Zestaw IX Pole elektryczne Wstęp

Zestaw IX
Pole elektryczne
Ewa Kądzielawa-Major, Adam Wyrzykowski, Kamil
Ziemian
19 listopada 2013 r.
e-mail: [email protected]
Praca w polu elektrostatycznym. Praca wykonana
przy przenoszeniu ładunku q0 z punktu A do punktu B jest
równa różnicy energii potencjalnej ładunku q0 w punkcie
końcowym B i początkowym A, czyli
W “ q0 pVB ´ VA q .
(6)
Pole elektrostatyczne można przedstawić graficznie za pomocą linii sił pola (linii natężenia pola) lub prostopadłych
do nich powierzchni ekwipotencjalnych.
http://www.fais.uj.edu.pl/dla-szkol/
warsztaty-z-fizyki/szkoly-ponadgimnazjalne
https://www.facebook.com/groups/kolkof/
Wstęp
Siła Coulomba. Siła oddziaływania pomiędzy dwoma
ładunkami Q1 i Q2 , znajdującymi się w odległości r od
siebie, jest równa:
F“
1 Q1 Q2 r
,
4πε0 εr r2 r
(1)
(a) Linie sił pola
(c) Powierzchnie
(b) Linie sił pola ekwipotencjalne
Rysunek 1
gdzie ε0 – przenikalność elektryczna próżni, εr – względna
Prawo Gaussa mówi o tym, że ładunki są źródłem
przenikalność elektryczna ośrodka wypełniającego przepola elektrostatycznego.
strzeń (dla próżni εr “ 1), r jest wektorem reprezentuΦ, czyli strumień natężenia pola elektrycznego E, przejącym różnicę położeń ładunków.
nikający przez zamkniętą powierzchnię S, ograniczającą
obszar o objętości V jest proporcjonalny do ładunku elekZasada superpozycji. Oddziaływanie między dwoma trycznego Q zawartego w tej objętości, czyli:
danymi ładunkami jest niezależne od obecności innych łaQ
dunków, to znaczy, że gdy mamy dane trzy ładunki q1 , q2
(7)
Φ“ .
i q3 w próżni, to siła oddziaływania pozostałych ładunków
ε0
na q1 , jest równa:
Kondensatory. Pojemność przewodnika: stosunek ła1 q1 q3
1 q1 q2
r
`
r
,
(2)
F1 “ F12 ` F13 “
dunku Q na przewodniku do jego potencjału V jest wiel12
13
3
3
4πε0 r12
4πε0 r13
kością stałą, niezależną od stopnia naładowania przewodgdzie F12 – siła oddziaływania pomiędzy q1 a q2 , r12 – nika.
odległość pomiędzy tymi ładunkami, r12 – wektor wskaQ
C“ .
(8)
zujący kierunek działania siły, analogiczne oznaczenia dla
V
q1 i q3 .
Jednostką pojemności jest farad [F].
Kondensator jest zbudowany z dwóch przewodników
Natężenie pola elektrostatycznego wytworzonego
(okładek).
Jedna z okładek jest naładowana ładunkiem
przez ładunek Q w odległości r od niego dane jest wyQ,
a
druga
uziemiona. Na uziemionej powstaje ładunek
rażeniem:
´Q (w wyniku indukcji eletrostatycznej). Napięcie U jest
Fprq
Q
Eprq “
“ k 2,
(3) różnicą potencjałów na okładkach kondesatora.
q0
r
Pojemność kondensatora zależy od jego kształtu i rozmiarów,
a także od dielektryka znajdującego pomiędzy
1
gdzie q0 – ładunek próbny, k “ 4πε0 εr .
okładkami (jego względnej przenikalności elektrycznej εr ).
Np. dla płaskiego kondensatora o powierzchni okładek S
Energia potencjalna oddziaływania dwóch ładuni odległości pomiędzy nimi d:
ków punktowych Q1 i Q2 :
S
Q1 Q2
C “ ε0 εr .
(9)
Epot prq “ k
.
(4)
d
r
Potencjał pola elektrostatycznego wytworzonego
przez ładunek Q:
V prq “
q0 – ładunek próbny.
Epot prq
,
q0
(5)
Pytania wstępne
Zadania nieobliczeniowe
Zadanie 5 [NZzF, 126]
Pytanie 1
Spotyka się niekiedy stwierdzenie, że linie sił pola elektrostatycznego to linie, po których porusza się ładunek
próbny umieszczony w tym polu. Czy to stwierdzenie jest
poprawne?
Ile razy większa jest praca wykonana
w polu eletrostatycznym między punktami A i B po drodze 1 od tej wykonanej
po drodze 2?
Zadanie 6 [NzzF, 147]
Pytanie 2
Rysunek 2
Jaka będzie pojemność zastępcza układu trzech kondensatorów połączonych szeregowo (a), a jaka połączonych
równolegle (b)?
Półkulista czasza naładowane jest ze stałą gęstością powierzchniową δ. Wykaż, że płaszczyzna „zamykająca” czaszę jest ekwipotencjalna.
Zadanie 7 [NZzF, roz.1, zad. 59]
W jednorodnej kuli wykonano
sferyczną wnękę, której środek nie
pokrywa się ze środkiem kuli. Wy(a) Połączenie szeregowe
kazać, że pole sił ciężkości wytwarzane przez tę bryłę jest wewnątrz
(b) Połączenie równoległe
wnęki jednorodne.
Uwaga. W kursie szkoły średniej
Rysunek 3
poprzestaje się często na opisie poRysunek 5
la grawitacyjnego w otoczeniu masy
punktowej
(lub
kuli
ze
sferycznie
Pytanie 3
symetrycznym rozkładem masy). Rozpatrzmy jednorodną
Weźmy przewodnik o dowolnym kształcie znajdujący się kulę o masie M , promieniu R i gęstości ρ. Weźmy dowolną
w zewnętrznym polu elektrostatycznym. Co możemy po- powierzchnię kulistą (sferę) o promieniu r ď R współśrodwiedzieć o natężeniu pola wewnątrz przewodnika? Jakie kową z naszą kulą. Z prawa Gaussa dla pola grawitacyjjest natężenie w pobliżu powierzchni przewodnika? Jaki nego (i symetrii) mamy:
jest potencjał na jego powierzchni i w środku?
1
Φg “ m,
(10)
4πG
Pytanie 4
m - masa zawarta wewnątrz sfery.
1
4
4
4πr2 ρ “ πr3 g Ñ gprq “ Gπρr,
4πG
3
3
Układ przewodników
składa się z metalowej
kuli o promieniu R1 i
metalowej
powłoki
o
wewnętrznym promieniu
R2 i zewnętrznym R3 .
Przed otoczeniem kuli
powłoką wprowadzono na
nią ładunek dodatni Q.
Uzupełnij tabelę:
stąd:
gprq “ g0
(11)
gdzie g0 – natężenie na powierzchni kulio masie M .
Zadanie 8 [XXX OF, etap wstępny]
Rysunek 4
Przedziały dla
odległości od
środka kuli r
0 ď r ď R1
R1 ă r ă R2
R2 ă r ă R3
R3 ă r
r
,
R
Natężenie pola elektrostatycznego
Jaki jest potencjał w punktach: A, B, C? Jak będzie
wyglądała powyższa tabela w przypadku, gdy powłoka jest
uziemiona?
Dokładnie wśrodku nienaładowanego kondensatora spoczywa ładunek punktowy. Czy położenie ładunku jest położeniem równowagi trwałej? (Należy uwzględnić tylko oddziaływanie elektrostatyczne).
Zadania obliczeniowe
Uwaga:
ż
xdx “ ln x ` C,
Zadanie 9 [g-OF, 8.9]
W jednorodnym
polu elektrycznym o
natężeniu E umieszczono jednorodną
kulę metalową o
promieniu R. Na
kuli powstał przez
indukcję ładunek o
gęstości powierzchniowej σ zależnej
Rysunek 6
od kąta α (jak na
rysunku). Wyznacz zależność σpαq.
Wskazówka: wyobraź sobie dwie przenikające się, lecz
nieco przesunięte, pełne kule naładowane jednorodnie w
całej obiętości: jedna dodatnio, a druga ujemnie. Jakie jest
pole elektryczne w obszarze wspólnym kul, gdy wartości
bezwzględne ładunków obu kul sa takie same? Co będzie,
gdy odległość między środkami kul będziemy zmniejszać
do zera?
Zadanie 10 [XLVI OF, etap 1]
(12)
gdzie ln oznacza logarytm przy podstawie e “ 2,718...
Zadania rozszerzone
Zadanie 11 - poprzedniego zestawu
Załóżmy, że chmura składa się z kropelek wody zawieszonych w powietrzu (równomiernie rozmieszczonych i pozostających w spoczynku) i rozważmy kroplę deszczu spadającą przez tę chmurę. Jakie jest przyspieszenie kropla
deszczu? (Załóżmy, że mniejsze kropelki z chmury dołączają się do kropli deszczu po uderzeniu. Ponadto przyjmijmy, że kropla jest sferyczna w każdej chwili.)
Literatura
[NZzF] J. Domański, J. Turło, Nieobliczeniowe zadania
z fizyki, Pruszyński i S-ka, Warszawa, 1997.
[PZO] Piotr Makowiecki, Pomyśl zanim odpowiesz, Wiedza Powszechna, Warszawa, 1985.
Kondensator cylindryczny (próżniowy) o długości d [jm-OF] 50 lat olimpiad fizycznych redakcja P. Janiszewski i J. Mostowski, PWN, Warszawa, 2002.
składa się z dwóch współosiowych cylindrów o promieniach r1 i r2 (rysunek). Okładki tego kondensatora są po[g-OF] Zbiór zadań z olimpiad fizycznych redakcja W.
łączone przewodem, a ładunki na każdej z nich są początGorzkowskiego, Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, Warkowo równe zero.
szawa, 1987.
[i-OF] Archiwalne zadania z olimpiad fizycznych dostępne w internecie
patrz takie strony jak
http://www.olimpiada.fizyka.szc.pl/.
[MOF] Zadania z Fizyki z całego świata z rozwiązaniami. 20 lat Międzynarodowych Olimpiad Fizycznych
redakcja W. Gorzkowski, WNT, Warszawa, 1994.
[JKK] J. Jędrzejewski, W. Kruczek, A. Kujawski, Zbiór
zadań z fizyki, Wyd. Naukowo-Techniczne, Warszawa, 2002.
Drugi cylindryczny kondensator o takiej samej długości
cylindrów, których promienie wynoszą a i b (r1 ă a ă [i-H]
Zadania
dla
studentów
pierwb ă r2 ) zawiera dielektryk o względnej przenikalności
szego
stopnia,
Harvard
University
elektrycznej ε wypełniający przestrzeń między okładkami.
www.physics.harvard.edu/academics/undergrad/
Drugi kondensator podłączono do baterii i naładowano do
problems.
napięcia U . Po odłączeniu wsunięto go współosiowo między okładki pierwszego kondensatora jak na rysunku 2.
Oblicz ładunek,
jaki
przepłynął
przewodem
łączącym
okładki
pierwszego kondensatora. Zaniedbaj
ładunek na tym
przewodzie
oraz
zaburzenie pola na
końcach cylindrów.
Rysunek 7
Rysunek 8