n 1 Netto

Matematyka finansowa i
ubezpieczeniowa - 11
Ubezpieczenia Ŝyciowe 2
Składki netto w ubezpieczeniach
Ŝyciowych
Zakład ubezpieczeniowy pobiera za
ubezpieczenia składkę brutto, składającą
się ze składki netto oraz kosztów
ustawowych (nadzór, PIU, KG PSP),
administracyjnych, akwizycji, zysku (skóry,
fury i komóry), ...
Wartość bieŜąca składki netto to wartość
oczekiwana bieŜącej wartości wypłacanych
świadczeń.
Do wyliczania wartości bieŜącej przyjmuje
się ustaloną roczną stopę procentową i,
odpowiadający jej czynnik dyskontujący to
1
v = 1+i
Składki jednorazowe
1. Bezterminowe ubezpieczenie na Ŝycie
- kwota 1 (1 paczka C złotych) jest
wypłacana na koniec roku, w którym
następuje zgon ubezpieczonego (w wieku
x. Jej wartość bieŜąca jest zmienną losową
Z x = v K x +1
(funkcją zmiennej losowej K x ) i ma rozkład
prawdopodobieństwa
PrZ x = v k+1  = PrK x = k  = k p x ⋅ q x+k
Zatem jednorazowa składka netto A x
wynosi
∞
A x = Ev K x +1  =
∑ v k+1 ⋅ k p x ⋅ q x+k =
k=0
∞
=
∑ v k+1
k=0
⋅ l x+k − l x+k+1 = 1
lx
lx
∞
∑ v k+1 ⋅ d x+k
k=0
Uwaga: gdy i = 0, tj. v = 1, to A x = 1.
2. Terminowe ubezpieczenie na Ŝycie kwota 1 (1 paczka C złotych) jest wypłacana
na koniec roku, w którym następuje zgon
ubezpieczonego (w wieku x), ale tylko
wtedy, gdy zgon nastąpi w ciągu n lat. Jej
wartość bieŜąca jest zmienną losową
v K x +1 jeśli
Zx =
0
1
A x:n⌉ = EZ x  = v n ⋅ n p x = v n l x+n
lx
K x = 0, 1, 2, . . . , n − 1
jeśli K x = n, n + 1, n + 2, . . .
Zatem jednorazowa składka netto
wynosi
1
Uwaga: gdy i = 0, tj. v = 1, to A x:n⌉ =
A 1x:n⌉
n−1
1
= EZ x  =
A x:n⌉
∑ v k+1 ⋅ k p x ⋅ q x+k =
k=0
n−1
=
∑ v k+1
k=0
⋅ l x+k − l x+k+1 = 1
lx
lx
n−1
∑ v k+1 ⋅ d x+k
k=0
1
Uwaga: gdy i = 0, tj. v = 1, to A x:n⌉
=
l x −l x+n
lx
.
3. Ubezpieczenie na doŜycie - kwota 1 (1
paczka C złotych) jest wypłacana na koniec
n −tego roku od zawarcia umowy, jeśli
ubezpieczony Ŝyje Jej wartość bieŜąca jest
zmienną losową
Zx =
0 jeśli
K x = 0, 1, 2, . . . , n − 1
v n jeśli K x = n, n + 1, n + 2, . . .
Zatem jednorazowa składka netto
wynosi
1
A x:n⌉
l x+n
lx
.
3. Ubezpieczenie na Ŝycie i doŜycie kwota 1 (1 paczka C złotych) jest wypłacana
na koniec roku, w którym następuje zgon
ubezpieczonego (w wieku x), jeśli zgon
następuje w ciągu n lat, albo na koniec
n −tego roku od zawarcia umowy, jeśli
ubezpieczony Ŝyje. Jej wartość bieŜąca jest
zmienną losową
Zx =
v K x +1 jeśli
vn
K x = 0, 1, 2, . . . , n − 1
jeśli K x = n, n + 1, n + 2, . . .
Zatem jednorazowa składka netto A x:n⌉
wynosi
1
1
+ A x:n⌉
A x:n⌉ = EZ x  = A x:n⌉
n−1
= 1
lx
∑ v k+1 ⋅ d x+k + v n ⋅ l x+n
k=0
Uwaga: gdy i = 0, tj. v = 1, to A x:n⌉ = 1.
Renty Ŝyciowe
1. Renta bezterminowa - zmienna losowa
Y x = ä K x +1⌉ = 1 + v + v + v +. . . v
opisuje wartość bieŜącą renty rocznej w
wysokości 1, płatnej co roku z góry przez
cały czas Ŝycia (K x pełnych lat) osoby w
wieku x. Zmienna Y x ma rozkład
PrY x = ä k+1⌉  = PrK x = k  = k p x ⋅ q x+k
gdzie
k+1
ä k+1⌉ = 1 + v + v 2 +. . . +v k−1 + v k = 1 − v
1−v
dla k = 0, 1, 2, . . .
Wartość oczekiwana ä x zmiennej Y x = ä K x +1⌉
wynosi więc
2
3
∑ ä k+1⌉ ⋅ k p x ⋅ q x+k
k=0
Zmienną losową Y x moŜna zapisać równieŜ
jako
∞
Yx =
∑v
k=0
gdzie
k
⋅ χ K x ≥k ,
0 gdy K x < k
Kx
∞
ä x = Eä K x +1⌉  =
1 gdy K x ≥ k
χ K x ≥k =
,
a jej wartość oczekiwaną wyrazić wzorem
∞
äx =
∞
∑ vk ⋅ kpx = ∑
k=0
k=0
∞
1
A x:k⌉
= 1
lx
∑ v k ⋅ l x+k
k=0
tzn. jako sumę jednorazowych składek
netto w ubezpieczeniach na doŜycie.
2. Renta terminowa - wartość bieŜąca
płatnej co roku góry przez czas Ŝycia, ale
nie dłuŜej niŜ przez n + 1 lat, renty rocznej
w kwocie 1, jest zmienną losową
Yx =
ä K x +1⌉ dla
ä n⌉
K x = 0, 1, 2, . . . , n − 1
dla K x = n, n + 1, n + 2, . . .
Jej wartość oczekiwana moŜe być
wyraŜona wzorem
∞
ä x:n⌉ = EY x  =
∑ ä k+1⌉ ⋅ k p x ⋅ q x+k + ä n⌉ ⋅ n p x
k=0
lub wzorem
n−1
ä x:n⌉
= ∑ vk ⋅ kpx = 1
lx
k=0
∑v
k
⋅ l x+k
k=0
Składki roczne w ubezpieczeniach Ŝyciowych
1. Bezterminowe ubezpieczenie na Ŝycie
- płatna co roku z góry przez osobę w wieku
x roczna składka netto P x powinna mieć
oczekiwaną wartość bieŜącą równą
oczekiwanej wartości składki jednorazowej,
tzn. powinna spełniać równanie
EP x ⋅ ä K x +1⌉  = A x = Ev K x +1 
z którego otrzymujemy
P x ⋅ Eä K x +1⌉  = P x ⋅ ä x = A x
czyli
∞
Px = Ax =
äx
ax = äx − 1
Ax
x
Px = A
ax = äx − 1
n−1
∑ k=0 v k+1 ⋅ d x+k
∞
∑ k=0 v k ⋅ l x+k
W przypadku składki płatnej z dołu mamy
a K x ⌉ = v + v 2 + v 3 +. . . v K x = ä K x +1⌉ − 1
więc
2. Terminowe ubezpieczenie na Ŝycie 1
płatna z góry roczna składka netto P x:n⌉
powinna spełniać równanie
1
⋅ Y x = A 1x:n⌉
E P x:n⌉
gdzie
ä K x +1⌉ dla
Yx =
ä n⌉
K x = 0, 1, 2, . . . , n − 1
dla K x = n, n + 1, n + 2, . . .
Zatem
1
P x:n⌉
1
A x:n⌉
=
=
ä x:n⌉
∑ k=0 v k+1 ⋅ d x+k
n−1
∑ k=0 v k ⋅ l x+k
n−1
3. Ubezpieczenie na doŜycie - płatna z
1
góry roczna składka netto P x:n⌉ w
ubezpieczeniu na doŜycie n lat powinna
spełniać równanie
1
E P x:n⌉ ⋅ Y x
Zatem
1
= A x:n⌉
1
1
P x:n⌉
A
= x:n⌉ =
ä x:n⌉
v n ⋅ l x+n
∑ k=0 v k ⋅ l x+k
n−1
3. Ubezpieczenie na Ŝycie i doŜycie płatna z góry roczna składka netto P x:n⌉ w
ubezpieczeniu mieszanym na Ŝycie i
doŜycie n lat powinna spełniać równanie
EP x:n⌉ ⋅ Y x  = A x:n⌉
Zatem
P x:n⌉ =
A x:n⌉
1
= P 1x:n⌉ + P x:n⌉
ä x:n⌉
Uwaga. W obliczaniu składek korzysta się z
utworzonych na podstawie tablic trwania
Ŝycia tzw. funkcji komutacyjnych. Np.
definiując
Dx = vxlx
N x = D x + D x+1 + D x+2 +. . .
C x = v x+1 d x
M x = C x + C x+1 + C x+2 +. . .
mamy:
äx = Nx ;
Dx
a x = N x+1 ;
Dx
ä x:n⌉ = N x − N x+n
Dx
Ax = Mx
Dx
1
A x:n⌉
= M x − M x+n
Dx
1
A x:n⌉ = D x+n
Dx
A x:n⌉ = M x − M x+n + D x+n
Dx