Statystyka Stosowana Lista zadań 3 Estymacja i testowanie hipotez

Zespół Zamiejscowych Ośrodków Dydaktycznych w Wałbrzychu
Statystyka Stosowana
Lista zadań 3
Estymacja i testowanie hipotez
1. Niech X1 , X2 , . . . , Xn będzie próbą prostą pochodzącą z populacji o rozkładzie Poissona z
nieznanym parametrem λ. Do oszacowania λ użyto estymatorów X̄ i Ŝ 2 . Który z nich jest
estymatorem nieobciążonym parametru λ?
2. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie dwumianowym z parametrami n i p, gdzie
n ∈ N, 0 < p < 1 oraz p jest nieznane.
(a) Sprawdzić, czy statystyka
X
n
jest estymatorem nieobciążonym parametru p.
(b) Dla jakiej wartości c statystyka T = c Xn 1 −
rametru θ = p(1 − p)?
X
n
jest estymatorem nieobciażonym pa-
3. Metodą momentów znaleźć estymator parametru a w populacji jednostajnej na odcinku
[a, a + 1]. Czy jest to estymator nieobciążony i zgodny?
4. Znaleźć metodą największej wiarygodności estymator prawdopodobieństwa sukcesu p w pojedynczym doświadczeniu. Następnie korzystając z niego oszacować p dla n = 100 niezależnych i jednakowych doświadczeń, w których otrzymano m = 65 sukcesów.
5. Zbadać nieobciążoność i zgodność estymatorów otrzymanych metodą największej wiarygodności:
(a) dla parametru λ w rozkładzie Poissona,
(b) dla parametru p w rozkładzie dwumianowym z parametrami n i p.
(c) dla parametrów m i σ 2 w rozkładzie normalnym.
6. Wyznaczyć metodą momentów i metodą największej wiarygodności estymator parametru a
w rozkładzie o gęstości
(
2x/a dla 0 < x < a,
f (x) =
0
dla x 6∈ (0, a).
7. Dla danych −0.1, 0.15, 0.1, −0.05, oszacować na poziomie ufności 1 − α = 0.9 wartość
oczekiwaną przyjmując, że rozkład jest normalny oraz σ = 0.1.
8. Wytrzymałość pewnego materiału budowlanego ma rozkład normalny N (m, σ). Próba n = 5
elementowa wylosowanych sztuk tego materiału dała wyniki: x̄ = 20.8N/cm2 , s = 2.8N/cm2 .
Na poziomie ufności 0.99 zbudować przedział ufności dla średniej m.
9. Zbadano czas świecenia 26 żarówek i uzyskano x̄ = 1221h i s = 432h. Zakładając, że
czas świecenia żarówek ma rozkład normalny oszacować metodą przedziałową średni czas
świecenia żarówek. Przyjąć poziom ufności 0.99.
10. Zakładając, że kwartalne wydatki na reklamę (w tys. zł) mają rozkład normalny, wylosowano
do próby 100 zakładów usługowych i otrzymano następujący rozkład wydatków na reklamę
Kwartalne wydatki na reklamę
Liczba zakładów
0 - 5 5-10 10 - 15 15 - 20
10
20
40
30
Oszacować metodą przedziałową odchylenie standardowe wydatków na reklamę na poziomie
ufności 0.95.
11. W pewnej przychodni wśród losowo wybranych 980 osób poddanych prześwietleniu płuc
stwierdzono zmiany chorobowe u 10 osób. Wyznaczyć na poziomie ufności 0.95 przedział
ufności dla frakcji osób chorych wśród wszystkich pacjentów obsługiwanych przez tą przychodnię.
12. Wylosowano 48 ziaren pszenicy i zbadano w nich zawartość białka (w procentach). Otrzymano średnią równą 16,8% i odchylenie standardowe 2,1%. Znaleźć przedziały ufności dla
wartości średniej i wariancji zawartości białka w ziarnach pszenicy w całej partii.
13. Przyjmując, że średnice śrub pochodzących z masowej produkcji mają rozkład normalny, w
którym jest znane σ = 0.1 mm, na poziomie istotności 0.02 zweryfikować hipotezę H0 : m =
8mm przeciwko hipotezie H1 : m > 8mm w oparciu o następujące wyniki pomiarów pięciu
wybranych przypadkowo śrub: 8.31, 8.40, 8.35, 8.36, 8.28.
14. Z próby 10 elementowej o rozkładzie normalnym obliczono x̄ = 4.7, s = 0.5. Na poziomie
istotności α = 0.01 zweryfikować hipotezę orzekającą, że wartość oczekiwana wynosi 5.
15. W pewnym teście przeprowadzonym na wylosowanych 50 dzieciach otrzymano następujący
rozkład wyników liczby zapamiętanych przez dzieci elementów
Liczba elementów 15 - 20 20 - 25 25 - 30 30 - 35 35 - 40 40 - 45 45 - 50
Liczba dzieci
6
8
12
10
7
4
3
Sprawdzić hipotezę, że średnia liczba zapamiętanych przez dzieci elementów w teście wynosi
35. Przyjąć poziom istotności α = 0.02.
16. Na pudełkach zapałek napisane jest: średnio 64 zapałki. Celem zweryfikowania hipotezy
H0 : m = 64 przeliczono zapałki w n = 100 przypadkowo wybranych pudełkach i okazało
się, że jest x̄ = 63, a s2 = 25. Zweryfikować tę hipotezę na poziomie istotności α = 0.05 gdy
hipoteza alternatywna jest postaci
(a) H1 : m < 64,
(b) H1 : m =
6 64?
17. Stopy zwrotu z inwestycji A i B są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych o tych samych wariancjach. Stopy zwrotu w przeszłości były równe (w procentach):
A: 9, 5, 4, 0, -2, 8, 1
B: -4, 8, 5, 1, 4, 2.
Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę, że oczekiwane stopy zwrotu z obu
inwestycji są takie same przeciw hipotezie, że oczekiwana stopa zwrotu z inwestycji A jest
większa.
18. Cechy X i Y w dwóch populacjach mają rozkłady normalne o tej samej wariancji σ 2 = 2.5.
Z dwóch niezależnych prób prostych o liczebności odpowiednio 100 i 120 obliczono x̄ = 1.15
i ȳ = 1.05. Czy można twierdzić, że średnie w tych populacjach są takie same? Przyjąć
poziom istotności α = 0.05.
19. W 100 rzutach monetą otrzymano 55 orłów. Testem chi-kwadrat Pearsona zweryfikować
hipotezę, że prawdopodobieństwa wyrzucenia orła i reszki są takie same. Przyjąć poziom
istotnści α = 0.05.
20. Obserwując liczbe awarii w sieci wodno - kanalizacyjnej w ciągu 100 dni w pewnym rejonie
miasta otrzymano dane
Dzienna liczba awarii 0
Liczba dni
22
1 2 3 4
30 22 16 10
Czy na poziomie istotności α = 0.05 można twierdzić, że rozkład liczby awarii jest rozkładem
Poissona?
21. W celu zbadania hipotezy, że męska młodzież nosząca długie włosy ma gorsze wyniki w
nauce, wylosowano próbę 492 uczniów i otrzymano następujące dane:
Młodzież męska Wyniki złe
Włosy długie
51
Włosy krótkie
195
Wyniki dobre
43
203
Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę o niezależności wyników w nauce od
długości włosów młodzieży męskiej.
22. W celu stwierdzenia czy podanie chorym na pewną chorobę nowego leku przynosi poprawę ich
zdrowia, wylosowano dwie grupy pacjentów w jednakowym stopniu chorych. Jednaj grupie
liczącej 120 pacjentów podano nowy lek, a drugiej grupie liczącej 80 pacjentów podano
tradycyjny lek. Po pewnym czasie zbadano obie grupy, a wyniki przedstawiono w tabeli:
Leczeni
Nowym lekiem
Tradycyjnym lekiem
bez poprawy
20
45
wyraźna poprawa całkowite wyleczenie
40
60
20
15
Na poziomie istotności α = 0.001 zweryfikować hipotezę, że nowy lek istotnie poprawia stan
zdrowia pacjentów.
Bibliografia:
1. H. Jasiulewicz, W. Kordecki, Rachunek przwdopodobieństwa i statystyka matematyczna.
Przykłady i zadania.
2. W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach
Paweł Sztonyk
(www.im.pwr.wroc.pl/~sztonyk)