Estymacja punktowa – teoria Definicja 1 Próbą losową n

Estymacja punktowa – teoria
Definicja 1 Próbą losową n-elementową nazywamy ciąg zmiennych losowych X1 , . . . , Xn o tym
samym rozkładzie. Jeśli, dodatkowo, zmienne X1 , . . . , Xn są niezależne, to próbę taką nazywamy próbą losową prostą.
Przez (x1 , . . . , xn ) oznaczać będziemy próbkę, czyli dowolną realizację próby losowej X1 , . . . , Xn .
W zadaniach będziemy zawsze rozważać tylko próbki proste, czyli realizacje prób losowych prostych.
Niech X(1) 6 X(2) 6 . . . 6 X(n) będzie ciągiem zmiennych losowych powstałych z X1 , . . . , Xn po
ich uporządkowaniu w ciąg niemalejący. X(i) , 1 6 i 6 n, nazywamy i-tą statystyką pozycyjną
(porządkową). W szczególności, X(1) = min{X1 , . . . , Xn }, X(n) = max{X1 , . . . , Xn }.
Definicja 2 Niech X n = {(x1 , . . . , xn ) : (x1 , . . . , xn ) – próbka} ⊂ Rn będzie przestrzenią
próbek. Statystyką nazywamy funkcję mierzalną T : X n → R.
Niech Θ ∈ Bd będzie zbiorem parametrów oraz X będzie zmienną losową o rozkładzie Pθ zależnym od nieznanego parametru θ ∈ Θ. Na podstawie realizacji (x1 , . . . , xn ) próby losowej
X1 , . . . , Xn z rozkładu Pθ należy oszacować nieznany parametr θ.
Definicja 3 Estymatorem parametru θ ∈ Θ nazywamy odwzorowanie mierzalne θ̂ : X n → Θ.
Własności estymatorów
• Estymator θ̂ : X n → Θ jest nieobciążony, jeśli Eθ̂ = θ dla każdego θ ∈ Θ.
• Estymator θ̂ : X n → Θ jest asymptotycznie nieobciążony, jeśli lim Eθ̂ = θ dla każdego
n→∞
θ ∈ Θ.
• Estymator θ̂ : X n → Θ jest zgodny, jeśli θ̂ −
→ θ dla każdego θ ∈ Θ.
P
• Estymator θ̂ : X n → Θ jest mocno zgodny, jeśli θ̂ −−→ θ dla każdego θ ∈ Θ.
p.w.
Definicja 4 Ryzykiem kwadratowym estymatora θ̂ : X n → Θ parametru θ ∈ Θ nazywamy
funkcję R : Θ → [0, ∞),
R(θ) = E(θ̂ − θ)2 .
Estymacja wartości oczekiwanej
Zdefiniujmy estymator zwany średnią z próby
n
n
x̄ : R → R,
1X
xi .
x̄ =
n i=1
Fakt 5 Jeżeli X jest zmienną losową posiadającą wartość oczekiwaną, to x̄ jest nieobciążonym
i mocno zgodnym estymatorem wartości oczekiwanej.
Estymacja wariancji
Zdefiniujemy estymator zwany wariancją z próby.
1. Niech X będzie zmienną losową o znanej wartości oczekiwanej, równej a. Wówczas wariancję z próby definiujemy
n
∗ 2
n
s : R → R,
1X
s =
(xi − a)2 .
n i=1
∗ 2
Fakt 6 Jeżeli X jest zmienną losową posiadającą wariancję, to ∗s2 jest nieobciążonym
i mocno zgodnym estymatorem wariancji.
2. Niech X będzie zmienną losową o nieznanej wartości oczekiwanej. Wówczas wariancję z
próby definiujemy
n
s : R → R,
1 X
(xi − x̄)2 ,
s =
n − 1 i=1
ŝ2 : Rn → R,
ŝ2 =
2
n
2
n > 2,
n
1X
(xi − x̄)2 .
n i=1
Fakt 7 Jeżeli X jest zmienną losową posiadającą wariancję, to
• s2 jest nieobciążonym i mocno zgodnym estymatorem wariancji,
• ŝ2 jest asymptotycznie nieobciążonym i mocno zgodnym estymatorem wariancji.