0YK GEOMETRII ANALITYCZNEJ Przestrzeni Euklidesowych: Z

×YK GEOMETRII ANALITYCZNEJ Przestrzeni Euklidesowych:
Z wyk÷
adu geometrii analitycznej (sem II) wiemy:
Odwzorowanie liniowe o macierzy ortogonalnej jest izometria¾ i odwrotnie:
izometria jest z÷
oz·eniem izomor…zmu o macierzy otogonalnej z przesunieciem.
¾
Formalniej: oznaczmy przez h ; i : Rn Rn ! R standardowy iloczyn skalarny
hv; wi = i v i wi :
Niech f : Rn ! Rn bedzie
¾
dowolnym odwzorowaniem liniowym. Trzy
warunki sa¾róz·nowaz·ne (patrz Geometria Analityczna przestrzeni Euklidesowych)
- jest to banalny fakt typu "ćwiczenia":
f jest izometria¾ (czyli zachowuje odleg÷ość de (v; w) = de (f (v) ; f (w)))
f zachowuje iloczyn skalarny hv; wi = hf (v) ; f (w)i
jego macierz w bazie ei jest ortogonalna.
Inzaczej mówiac:
¾ utoz·asamiajac
¾ macierz z odwzorowaniem liniowym o tej
macierzy mamy
O (n; R) = ff : Rn ! Rn ; f jest izomor…zmem liniowym i 8v 8w (hv; wi = hf (v) ; f (w)i) g
(1)
Nawet wiecej
¾ (mniej trywialny fakt) - jez·eli odwzorowanie dowolne f : Rn !
Rn takie, z·e f (0) = 0 jest izometria¾to jest liniowe i dalej j/w; dowolna izometria
g : Rn ! Rn jest postaci g (x) = g (0) + f (x) dla pewnej izometrii liniowej f
(czyli f (x) := g (x) g (0) jest liniowa i jest izometria,
¾ czyli ma macierz ON.
Zobaczmy ortogonalność macierzy izometrii wzgledem
¾
standardowego iloczynu
skalarnego hv; wi = i vi wi : Dla wersorów ei mamy ei ; ej = ij : Zatem macierz
odwzorowania dwuliniowego -iloczyn skalarny- to macierz jednostkowa 1n : Jez·eli
zapisać wektory z Rn w postaci macierzy 1-kolumnowych to hv; wi = v T 1n w;
istotnie
3 2
3
2
w1
1
0
7 6 .. 7
6
T
..
hv; wi = i vi wi = [v1 ; :::; vn ] 4
5 4 . 5 = v 1n w:
.
0
wn
1
Zde…niujemy macierz A izomor…zmu f : Rn ! Rn w taki sposób aby zachodzi÷
a równość f (v) = A v: Wybieramy sposób taki: niech f ei = j aij ej ;
wtedy określamy macierz A w postaci A = aij : [Druga metoda da macierz
transponowana¾ f (ei ) = j aji ej ]. Sprawdzamy
02
31
v1
5A = f i vi ei = i vi f ei = i vi j aij ej = j i aij vi ej
f (v) = f @4
vn
2
3 2 1
3 2
3
i
a1
an1
v1
i a1 vi
6
7 6
7 6 .. 7
..
..
= 4
5=4
5 4 . 5 = A v:
.
.
i
i an vi
a1n
ann
1
vn
Z dwuliniowości h; i widzimy, z·e warunek hv; wi = hf (v) ; f (w)i jest równowaz·ny
warunkom tylko dla bazy ei , ei ; ej = f ei ; f ej : Istotnie, gdy dla bazy
zachodzi to
i
i vi e ;
hv; wi =
=
i vi f
j
j wj e
ei ;
=
j wj f
ej
Dla macierzy A = aij ; f ei =
j
i
=
ei ; ej =
i:j vi wj
i j
k;r ak ar
=
k
aT
k
i
i j
j aj e
ek ; er =
ajk =
f ei ; f ej
= hf (v) ; f (w)i :
jest to równowaz·ne
ei ; ej = f ei ; f ej
=
i:j vi wj
k
i k
k ak e ;
=
i j kr
k;r ak ar
AT A
j
i
=
j r
r ar e
i j
k ak ak
:
Czyli
1 =AT A
Rozpatrzmy tylko izometrie posiadajace
¾ 0 jako punkt sta÷y. Sa to wszystkie
izomor…zmy liniowe o macierzy ortogonalnej.
1. Obrotem elementarnym w Rn rozumiemy izometrie¾ f : Rn ! Rn która
jest obrotem wzgledem
¾
pewnych dwu wspó÷
rzednych
¾
i identycznościa¾ wzgledem
¾
pozosta÷
ych wspó÷
rzednych.
¾
2. Izometria¾elementarna¾w Rn nazywamy z÷oz·enie skończonej ilości obrotów
elementarnych i przesuniecia.
¾
3. Izometrie¾ f : Rn ! Rn nazywamy zwyk÷¾
a (albo zachowujac
¾ a¾ orientacje)
¾
jez·eli jej wyznacznik jest równy +1 i nazywamy zwierciadlana¾(albo zmieniajaca¾
orientacje)
¾ jez·eli jej wyznacznik jest równy 1:
4. Izometrie zwyk÷
e tworza¾ grupe.
¾ Wszystkie macierze izometrii zwyk÷
ych
f : Rn ! Rn tworza¾ grupe¾ SO (n).
5. Kaz·da izometria zwyk÷a (czyli zachowujaca
¾ orientacje)
¾ jest izometria¾ elementarna,
¾ czyli jest z÷
oz·eniem obrotów elementarnych z przesunieciem.
¾
Zatem
wymiar SO (n; R) to ilość wyborów dwu zmiennych spośród n:
Ile jest wyborów dwu zmiennych spośród n ? Odpowiedź n2 = 2!(nn! 2)! =
n(n 1)
2
= dim SO (n; R) = dim O (n; R) : Dla n = 2 mamy wymiar 1; dla n = 3
mamy wymiar 3; dla n = 4 mamy wymiar 6:
2