Zestaw 2 Zad.1 W szafie znajduje się n par butów. Losujemy z niej

Zestaw 2
Zad.1 W szafie znajduje się n par butów. Losujemy z niej 2k butów (n > 2k). Jakie
jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych butów znajdzie się przynajmniej jedna para?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych butów znajdzie się dokładnie jedna
para?
Zad.2 Ile jest słabo rosnących ciągów liczbowych długości 7, których wyrazami są dzieniki
liczby 7! ?
Zad.3 Mamy n nierozróżnialnych kul i n szuflad. Na ile sposobów możemy rozmieścić kule
w szufladach tak, aby:
a) dokładnie jedna szuflada pozostała pusta;
b) dokładnie (n − 2) szuflady pozostały puste?
Zad.4 Mamy n rozróżnialnych kul i n szuflad. Na ile sposobów możemy rozmieścić kule w
szufladach tak, aby:
a) dokładnie jedna szuflada pozostała pusta;
b) dokładnie (n − 2) szuflady pozostały puste?
Zad.5 Jeżeli n kul rozrzucimy losowo w n komórkach, to jakie jest prawdopodobieństwo,
że dokładnie (n − 2) komórki pozostaną puste, jeżeli wiemy, że są one tak duże, że w każdej z
nich mogą zmieścić się wszystkie kule?
Zad.6 Jeżeli n kul rozrzucimy losowo w n komórkach, to jakie jest prawdopodobieństwo,
że dokładnie jedna komórka pozostanie pusta, jeżeli wiemy, że są one tak duże, że w każdej z
nich mogą zmieścić się wszystkie kule?
( )
Zad.7 Niech symbol nk oznacza liczbę różnych podzbiorów k- elementowych ziobru nelementowego.
Udowodnij kombinatorycznie (bez udziału indukcji oraz wzorów opisujących
( )
wartość nk ) następujące związki:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
(n)
(n) (n)
(n)
n
0 + 1 + 2 + ... + n = 2 .
(n) (n) (n)
n−1 .
0 + 2 + 3 + ... = 2
(n) (n) (n)
n−1 .
1 + 3 + 5 + ... = 2
(n)2 (n)2 (n)2
( )2
( )
+ 1 + 2 + ... + nn = 2n
0
n .
(n) ( n )
k = n−k .
(n)
k
+
(
n )
k+1
=
(n+1)
k+1
.
Zad.8 Przez pustynię idzie karawana złozona z pięciu wielbłądów. Na ile sposobów można
zmienić kolejność tych wielbłądów tak, aby przed żadnym wielbłądem nie szedł ten, co poprzednio.
Zad.9 Na ile sposobów można rozmieścić n ponumerowanych kul w k ponumerowanych
pudełkach zakładając, że w każdym pudełku kule są uporządkowane w ciąg (niektóre pudełka
mogą być puste)?