Podstawy algebry liniowej Przez oznaczamy

Podstawy algebry liniowej
Przez
oznaczamy -wymiarową przestrzeń euklidesową, której
elementami są wektory postaci:
[
o składowych rzeczywistych, tzn.
]
.
Definicja – kombinacja liniowa wektorów
nazywamy kombinacją liniową wektorów
jeżeli
Wektor
∑
gdzie
,
Na przykład:
[ ]
[ ]
[ ]
Definicja – wypukła kombinacji liniowa
Wektor
nazywamy wypukłą kombinacją liniową wektorów
jeżeli
∑
przy czym
i
oraz
∑
Na przykład:
[ ]
[ ]
[
]
Definicja – układ liniowo niezależny
Układ wektorów
jeżeli równość
, nazywamy liniowo niezależnym,
∑
zachodzi tylko wtedy, gdy wszystkie
Np.:
[ ]
[ ]
(dla każdego
.
[ ]
Wniosek
W układzie wektorów liniowo niezależnych żadnego z tych wektorów
nie może przedstawić jako kombinacji liniowej pozostałych.
Twierdzenie
Układ wektorów jednostkowych w przestrzeni
niezależny
[ ]
[ ]
[ ]
jest liniowo
Definicja - baza
Niech
. Bazą zbioru nazywamy liniowo niezależny układ
wektorów
, taki, że dla każdego wektora
istnieją
współczynniki
, dla których:
⋀ ⋁
tzn. każdy element zbioru
liniową wektorów bazy.
∑
można przedstawić jako kombinację
Twierdzenie
Dowolny zbiór liniowo niezależnych wektorów w przestrzeni
jest bazą przestrzeni .
Twierdzenie
Dla ustalonej bazy zbioru dowolny element tego zbioru można
przedstawić w sposób jednoznaczny jako kombinację liniową
wektorów bazy.
Na przykład:
[ ]
gdzie kombinacja
[ ]
(
[ ]
jest jedyną możliwą.
Macierze
Przyjmijmy układ równań postaci:
(
gdzie:
Podzielmy macierz
,
.
według schematu:
(
jest podmacierzą stopnia m złożoną z kolumn
gdzie:
(
bazowych macierzy , natomiast
jest złożona z
pozostałych kolumn macierzy . Równanie ( przyjmie postać:
(
gdzie:
[
];
,
.
Wektor
nazywamy wektorem zmiennych bazowych, natomiast
wektorem zmiennych niebazowych, inaczej wtórnych.
Z równania (3) wynika wprost:
(
Zatem ustalając dowolną bazę
zbioru kolumn macierzy układu
równań (1) możemy z równania (4) wyznaczyć wektor zmiennych
bazowych. Ustalając w sposób dowolny wektor zmiennych
] jako rozwiązanie układu (1).
niebazowych, otrzymamy
[
Przyjmując najprościej
otrzymujemy:
(
Definicja – rozwiązanie bazowe układu
Rozwiązaniem bazowym układu
nazywamy takie
rozwiązanie (
, w którym wszystkie zmienne wtórne są
równe , tzn.
(
[
], gdzie:
(
;
.
Twierdzenie
Maksymalna liczba rozwiązań bazowych układu
jest równa
maksymalnej liczbie -liniowo niezależnych kolumn spośród
wszystkich -kolumn macierzy , a zatem wynosi ( ).
Twierdzenie
Jeśli układ równań
nie jest sprzeczny, to ma co najmniej
jedno rozwiązanie bazowe.
Przykład
Dany jest układ równań liniowych
czyli w zapisie wektorowym
[ ]
[ ]
[
]
[
]
[ ]
Jedną z baz tego układu jest
[
]
złożona z wektorów odpowiadających zmiennym
i
.
Zatem w odpowiadającym tej bazie rozwiązaniu bazowym zmienne
wtórne
Stąd otrzymujemy
a więc
i
.
Rozwiązaniem bazowym dla powyższej bazy jest zatem
Rozwiązanie powyższe można otrzymać natychmiast z równania
(5), znajdując uprzednio macierz odwrotną
[
]
Podstawiając do (5) otrzymujemy
[ ]
[
][ ]
[ ]
Jeśli jednak przyjmiemy inną bazę układu, złożoną z pierwszej i
trzeciej kolumny macierzy , tzn.
[
to zmiennymi wtórnymi będą wtedy
a więc
i
i rozwiązanie bazowe to
]
, skąd
Ponieważ można zauważyć, że każde dwie kolumny macierzy
danego układu równań są liniowo niezależne, więc można wyróżnić
( )
różnych baz zbioru wektorów macierzy , a zatem 6
różnych rozwiązań bazowych.
Zbiory wypukłe
Definicja – zbiór wypukły
Zbiór C nazywamy wypukłym wtedy i tylko wtedy, gdy każda
wypukła kombinacja liniowa dowolnej liczby punktów tego zbioru
również należy do tego zbioru.
Definicja – punkt wierzchołkowy
Punktem wierzchołkowym zbioru wypukłego C nazywamy taki punkt,
którego nie da się przedstawić jako wypukłą kombinację liniową
dwóch innych różnych punktów zbioru C.
Definicja – zbiór wielościenny wypukły
Zbiorem wielościennym wypukłym nazywamy przecięcie skończonej
liczby półprzestrzeni domkniętych postaci:
których hiperpłaszczyzny generujące
wszystkie przez ten sam punkt:
Zbiór wielościenny wypukły
nie przechodzą
Definicja – wielościan wypukły
Wielościanem wypukłym nazywamy zbiór wielościenny wypukły
ograniczony.
Twierdzenie
Jeżeli zbiór jest wielościanem wypukłym, to każdy jego punkt da się
przedstawić jako wypukłą kombinację liniową punktów
wierzchołkowych tego wielościanu.
Wniosek
Wielościan wypukły jest zbiorem wypukłym ograniczonym o
skończonej liczbie punktów wierzchołkowych.
Twierdzenie
Zbiór rozwiązań układu
jest zbiorem wielościennym
wypukłym, a jeśli jest ograniczony, to jest wielościanem wypukłym.
Własności problemów PL (w postaci standardowej)
Twierdzenie
Zbiór
rozwiązań dopuszczalnych problemu PL jest zbiorem
wielościennym wypukłym, a jeśli jest ograniczony, to jest
wielościanem wypukłym.
Definicja – rozwiązanie dopuszczalne bazowe
Rozwiązanie bazowe układu ograniczeń
spełniających
warunek brzegowy
nazywamy rozwiązaniem dopuszczalnym
bazowym.
Twierdzenie
Istnieje odwzorowanie wzajemnie jednoznaczne (1:1) pomiędzy
rozwiązaniami dopuszczalnymi bazowymi układu równań
,a
punktami wierzchołkowymi zbioru rozwiązań dopuszczalnych .
Twierdzenie
Jeżeli problem PL nie jest sprzeczny i funkcja celu jest ograniczona
z góry (maksimum) na zbiorze , to rozwiązanie optymalne
problemu leży w co najmniej jednym punkcie wierzchołkowym zbioru
rozwiązań dopuszczalnych .
Twierdzenie
Jeżeli problem PL ma więcej niż jedno rozwiązanie optymalne to
każda wypukła kombinacja tych rozwiązań jest również
rozwiązaniem optymalnym.
Wniosek
Jeżeli rozwiązań optymalnych jest więcej niż jedno, to jest ich
nieskończenie wiele.
Podsumowanie
Rozwiązań optymalnych problemu PL należy szukać wśród
dopuszczalnych rozwiązań bazowych układu ograniczeń
.
Niestety w ogólności rozwiązań dopuszczalnych bazowych może
być maksymalnie tyle, ile różnych baz, czyli ( ). Wyklucza to
możliwość przeszukania wszystkich rozwiązań dopuszczalnych
bazowych dla większych rozmiarów problemu. Stąd potrzebny jest
efektywny algorytm rozwiązywania problemu PL, który nie
przeszukuje wszystkich rozwiązań dopuszczalnych bazowych.