1. Uruchom program Maxima (wersja 5.28.0), wybierz Start

Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2013/14 – Maxima, część I
1. Uruchom program Maxima (wersja 5.28.0), wybierz Start/Wszystkie programy/Maxima-5.28.0-2/wxMaxima
2. Zmień preferencje programu (Edycja/Preferencje lub
), zaznacz (jeśli nie są zaznaczone):
— Zapisz układ paneli
— Paruj nawiasy w okienkach tekstowych (Match parenthesis in text controls) - każdy otwarty nawias zostanie
automatycznie zamknięty
— Keep percent sign with special symbols: %e, %i, etc. - stałe, takie jak π, e będą wyświetlane jako %pi, %e.
— Klawisz Enter wykonuje komórki
3. Włącz panel podstawowy (Maxima/Panele/Podstawowa Matem.).
4. a. Wszędzie tam, gdzie jest znak mnożenia należy go zawsze napisać, na przykład wyrażenie (2x + 1)(3y − 2)
wpiszemy następująco (2*x+1)*(3*y-2)
b. Shift+Enter daje przejście do nowej linii przy wprowadzaniu formuły.
c. Ctrl+R przelicza wszystkie formuły na nowo.
d. Bieżące obliczenia programu przerywamy naciskając ikonę
. Jeżeli w ten sposób nie można przerwać
obliczeń, to możemy wybrać Maxima/Restart Maxima.
e. Komentarz do polecenia wstawiamy między znacznikami /* ... */
f. Maxima w wielu przypadkach wykonuje obliczenia w sposób dokładny, stąd wszędzie tam, gdzie jest to
możliwe podajemy zawsze rozwiązania dokładne.
5. Obliczenia arytmetyczne i numeryczne (zob. 1–3).
a. Oblicz ( 27 + 13 )2 ( 34 − 16 )3 . (odp.
1183
15552
)
b. Znajdź przybliżenie dziesiętne liczby
c. Oblicz
7
3
8
7
+ +
43
42
9
2 ).
(odp.
√
3+√ 3
.
(1+ 5)2
(odp. 0.451870642999981)
Włącz tryb numeryczny i ponownie oblicz
7
3
+ 87 + 43
42 . Czy dostrzegasz różnice?
Wyłącz tryb numeryczny.
d. Podaj przybliżenie dziesiętne liczby π e . (odp. 22.45915771836104)
6. Wyrażenia arytmetyczne i algebraiczne (zob. 5).
a. Oblicz wartość wyrażenia (1 −
b. Sprowadź wyrażenie
√ −2
√
a ) − (1 + a )−2 dla a = 94 . (odp.
x −y
x +y
x−y + x+y
2
−2
−1
2
2
3
c. Wykonaj działania a b(a
+ 2b
3
96
25 )
− (x − y)2 do najprostszej postaci. (odp. (x + 1)y + x)
)(a2 + 3b). (odp. 3b2 + 7a2 b + 2a4 )
d. Rozłóż wyrażenie a2 b + 3ab + 2b + a2 + 3a + 2 na czynniki. (odp. (a + 1)(a + 2)(b + 1))
7. Funkcje matematyczne (zob. 6).
√
3
◦
2 , log3 2, sin(17 ), arc ctg(−2).
0.90096886790242, π6 , 0.63092975357146, 0.29237170472274,
a. Oblicz: sin( 34 π), cos
(odp. −
√
3
2 ,
π
7,
arc cos
8. Definiowanie funkcji (zob. 9).
{
a. Zdefiniuj funkcje f (x) = |x + 7x − 1|, g(x) =
2
Następnie oblicz f ( 13 ) + g(−2) + g( 54 ). (odp.
x2 +x
x−1
x−1
x2 +x
2.677945044588987)
dla x < 1,
dla x > 1.
13
15 )
9. Wielomiany, funkcje wymierne (zob. 10).
a. Podaj resztę z dzielenia wielomianów (x5 + 3x3 + 2x) : (x4 + x2 + 1) . (odp. 2x3 + x)
b. Znajdź rozwiązania równania x5 + 3x4 + 4x3 + 8x2 − 16 = 0 w R i podaj ich krotności. (odp. x = −2
(krotność 2) lub x = 1 (krotność 1))
c. Znajdź rozwiązania równania x3 − 2x2 + 4x − 8 = 0 w C. (odp. x ∈ {2, 2i, −2i})
d. Rozłóż funkcję wymierną f (x) =
2
(odp. f (x) = x + x +
2
x−1
x3 −x+2
x−1
na sumę wielomianu i ułamków prostych.
)
1
c KZM 2013/2014
⃝
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2013/14 – Maxima, część I
10. Rozwiązywanie równań (zob. 11).
a. Rozwiąż równanie ln3 x + 3 ln2 x − ln x = 3. (odp. x ∈ {e−3 , e−1 , e})
b. Rozwiąż równanie sin2 x =
1
2
(odp. x = ± π4 ). Czy Maxima podaje wszystkie rozwiązania tego równania?
c. Korzystając z funkcji solve oraz allroots znajdź wszystkie rozwiązania równania x4 − x2 − 2 = 0. Jaka
jest różnica pomiędzy tymi funkcjami?
d. Znajdź pierwiastki równania x5 + x3 + 1 = 0 w C.
11. Rozwiązywanie układów równań algebraicznych
oraz liniowych (zob. 12).
{
x2 − 4x + 3 = 3y
x2 + y 2 − 4x − 2y + 1 = 0.
Wpisz realonly:true i ponownie rozwiąż ten sam układ równań. Czy dostrzegasz różnice? (odp. x = 4,
a. Rozwiąż układ równań algebraicznych
y = 1 lub x = 0, y = 1)

x1 +x2 −x3 = 1



2x1 +x2 +x3 = 0 Ile rozwiązań ma ten układ równań?
b. Rozwiąż układ równań liniowych



−x1 −x2 +x3 = −1.
(odp. x1 = −2%r1 − 1, x2 = 3%r1 + 2, x3 = %r1)
12. Ciągi, szeregi, granice funkcji (zob. 13).
√
3
a. Oblicz granicę lim ( n3 + 2n2 − n). (odp.
n→∞(
b. Oblicz granicę lim
x→0
−
1
sin2 x
2
3)
. (odp. − 13 )
ln(x2 +3)
2 +1) . (odp. 1)
ln(2x
x→+∞
10
∑
1
k! . Wynik przedstaw w
k=0
c. Oblicz granicę
d. Oblicz sumę
1
x2
)
lim
postaci dziesiętnej. (odp. 2.718281801146385)
13. Różniczkowanie i całkowanie (zob. 14).
a. Niech f (x) =
√
1 + x2 arc tg x. Oblicz f ′ , f ′′ . (odp. f ′ (x) =
b. Niech g(x) =
arc sin(2x)
x2 +3x+1 .
x arc
√ tg x+1 ,
x2 +1
f ′′ (x) =
arc
√ tg x
x2 +1
−
x2 arc tg x
3
(x2 +1) 2
′
)
Zdefiniuj funkcję g ′ (x) (użyj polecenia define) a następnie oblicz g (0). (odp. 2)
c. Znajdź pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji f (x, y) = (x + y 2 )e2x+y .
2
∂2f
∂x2
2
∂ f
= 4(y 2 + x + 1)ey+2x , ∂∂yf2 = (y 2 + 4y + x + 2)ey+2x , ∂x∂y
=
∫ 4x−1
d. Oblicz całkę nieoznaczoną x2 +x−2 dx. (odp. 3 ln(x + 2) + ln(x − 1))
∫1
π
dx
e. Oblicz całkę niewłaściwą x(1+ln
2 x) . (odp. 2 )
(odp.
0
f. Oblicz numerycznie metodą Romberga całkę oznaczoną
∫π
∂2f
∂y∂x
= (2y 2 + 4y + 2x + 1)ey+2x )
esin x dx. (odp. 6.2087580796135)
0
Zadania do samodzielnego rozwiązania
(
√ )4 (√
)5
5 + 1 . Podać wynik dokładny w najprostszej postaci.
14. Obliczyć 1 − 2 5
√
π+√3 2
2.
(4+
√ √
√ e)
b− √a
1
2 ab
√
b ) a+ b + ab do najprostszej postaci.
[
√
√
√ ab a−1 + b−1 + 2( a
postaci wyrażenie ab−a
a+ ab
4
3
15. Znaleźć przybliżenie dziesiętne liczby
16. Sprowadzić wyrażenie ( a1 −
17. Sprowadzić do najprostszej
+
)]
√ −1 ( − 1
1
a 2 + b− 2 .
b)
18. Podać wartość współczynnika wielomianu W (x) = (x + 1)(x + 2)(x − 2)(x + 1)( x2 + 2) przy x4 .
19. Niech f (x) =
x5 +2x4 +x3 +6x2 −7x+2
2x4 −x3 +5x2 −3x+4 .
Obliczyć f ( 23 ) − f ( 13 ).
20. Znaleźć wszystkie pierwiastki rzeczywiste równania x5 − 2x3 + 2x2 − 3x + 2 = 0 oraz określić ich krotności.
21. Niech f (x) =
sin(2x)
cos x
+ tg3 x cos(x + π2 ). Obliczyć f ( π6 ).
x4 +3x3 +6x2 +4x+2
x3 +x2 +x+1
5
x2 −6x+3 = 2.
8
7
6
22. Rozłożyć funkcję wymierną f (x) =
23. Rozwiązać równanie
x2 −6x+3
4
−
na sumę wielomianu i ułamków prostych.
24. Znaleźć pierwiastki wielomianu W (x) = x + 2x + x − 3x4 − 6x3 − 5x2 − 4x − 2 w C oraz podać ich krotności.
2
c KZM 2013/2014
⃝
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2013/14 – Maxima, część I
25. Niech f (x, y) =
arc sin x cos(y 2 +1)
.
x4 +y 2 +1
◦
◦
Obliczyć f ( 13 , 27 ), wynik przedstawić w postaci dziesiętnej.
26. Obliczyć sin(77 ) + cos(19 ) − sin
π
7.
27. Obliczyć tg(43◦ ) + ctg(85◦ ).
28. Znaleźć resztę z dzielenia wielomianów (x7 + x5 − 2x3 + 1) : (x3 − x2 + x + 4).
29. Znaleźć miejsca zerowe funkcji f (x) = x2 +
1
5
x
2 + x − 2.
4
3
30. Znaleźć pierwiastki rzeczywiste równania 8x − 6x + 5x2 − 3x +
1
2
= 0.
31. Znaleźć rozkład wielomianu W (x) = 2x4 + 3x3 + 2x2 + 6x − 4 na czynniki.
32. Zdefiniować funkcje f (x) = xe
sin x



, g(x) =


x2 +2x−3
x−1
2
dla x ∈ (−∞, 1),
x − 4x − 1
dla x ∈ [1, 3],
ln(x − 2)
dla x ∈ (3, +∞].
Następnie obliczyć f (π) + g(−3) + g(1).
arc tg(1−x2 )
,
x−1
x→1
33. Obliczyć: a) lim
34. Obliczyć granicę ciągu an =
√
x2 +25−5
,
x
x→0
√
2
√n +5−n .
n2 +2−n
b) lim
35. Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f (x) =
36. Obliczyć
10
∑
k=0
2k
k2 +1 .
c) lim (1 − e3x ) ctg x.
x→0−
4
1−x
+ 2 − 3x arc ctg x.
Wynik przedstawić w postaci dziesiętnej.
37. Rozwiązać układ równań:
a)

3x + y +2z+4t = 7






 −x −2y + z+ t = −5

2x1 + x2 − x3 +x4 = 0



x1 − x2 +2x3 +x4 = 1
b)



x1 +2x2 − x3 −x4 = 0.


−2x +4y +2z− t = 3





x + y + z−2t = 0,
38. Niech f (x) =
arc tg x
2
√
.
1+2x2
Obliczyć f ′′ (2).
39. Znaleźć pochodne cząstkowe do rzędu drugiego funkcji f (x, y) = x sin(xy).
40. Obliczyć całki oznaczone: a)
+∞
∫
0
2
dx
x2 +2x+5
, b)
∫1
sin(ex )dx.
0
41. Niech f (x, y, z) = x3 + y 2 + 2z + xy − 2zx + 3y − 1. Znaleźć rozwiązanie układu równań





∂f
∂x (x, y, z)
∂f
∂y (x, y, z)
∂f
∂z (x, y, z)
=0
=0
= 0.
42. Niech f (x) = e−x + x3 − 9x2 + 29x − 35. Znaleźć rozwiązania równania f (x) + f ′ (x) = 0.
3
c KZM 2013/2014
⃝
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2013/14 – Maxima, część I
Odpowiedzi do zadań
√
14. 12112 5 + 24496.
30. x =
15. 0.13794366714408.
(
)
(
)
31. W (x) = 2 x − 21 (x + 2) x2 + 2 .
1
4
∨ x = 12 .
16.
a+b
ab .
32. f (π) + g(−3) + g(1) = π − 4.
17.
b−a
√
ab
33. a) −2, b) 0, c) −3.
.
18. −11.
19.
67
861
34.
.
5
2.
35. x = 1 asymptota pionowa, y = −1 asymptota po-
20. x = 1 (krotność 2) lub x = −2 (krotność 1).
zioma w +∞, y = −3πx − 1 asymptota ukośna w −∞.
21. 1 −
36. 30.38265326995926.
1
√
6 3
22. f (x) =
.
2x−1
x2 +1
+
1
x+1
+ x + 2.
37. a) x = 1, y = 2, z = −1, t = 1,
b) x1 = − 5%r1−1
, x2 =
6
23. x ∈ {−1, 1, 5, 7}.
√
√
24. x = − 2 (krotność 1) lub x = 2 (krotność 1) lub
38. f ′′ (2) =
x = −1 (krotność 2) lub x = −i (krotność 2) lub x = i
39.
(krotność 2).
%r1+1
,
2
x4 = %r1.
25
216 .
= sin (xy) + xy cos (xy),
∂f
2
∂y = x cos (xy),
∂2f
3
∂y 2 = −x sin(xy),
40. a) arc2tg 2 , b) 0.87495719638484.


1


 x=1
 x = −2
5
y = −2 ∨
y = −4
41.




1
z = 2,
z = − 14 .
26. 1.486004901266994.
27. 1.020003749663586.
28. −11x2 + 27x + 45.
1
2
−
x3 =
∂2f
2
∂x2 = 2y cos (xy) − xy sin (xy),
∂2f
∂2f
2
∂x∂y = ∂y∂x = 2x cos (xy) − x y sin (x y).
25. 0.14596744280744.
29. x = −2 ∨ x =
∂f
∂x
5π
162
7%r1+1
,
6
∨ x = 1.
42. x = 1 ∨ x = 2 ∨ x = 3.
4
c KZM 2013/2014
⃝
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2013/14 – Maxima, część II
43. Rysowanie wykresów w dwu i trzech wymiarach (zob. 15).
a. Otwórz panel okna Wykres 2D i zapoznaj się z nim.
◦ Wyrażenie(a) - tutaj wpisujemy funkcję (bądź kilka funkcji), które chcemy narysować.
◦ Zmienna:x - podajemy przedział, w którym chcemy narysować wykres funkcji.
◦ Zmienna:y - podajemy zakres osi OY , która ma być widoczna na wykresie. Jeżeli zostawimy wartości
domyślne (tzn. od 0 do 0), wtedy zakres osi zostanie automatycznie dobrany do wartości funkcji.
Uwaga! Gdy funkcja ma asymptoty pionowe podanie tego zakresu jest konieczne.
◦ Znaczniki - określa liczbę punktów, z których tworzony jest wykres (im więcej, tym wykres będzie
dokładniejszy).
◦ Format: domyślny - wykres pojawia się w nowym oknie, wbudowany - wykres pojawia się w oknie
Maximy.
◦ Opcje: set size ratio 1; set zeroaxis - jednostki na obu osiach będą zgodne.
b. Zdefiniuj funkcję f (x) = cos x. Narysuj w oknie Maximy wykres funkcji f w przedziale [−2π, 2π]:
— bez określania zmiennej y,
— z określeniem zmiennej y (podaj przedział [−2, 2]),
— z określeniem zmiennej y (podaj przedział [−2π, 2π]) i opcją set size ratio 1; set zeroaxis.
Czy widzisz wpływ poszczególnych poleceń na kształt wykresu?
c. Narysuj w oknie Maximy wykres funkcji f (x) = tg x w przedziale [−π, π].
d. Narysuj w oknie Maximy wykres funkcji f (x) = arc ctg x w przedziale [−5, 5].
e. Narysuj w oknie Maximy na jednym rysunku wykresy funkcji: f (x) = sin x, g(x) = sin x2 , h(x) = sin(2x)
w przedziale [−2π, 2π].
f. Narysuj w oknie Maximy wykres rozety siedmiolistnej danej równaniami:
x(t) = sin(7t) cos t, y(t) = sin(7t) sin t, t ∈ [0, π].
g. Narysuj w oknie Maximy wykres krzywej danej równaniem uwikłanym y 3 + 8xy − 8x2 − 4y 2 − 8y = 0.
h. Narysuj wykres funkcji f (x, y) = cos(x2 + y 2 ) dla (x, y) ∈ [−3, 3] × [−3, 3].
44. Narysuj w oknie Maximy na jednym rysunku wykres funkcji f (x) =
1
x−1
w przedziale [−3, 4] oraz jej asymptoty
pionowej x = 1 (by narysować wykres prostej pionowej x = a należy ją przedstawić w postaci parametrycznej,
czyli x(t) = a, y(t) = t).
45. Znajdowanie miejsc zerowych funkcji poprzez aproksymację (zob. 17).
a. Znajdź miejsca zerowe funkcji f (x) = e sin x − x2 .
W tym celu:
— narysuj wykres funkcji f ,
— określ liczbę miejsc zerowych, a także przedziały w których się one znajdują,
— skorzystaj dwukrotnie z funkcji find root. (odp. −0.719326970337148, 1.646369953612774)
Uwaga! Jeżeli funkcja solve nie zwraca rozwiązania dokładnego równania, wtedy znajdujemy rozwiązanie
przybliżone korzystając z funkcji find root.
46. Macierze (zob. 18).
[
−1
· B − 3A, gdzie


−1 1
0
−1 2 , B =  1
2 0
2
a. Znajdź macierz A

0
b. Niech A =  1
1
T
]
[
−2
0
,B=
1
−1
]
[
2
1
. (odp.
1
2
]
7
A=
)
−2



−1 3
8 −3
3
3 0 . Znajdź macierz B T · A−1 . (odp.  13 −6
5 )
1 1
−9
5 −2
1
0
47. Listy (zob. 20).
a. Zdefiniuj dowolną listę, a następnie znajdź jej najmniejszy oraz największy element.
b. Na przykład, by wygenerować listę [2,4,6,8,10,12,14,16,18,20] możemy użyć makelist przyjmując
5
c KZM 2013/2014
⃝
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2013/14 – Maxima, część II
ak = 2k, wtedy wpiszemy makelist(2*k,k,1,10).
Wygeneruj za pomocą makelist listę [2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024].
c. Znajdź pierwszych 10 wyrazów ciągu an =
2n−1
n2 +2 .
5
7 1 11 13 5 17 19
(odp. 13 , 12 , 11
, 18
, 3 , 38 , 51 , 22 , 83 , 102 )
48. Wykresy punktowe oraz liniowe (zob. 21).
a. Narysuj wykres punktowy złożony z punktów postaci (k, k2 ), gdzie k = 1, 2, . . . , 15. Listę z punktami
wygeneruj za pomocą makelist przyjmując ak = [k, k2 ]. W miejsce l, m, n wpisz dowolne liczby naturalne.
b. Narysuj wykres liniowy łączący punkty (k, (−1)k ), gdzie k = 0, 1, . . . , 10.
49. Pakiet draw.
Rozszerzeniem funkcji podstawowych plot2d, plot3d związanych z tworzeniem wykresów w Maximie jest
pakiet draw. By funkcje tego pakietu działały musimy go załadować wpisując load(draw). Na przykład
polecenie
wxdraw2d(explicit(sin(x),x,-2*%pi,2*%pi))
narysuje w oknie Maximy wykres funkcji f (x) = sin x dla x ∈ [−2π, 2π] z formatowaniem domyślnym.
W ramach formatowania możemy zmieniać m.in. zakres, wygląd oraz opis osi, kolor, grubość oraz rodzaj linii,
itp. Wszystkie opcje formatowania, jak i opis funkcji w ramach pakietu draw wraz z przykładami znajdziemy
w pomocy programu. Na stronie przedmiotu znajduje się przykład powyższego wykresu z różnymi opcjami
formatowania.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
50. Niech f (x) = sin x − 2 sin2 x. Narysować wykres funkcji f w przedziale [−6, 6], a następnie obliczyć pole
między wykresem tej funkcji, a osią OX od x = 0 do x = x0 , gdzie x0 jest pierwszym dodatnim miejscem
zerowym.
51. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi: y = x2 − 9, y = x − 7.
52. Niech f (x) = (2x3 − x2 − 2x + 1)e−x . Narysować na jednym rysunku wykresy funkcji f , f ′ , f ′′ w przedziale
2
[−3, 3].
53. Narysować na jednym obrazku wykres funkcji f (x) =
x2 +1
x2 −1
w przedziale [−6, 6] oraz wykresy prostych: y = 1,
x = −1, x = 1.
54. Narysować wykres krzywej danej równaniami: x(t) = 7 cos t −
55. Rozwiązać układ równań
{
2
7 sin
√ t,
2
y(t) = 7 sin t cos t, t ∈ [0, 2π].
x2 − 4x + 3 = y
x2 + y 2 = 4x,
w R2 , następnie zobrazować to rozwiązanie graficznie.
56. Narysować wykres:
a) stożka z =
√
x2 + y 2 ,
b) paraboloidy z = x2 + y 2 .
57. Narysować wykres funkcji
 2
x
2

 (x + 3x + 2)e
5
2
x − 2x + 2
f (x) =

 4 sin(x−2)
x2 −4
dla x < 0,
dla 0 6 x 6 2,
dla x > 2
w przedziale [−4, 4].
58. Narysować na jednym obrazku wykres okręgu x2 + y 2 = 4x oraz prostej y = x − 1.
59. Narysować na jednym obrazku wykres okręgu x2 + y 2 = 1 oraz ewolwenty tego okręgu: x(t) = cos t + t sin t,
y(t) = sin t − t cos t dla t ∈ [0, 2π].
6
c KZM 2013/2014
⃝
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2013/14 – Maxima, część II
60. Narysować w oknie Maximy wykres powierzchni śrubowej danej równaniami:
x(r, t) = r cos t, y(r, t) = r sin t, z(r, t) = t, r ∈ [0, 2], t ∈ [0, 3π].
61. Narysować na jednym obrazku wykres funkcji f (x) = x2 − 1 w przedziale [−1, 1] oraz wykresy okręgów:
x2 + y 2 = 4, x2 + y 2 + x − 2y + 76 = 0, x2 + y 2 − x − 2y + 76 = 0. Wskazówka: wszystkie krzywe sparametryzować.
*62. Narysować wykres walca eliptycznego 4x2 + 25y 2 = 100. Wskazówka: wprowadzić współrzędne walcowe.
*63. Narysować wykres sfery (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 4. Wskazówka: wprowadzić współrzędne sferyczne.
64. Znaleźć rozwiązania równania ln(1 + x2 ) = cos x.
65. Znaleźć miejsca zerowe funkcji f (x) = x2 
− x + e−x − 4.
2

4 −1 2
4
1
0 1
1
.
Znaleźć macierz A−1 oraz A5 , gdzie A = 
3
1 3 −1 
1
0 1
2


1 2
1
1
Wyznaczyć rząd macierzy D =  −1 1 −3 −2 .
1 5 −1
0


4 −1 2
4
[
]
1
−1 2 0 3
0
1
1


Niech A = 
, B=
. Znaleźć macierz A−1 · B T .
3
1 3 −1 
1 4 3 2
1
0 1
2
Rozwiązać za pomocą macierzy odwrotnej układ równań 1

x1 +x2 −2x3 = 1



x1 −x2 + x3 = 0



2x1 −x2 + x3 = 1.


z
1
2
Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równanie det −1 z − 1 2  = 0.
0
1
z
Narysować na jednym obrazku wykres punktowy złożony z punktów postaci (k, sin k2 ), gdzie k = 0, 1, 2, . . . , 25
66.
67.
68.
69.
70.
71.
oraz wykres funkcji f (x) = cos x2 dla x ∈ [0, 8π].
72. Narysować w oknie Maximy wykres punktowy złożony z punktów postaci (k, k 2 − 1), gdzie k = −4, −3, . . . , 4.
73. Narysować na jednym obrazku w oknie Maximy wykres funkcji f (x) = x3 − 9x2 w przedziale [0, 10] oraz
wykres punktowy złożony z punktów postaci (k, 3k 2 − 18k), gdzie k = 0, 1, 2, . . . , 10.
74. Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji f (x) = −2x2 + x + 1, g(x) = e2x − 1.
*75. Używając pakietu draw i korzystając z pomocy programu Maxima narysować wszystkie wykresy z zadania
?? (c–h).
76. Niech an =
n2 +6n
2n2 −5n+1 .
Napisz algorytm oparty na pętli w funkcji block, który znajdzie najmniejszą liczbę
naturalną n spełniającą nierówność
|an − 12 | < 0, 005.
77. Napisać algorytm oparty na pętli w ramach funkcji block, który znajdzie liczbę naturalną n spełniającą
równość
√
( )
√
3
n − 2 cos π3 n = cos(πn) + 14 2n .
26
∑
78. Napisać pętlę typu for ... thru obliczającą sumę
n = 4
n parzyste
arc tg(n+3)
√
.
n2 +1
Wynik przedstawić w postaci dzie-
siętnej.
79. Napisać algorytm oparty na pętli typu for ... while, który znajdzie największą liczbę naturalną n spełniającą
nierówność
(n + 1) sin
1
(
1
n+11
)
< 0, 9876.
układ równań Cramera AX = B ma rozwiązanie postaci X = A−1 B
7
c KZM 2013/2014
⃝
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2013/14 – Maxima, część II
Odpowiedzi do zadań
50.
4
0.5
3
f
2
7*cos(t)*sin(t)
0
-0.5
-1
-1.5
1
0
-1
-2
-3
-2
-4
-8
-2.5
-4
-2
0
2
4
6
8
7*cos(t)-7*sin(t)2/sqrt(2)
-3
-6
P =
-6
-4
− π6
-2
√
3
4
−
0
x
2
4
{
6
55.
+ 1.
x = 0.4825
∨
y = 1.3028
{
x = 3.5175
y = 1.3028.
3
x2-4*x+3 = y
y2+x2 = 4*x
2
51. P = 92 .
1
0
-1
52.
6
-2
f
fprim
fbis
4
-3
2
-1
0
1
2
3
4
5
0
-2
56. a)
-4
-6
sqrt(y2+x2)
-8
-10
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
8
7
6
5
4
3
2
1
0
6
53.
4
-6
6
f
y=1
x=-1
x=1
4
y
2
2
-4
0
-2
0
-2
2
4
-4
6 -6
b)
0
y2+x2
-2
50
-4
40
30
20
-6
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
10
0
6
4
-6
2
-4
0
-2
0
-2
2
4
-4
6 -6
54.
8
c KZM 2013/2014
⃝
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2013/14 – Maxima, część II
57.
60.
2
Function
1.5
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
0.5
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2 -2
0
x
0.5
-0.5
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
4
61.
2
1.5
1
0.5
0
58.
-0.5
3
y2+x2 = 4*x
y = x-1
-1
2
-1.5
-2
-2
1
-1.5
-1
-0.5
1
1.5
2
0
62.
-1
Function
-2
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-3
-1
0
1
2
3
4
5
-6
59.
-4
-2
0
2
4
6 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
63.
4
cos(t), sin(t)
t*sin(t)+cos(t), sin(t)-t*cos(t)
3
Function
2
1
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
-1
-2
-3
-4
-5
-1
-6
-7
-4
-2
0
x
2
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
4
9
c KZM 2013/2014
⃝
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2013/14 – Maxima, część II
64. x = −0.9158576591 ∨ x = 0.9158576591.
72.
16
65. x = −1.5386991407 ∨ x = 2.5612093104.
 1

1
− 72
1
2
2
 0 −7
1
4


66. A−1 =  1
.
11
1
 −2

−
−2
2
2
0 −1
0
1


7813 −340 5503 5351
 2502 −110 1760 1709 

A5 = 
 6137 −274 4313 4202 .
2937 −128 2067 2003
14
12
discrete data
10
8
6
4
2
0
-2
-4
67. rz D = 2.

− 92
 −2

68. A−1 · B T =  11
 2
1
−10
−17
16
−2

√
2
150
4
x3-9*x2
discrete2
100
50
i, z3 = − 12 +
3
2
0
x
73.


.

69. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1.
70. z1 = 2, z2 = − 12 −
-2
√
3
2
0
i.
-50
71.
-100
1
cos(x/2)
discrete2
-150
0
2
0.5
4
6
8
10
x
74. P =
6891
8867 .
0
76. 853.
77. 512.
-0.5
78. 1.59938.
-1
0
5
10
15
20
25
79. 795.
x
10
c KZM 2013/2014
⃝
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2013/14 – Maxima, część III
80. Przypuśćmy, że w pewnym miejscu wysokość opadów (w mm) dla każdej minuty doby można opisać za pomocą
funkcji
f (k) =
k
60 (1
−
2
k
1440 ) ,
k ∈ {1, . . . , 1440}.
Na przykład f (10) określa wysokość opadów podczas 10 minuty doby.
a. Wyznacz sumę opadów dla całej doby (zob. 13). (odp. 2879.999 mm)
b. Wyznacz liczbę minut, dla których wysokość opadu jest mniejsza niż 1 mm. (odp. 401 min)
c. Wyznacz liczbę minut, dla których wysokość opadu zawiera się w przedziale (2 mm, 3 mm). (odp. 325
min)
d. Wyznacz sumę opadów w porze dziennej (od 6.00 do 22.00). (odp. 2118.388 mm)
81. W wyniku badań dotyczących działania herbicydów na rośliny ustalono że funkcja h(t) = 100e−0,024t dobrze
opisuje ilość herbicydu w procentach obecnego w czasie t wyrażonego w godzinach. Po ilu godzinach zawartość
herbicydu spadnie poniżej 1%? (odp. 192 godz.)
82. Importowanie oraz eksportowanie danych (zob. 25).
Skopiuj ze strony przedmiotu do swojego katalogu plik dunajec.txt. W pliku tym znajdują się codzienne stany
wody H (w cm) oraz przepływy Q (w m3 /s) dla Dunajca w profilu wodowskazowym Nowy Targ w pewnym
okresie.
a. Korzystając z funkcji read nested list wczytaj do listy hq dane z pliku dunajec.txt (jako separator
przyjmij spację). Otrzymamy tzw. listę zagnieżdżoną, której elementami będą pary postaci [hi , qi ], gdzie
hi jest stanem wody, a qi odpowiadającym mu przepływem.
b. Wyznacz stan minimalny hmin i maksymalny hmax . (odp. hmin = 194, hmax = 254)
c. Wyznacz przepływ najmniejszy Qmin i największy Qmax . (odp. Qmin = 5.21, Qmax = 28.4)
d. Narysuj w oknie Maximy wykres rozrzutu punktów empirycznych dla stanów wody i przepływów, czyli
wykres punktowy dla listy hq.
e. Narysuj w oknie Maximy na jednym obrazku wykres rozrzutu punktów empirycznych dla stanów wody
i przepływów oraz krzywą przepływu 2 daną równaniem Q(h) = 0,06(h − 171)1,4 w przedziale [hmin , hmax ].
83. Skopiuj ze strony przedmiotu do swojego katalogu plik skawa76.txt. W pliku tym znajdują się codzienne stany
wody (w cm) na rzece Skawa dla roku hydrologicznego 1976 3 w profilu wodowskazowym Osielec (wiersze to
kolejne miesiące).
a. Korzystając z funkcji read list wczytaj do listy s dane z pliku skawa76.txt (jako separator przyjmij
spację).
b. Korzystając z funkcji read nested list wczytaj do listy sm dane z pliku skawa76.txt (jako separator
przyjmij spację). Otrzymamy tzw. listę zagnieżdżoną, której elementami będą poszczególne miesiące. Na
przykład, wpisując sm[1] otrzymamy stany wody w postaci listy dla listopada, sm[2] dla grudnia, itd.
84. Narysuj wykres wahań stanów wody na rzece Skawa w profilu Osielec w roku 1976. W tym celu za pomocą
makelist wygeneruj listę d zawierającą kolejne dni roku, następnie dla list d, s narysuj wykres liniowy.
85. Oznaczenia i definicje dotyczące stanów wody.
— stan minimalny N W (niska woda),
— stan średni SW (średnia woda),
— stan maksymalny W W (wysoka woda).
Przez czas trwania stanów wody wraz ze stanami niższymi rozumie się liczbę dni w rozpatrywanym okresie,
w ciągu których stany wody utrzymywały się poniżej bądź były równe założonemu stanowi.
Przez czas trwania stanów wody wraz ze stanami wyższymi rozumie się liczbę dni w rozpatrywanym okresie,
2
równanie krzywej przepływu określa się na podstawie danych empirycznych
3
od 1.XI.1975 do 31.X.1976
11
c KZM 2013/2014
⃝
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2013/14 – Maxima, część III
w ciągu których stany wody utrzymywały się powyżej bądź były równe założonemu stanowi.
Stan graniczny między strefą stanów średnich i niskich Hgr SW/N W oblicza się jako średnią arytmetyczną
stanów wody niższych od stanu SW (analityczna metoda Niesułowskiego).
Stan graniczny między strefą stanów wysokich i średnich Hgr W W/SW oblicza się jako średnią arytmetyczną
stanów wody wyższych od stanu SW (analityczna metoda Niesułowskiego).
86. Wyznacz stany minimalny, średni i maksymalny dla grudnia. (odp. N WI = 126, SWI = 136.42, W WI = 162)
87. Wyznacz stany minimalny, średni i maksymalny dla całego roku. (odp. N W = 123, SW = 142.35, W W = 218)
88. Wyznacz czas trwania stanów wody wraz ze stanami niższymi dla stanu SW . (odp. TSW = 227)
89. Wyznacz stan graniczny Hgr SW/N W między strefą stanów średnich i niskich. (odp. Hgr SW/N W = 134.54)
90. Wyznacz stan graniczny Hgr W W/SW między strefą stanów wysokich i średnich. (odp. Hgr W W/SW = 155.11)
91. Mając stany graniczne wprowadzamy następujący podział na strefy stanu:
Poziom wody [cm] [N W, Hgr SW/N W ] (Hgr SW/N W , Hgr W W/SW ) [Hgr W W/SW , W W ]
Strefa stanu
niska
średnia
wysoka
Wyznacz czas trwania stanów niskich, średnich oraz wysokich. (odp. Tn = 102, Ts = 213, Tw = 51)
92. Wyznacz stany minimalny, średni i maksymalny dla czerwca i września. (odp. N WV I = 131, SWV I = 145.23,
W WV I = 202, N WIX = 132, SWIX = 144.1, W WIX = 195)
93. Wyznacz czas trwania stanów wody wraz ze stanami wyższymi dla stanu SW . (odp. TSW = 139)
Zadania do samodzielnego rozwiązania
94. Przypuśćmy, że w pewnym miejscu wysokość opadów (w mm) dla każdej minuty doby można opisać za pomocą
funkcji
f (k) =
k
24 (1
−
4
k
1440 ) ,
k ∈ {1, . . . , 1440}.
a) Wyznaczyć sumę opadów dla całej doby.
b) Wyznaczyć liczbę minut, dla których wysokość opadu jest większa niż 4 mm.
c) Wyznaczyć liczbę minut, dla których wysokość opadu jest równa co najwyżej 2 mm.
d) Wyznaczyć liczbę minut, dla których wysokość opadu zawiera się w przedziale [1 mm, 3 mm).
e) Znaleźć godzinę doby, w której opad jest największy.
f) Wyznaczyć sumę opadów w porze nocnej (od 22.00 do 6.00).
95. Skopiować ze strony przedmiotu do swojego katalogu plik skawa81.txt. W pliku tym znajdują się codzienne
stany wody (w cm) na rzece Skawa dla roku hydrologicznego 1981 4 w profilu wodowskazowym Jordanów
(wiersze to kolejne miesiące).
a) Korzystając z funkcji read list wczytać do listy s dane z pliku skawa81.txt (jako separator przyjąć
spację).
b) Korzystając z funkcji read nested list wczytać do listy sm dane z pliku skawa81.txt (jako separator
przyjąć spację). Otrzymamy tzw. listę zagnieżdżoną, której elementami będą poszczególne miesiące.
c) Wyznaczyć stany minimalne dla poszczególnych miesięcy.
d) Wyznaczyć stany średnie dla poszczególnych miesięcy.
e) Wyznaczyć stany maksymalne dla poszczególnych miesięcy.
f) Wyznaczyć stany minimalny, średni i maksymalny dla całego roku.
g) Wyznaczyć czas trwania stanów wody wraz ze stanami niższymi dla stanu SW .
h) Wyznaczyć czas trwania stanów wody wraz ze stanami wyższymi dla stanu SW .
4
od 1.XI.1980 do 31.X.1981
12
c KZM 2013/2014
⃝
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2013/14 – Maxima, część III
*96. Na stronie przedmiotu w pliku skawa81.txt znajdują się codzienne stany wody (w cm) na rzece Skawa dla
roku hydrologicznego 1981 w profilu wodowskazowym Jordanów (wiersze to kolejne miesiące). Korzystając
z pakietu draw narysować wykres wahań stanów wody na rzece Skawa w profilu Jordanów w roku 1981.
Wykres należy tak sformatować, aby był on postaci:
97. Funkcja określająca temperaturę odczuwalną w zależności od temperatury powietrza i prędkości wiatru jest
dana wzorem
f (t, s) = (0,49t − 15,21)s0,16 + 0,61t + 12,97,
gdzie t – temperatura powietrza podana w ◦ C, s – prędkość wiatru podana w m/s.
a) Jaka jest temperatura odczuwalna, jeśli t = 18◦ C oraz s = 3 m/s?
b) Wiadomo, że temperatura odczuwalna jest równa 20◦ C przy prędkości wiatru s = 6 m/s. Jaka jest temperatura powietrza?
c) Wiadomo, że temperatura powietrza jest równa t = 6◦ C, a temperatura odczuwalna 0◦ C. Jaka jest prędkość wiatru?
d) Znaleźć najniższą temperaturę powietrza (z dokładnością do 0,5◦ C), przy której temperatura odczuwalna
będzie większa niż 18◦ C, jeśli prędkość wiatru jest równa 30 m/s.
13
c KZM 2013/2014
⃝
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2013/14 – Maxima, część III
Odpowiedzi do zadań
94a. 2879.997 mm.
95e. W WXI = 224, W WXII = 230, W WI = 230,
94b. 325 min.
W WII = 250, W WIII = 258, W WIV = 187, W WV =
218, W WV I = 229, W WV II = 205, W WV III = 206,
94c. 792 min.
W WIX = 257, W WX = 192.
94d. 330 min.
95f. N W = 180, SW = 191.73, W W = 258.
94e. 5 godz.
94f. 1344.698 mm.
95g. TSW = 235.
95c. N WXI = 181, N WXII = 184, N WI = 184,
95h. TSW = 130.
N WII = 183, N WIII = 184, N WIV = 181, N WV =
97a. 16,33◦ C.
180, N WV I = 184, N WV II = 182, N WV III = 181,
N WIX = 182, N WX = 182.
97b. 21,61◦ C.
95d. SWXI = 193.4, SWXII = 195.61, SWI = 193.74,
SWII = 195.36, SWIII = 203.58, SWIV = 183.3,
97c. 6.69 m/s.
SWV = 186.13, SWV I = 197.13, SWV II = 187.74,
97d. 21,5◦ C.
SWV III = 188.32, SWIX = 192.27, SWX = 184.52.
14
c KZM 2013/2014
⃝