rownania_rozniczkowe.. - Katedra Matematyki, Politechnika

Transkrypt

Równania różniczkowe zwyczajne
wykład z MATEMATYKI
Budownictwo
studia niestacjonarne
sem. II, rok ak. 2008/2009
Katedra Matematyki
Wydział Informatyki
Politechnika Białostocka
Równania różniczkowe
Równaniem różniczkowym nazywamy równanie, w którym występuje związek funkcji niewiadomej i
jej pochodnych.
Rząd równania różniczkowego jest równy największemu rzędowi występujących w nim pochodnych.
Równania różniczkowe
zwyczajne
cząstkowe
jeżeli niewiadoma funkcja zależy tylko od jednego
argumentu, np. y 0 + x · y = sin x.
1
jeżeli niewiadoma funkcja zależy od kilku argumentów.
Równania różniczkowe zwyczajne
Definicja 1.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie postaci
F x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) = 0,
(1)
w którym niewiadomą jest funkcja y = y(x) i w którym występuje pochodna rzędu n tej funkcji wraz z
n
dy 00
d2 y
(n) = d y .
pochodnymi niższych rzędów, tzn. y 0 =
,y =
,.
.
.
,
y
dx
dx2
dxn
Przykład 1.2.
y 0 + 3x · y 2 = 8 <– równanie różniczkowe rzędu pierwszego
y 00 + 3x · y 0 − x3 y 2 = 0
<– równanie różniczkowe rzędu drugiego
d3 s
ds
− t · s2 ·
= 5 <– równanie różniczkowe rzędu trzeciego
3
dt
dt
d5 y
− t · y 3 = sin t <– równanie różniczkowe rzędu piątego
dt5
y (4) − y 0 = 5xy
<– równanie różniczkowe rzędu czwartego
1
Budownictwo, sem. II
rok akademicki 2008/2009
2
MATEMATYKA - wykład
Rozwiązanie lub całka równania różniczkowego zwyczajnego
Definicja 2.1. Rozwiązaniem lub całką równania różniczkowego F x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) = 0 w przedziale
(a, b) nazywamy każdą funkcję zmiennej x wyrażoną w postaci jawnej
y = y(x)
lub w postaci uwikłanej
h(x, y) = 0,
która ma pochodne do rzędu n włącznie i spełnia równanie F x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) = 0 dla x ∈ (a, b).
Przykład 2.2. Funkcja y = 2x jest całką równania
x2 y 00 − 2xy 0 + 2y = 0,
gdyż y 0 = 2 i y 00 = 0 oraz x2 · 0 −2x· 2 +2· 2x = 0.
Przykład. Funkcja x2 + y 2 = 4 jest całką równania
x + yy 0 = 0,
gdyż 2xdx + 2ydy = 0 i po podzieleniu przez 2dx otrzymujemy równanie x + y
dy
=0.
dx
Definicja 2.3. Wykres całki y = y(x) równania różniczkowego F x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) = 0 nazywamy
krzywą całkową tego równania.
Przykład 2.4. Krzywe całkowe równania y 0 = −y:
y
x
Definicja 2.5. Rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną równania F x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) = 0 w
obszarze istnienia i jednoznaczności rozwiązań nazywamy rozwiązanie równania F x, y, y 0 , y 00 ,. . . ,y (n) = 0
zależne od n dowolnych stałych C1 , C2 , . . . Cn wyrażone w postaci jawnej
y = y(x, C1 , C2 , . . . , Cn )
h(x, y, C1 , C2 , . . . , Cn ) = 0,
i takie, że podstawiając dowolne wartości za C 1 , C2 , . . . Cn otrzymamy wszystkie znajdujące się w tym
obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe.
Definicja 2.6. Podstawiając za C1 , C2 , . . . Cn konkretne wartości otrzymamy tzw. całkę szczególną
lub
rozwiązanie szczególne
równania F x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) = 0.
2
Opracowała: Małgorzata Wyrwas
Przykład 2.7. Funkcja
y=
C1
+ C2
x
jest całką ogólną równania xy 00 + 2y 0 = 0, zaś funkcje
y=
1
3
, y = − + 5 , y = −1 ,
x
x
to całki szczególne równania xy 00 + 2y 0 = 0.
Geometrycznie każdej całce szczególnej odpowiada pewna linia płaska (wykres całki), a całce ogólnej odpowiada zbiór
(rodzina) wszystkich krzywych całkowych.
Definicja 2.8. Rozwiązanie osobliwe (lub całka osobliwa ) jest to rozwiązanie równania
F x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) = 0,
którego NIE można otrzymać z rozwiązania ogólnego przez podstawienie za C 1 , C2 , . . . Cn dowolnych
wartości.
√
Przykład 2.9. Funkcja y = 0 jest rozwiązaniem osobliwym równania y 0 = 2 y.
√
Całką ogólną tego równania jest y = t + C, gdzie t + C > 0.
2.1
Zagadnienie Cauchy’ego (zagadnienie początkowe)
Definicja 2.10. Zagadnieniem Cauchy’ego dla równania F x, y, y 0 , y 00 , . . . , y (n) = 0 nazywamy zagadnienie znalezienia całki szczególnej tego równania, spełniającej jednocześnie warunki początkowe:
y(x0 ) = y0 ,
, . . . y (n−1) (x0 ) = yn−1
y 0 (x0 ) = y1 ,
gdzie x0 , y0 , y1 , . . . yn−1 nazywamy wartościami początkowymi.
Przykład 2.11. Wyznaczmy rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego dla
Otrzymujemy

y(0) = 2
równania y 00 = 6x i warunków początkowych:
y 0 (0) = 3
y 00 = 6x
y(0) = 2
y 0 (0) = 3
3
⇒ C2 = 2
⇒ C1 = 3
)
⇒ y=
⇒
x3
y 0 = 3x2 + C1
+ 3x + 2 –
(
⇒
.
y = x 3 + C1 x + C 2
jest całką szczególną równania y 00 = 6x
będącą rozwiązaniem podanego zagadnienia Cauchy’ego.
Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego
Definicja 3.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci
F x, y, y 0 = 0,
gdzie y = y(x) jest funkcją niewiadomą zmiennej x.
3
(2)
Definicja 3.2. Rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną równania (2) w przedziale (a, b) nazywamy
każdą funkcję zależną od dowolnej stałej C i wyrażoną w postaci jawnej
y = y(x, C)
h(x, y, C) = 0,
która ma pochodną rzędu pierwszego i spełnia równanie (2) dla x ∈ (a, b). Wówczas podstawiając dowolne
wartości za C otrzymamy wszystkie znajdujące się w tym obszarze krzywe całkowe i tylko te krzywe.
Definicja 3.3. Całką szczególną lub rozwiązaniem szczególnym równania (2) nazywamy każdą
funkcję wyrażoną w postaci jawnej
y = y(x)
h(x, y) = 0,
która ma pochodną rzędu pierwszego i spełnia równanie F (x, y, y 0 ) = 0 dla x ∈ (a, b).
Uwaga 1. Jeżeli z równania (2), można wyznaczyć y 0 , to równanie to przyjmuje postać
y 0 = f (x, y) .
Będziemy posługiwali się również tzw. formą różniczkową równania różniczkowego, czyli równaniem postaci:
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 .
3.1
Zagadnienie Cauchy’ego (zagadnienie początkowe)
Mając daną całkę ogólną y = y(x, C) równania (2) można rozwiązać zagadnienie Cauchy’ego dla tego
równania, które polega na wyznaczeniu całki szczególnej równania (2) spełniającej warunek początkowy
y(x0 ) = y0 . Wówczas z równania
y0 = y(x0 , C)
wyznaczamy stałą C = C(x0 , y0 ). Następnie po podstawieniu otrzymanej stałej C do rozwiązania ogólnego
otrzymujemy szukaną całkę szczególną.
3.1.1
Interpretacja geometryczna zagadnienia Cauchy’ego
W interpretacji geometrycznej zagadnienie Cauchy’ego
polega na wybraniu z rodziny krzywych całkowych jednej
krzywej, która przechodzi przez z góry zadany punkt (x0 , y0 ).
Na przykład całką ogólną równania
y
y 0 = −2xy
jest
y0
2
y = Ce−x ,
x0
x
a funkcja
y = y0 · e−x
2
+x20
jest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy’ego odpowiadającego warunkowi początkowemu y(x0 ) = y0 .
4
3.2
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Niech f : (a, b) → R, h : (c, d) → R będą funkcjami ciągłymi, gdzie (a, b), (c, d) - są to skończone lub
nieskończone przedziały oraz h(y) 6= 0 dla wszystkich y ∈ (c, d).
Definicja 3.4. Równanie różniczkowe
dy
f (x)
=
,
dx
h(y)
(3)
o funkcji niewiadomej y(x) nazywamy równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych.
Równanie (3) można zapisać równoważnie w formie różniczkowej następująco:
h(y)dy = f (x)dx .
Stwierdzenie 3.5. Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f w (a, b), zaś H funkcją pierwotna funkcji h
w (c, d). Wtedy zbiór rozwiązań równania (3) jest taki sam jak zbiór rozwiązań równania
H(y(x)) = F (x) + C,
gdzie C ∈ R; C jest dowolną stałą dobraną do funkcji F , H, y.
Uwaga 2. Równanie H(y(x)) = F (x) + C, zapisujemy w następujący sposób:
Z
h(y)dy =
Z
f (x)dx + C.
Twierdzenie 3.6. Jeżeli f : (a, b) → R i h : (c, d) → R są funkcjami ciągłymi i h(y) 6= 0 dla wszystkich
y ∈ (c, d), to
• wzór
Z
h(y)dy =
Z
f (x)dx + C przedstawia całkę ogólną równania (3),
• przez każdy punkt (x0 , y0 ), gdzie x0 ∈ (a, b) i y0 ∈ (c, d), przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa
f (x)
, y(x0 ) = y0 .
równania (3). Krzywa ta jest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy’ego y 0 =
h(y)
Przykład 3.7. Rozpatrzmy następujące równanie
y 0 = −2xy .
Rozdzielamy zmienne
nanie):
(4)
dy
= −2xdx i wyznaczamy całkę ogólną równania (mówimy, że całkujemy rówy
Z
dy
= −2
y
Stąd dla C 6= 0 funkcja y = Ce−x
2
Z
xdx ⇒ ln |y| = −x2 + ln |C|,
gdzie C 6= 0
jest rozwiązaniem równania.
y0
Gdy C = 0, to y = 0 ∧
= 0. Zatem równanie (4) jest spełnione dla y = 0, czyli y = 0 jest krzywą
całkową równania (4). Stąd rodzina
2
y = Ce−x ,
dla C ∈ R
jest całką ogólną (rozwiązaniem ogólnym) równania (4).
5
3.3
Szczególne przypadki równań różniczkowych o zmiennych rozdzielonych
Rozpatrzmy równanie
y 0 = f (x) ,
gdzie f jest ciągła na przedziale (a, b) ⊆ R.
Wówczas całkując obie strony względem zmiennej x otrzymujemy:
y=
Z
f (x)dx ⇒ y = F (x) + C,
gdzie F 0 (x) = f (x), dla x ∈ (a, b).
Rozpatrzmy równanie
y 0 = g(y) ,
gdzie g ma ciągłą pochodną na przedziale (c, d) ⊆ R.
Wówczas
Z
Z
dy
= dx ⇒ G̃(y) = x + C,
g(y)
gdzie G̃0 (y) =
3.4
1
, dla y ∈ (c, g).
g(y)
Równania różniczkowe rzędu pierwszego sprowadzalne do równań różniczkowych
o zmiennych rozdzielonych
3.4.1
Równanie jednorodne
Niech f będzie funkcją ciągła na przedziale (a, b) oraz f (u) 6= u. Równanie różniczkowe
dy
=f
dx
y
x
(5)
,
o funkcji niewiadomej y(x) nazywamy równaniem różniczkowym jednorodnym.
Aby rozwiązać równanie jednorodne stosujemy podstawienie
u(x) =
Wtedy
y = ux ⇒
dy
du
=
·x+u
dx
dx
y
,
x
i otrzymujemy następujące równanie różniczkowe o zmi-
ennych rozdzielonych
du
du
dx
x + u = f (u) ⇒
=
dx
f (u) − u
x
Rozwiązanie równania
du
dx
=
wiąże ze sobą zmienne u i x.
f (u) − u
x
Aby uzyskać końcowe rozwiązanie należy podstawić u =
y
x
.
Przykład 3.8. Rozważmy równanie
y0 =
Wówczas y 0 = 1 +
x · u0 = 1
x+y
.
x
(6)
y
y
. Stosując podstawienie u(x) = , otrzymujemy
x
x
⇒
du =
dx
x
⇒
Z
du =
Z
dx
x
⇒
6
u = ln |x| + C
⇒
y = x · ln |x| + Cx .
3.4.2
Równanie różniczkowe postaci y 0 = f (ax + by + c)
Niech a, b, c ∈ R i b 6= 0 oraz f będzie funkcją ciągłą.
Równanie
dy
= f (ax + by + c)
dx
rozwiązujemy przez podst.:
u = ax + by + c ,
gdzie u = u(x) jest nową funkcją niewiadomą zmiennej x. Wtedy
du
dy
=a+b
dx
dx
dy
1
=
dx
b
⇒
du
−a
dx
i otrzymujemy następujące równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych:
du
du
= b · f (u) + a ⇒
= dx ⇒
dx
a + bf (u)
z
}|
Z
du
=
a + bf (u)
Z
dx
{
Rozwiązanie równania wiąże ze sobą zmienne u i x.
Aby uzyskać końcowe rozwiązanie należy podstawić u = ax + by + c .
y 0 = cos (x − y) .
(7)
Stosując podstawienie u(x) = x − y , otrzymujemy
u0 = 1 − cos u
Ponieważ 1 − cos u = 2 · sin2
du
= dx .
1 − cos u
u
, więc
2
Z
Zatem − ctg
⇒
du
2 · sin2
u
2
=
Z
dx
⇒
− ctg
u
=x+C .
2
x−y
= x + C, dla C ∈ R i y 6= x − 2kπ .
2
Ponadto, jeśli y = x − 2kπ, to y 0 = 1 i cos(x − y) = cos 2kπ = 1.
Zatem y = x − 2kπ jest również całką równania (7).
Otrzymaliśmy
y = x − 2kπ
∨
− ctg
x−y
= x + C,
2
7
dla C ∈ R ∧ k ∈ Z.
4
Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego
Definicja 4.1. Równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci:
dy
+ p(x)y = q(x) ,
dx
(8)
gdzie p, q są danymi funkcjami ciągłymi w pewnym przedziale (a, b).
Jeśli q ≡ 0, to równanie (8) nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ.
Jeśli q 6≡ 0, to to równanie (8) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN
4.1
Rozwiązanie równania różniczkowego liniowego I-szego rzędu
Aby wyznaczyć rozwiązanie RN postaci (8) szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu RJ:
dy
+ p(x)y = 0
dx
(9)
funkcja y ≡ 0 jest rozwiązaniem RJ (równania (9))
jeśli y 6= 0, to otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych
dy
= −p(x)y
dx
dy
= −p(x)dx ,
y
Rozdzielając zmienne
Z
dy
=−
y
Z
całkując
⇒
p(x)dx
ln |y| = −
Z
p(x)dx + ln |C| ,
gdzie C 6= 0, i przekształcając otrzymujemy kolejno
−
y
=e
C Z
p(x)dx
|y| = |C| · e−
⇒
y = C · e−
R
⇓
p(x)dx
R
p(x)dx
,
C 6= 0
Jednakże, jeśli C = 0, to otrzymujemy wcześniej wyznaczone rozwiązanie y = 0.
Zatem Całką Ogólną Równania Jednorodnego (ozn. CORJ) jest rodzina krzywych
y = C · e−
R
p(x)dx
,
dla C ∈ R.
Twierdzenie 4.2. Jeśli p jest funkcją ciągła na przedziale (a, b) ⊆ R, to
y = C · e−
R
p(x)dx
,
dla C ∈ R.
jest całką ogólną RJ (9), ponadto przez każdy punkt obszaru D = {(x, y) : x ∈ (a, b) ∧ y ∈ R} przechodzi
dokładnie jedna krzywa całkowa równania (9).
Uwaga 3. Całka ogólna RJ zawiera wszystkie krzywe całkowe RJ.
8
Aby wyznaczyć
CORN (Całkę Ogólną Równania Niejednorodnego) postaci (8)
stosujemy jedną z dwóch metod.
Metoda I ∨ Metoda II
1◦ CORJ
2◦ CORN
Metoda I: Metoda uzmienniania stałej
Stałą C zastępujemy taką funkcją C(x), aby funkcja
y = C(x) · e−
była CORN. Wtedy
R
dy
= C 0 (x) · e−
dx
p(x)dx
R
p(x)dx
+ C(x) · e−
R
(10)
p(x)dx
· (−p(x))
stąd
y0
z
C 0 (x) · e−
Zatem
R
y {
z
}|
{
R (((
R
(
(
(
p(x)dx
− p(x)dx
− p(x)dx
(
(
−C(x)
+p(x)
= q(x)
· C(x) · e
(((· p(x) · e
(
}|
C 0 (x) = q(x) · e
i
C(x) =
Z
q(x) · e
R
p(x)dx
R
p(x)dx
dx + C1 , gdzie C1 ∈ R.
Po podstawieniu C(x) do (10) otrzymujemy:
CORN
CORN
y(x) =
y(x) = C1 · e
Z
−
R
q(x) · e
p(x)dx
R
+e
p(x)dx
−
R
dx + C1 · e−
⇓
p(x)dx
·
Z
R
p(x)dx
q(x) · e
R
p(x)dx
dx
.
Twierdzenie 4.3. Jeśli p, q są funkcjami ciągłymi na przedziale (a, b) ⊆ R, to
y(x) = C1 · e
−
R
p(x)dx
+e
−
R
p(x)dx
·
Z
q(x) · e
R
p(x)dx
dx
,
dla C1 ∈ R, jest CORN, ponadto przez każdy punkt obszaru D = {(x, y) : x ∈ (a, b) ∧ y ∈ R} przechodzi
dokładnie jedna krzywa całkowa równania (8).
Twierdzenie 4.4. Niech
y(x) – CORJ ,
ys (x) – CSRN = Całka Szczególna RN .
Wtedy
CORN = CORJ + CSRN ,
tzn.
CORN = y(x) + ys (x) .
9
2
y 0 + 2xy = x · e−x .
(11)
Szukamy rozwiązań RJ:
dy
= −2xy
dx
y 0 + 2xy = 0 ⇒
Z
dy
= −2xdx , całkujemy
rozdzielamy zmienne
y
0, i otrzymujemy kolejno
2
ln |y| = ln e−x + ln |C|
dy
=−
y
Z
2xdx ⇒ ln |y| = −x2 + ln |C| , gdzie C 6=
|y| = |C| · e−x
⇒
⇓
2
2
y = C · e−x ,
dla C 6= 0
Ponieważ y = 0 jest całką szczególną równania y 0 + 2xy = 0 i jeżeli C = 0, to otrzymujemy y = 0, więc
CORJ ma postać:
2
y = C · e−x ,
dla C ∈ R
Stałą C zastępujemy taką funkcją C(x), aby
y = C(x) · e−x
2
(∗)
było CORN. Wtedy
2
2
y 0 = C 0 (x) · e−x + C(x) · e−x · (−2x)
Ponieważ
2
2
y 0 = C 0 (x) · e−x − 2xC(x) · e−x ,
więc
y0
y
z {
}|{
(
(
(
2
2
2
(
0
−x2
−x
−x
(
( ·e
C (x) · e (
−2x
· C(x)
+2x · C(x) · e
= x · e−x
((
z
Zatem
}|
2
C 0 (x) · e−x = x · e−x
i
C(x) =
Podstawiając C(x) =
CORN















1 2
x + C1 do
2
Z
2
⇒ C 0 (x) = x
1
xdx + C1 = x2 + C1 , gdzie C1 ∈ R.
2
y = C(x) · e−x
2
otrzymujemy:
1 2
2
y(x) =
x + C1 · e−x
2
=⇒
⇓
1
2
2
y(x) = C1 · e−x + x2 · e−x .
2
10
2
1
2
y(x) = C1 · e−x + x2 · e−x .
| {z } 2
| {z }
CORJ
CSRN
Metoda II: Metoda przewidywania
Metoda przewidywania polega na odgadnięciu CSRN, gdy dana jest CORJ, i wtedy na podstawie twierdzenia
otrzymujemy
CORN
=
CORJ
+
CSRN .
Metodę stosujemy, gdy
p(x) = const
q(x) =



wielomian stopnia n


a sin ωx + b cos ωx
lub q(x) jest sumą lub iloczynem funkcji obok.



aeλx ,
Przewidywanie postaci całki szczególnej y s (x) równania RN postaci
Postać q(x)
= an
xn
Pn (x) =
+ . . . + a 1 x + a0
a · eλx
Pn (x) · eλx
a cos ωx + b sin ωx
Pn (x) cos ωx + Qm (x) sin ωx, n>m
Pn (x)eλx cos ωx + Qm (x)eλx sin ωx,n>m
y 0 + py = q(x) ,
p∈R
Postać przewidywana ys (x)
p 6= 0
p=0
λ 6= −p
λ = −p
λ 6= −p
λ = −p
—
—
—
A n xn + . . . + A 1 x + A 0
x(An xn + . . . + A1 x + A0 )
Aeλx
Axeλx
(An xn + . . . + A0 )eλx
x(An xn + . . . + A0 )eλx
A cos ωx + B sin ωx
Wn (x) cos ωx + Mn (x) sin ωx
Wn (x)eλx cos ωx + Mn (x)eλx sin ωx
gdzie Wn (x) = An xn + . . . + A0 i Mn (x) = Bn xn + . . . + B0
Przykład 4.6.
y 0 + 3y = x2 + 8
y 0 + 3y = x · ex
3
y 0 − y = sin x
5
ys (x) = (Ax + B) · ex
=⇒
y 0 + 3y = x · e−3x
ys (x) = Ax2 + Bx + C
=⇒
=⇒
=⇒
ys (x) = x · (Ax + B) · e−3x
ys (x) = A sin x + B cos x
3
3
3
3
y 0 − y = e− 5 x sin x ⇒ ys (x) = Ae− 5 x sin x+Be− 5 x cos x
5
y 0 − 2y = e2x
=⇒
ys (x) = Axe2x
11

rownania_rozniczkowe.. - Katedra Matematyki, Politechnika

Transkrypt

Podobne dokumenty

Praca domowa 1 - Marek Pietrow

Zadanie Naszkicuj wykres funkcji 3 dla 0 2 5 dla 0 . Na podstawie

Liczby zespolone 1. Algebra liniowa 2. Przestrzenie wektorowe 3

Algebra liniowa z geometrią II Zestaw 4 1. Dane są równania dwóch

Test kompetencji dla uczestników warsztatu ”Matematyka w fizyce

Wybrane zagadnienia matematyki

1. Modelowanie matematyczne w fizyce i chemii

EGZAMIN ZE WSTĘPU DO TEORII RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH

Równanie kwadratowe