Wzory na działania na wektorach bez układu współrzędnych

Wzory na działania na wektorach
bez układu współrzędnych
Dodawanie wektorów

b
 
a+ b

a
Odejmowanie wektorów Mnożenie wektora
przez liczbę

b
 
a− b

a

a
Mnożenie skalarne wektorów (liczba)
r r r r
r r
a o b = a b cos Ra , b
(
)
Własności:
r r r r
a ob = b oa


Rzut wektora a na oś o kierunku wektora b :

a
r r
r
a ob
r
cos Ra , b = r r
a b
Kąt pomiędzy wektorami:
(

ab
)

b
r r r
a ob
r
ab = r 2 b
b
Prostopadłość wektorów:
r r
r r
a ⊥ b wtedy i tylko wtedy , gdy a o b = 0
Długość wektora:
r
a =
r r
aoa
r r
r2
a oa = a
Mnożenie wektorowe wektorów (wektor)
r r
r r
r r
a × b = a b sin R a, b
r
Wektor ar ×
Wektor a ×
(

5a
)
r r
r
br jest prostopadły do wektorów
a
r r r irb
b ma zwrot taki, że trójka a, b, a × b
ma orientację zgodną z orientacją przestrzeni (reguła
prawej dłoni)
Własności:
r r
r r
a× b = − b× a
Dwa wektory
(równoległe), wtedy i tylko
r są
r kolinearne
r
wtedy, gdy a × b = 0
r r r
a× a = 0
Pole równoległoboku i trójkąta:

r r
1 r r
P
=
a
×
b
PY = a × b
b
V
2
eTrapez Krystian Karczyński
http://www.etrapez.pl/

a
 
a× b 
b

a
r r r
a o b× c
(
Iloczyn mieszany wektorów (liczba)
)
Własności:
Zamiana kolejności pary wektorów w iloczynie nieparzystą ilość razy zmienia znak iloczynu,
a parzystą ilość razy nie zmienia.

Komplanarność wektorów:

b
Trzy wektory są komplanarne
r r(leżą
r na jednej płaszczyźnie)
a 
wtedy i tylko wtedy, gdy: a o ( b × c ) = 0
c
Objętość równoległościanu i czworościanu
(ostrosłupa)
  
V = a b× c
(
)
1   
V = a  b× c
6
(
)
KONIEC
eTrapez Krystian Karczyński
http://www.etrapez.pl/

c

b

a