Zadania 1. Pakowanie plecaka 2. Produkcja złota srebra i bronzu

Michał Lewandowski Zajęcia 3 DMBO Zadania 1. Pakowanie plecaka Jasiu wybiera się na wycieczkę i bierze ze sobą plecak, którego maksymalna waga nie może przekraczać 28 kg. Ponieważ Jasiu uczy się teorii decyzji, umie też stwierdzić ile dla niego jest warte wzięcie konkretnego przedmiotu: Przedmiot Waga Wartość Sprzęt do nurkowania 8 12 Kajak 10 16 Ksiązki 6 8 Sprzęt do pływania na desce 8 11 Ponton 12 19 Sprzęt do wspinaczki 14 22 a) Sformułuj zadanie spakowania plecaka b) Pokaż, w jaki sposób dodać następujące ograniczenia: a. Jeśli weźmie kajak, to nie weźmie książek b. Jeśli weźmie ponton, to weźmie sprzęt do nurkowania c. Weźmie sprzęt do nurkowania lub sprzęt do wspinaczki d. Weźmie kajak albo ponton, ale nie oba na raz 2. Produkcja złota srebra i bronzu Ciprzbog optymalizuje produkcję sztabek metali szlachetnych. Dane są następujące: Sztabka złota Sztabka Sztabka Dostępne srebra bronzu Praca 2 4 5 100 Ołów 1 1 1 30 Kurz 10 5 2 204 Zysk 52 30 20 Koszt 500 400 300 aparatury Michał Lewandowski Zajęcia 3 DMBO Żeby zaszła odpowiednia reakcja, potrzebna jest skomplikowana aparatura, inna do produkcji każdego z metali. Trzeba ponieść duży koszt początkowy, jeśli chce się produkować dany metal, ale później nie ma już dodatkowych kosztów, jedynie ograniczona dostępność surowców. a) Sformułuj problem w postaci programowania całkowitoliczbowego 3. Poleje się ropa ) Daniel Plainview znalazł złoża ropy naftowej i postawił tam szyb do wydobywania cennego surowca. Okazało się, że złoża ropy w tym miejscu wynoszą milion baryłek, a Daniel, który nie cierpi konkurencji, chce wszystko wydobyć w ciągu 10 lat. Stopa procentowa, która jest alternatywnym kosztem kapitału dla Daniela wynosi 8 procent. Ponieważ czasy są trudne, a im więcej ropy Daniel wydobywa, tym bardziej zwraca na siebie uwagę konkurentów, musi zatem wynajmować tym więcej rewolwerowców do obrony szybu, im więcej wydobywa ropy. W rezultacie, przepływ pieniężny generowany przez szyb ropy charakteryzuje się malejącymi korzyściami skali i jest funkcją potęgową wydobycia ropy z wykładnikiem równym 0.8. Jak Daniel Plainview powinien zaplanować roczne wydobycie ropy na 10 lat? Sformułuj problem decyzyjny oraz przedstaw jego rozwiązanie za pomocą dodatku Solver. Michał Lewandowski Zajęcia 3 DMBO 4. Mieczniki Kapitan Billy Tyne łowi mieczniki (swordfish) na północnym Atlantyku na kutrze Andrea Gail. Kapitan chce maksymalizować strumień przyszły pieniężny z połowu mieczników na najbliższe 30 lat. Początkowy zasób mieczników w łowiskach, które odwiedza Andrea Gail wynosi 1 000. Koszt połowu zależy od jego wielkości, ponieważ przy dużym połowie trzeba zabrać więcej osób załogi, ryzyko uszkodzenia sprzętu jest większe, trzeba płynąć na bardziej odległe łowiska, etc. Jednak, jeśli zasób ryb w morzu jest duży łatwiej złapać rybę, dlatego koszt jest mniejszy [C(u,x)=4000*u/x]. Wszystkie złowione mieczniki kapitan może sprzedać znajomemu handlarzowi za 10 dollarów za sztukę i cena ta się nie zmienia w czasie. Zasób mieczników się regularnie odnawia a szybkość tego odnawiania zależy od ilości mieczników [f(x)=150 sin(1/200*(x0‐600)) ]. Ze względu na możliwości techniczne oraz prawo, w jednym okresie nie można złowić więcej niż 400 mieczników. Sformułuj problem maksymalizacji przyszłych strumieni pieniężnych z połowu mieczników (stopa procentowa wynosi 0.9) oraz rozwiąż zadanie w Excelu. Michał Lewandowski Zajęcia 3 DMBO 5. Wall Street Akcje firmy Kaktus mogą przyjmować ceny w zbiorze {1 PLN,…,100 PLN}. Bieżąca cena akcji firmy Kaktus wynosi 50 PLN. Dostępna jest obligacja zerokuponowa (zero‐coupon bond) za cenę 0.9 PLN, Europejska opcja typu call z datą wygaśnięcia (expiry date) za jeden rok z ceną wykonania 50 PLN po cenie 10 PLN. Jest także europejska opcja typu put z datą wygaśnięcia za rok z ceną wykonania 50 PLN, ale nie znamy jej ceny. Spread motyla (butterfly spread) to kontrakt finansowy, który wypłaca inwestorowi max(K‐|L‐S|,0), jeśli cena akcji wyniesie S w określonym czasie T w przyszłości, gdzie K, L oraz T to parametry kontraktu. Rozważmy spread motyla, który ma datę wykonania za rok a K=10, L=50. a) Jaka jest rozsądna wolna od arbitrażu cena opcji typu put opisana powyżej? b) Jakie są wektory wypłat dla dostępnych instrumentów finansowych? c) Jaki jest wektor wypłat dla spreada motyla? d) Sformułuj program liniowy, aby znaleźć najtańszy super‐replikujący portfel (super‐replicating portfolio) i rozwiąż w Excelu. e) Rozważ sytuację z kosztami transakcyjnymi. Musisz zapłacić 0.5 PLN za akcję, 0.1 PLN za obligację, 0.2 PLN za opcję call i 0.15 PLN za opcję put (zarówno przy zakupie jak i sprzedaży). Zmień problem powyżej, aby uwzględnić koszty transakcyjne.