Rachunek zdań

Matematyka dla ekonomistów
I rok ekonomii
Rachunek zdań
Definicja 1. Zdaniem w sensie logicznym nazywamy takie zdanie oznajmujące, o którym
możemy powiedzieć, czy jest prawdziwe, czy fałszywe. Jeśli zdanie jest prawdziwe, to ma
wartość logiczną 1, a jeśli fałszywe, to ma wartość logiczną 0.
Definicja 2. Tautologią rachunku zdań nazywamy zdanie, które jest zawsze prawdziwe.
Podstawowe spójniki logiczne
negacja
p ∼p
0
1
1
0
koniunkcja
p q p∧q
0 0
0
0 1
0
1 0
0
1 1
1
alternatywa
p q p∨q
0 0
0
0 1
1
1 0
1
1 1
1
implikacja
p q p⇒q
0 0
1
0 1
1
1 0
0
1 1
1
równoważność
p q p⇔q
0 0
1
0 1
0
1 0
0
1 1
1
Zadanie 1. Pokazać, że następujące wyrażenia są prawami rachunku zdań
1. p ⇒ p (prawo tożsamości),
2. p∨ ∼ p (prawo wyłączonego środka),
3. [∼ (p ∧ q)] ⇔ (∼ p∨ ∼ q) (prawo de Morgana),
4. [∼ (p ∨ q)] ⇔ (∼ p∧ ∼ q) (prawo de Morgana),
5. (p ⇒ q) ⇔ (∼ p ∨ q) (prawo eliminacji implikacji),
6. ∼ (p ⇒ q) ⇔ (p∧ ∼ q) (prawo zaprzeczenia implikacji),
7. (∼ p ⇒ p) ⇒ p (prawo Claviusa),
8. p ⇒ (∼ p ⇒ q) (prawo Dunsa-Scota),
9. (p ⇒ q) ⇒ (∼ q ⇒∼ p) (prawo transpozycji),
10. [(p ⇒ q) ∧ p] ⇒ q (prawo odrywania),
11. [(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r)] ⇒ (p ⇒ r) (prawo przechodniości implikacji),
12. [p∧(q∨r)] ⇔ [(p∧q)∨(p∧r)] (prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy),
13. [p∨(q∧r)] ⇔ [(p∨q)∧(p∨r)] (prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji).
Zadanie 2. Ocenić wartość logiczną podanych zdań.
1. Jeśli liczba k jest liczbą pierwszą, to o ile k jest liczbą złożoną, to k = 7.
2. Dąb Bartek jest pomnikiem przyrody wtedy i tylko wtedy, gdy nie jest prawdą, że
nie jest prawdą, że dąb Bartek jest pomnikiem przyrody.
Zadanie 3. Podane wyrażenia doprowadzić do najprostszej postaci
Matematyka dla ekonomistów
I rok ekonomii
1. (p ∧ q)∨ ∼ (∼ p ⇒ q),
4. p ∧ {[(p ∨ q)∧ ∼ q] ⇒ q},
2. (p ∨ q)∨ ∼ (∼ p ⇒ q),
3. {p ⇒ [(∼ p ∨ q) ⇒ p]} ∧ q,
5. p∨ ∼ q∨ ∼ p ∨ (q∧ ∼ p) ∨ (∼ q ∧ p).
Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory
Definicja 3. Funkcją zdaniową nazywamy wyrażenie językowe zawierające zmienne wolne, które w wyniku związania tych zmiennych kwantyfikatorami lub podstawienia za nie
odpowiednich wartości staje się zdaniem.
Definicja 4. Wyrażenie „dla każdego” nazywamy kwantyfikatorem ogólnym (dużym) i
V
oznaczamy symbolem . Wyrażenie „istnieje” nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym
W
(małym) i oznaczamy symbolem .
Definicja 5. Jeśli φ((x1 , . . . , xn )) jest funkcją zdaniową zmiennych x1 , . . . , xn , to zbiór
{(x1 , . . . , xn ) : φ((x1 , . . . , xn ))} nazywamy wykresem funkcji zdaniowej.
Zadanie 4. Znaleźć wykresy funkcji zdaniowych
1. x2 − 4 ­ 0, x ∈ R,
2. |x| = |x − 1|, x ∈ R,
3. 1 ¬ |x| ¬ 3, x ∈ C,
4. (x + 1)(x − 3)(x − 2) = 0, x ∈ Z,
5. |x + 1| + |x + 2| = 1, x ∈ R.
Zadanie 5. Znaleźć wykresy funkcji zdaniowych φ(x, y), gdzie zakresem zmienności
każdej ze zmiennych jest zbiór R
1. x · y = 0,
6. |x| > y,
2. x ¬ y − 2,
7. |x · y| < 0,
3. x2 + y 2 > 4,
8. x ¬ y ∨ x2 + y 2 < 4,
4. x · y < 0,
9. x2 + 2x − 3 > 0,
10. y 3 − 1 ¬ 0.
5. x ¬ |y|,
Zadanie 6. Zakładając, że x, y, z ∈ R, znaleźć wykresy następujących funkcji zdaniowych
1.
2.
_
x
2
2
x + y = 1,
_
x
x · y = 1,
Matematyka dla ekonomistów
I rok ekonomii
3.
6.
2
^
_
2
x + y = 1,
(x2 + y 2 = 1 ∨ (x < x)),
x
x
7.
4.
^
^^
x · y = 1,
x
x
5.
x2 + y 2 ­ z,
y
8.
2
_
2
2
^
x +y =z ,
x
x + y 2 ­ 3.
x
Zadanie 7. Ocenić wartość logiczną zdań
5.
1.
^
x2 + 1 > 0,
^ _
x∈R
x + y = 3,
x∈R y∈R
2.
x2 + 2x − 3 = 0,
_
6.
x∈R
_ ^
3.
x−1
< 5,
x+2
^
x∈R
n∈N x∈R
7.
4.
_
xn ­ 0,
2
x + x + 1 ¬ 0,
x∈R
_ ^
n∈N x∈R
Zadanie 8. Wyznaczyć zbiór
1. A = {x ∈ R : [(|x + 1| < |x| + 1) ⇒ (x2 − 4 ¬ 0)]},
2. B = {x ∈ R : |2x − 3| ¬ 5 ⇒ |x2 − 2| < 2},
3. C = {(x, y) ∈ R2 : |x − 1| + |y| > 5 ⇒ 1 < x2 + y 2 ¬ 25}.
Zadanie 9. Zaznaczyć w układzie współrzędnych zbiory
1. A = {(x, y) ∈ R2 : |x · y| < 0 ⇒ x2 + y 2 = 0},
2. B = {(x, y) ∈ R2 : x < y ⇒ x2 + y 2 ¬ 1},
3. C = {(x, y) ∈ R2 : |x − 1| + |y| > 5 ⇒ 1 < x2 + y 2 ¬ 25},
4. D = {(x, y) ∈ R2 : |x + 1| > 1 ⇒ |2 − y| ¬ 2},
5. E = {(x, y) ∈ R2 : |x + 1| > 2 ⇒ |2 − y| ¬ 1}.
Zadanie 10. Znaleźć zbiory
xn > 0.
Matematyka dla ekonomistów
I rok ekonomii
1.
^
A = {x ∈ R :
a2 + 2x2 > x + ax},
a∈R
2.
_
B = {x ∈ R :
a2 − x2 − 2ax < x},
a∈R
3.
_
C = {x ∈ R :
a2 − x2 + ax < x}.
a∈R
Zadanie 11. Zapisać za pomocą symboli następujące funkcje zdaniowe
1. x jest liczbą nieparzystą,
2. x jest liczbą pierwszą,
3. pomiędzy liczbami n i 2n istnieje co najmniej jedna liczba pierwsza,
4. liczby x i y mają takie same dzielniki,
5. nie istnieje liczba największa,
6. każde dwie liczby równe trzeciej są równe między sobą.
Zadanie 12. Zapisać negacje poniższych wyrażeń bez użycia symbolu negacji
1.
^^
x
x ¬ y,
y
2.
^
(x < y ⇒
x,y∈R
_
x < q < y),
q∈Q
3.
_
(x < 3 ∨ ∀y (y > x ⇒ y ­ 3)),
x
4.
^
(x 6= y ⇒ (x < y ∨ y < x)),
x,y∈N
5.
^ _
(|x − 1| + |y| > 5 ⇒ 1 < x2 + y 2 ¬ 25).
x∈R y∈R
Literatura:
1. W. Marek, J. Onyszkiewicz, „Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach”, PWN
1975.
2. J. Kraszewski, „Wstęp do matematyki”, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 2007.