Drzewo stochastyczne.

Drzewo stochastyczne.
Zad.1. W urnie Ub∗c jest b kul białych i c kul czarnych (b > 1, c > 1).
Określ za pomocą drzewa stochastycznego przestrzeń probabilistyczną dla:
a) dwukrotnego losowania bez zwracania kuli z urny Ub∗c ,
b) dwukrotnego losowania ze zwracaniem kuli z urny Ub∗c ,
c) określ przestrzenie probabilistyczne doświadczeń z punktów a) i b) przy
założeniu, że b = 1 lub c = 1.
Zad.2. Określ za pomocą drzewa stochastycznego przestrzeń probabilistyczną
dla:
a) trzykrotnego rzutu monetą,
b) rzutu 3 identycznymi monetami,
Zad.3. Rozważmy spadanie kulki po desce Galtona (rysunek poniżej) o
siedmiu poziomach kołków. Określ model probabilistyczny tego doświadczenia
losowego.
0
1
2
3
4
5
6
7
Zad.4. Określ model probabilistyczny dla:
a) rzutu dwiema kostkami sześciennymi, jedną czarną i jedną białą,
Zad.5. Określ za pomocą drzewa stochastycznego przestrzeń probabilistyczną
dla:
a) rozmieszczenia 3 jednakowych kul w 3 ponumerowanych szufladach,
b) rozmieszczenia 3 ponumerowanych kul w 3 ponumerowanych szufladach,
c) rozmieszczenia 3 ponumerowanych kul na 3 ponumerowanych miejscach.
Zad.6. Rozważmy urnę U3 z 3 kulami ponumerowanymi liczbami 1,2 i 3.
Określ za pomocą drzewa stochastycznego przestrzeń probabilistyczną dla:
1
a) trzykrotnego losowania bez zwracania kuli z urny U3 ,
b) trzykrotnego losowania ze zwracaniem kuli z urny U3 .
Zad.7. Drzewo stochastyczne a wzory na liczbę kombinacji, permutacji,
wariacji i wariacji bez powtórzeń.
Zad.8. Z urny U5∗1 losujemy bez zwracania kulę tak długo, aż wyciągniemy
kulę czarną. Określ przestrzeń probabilistyczny tego doświadczenia losowego
za pomocą drzewa stochastycznego.
Izomorfizm przestrzeni probabilistycznych.
O probabilistycznej symulacji.
Zad.1. Rozważmy następujące doświadczenia losowe:
d1 – dwukrotne losowanie bez zwracania kuli z urny z kulami: czarną,
niebieską i zieloną,
d2 – losowanie dwu kul z urny z kulami: czarną, niebieską, zieloną i białą,
d3 – losowanie dwu kul z urny z kulami: trzema czarnymi i jedną białą,
d4 – dwukrotne losowanie bez zwracania karty z następującego zestawu
kart: 2♣, 2♦, 2♠,
d5 – wykładanie dwu kart z zestawu 4 asów: A♣, A♦, A♠, A♥,
d6 – rzut kostką,
d7 – rzut monetą.
Wskaż doświadczenia o izomorficznych modelach probabilistycznych. Określ
bijekcję g, która ustala ten izomorfizm.
Zad.2. Z grona 6 osób trzeba wylosować jedną, dając każdej równe szanse.
Czy takie sprawiedliwe losowanie można przeprowadzić za pomocą ”zapałek”
i jak?
Zad.3. Czy można symulować rzut kostką za pomocą czterech kul różnego
koloru? Jak to robić mając tylko trzy kule różnokolorowe? Jak, mając cztery
kule, dwie białe i dwie czarne? Jak, mając tylko dwie kule, jedną białą i jedną
czarną? Jak, mając 6 kul, z których 5 jest białych i jedna czarna?
Zad.4. Jak, nie dysponując monetą, rozpoczynać mecz piłkarski mając
talię kart?
Sędzia ma 3 kule białe i jedną czarną. Czy taki zestaw kul może symulować
rzut monetą?
Zad.5. Jak dobrać numery czterech kul, aby wynik losowania dwu kul
można było kodować sumą numerów wyciągniętych kul i aby ta suma mogła
być potraktowana jako liczba wyrzuconych oczek na kostce do gry?
Jak utworzyć tablice liczb losowych (ikosaedr)
2
Zad.6. Jak zorganizować losowanie 6 liczb z 49 za pomocą talii kart? Jak
to zrobić za pomocą tablicy liczb losowych? (zasymuluj 20 razy to losowanie; w
ilu losowaniach uzyskałeś dwie kolejne liczby?)
zad.7. Populacja liczy s elementów. Jak losować z niej jeden element,
gdy:
a) s = 10,
b) s = 13,
c) s = 52.
Zad.8. Populacja ma s elementów. Jak, za pomocą tablic liczb losowych,
wylosować z niej jeden element (tak, aby każdy element miał jednakowe szanse),
gdy:
a) s = 100,
b) s = 128,
c) s = 1999,
d) s = 197,
e) s = 1213.
Zad.9. Jak symulować rzut kostką za pomocą tablicy liczb losowych?
Zad.10. Jak wylosować z s wyrazowej populacji element za pomocą
monety, gdy:
a) s = 5,
b) s = 13,
c) s = 32.
d) s = 128,
e) s = 1000, s = 1001?.
Jak element ten można losować za pomocą kostki sześciennej a jak za pomocą
dwudziestościanu foremnego?
3