
wektorów jednostkowej długości zorientowanych odpowiednio wzdłuż osi
xiy
Położenie punktu określić można podając wektor r lub, dla wybranego
układu odniesienia, poprzez podanie współrzędnych tego wektora np. x,
y. Oczywiście wektor r i jego współrzędne zmieniają się z czasem więc
trzeba podać zależności czasowe r(t), x(t), y(t) tak jak na rysunku
Warto w tym miejscu również zapamiętać, że wektor prędkości jest
zawsze
styczny
do
toru
poruszającego
się
punktu.
Punkty, przez które przechodzi poruszający się punkt tworzą krzywą,
którą nazywamy torem ruchu.
13
Ruch jednostajny po okręgu
Rozważać będziemy ciało poruszające się ze stałą prędkością po
okręgu o promieniu R pokazane na rysunku poniżej. Punkt materialny
poruszający się jednostajnie po okręgu znajduje się w punkcie P w chwili
t, a w punkcie P' w chwili t + ∆t. Wektory prędkości v, v' mają jednakowe
długości ale różnią się kierunkiem; pamiętajmy, że wektor prędkości jest
zawsze styczny do toru. Chcąc znaleźć przyspieszenie musimy
wyznaczyć różnicę prędkości v i v'.
W tym celu przerysowujemy wektor v' w punkcie P i wyznaczamy
różnicę ∆v. Zauważmy, że kąt pomiędzy wektorami v i v' jest równy
kątowi θ więc korzystając z podobieństwa trójkątów możemy zapisać
równość
gdzie l jest długością odcinka PP', a dla małych wartości l długością łuku
PP'.
Ponieważ l = v ∆t więc
Znając już ∆v możemy obliczyć przyspieszenie
14
an=ω2R,
ω=2π/T
(częstotliwość ruchu)
Wektor ∆v jest prostopadły do toru to
znaczy pokrywa się z kierunkiem
promienia i jest zwrócony do środka
okręgu. Oznacza to, że i wektor
przyspieszenia ma taki sam kierunek i
zwrot.
W ruchu po okręgu przyspieszenie to nazywamy przyspieszeniem
dośrodkowym (jest zwrócone do środka okręgu),
a dla ruchu po dowolnej krzywej przyspieszeniem normalnym an (jest
prostopadłe do toru) lub radialnym ar (jest skierowane wzdłuż promienia).
Przyspieszenie dośrodkowe często wyraża się poprzez okres T czyli
czas, w którym punkt materialny wykonuje pełen obieg okręgu. Ponieważ
więc
Przyspieszenie normalne jest związane ze zmianą kierunku prędkości, a
przyspieszenie styczne za zmianę jej wartości.
15
16