LISTA 4 1.Na pewnym obszarze dokonano 40 pomiarów grubości

LISTA 4
1.Na pewnym obszarze dokonano 40 pomiarów grubości warstwy piasku
otrzymując w m.:
54, 58, 64, 69, 61, 56, 41, 48, 56, 61, 70, 55, 46, 57, 70, 55, 47, 62, 55,
60, 54 ,57 ,65 ,60 ,53 ,54, 49 ,58 ,62 ,59 ,55 ,50 ,58, 63, 64, 59, 52, 65, 58,
60. Dla przedstawionej próby zbudować szereg rozdzielczy oraz naszkicować
histogram i dystrybuantę empiryczną. Wyznaczyć średnią, medianę, modalną,
kwantyl dolny i górny, wariancję, współczynnik zmienności.
2.W pewnym punkcie sieci elektrycznej mierzono co godzinę istniejące
napięcie (w V) otrzymując 21 danych: 234, 220, 230, 218, 220, 219, 224,
223, 220, 218, 221, 229, 225, 220, 221, 216, 220, 219 ,232 ,227 ,221. Dla
przedstawionej próby wyznaczyć wielkości jak w zad.1.
3. Dokonano 8 pomiarów pewnej odległości i otrzymano (w m): 201,
195, 207, 203, 191, 208, 198, 210. Wiadomo,że rozkład błędu pomiaru
jest normalny o średniej 0 i wariancji 9. Wyznaczyć przedział ufności dla
mierzonej odległości na poziomie ufności 0.95.
Ponadto, wykonano 5 dodatkowych pomiarów i otrzymano:201, 196, 200,
195, 208. Korzystając ze wszystkich pomiarów wyznaczyć jeszcze raz przedział
ufności dla mierzonej odległości oraz porównać długości przedziałów.
4.Na podstawie 100 prób oszacowano średni czas pracy potrzebny do
wyprodukowania elementu i uzyskano (w s): x = 5.5 oraz s = 1.7.Wyznaczyć
przedział ufności dla wartości oczekiwanej czasu produkcji na poziomie: a) 0.90
oraz b) 0.80. Który jest dłuższy?
5.Dla 10 obserwacji cechy o rozkładzie normalnym otrzymano:
7; 7.5; 8.5; 8; 6; 7.5; 6.5; 5.5; 7.5; 6. Wyznacz i porównaj przedział
ufności dla parametru m na tym samym poziomie ufności gdy : a) σ = 0.5,
b) σ nieznane.
6.Klasa przyrządu jest związana z odchyleniem standardowym wykonywanych
nim pomiarów. W celu zbadania klasy przyrządu służącego do pomiaru masy
wykonano nim 12 pomiarów masy tego samego ciała (w mg):
101, 105, 98, 96, 100, 106, 100, 95, 95, 101, 94, 98.
Przy założeniu, że wyniki pomiaru mają rozkład normalny wyznaczyć 95%
przedział ufności dla odchylenia standardowego.
7.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów
1
natężenia tego samego pola magnetycznego i otrzymano (w Oe):
8, 10, 15, 12, 18, 9, 10, 12, 14, 12. Przyjmując poziom ufności
0.95 wyznaczyć przedział ufności dla wartości oczekiwanej oraz dyspersji
(odchylenia standardowego) wyników pomiaru tym magnetometrem.
8.Błąd pomiaru wysokości wieży ma rozkład normalny o wariancji 400m2 .
Ile pomiarów należy wykonać, aby na poziomie ufności 0.9 oszacować wysokość
wieży w przedziale ufności długości 15m?
9.Aby oszacować ile procent wyborców (p%) jest zdecydowanych poprzeć
danego kandydata w najbliższych wyborach przeprowadzono ankietę wśród
n losowo wybranych osób (n ≥ 100) . Na pytanie: czy będziesz głosować na
danego kandydata; ankieta przewidywała 2 odpowiedzi: ”TAK” albo ”NIE”.
Wyznacz przedział ufności dla p na poziomie ufności 1 − α. Przy jakim n
długość przedziału ufności będzie mniejsza niż 0.05 (5%.)
Wykonaj obliczenia dla: n = 200, 180 odpowiedzi ”TAK”, 1 − α = 0.95.
10.W celu zbadania szczelności pojemników pewnej firmy, wylosowano
niezależnie do próby i sprawdzono szczelność 100 pojemników, wykrywając 16
nieszczelnych. Przyjmując poziom ufności 0.99 oszacować procent nieszczelnych
pojemników.
Odpowiedzi:
zad.3 dla n=8 mamy 199.52 < m < 203.7,
dla n=13 mamy 199.37 < m < 202.63
zad.4 a) 5.22 < m < 5.78; b) 5.28 < m < 5.72.
zad.6 2.8 ≤ σ ≤ 6.7
zad.7 9.84 < m < 14.16 oraz 4.31 ≤ σ 2 ≤ 30.37.
zad.8 n ≥ 20.
zad.10 6% < p < 25.4%
LISTA 5
1. Hipotezę,że wadliwość produktu wynosi 0.1 sprawdzano następująco: z
dużej partii towaru wybierano losowo 100 produktów. Jeśli wśród nich jest
mniej niż 17 wadliwych to całą partię towaru uznajemy za wystarczająco
dobrą, w przeciwnym przypadku partię uznajemy za złą. Obliczyć błąd I
rodzaju. Wskazówka: rozkład Bernoulliego przybliżyć rozkładem normalnym.
2.Aby zweryfikować hipotezę o symetryczności monety H: p = 0.5 przeciwko
K: p 6= 0.5 wykonano nią n = 100 rzutów. Wyznaczyć obszar krytyczny na
poziomie istotności:
2
a) α = 0.1,
b) α = 0.05 .
Zweryfikować hipotezę H gdy w 100 rzutach monetą było 59 orłów dla a)
oraz b).
3.Niech (X1 , X2 , ..., Xn ) będzie próbą prostą, że Xk ma rozkład N(m,1).
Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę H: m=4, przeciwko
K:m > 4, gdy n=25 oraz zaobserwowano x = 4.3. Podać wartość p-value.
4.Producent twierdzi,że długość życia produkowanych przez niego baterii
ma rozkład normalny o średniej 48h. Długość życia dla zbadanych 7 baterii
wyniosła: 44, 46, 49, 42, 51, 40, 45. Czy obserwacje te przeczą hipotezie
producenta o średniej długości życia baterii ? Zweryfikować hipotezę dla
α = 0.02.
5.Przyjmując, że waga odczynnika w pewnego typu opakowaniach jest
zmienną losową o rozkładzie N(m, σ) zweryfikować na poziomie istotności
α = 0.1 hipotezę H: m=100 przeciwko K: m 6= 100 dla następujących
obserwacji: 95, 103, 104, 97, 100.
6.Zużycie energii elektrycznej (w kWh) przez pewną firmę w 10 losowo
wybranych dniach było następujące:
104, 100, 105, 110, 106, 105, 102, 105, 107, 106. Zakładając,że zużycie
energii ma rozkład normalny , na poziomie istotności α = 0.025 zweryfikować
hipotezę H: σ 2 = 10 przeciwko K: σ 2 > 10.
7.Producent twierdzi, że produkowany przez niego przyrząd nie popełnia
błędu systematycznego oraz odchylenie standardowe wyników pomiaru wynosi
σ = 0.01. W celu sprawdzenia przyrządu wykonano nim 10 niezależnych
pomiarów wzorca m=10.00 i uzyskano:
9.97, 9.97, 10.00, 10.01, 9.99, 10.01, 10.00, 10.02, 10.00, 10.03.
Zakładając, że wyniki pomiaru mają rozkład normalny zweryfikować na poziomie
istotności α = 0.01:
a) hipotezę producenta o błędzie systematycznym oraz
b) hipotezę σ = 0.01 przeciwko hipotezie, że rzeczywiste odchylenie jest
większe.
8.Pewien eksperymentator twierdzi, że opracował nową (lepszą) metodę
odsiarczania gazów przemysłowych. Dokonano pomiarów zawartości siarki i
otrzymano dla metody:
starej: 17, 11, 22, 18, 15, 13, 14, 16
3
nowej: 15, 12, 10, 18, 14, 15, 13.
Przyjmując, że zawartość siarki ma rozkład normalny zweryfikować odpowiednią
hipotezę na poziomie istotności α = 0.05.
9.Błędy pomiarów dla 2 przyrządów mają rozkład normalny o takiej samej
wariancji, równej 3. Badając zgodność pomiarów wykonano po 6 pomiarów
każdym przyrządem i otrzymano: x1 = 66.7, x2 = 67.3;
a)zweryfikować odpowiednią hipotezę na poziomie istotności α = 0.05;
10.W wyniku pomiarów temperatury w 20 takich samych zbiornikach
wykorzystywanych w procesie produkcji otrzymano w stopniach Celsjusza
x = 4.8. Zakładając, że temperatura utrzymywana w zbiornikach jest zmienną
losową o rozkładzie normalnym N(m,0.1) na poziomie istotności α = 0.1
zweryfikować hipotezę H: m = 5 przeciwko alternatywie:
a) K: m < 5 oraz b) K: m 6= 5
11.Pomiary napięcia prądu mają rozkład normalny. Dokonano 15 niezależnych
pomiarów napięcia i otrzymano S 2 = 1.4. Na poziomie istotności α = 0.05
zweryfikować hipotezę, że wariancja pomiarów wynosi 1.2.
Odpowiedzi
zad.1 α = 0.0038 zad.2 a) Q = {0, 1, ..., 41} ∪ {59, 60, ..., 100}, odrzucamy
H gdy zaobserwowano 59 orłów
b)Q = {1, 2, ..., 40} ∪ {60, 61, ...100}, nie ma podstaw do odrzucenia H gdy
zaobserwowano 59 orłów.
zad.3 Q = (1.64; ∞); u=1.5, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
p-value =0.0768, zad.4 t=-1.877 ,6 stopni swobody Q = (−∞, −0.906),
odrzucamy hipotezę
zad.5 t=-0.17, 4 st.swobody, Q = (−∞, −2.132)∪(2.132, ∞), nie ma podstaw
do odrzucenia H
zad.6 χ2 = 6.1, 9 st.swobody, Q = (19.02, ∞), nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy
zad.7 a) H: m=0 (błąd systematyczny wynosi 0 )
K: m 6= 0
t=0, 9 st.swobody, Q = (−∞, −3.25)∪(3.35, ∞), nie ma podstaw do odrzucenia
hipotezy H
b) H: σ 2 = 0.0001 przeciwko K: σ 2 > 0.0001
χ2 = 34, 9 st.swobody, Q = (21.67, ∞), odrzucamy H na podanym poziomie
istotności
zad.8 H: ms = mn przeciwko K: ms > mn
t=1.48, 13 st.swobody Q = (1.771, ∞), nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy
4
H
zad.9 a) H: m1 = m2 przeciwko K: m1 6= m2
u=-0.6, Q = (−∞, −1.96) ∪ (1.96, ∞) , nie ma podstaw do odrzucenia H
zad.11 χ2 = 17.5, 14 st.swobody Q = (23.68, ∞), nie ma podstaw do odrzucenia
H
LISTA 6
1.W celu sprawdzenia symetryczności kostki do gry wykonano nią 120
rzutów i otrzymano:
1 2 3 4 5 5
liczba oczek
liczba rzutów 11 30 14 10 33 22
Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę,że kostka jest
symetryczna.
2.Zmienna losowa X oznacza liczbę kolizji komunikacji miejskiej w ciągu
jednej doby.Na podstawie obserwacji próby prostej: 3,2,2,1,4,0,4,2,3 zweryfikować
hipotezę ,że X ma rozkład Poissona z λ = 2. Przyjąć α = 0.025.
3.Prześwietlono 100 niezależnych próbek tego samego materiału i uzyskano
następujące liczby skaz:
liczba skaz
0 1 2 3 4 5
liczba próbek 10 27 29 19 8 7
Na poziomie istotności α = 0.01 zweryfikować hipotezę, że rozkład liczby
skaz w próbkach ma rozkład Poissona.
4.W pewnym doświadczeniu mierzy się czas występowania określonego
efektu świetlnego. Dla 1000 niezależnych doświadczeń uzyskano:
czas efektu [0-2) [2-4) [4-6) [6-8) [8-10)
liczba dośw. 90
140 320 300
150
Zweryfikować na poziomie istotności α = 0.05 hipotezę,że czas występowania
efektu świetlnego ma rozkład normalny.
5.Zbadano zależność między ilością pewnej substancji dodawanej do produkcji
wyrobu a jego wagą i otrzymując:
ilość substancji 1 2 4 6 7
waga wyrobu 52 53 48 50 52
5
a) czy istnieje zależność między ilością dodawanej substancji a wagą
wyrobu?
b) wyznaczyć równanie prostej regresji
c) obliczyć spodziewaną wagę wyrobu, gdy do produkcji dodamy 8 jednostek
substancji
d) obliczyć współczynnik korelacji rang Spearmana.
Odpowiedzi
zad.1 χ2 = 24.50, Q = (11.07, ∞), odrzucamy hipotezę
zad.2 χ2 = 2.8434,4 st.swobody Q = (11.141, ∞), nie ma podstaw do
odrzucenia hipotezy
zad.3 χ2 = 4.4107, 5 st.swobody Q = (13.277, ∞) , nie ma podstaw do
odrzucenia hipotezy
zad.4 χ2 = 52, 43, r=5, 2 st.swobody Q = (5.991, ∞) , odrzucamy hipotezę
zad.5 a) r=-0.27, b) y = −0.23x + 51.92
c) 50.08, d) rs = −0.275
6