C - Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych

Politechnika Wrocławska
Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych
Z
AD
NYCH
Z AKŁ
do przedmiotu
YC
N
E
Y
LEK
Z
S
T
A
R
M ilustracyjny
Materiał
ELEKTROTECHNIKA
*
(Cz. 2)
Prowadzący:
*
.
I
R 29)
Dr inż. Piotr Zieliński
M N(I-29, A10 p.408, tel. .320-32
W
L
i P E PO
*
Wrocław 2005/6
PRĄD ZMIENNY
Klasyfikacja prądów zmiennych
Prąd zmienny
jednokierunkowy
okresowy
pulsujący
nieokresowy
dwukierunkowy
okresowy
nieokresowy
przemienny
sinusoidalnie zmienny
odkształcony
Indukcja elektromagnetyczna
Prawo indukcji elektromagnetycznej
Jeżeli wartość strumienia magnetycznego sprzężonego z obwodem
elektrycznym zmienia się w czasie, to w obwodzie tym indukuje się
siła elektromotoryczna o wartości:
dΦ / dt>0
e
e
Φ
dφ
e=
dt
Reguła Lenza
Zwrot indukowanej sem jest taki, że prąd płynący pod jej
wpływem przeciwstawia się zachodzącym zmianom strumienia.
Strumień magnetyczny sprzężony
dΦ / dt>0
e
e
Φ
ψ = zφ
z
dφ dψ
e=z
=
dt
dt
gdzie: z - liczba zwojów
ψ - sprzężenie magnetyczne
Samoindukcja
Φ
i
e
di
≠ 0;
dt
Współczynnik
proporcjonalności L jest
nazywany współczynnikiem
indukcyjności własnej lub
indukcyjnością.
dψ
≠0
dt
dψ
e=
dt
ψ =Li
ψ ∝i
ψ
L=
i
def
[L]=1H (henr)
di
e=L
dt
Współczynnik samoindukcji
ψ
zΦ
L= =
i
i
Podstawienie w miejsce Φ
zależności wynikającej z prawa
Ohma dla obwodu magnetycznego....
.... daje wzór ilustrujący, jak indukcyjność
danego obiektu zależy od jego parametrów
konstrukcyjnych.
iz
Φ=
R
2
z
L=
R
Samoindukcja – zasady strzałkowania
i1
L
e1
di1
e1 = − L
dt
i2
L
e2
di2
e2 = L
dt
Zjawisko indukcji wzajemnej – transformacja (1)
i1
e1
Φ12
Φ21
Φ1r
Φ2r
i2
e2
Sem indukowana w uzwojeniu 1.
e1 = e11 + e21
sem samoindukcji
sem indukcji
wzajemnej
di1
di2
+ L21
e1 = L1
dt
dt
ψ 11
L1 =
- współczynnik indukcji własnej uzwojenia 1.
i1
ψ 21
- współczynnik indukcji wzajemnej między uzwojeniem 2 i 1.
L21 =
i2
ψ 12
L2 =
e2 = e22 + e12
i2
Analogicznie,
gdzie:
sem indukowana
di1
di2
ψ 12
L
=
+
e
L
L12 =
2
2
12
w uzwojeniu2.
dt
dt
i1
Zjawisko indukcji wzajemnej – transformacja (2)
i1
e1
Φ12
Φ21
Φ1r
Φ2r
i1
i2
L12
e1
e2
e2
L1
di1
di2
± L21
e1 = L1
dt
dt
di2
di1
± L12
e2 = L2
dt
dt
i2
L2
Znaki (+)w wyrażeniach na e1 i e2 wystąpią
gdy obydwa prądy wpływają do zacisków
jednoimiennych. W przeciwnym przypadku
wystąpią znaki (-). Zaciski jednoimienne na
schemacie powyżej oznaczono kropkami.
Można udowodnić, że współczynniki indukcji
wzajemnej L12 i L21 są sobie równe. W literaturze są
one często oznaczane literą M.
L12 = L21 = M
l
Siła elektromotoryczna ruchu
B
e
v
e
e = l [v × B]
dx
Reguła prawej dłoni
Jeżeli prawą dłoń umieścimy w polu
magnetycznym tak by linie sił pola były
skierowane ku dłoni a odgięty kciuk
wskazywał kierunek ruchu przewodnika to
wyciągnięte palce wskażą kierunek
indukowanej sem.
Jeśli B,l,v są wzajemnie prostopadłe to:
e = Bl v
Energia pola magnetycznego
i,ψ
I
Φ
t
i
0
e=L
di
dt
Po uwzględnieniu:
dW = e i dt
i
W = ∫ L i di
0
T
2
i
W =L
2
ψ
L=
i
ψi
W=
2
Prąd zmienny sinusoidalny
(przemienny)
ω
Wytwarzanie napięcia sinusoidalnego
ω
ω
e
e
α
e
B
B
dφ
d
e=−
= − ( Bld cos α )
dt
dt
α = ω t ; Em = ω Bld
d
e = Em sin ω t
Parametry przebiegu sinusoidalnego
e
Em
ωt
e = Em sin(ω t + ψ )
ψ
T
Pulsacja -
Okres -
2π
ω=
= 2π f
T
1
T=
f
Em – wartość maksymalna
f – częstotliwość
ψ – faza początkowa
Przedstawianie przebiegów sinusoidalnych
za pomocą wirujących wektorów
ω
b
C
A
c
a
ωt
B
Sumowanie przebiegów sinusoidalnych
Wartość skuteczna prądu zmiennego
i ( Isk )
R
Wartość skuteczna prądu zmiennego okresowego jest równa wartości prądu
stałego, który płynąc w ciągu jednego okresu przez taką samą rezystancję co
prąd zmienny wywołuje taki sam skutek cieplny.
W przypadku przebiegu sinusoidalnego
T
2
2
i
R
dt
I
=
sk RT
∫
2π
i = I m sin
t
T
0
T
1 2
I sk =
i dt
∫
T0
def
Zatem
Im
I sk = I =
2
Rezystancja obwodzie prądu przemiennego
u R = iR R
iR ;IR
uR
iR
R
iR = 2 I R sin ω t
uR ;UR
u R = 2 I R R sin ω t
uR
UR = IR R
p
iR
P = Psr
t
u R = 2U R sin ω t
p = u R iR = 2U R I R sin 2 ωt
T
UR
IR
1
P = Pśr = ∫ 2U R I R sin 2 ωt dt = U R I R
T 0
U R2
P = URIR = I R R =
R
2
Prąd płynący przez rezystancję R jest w fazie względem napięcia na
tym elemencie.
Indukcyjność w obw. prądu przemiennego
iL = 2 I L sin ω t
XL
iL ;IL
uL ; UL
uL
iL
p
u L = 2 I L ω L sin(ω t + π2 )
uL
iL
t
u L = 2U L sin(ω t + π2 )
def
XL = ω L
UL
f
diL
uL = L
dt
IL
- reaktancja ind. [Ω]
UL = IL X L
Prąd płynący przez indukcyjność L jest opóźniony względem
napięcia na tym elemencie o kąt f= 90o
Moc odbiornika indukcyjnego
iL = 2 I L sin ω t
XL
iL ;IL
uL ; UL
uL
iL
p
u L = 2U L sin(ω t + π2 )
uL
iL
p
t
p = u L iL = U L I L sin 2ωt
Moc czynna -
UL
f
IL
P = Pśr = 0
2
U
Moc bierna - QL = U L I L = I L2 X L = L
XL
def
[var]
Pojemność w obw. prądu przemiennego
uC = 2U C sin ω t
C
IC
UC
iC = 2U Cω C sin(ω t + π2 )
uC
iC
dq d (C u )
=
iC =
dt
dt
uC
IC = U C ω C
iC
p
IC
f
UC
t
1
XC =
ωC
def
- reaktancja poj. (Ω)
UC
IC =
XC
iC = 2 I c sin(ω t + π2 )
Prąd płynący przez pojemność C wyprzedza napięcie na tym
elemencie o kąt f= 90o
Moc odbiornika pojemnościowego
uC = 2U C sin ω t
C
IC
iC = 2 I c sin(ω t + π2 )
UC
uC
iC
uC
iC
p
t
p = uC iC = 2U C I C sin 2 ωt
Moc czynna -
P = Pśr = 0
IC
f
UC
2
U
Moc bierna - QC = U C I C = I C2 X C = C
XC
def
[var]
Szeregowe połączenie elementów R,L,C
R
I
UR
u u
R
C
L
U
UL
U = U R2 + (U L − U C ) 2
UC
U
Z =
I
def
uL
uC
i
- impedancja (Ω)
Z = R 2 + ( X L − X C )2
ωt
Z = R2 + X 2
UL
U
Z
X
f
f
I
UC
UR
R
Reaktancja
zastępcza
X = XL − XC
R
X
ϕ = arc(cos ) = arc(tg )
Z
R
Rezonans napięć
UL
UR
U
XL = XC
XC
XL
R
I
1
2π f L =
2π f C
UC
Częstotliwość
rezonansowa
UL
U
UR
I
U = UR
Z=R
UC
U
I=
R
fr =
1
2π LC
Dobroć obwodu
rezonansowego
UL
Q=
UR
def
Równoległe połączenie elementów R,L,C
I
IR
Z wykresu wektorowego:
IC
IL
U
L
R
Po podzieleniu przez napięcie U otrzymamy:
C
gdzie:
iR
iL
Y = G 2 + ( BL − BC ) 2
I 1
[S]
=
U Z
I
1
konduktancja –
G= R =
[S]
U R
def I
1
L (C )
susceptancja
[S]
=
BL (C ) =
ind.(poj) –
U
X L (C )
def
admitancja –
i
iL
u
I = IR2 +(IL −IC)2
ωt
IC
U
G
IR
f
f
I
B
Y
B = BL − BC
IL
Y = G2 + B2
Y =
– susceptancja
zastępcza
Rezonans prądów (obwód idealny)
I
U
IL
XL
IC
XC
BL = BC ⇒ X L = X C
1
2π f L =
2π f C
Częstotliwość
rezonansowa
IC
fr =
1
2π LC
U
I=0
IL
I =0 ⇒ Z =∞
Rezonans prądów (obwód rzeczywisty)
I
IC
IR
IL
U
R
XL
IC
IR
U
I=IR
IL
BL = BC ⇒ X L = X C
XC
Częstotliwość
rezonansowa
fr =
1
2π LC
U
IL =
= U BL
XL
U
IC =
= U BC
XC
U
I = IR = = U G
R
Dobroć obwodu rezonansowego
IL
Q=
IR
Moc odbiornika prądu przemiennego
T
Z
I
Moc czynna -
U
u
i
p
u
gdzie:
u = 2U sin ωt - napięcie odbiornika
i = 2 I sin(ωt − ϕ ) - prąd odbiornika
p
i
t
Psr
1
P = Pśr = ∫ u i dt
T 0
0
Po podstawieniu i przekształceniach
otrzymujemy:
ϕ
Icz
U
ϕ
Ib
ϕ
S
I
P
Moc czynna -
P = U I cos ϕ = U I cz
Moc bierna -
Q = U I sin ϕ = UI b
Q
Trójkąt mocy
Moc pozorna -
S =UI = P +Q
2
2
Kompensacja mocy biernej
Poprawa współczynnika mocy
I
Iodb
Podb
U
IC
Iodb
U
cosfodb
IC
Podb
U
C
f odb f I
cosf odb
U
f odb
Iodb
IC
Iodb
Obliczenie pojemności C jaką należy włączyć na
zaciski odbiornika aby zwiększyć współczynnik
mocy z cosfodb na cosf:
I odb cos ϕ odb tgϕ = I odb sin ϕ odb − I C
IC
tgϕ = tgϕ odb −
I odb cos ϕ
Podb = U I odb cos ϕ odb
I odb
Po podstawieniu:
IC = U ω C
otrzymujemy:
Podb
C=
(tgϕ odb − tgϕ )
2
ωU
oraz
Podb
=
U cos ϕ odb
Kompensacja mocy biernej (2)
I
IC
tgϕ =
Iodb
U
C
Podb
Q − QC
Q
= odb
Podb
Podb
Qodb = Ptgϕ odb
cosf odb
QC = Podb tgϕ odb − Podb tgϕ
IC
Iodb cosfodb
U
QC = Podb (tgϕ odb − tgϕ )
f
I
fodb
IC
Iodb
Iodb sinfodb
P
f
S
Q
U2
= U 2ω C
QC =
XC
P
C=
(tgϕ odb − tgϕ )
2
ωU
Obliczanie obwodów prądu
sinusoidalnego przy użyciu rachunku
zespolonego
Liczby zespolone (postać algebraiczna)
W = Wx + jW y
Im
j = −1
Wx = Re(W )
W
Wy
α
W y = Im(W )
Re
Wx
W =W
Warto zapamiętać!
W = Wx2 + W y2
j = −1
2
W = W cos α + j W sin α
1
=−j
j
Liczby zespolone (postać wykładnicza)
W = We
jα
W =W
Im
e jα = cos α + j sin α
e
j π2
W
Wy
= j
e jα = cos 2 α + sin 2 α = 1
α
Re
Wx
Wielkości sinusoidalne na płaszczyźnie
zespolonej
e
jα
Im
= cos α + j sin α
ω
e jα = cos 2 α + sin 2 α = 1
Wektor o amplitudzie
α
I
Re
2 I wirujący na płaszczyźnie zespolonej z prędkością ω.
2 Ie j (ωt +α ) = 2 I cos(ωt + α ) + j 2 I sin(ωt + α )
Wartość chwilowa
i = Im( 2 Ie j (ωt +α ) ) = 2 I sin(ωt + α )
Skuteczna wartość zespolona
Ie
jα
=I
Obwody z elementami R,L,C
R
IR
UR = IR R
UR
UR
IR
U L = I L jX L
XL
IL
UL
UL
f
UL = IL XL
IL
XC
IC
UC
IC
f
jX L = X L
UC
U C = I C (− jX C )
− jX C = X C
UC = IC X C
Szeregowe łączenie R,L,C
I
XC
XL
R
UR
U
UL
UL
UC
U
U = U R +U L +U C
U
Z =
I
def
f
UC
zastępcza impedancja
zespolona
Z = R + jX L − jX C
Z = Ze
jϕ
gdzie:
gdzie:
Z
Trójkąt impedancji
f
Z = R+ XL + XC
Z = R+ X
UR
I
X = j( X L − X C )
Z = R 2 + ( X L − X C )2
ϕ = arc (cos
R
X
) = arc (tg )
Z
R
R
X
Równoległe łączenie R,L,C
I
I = IR + I L + I C
IC
IR
U
IL
R
XL
XC
Po podzieleniu powyższego przez U otrzymujemy:
admitancja zespolona
Y = G − jBL + jBC
Y=
IC
IR
U
I 1
=
U Z
f
I
I = I R2 + ( I L − I C ) 2
IL
Y = G2 + B2
G
f
B
Y
Trójkąt admitancji
B = BL − BC
Moc zespolona
I
Moc zespolona Po podstawieniu:
Z
U
U = Ue jψ U
otrzymujemy:
Im
U
f
yU
yI
S =U I
*
oraz
I = Ie − jψ I
*
S = U Ie j (ψ U −ψ I ) = U I e jϕ
S =Se
jϕ
S = U I cos ϕ + jU I sin ϕ
I
Re
S = P + jQ
S
P
Q
Trójkąt mocy
S = P +Q
2
2
Szeregowe łączenie impedancji
I
Z1
Z2
U1
U2
Z3
U3
U
U = U1 +U 2 +U 3
U U1 U 2 U 3
=
+
+
I
I
I
I
zastępcza impedancja
zespolona
Z z = Z1 + Z 2 + Z 3 + ⋅⋅⋅
Równoległe łączenie impedancji
I
I1
Z1
I2
Z2
I = I1 + I 2 + I 3
I3
Z3
U
I I1 I 2 I 3
= + +
U U U U
1
1
1
1
=
+
+
+ ⋅⋅⋅
Zz Z1 Z 2 Z 3
zastępcza admitancja
zespolona
Y z = Y 1 + Y 2 + Y 3 + ⋅⋅⋅
Układy prądu trójfazowego
Napięcie trójfazowe (wytwarzanie)
Uc
120o
ω
Ua
120o
120o
Ub
B
ua
ub
Ua = Ub = Uc = U
Ua =U
uc
ωt
Ub =U e
− j 23π
=a U
j 2π
3
= aU
Uc =U e
przy czym:
a=e
j 2π
3
2
Prądnica napięcia trójfazowego
(zasada konstrukcji)
U
V’
U
Φ
V
W
W’
stojan
W
wirnik
V
U’
+
-
Układ trójfazowy jako zespół 3.symetrycznych obwodów jednofazowych
Zf
IA
UA
IB
UB
IC
UA
Zf
UB
Zf
IB
UB
f
IC
UA
f
f
IA
UC
UC
UC
Zf
IA
UA
UB
UAB
IB
UBC
UCA
IC
I0=0
UC
UA
UB
UB
UC
UAB
IB
UBC
UCA
Zf
IC
UB
UC
UA
f
IC
f
f
UC
Zf
UA
UB
IA
UC
IA
UA
Zf
IB
Zf
Zf
I0 = I A + IB + IC
W układzie symetrycznym:
I0 = 0
Układ czteroprzewodowy
IA
UA
UB
UAB
IB
UBC
UCA IC
UC
IO
U A = U B = UC = U f
napięcia fazowe
U AB = U BC = U CA = U
napięcia przewodowe (międzyfazowe)
Układ połączeń w gwiazdę
Z
IA
UAB
UA
UBC
UB
UA
IB
UCA
UB
IC
UC
UCA
30 o
IB
UB
UAB
IC
-UB
f
f
IA
30 o
-UC
UBC
U AB = U A − U B
U BC = U B − U C
30 o
f
I p =I f
Z
UC
UC
-UA
Z
U CA = U C − U A
UA
I p =I f
U p = 3U f
Układ połączeń w trójkąt
IA
A
UAB
UAB
IB
B
IBC
UBC
UCA
UBC
Zf
UCA
ICA
IC
Up =U f
I A = I AB − I CA
f
UAB
IB
30 o
f
-IAB
IBC
C
UBC
f
30 o
IA
IAB
-ICA
Z wykresu wektorowego wynika:
I p = 2 I f cos 30°
I B = I BC − I AB
I C = I CA − I BC
ICA
IC
30 o
Zf
C
UCA
IAB
Zf
B
-ICB
A
Zatem:
I p = 3I f
Moc w układzie 3-fazowym
Gwiazda
UAB
IB
B
UBC
Zf
IA
A
UCA
C
IC
Trójkąt
IA
A
UAB
UA
UB
Zf
IBC
UBC
UCA
C
UC
IAB
Zf
IB B
B
Zf
A
UAB
Zf
UCA
Zf
UBC
ICA
IC
C
P3 f = PA + PB + PC = 3P1 f
P3 f = PA + PB + PC = 3P1 f
U
P1 f = U f I f cos ϕ =
I cos ϕ
3
I
P1 f = U f I f cos ϕ = U
cos ϕ
3
Pgwiaz = 3U I cos ϕ
Analogicznie:
S3 f = 3U I
Ptrójk =
oraz
3 U I cos ϕ
Q3 f = 3U I sin ϕ