EGZAMIN ZE WSTĘPU DO TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH

EGZAMIN ZE WSTĘPU DO TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH
Czas pracy: 120 min. Test wielokrotnego wyboru. W pytaniach testowych proszę zaznaczać prawdziwe zdania
literą T, a nieprawdziwe literą N. Ewentualnych zmian odpowiedzi proszę dokonywać przez wykreślenie starej
odpowiedzi i wpisanie obok nowej. Udzielenie 4 lub 3 poprawnych odpowiedzi jest warte odpowiednio 2 i 1
punkt. W zadaniach nietestowych proszę wpisywać jedynie odpowiedź. Każde zadanie nietestowe jest warte 3
punkty. Obowiązuje absolutny zakaz korzystania z telefonów komórkowych! Proszę podpisać kartkę z zadaniami
(WYRAŹNIE!) i zanotować sobie numer zestawu zadań. Na liście wyników pojawią się jedynie te numery!
Drugi termin, 13/09/10, zestaw nr:
IMIĘ I NAZWISKO:
1. Rozstrzygnąć, czy prawdą jest, że:
a) rozwiązanie wysycone zawsze dociera do brzegu,
b) istnieje pole wektorowe zadające równanie różniczkowe, którego pewne rozwiązanie ma niespójną dziedzinę,
c) jeśli A jest macierzą izomorfizmu, to równanie x0 = Ax + b ma zawsze jakieś rozwiązanie stałe,
d) zbiór ω-graniczny może składać się z pewnej ilości rozłącznych prostych.
2. Rozstrzygnąć, czy prawdą jest, że:
a) równania Volterry-Lotki opisują zmiany liczebności populacji gatunków związanych symbiozą,
b) układ gradientowy może mieć wszystkie trajektorie nieograniczone,
c) jeśli istnieje funkcja Lapunowa dla punktu p to p nie może być asymptotycznie stabilny,
d) każdy lokalny układ dynamiczny ma przynajmniej jedną orbitę okresową.
(
x + y + xy 0 = 0
3. Znajdź rozwiązanie wysycone problemu Cauchy’ego
. Podaj jego dziedzinę.
y(1) = 1
4. Znajdź rodzinę krzywych wypełniających R2 i prostopadłych w każdym punkcie do rodziny parabol
{y 2 − 2x = c : c ∈ R}.
5. Rozwiąż równanie różniczkowe y 0 = (x + y)−1 − 1.
(
xy 0 + 3y = x2
6. Znajdź rozwiązanie wysycone problemu Cauchy’ego
. Podaj jego dziedzinę.
y(1) = 1/5
7. Znajdź wszystkie rozwiązania równania różniczkowego xy 0 − y − y 2 = 0.
8. Znajdź czynnik całkujący dla równania (x2 + y)dx − xdy = 0.
9. Rozstrzygnąć, czy prawdą jest, że:
a) w tezie nierówności Gronwalla występuje symbol całki,
b) warunkiem wystarczającym na to, aby pewien problem Cauchy’ego miał rozwiązanie wysycone, jest to,
aby pole wektorowe zadające
( równanie różniczkowe z tego problemu było ciągłe na całej swojej dziedzinie,
y 0 = |x|
c) problem Cauchy’ego
ma rozwiązanie,
y(1) = 0
d) zbiór ω-graniczny orbity okresowej może być pusty.
1
2
10. Rozstrzygnąć, czy prawdą jest, że:
a) jeśli pole zadające równanie różniczkowe jest ciągłe, to w tym równaniu jest lokalna jednoznaczność rozwiązań,
b) jeśli w punkcie jest lokalna jednoznaczność rozwiązań, to na całej orbicie tego punktu również jest lokalna
jednoznaczność rozwiązań,
c) jeśli jedno rozwiązanie wysycone zawiera się w drugim (w sensie zawierania wykresów), to oba są sobie
równe,
d) dziedziną rozwiązania wysyconego może być każdy otwarty podzbiór R.
(
0 dla y ¬ x
0
11. Rozważmy równanie różniczkowe y =
. W tym równaniu:
1 dla y > x
a) w każdym punkcie przez który przechodzi jakieś rozwiązanie jest lokalna jednoznaczność rozwiązań,
b) dziedziną każdego rozwiązania wysyconego jest R,
c) dziedziną pewnego rozwiązania wysyconego jest [a, +∞) dla pewnego a ∈ R,
d) istnieje punkt na płaszczyźnie, przez który nie przechodzi żadne rozwiązanie.
12. Rozstrzygnąć, czy prawdziwe są następujące wzory na temat transformaty Laplace’a:
a) L(t4 )(s) = 4!/s4 ,
b) L(eat )(s) = 1/(s − a),
c) L(af ) = aL(f ),
d) L(sin t + cos t)(s) = s/(s2 + 1).
"
#
a 1
13. Znajdź wszystkie liczby a ∈ R dla których macierz
ma dwuwymiarową klatkę Jordana (umawiamy
−a 0
się, że jeśli występuje sprzężona para wartości własnych istotnie zespolonych, to jest to dwuwymiarowa klatka).
14. Niech A ∈ M (n, n). Wówczas w układzie generowanym przez równanie x0 = Ax:
a) mogą istnieć jednocześnie orbity okresowe oraz orbity nieograniczone,
b) jeśli istnieje niestała orbita okresowa, to każda orbita jest okresowa,
c) jeśli zero jest stabilne, to jest ono zlewem,
d) jeśli postać Jordana A ma tylko jedną klatkę, to zero jest stabilne.
15. Podaj zbiór rozwiązań równania y 00 + y = 4 sin x.
16. Niech A ∈ M (n, n) ma dodatni wyznacznik. Wówczas układ generowany przez równanie x0 = Ax:
a) musi być źródłem,
b) nie może mieć stabilnego punktu równowagi,
c) może mieć niestałe orbity okresowe,
d) może mieć wszystkie orbity stałe.
17. Rozważmy równanie y 0 = y 2 + a, gdzie a ∈ R. Wtedy można dobrać a tak, aby:
a) istniał punkt stały asymptotycznie stabilny,
b) istniał przynajmniej jeden punkt stały i każdy punkt stały był niestabilny,
c) w pewnym punkcie stałym nie były spełnione założenia twierdzenia Grobmana-Hartmana,
d) istniał punkt stały stabilny, ale nie asymptotycznie stabilny.
(
x0 = −x3 + y
18. Badając stabilność punktu (0, 0) w układzie
stwierdzamy, że:
y 0 = −x
a) spełnione są założenia twierdzenia Grobmana-Hartmana,
b) w pewnym otoczeniu punktu (0, 0) nie ma innych punktów stałych,
c) punkt (0, 0) jest niestabilny,
d) istnieje słaba funkcja Lapunowa dla punktu (0, 0).
19. Niech f ∈ C 1 (R, R). Wówczas w równaniu x0 = f (x3 ):
a) wszystkie rozwiązania mogą być silnie malejące,
b) każde rozwiązanie jest stałe lub silnie monotoniczne,
c) mogą istnieć punkty, w których nie ma lokalnej jednoznaczności rozwiązań,
d) portret fazowy jest zawsze symetryczny względem zera.
20. Rozważmy rodzinę układów dynamicznych generowanych przez równania y 0 = a, gdzie a ∈ R. W takiej
rodzinie:
a) z dokładnością do topologicznego sprzężenia są dokładnie trzy rodzaje portretów fazowych,
b) układy dane przez równania y 0 = a i y 0 = −a są zawsze topologicznie sprzężone,
c) układy dane przez równania y 0 = a i y 0 = 2a są zawsze topologicznie sprzężone,
d) układy dane przez równania y 0 = 1 i y 0 = y są topologicznie sprzężone.