Algebra z Teoria Liczb

Elementy algebry ogólnej
1 - ćwiczenia
Zajęcia w semestrze zimowym 2012/2013
Ewa Cygan
Wersja z 4 stycznia 2013
Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia
zad. 1.1. Wyliczyć d = NWD(408, 276) oraz wskazać dla d przedstawienie Bezouta.
Wyliczyć na dwa sposoby NWW(408, 276). Analogiczne zadanie wykonać dla liczb 2772 i
1560 oraz dla 1980 i 1650.
zad.1.2. Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie: 3575x + 680y = 45.
zad.1.3. Znaleźć nieskończenie wiele rozwiązań całkowitych równania 13x + 29y = 1
oraz sprawdzić, czy istnieją całkowite rozwiązania równania 3455x + 246y = 73.
zad.1.4. Sprawdzić, czy istnieje całkowite rozwiązanie równań:
(a) 24x ≡ 21(mod 51),
(b) 24x ≡ 21(mod 52).
W przypadku gdy takie rozwiązanie istnieje podać je i poszukać najmniejszego rozwiązania
nieujemnego.
zad.1.5. Poniższe układy równań sprowadzić do postaci równoważnej takiej by moduły
kongruencji były parami względnie pierwsze. Jeśli układ posiada rozwiązanie, to podać jego
postać ogólną oraz największe rozwiązanie ujemne.


 x ≡ 7, mod 12
 x ≡ 21, mod 24
x ≡ 10, mod 15
x ≡ 24, mod 18
(I)
(I)


x ≡ 8, mod 14
x ≡ 18, mod 21
zad.1.6. Polecenie analogiczne do 1.5. wykonać

 x ≡ 15, mod 18
x ≡ 12, mod 15
(II)
(III)

x ≡ 21, mod 24

 x ≡ 10, mod 12
x ≡ 8, mod 10
(I)

x ≡ 5, mod 7
dla układów:

 x ≡ 11, mod 16
x ≡ 5, mod 10

x ≡ 20, mod 25

 x ≡ 5, mod 6
x ≡ 19, mod 21
(I)

x ≡ 4, mod 5
zad.1.7. Wyliczyć d =NWD(a, b) oraz wskazać przedstawienie Bezouta dla d, jeśli:
(a) a = 26, b = 19,
(b) a = 267, b = 112,
(c) a = 11312, b = 11213.
zad.1.8. Rozwiązać w liczbach całkowitych równania:
(a) 283x + 1722y = 31, (b) 365x + 72y = 18, (c) 1111x + 2345y = 66.
i
ii
Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia
zad.1.9. Sprawdzić, czy istnieje całkowite rozwiązanie równań:
(a) 18x ≡ 1(mod 25), (b) 12x ≡ 33(mod 57).
W przypadku gdy takie rozwiązanie istnieje podać najmniejsze rozwiązanie nieujemne.
zad.1.10. Sprawdzić, czy istnieje całkowite rozwiązanie równań:
(a) 12x ≡ 7(mod 21), (b) 12x ≡ 7(mod 84), (c) 12x ≡ 7(mod 73).
W przypadku gdy takie rozwiązanie istnieje podać największe rozwiązanie ujemne.
zad.1.11. Niech a1 , . . . , an będą liczbami całkowitymi niezerowymi, zaś d ∈ Z wspólnym
dzielnikiem a1 , . . . , an spełniającym warunek:
jeśli c ∈ Z : c|ai ∀ i = 1, . . . , n, to c|d.
Czy d jest największym wspólnym dzielnikiem liczb a1 , . . . , an ? (Odpowiedź uzasadnić.)
zad.1.12. Udowodnić związek między NWD(a, b) i NWW(a, b).
zad.1.13. Niech a, b, c będą liczbami całkowitymi takimi, że NWD(a, b)|c i niech (x0 , y0 )
będzie rozwiązaniem równania diofantycznego ax + by = c. Wykazać, że każde inne rozwiązanie tego równania ma postać:
a
b
x = x0 + t , y = y0 − t , gdzie d = NWD(a, b), t ∈ Z.
d
d
zad.1.14. Wykazać, że jeśli x0 ∈ Z jest rozwiązaniem kongruencji ax ≡ b(mod m), to
każde inne rozwiązanie jest postaci x0 + md t, d = NWD(a, m) t ∈ Z. Wywnioskować, że
istnieje d rozwiązań takiej kongruencji, nie przystających do siebie modulo m.
zad.1.15. Niech x, y - liczby całkowite, a, m -niezerowe liczby
całkowite. Wykazać, że
m
ax ≡ ay(mod m) wtedy i tylko wtedy, gdy x ≡ y mod NWD(a,m) .
zad.1.16. (a) Wykorzystując Małe Twierdzenie Fermata wykazać, że dla każdej liczby
pierwszej p > 5 liczba 240 jest podzielna przez p4 − 1.
(b) Udowodnić, bez stosowania indukcji, że dla każdej liczby naturalnej n liczba n5 − n
jest podzielna przez 30.
zad.1.17. Wyznaczyć ilość liczb 0 < a < 2600, które nie są względnie pierwsze z 2600.
zad.1.18. Wykorzystując twierdzenie Eulera wyliczyć 715 (mod 34).
11
zad.1.19. Wyliczyć 36·7 (mod 711 ).
17
zad.1.20. Wyliczyć 1717 (mod 10).
Zestaw 2 - Podstawowe własności działań
Na następne zajęcia (25.10.) bardzo proszę o rozwiązanie zadań 2.1-2.10 ze strony 19 notatek
z wykładu.
Zestaw 3 - Grupy i podgrupy
iii
Zestaw 3 - Grupy i podgrupy
Zadania na zajęcia 8.11: zadania z wykładu część 3.
Zestaw 4 - Podgrupy cd.+homomorfizmy
zad.4.1. Rozważmy grupę G = GL2 (R) macierzy nieosobliwych z działaniem mnożenia.
Sprawdzić, czy zbiory H1 = {A ∈ G : Ajest macierzą symetryczną} oraz H2 {A ∈ G :
|det(A)| = 1} są podgrupami G.
zad.4.2. Sprawdzić, czy zbiór H = {fa,b : fa,b (x) = x+b, b ∈ R} tworzy podgrupę grupy
G = {fa,b : fa,b (x) = ax + b, a ∈ R? , b ∈ R} z działaniem składania, (można wykorzystać
obliczenia wykonane na jednych z wcześniejszych ćwiczeń).
zad.4.3. Udowodnić,
że jeśli ∀ α ∈ A (A - niepusty zbiór indeksów) Hα to podgrupa
T
grupy G, to H :=
Hα też jest podgrupą G.
α∈A
zad.4.4. Udowodnić, że dla n ∈ N zbiór Un = {z ∈ C : z n = 1} tworzy podgrupę
(C , ·).
?
zad.4.5. Zbadać, czy następujące odwzorowania są homomorfizmami grup. W każdym
przypadku wyznaczyć obraz zaś gdy jest to homomorfizm także jądro.
(a) f : R+ 3 x −→ logx ∈ R,
(b) g : C 3 z −→ 2Im(z)−Re(z) ∈ C.
(c) h : GL2 (R) 3 A −→(det(A))2 ∈ R? .
(d) s : C 3 z −→ |z| ∈ C.
(e) t : R ⊕ R 3 (x, y) −→ 2x − 3y ∈ R.
(f) Sprawdzić, które z liczb: √12 + √12 i, 1 + i, 2 należą do obrazu odwzorowania C? 3
z
z −→ |z|
∈ C? . Czy to odwzorowanie jest homomorfizmem grup ?
Homomorfizmy część 2 + rzędy elementów
1 x
5.1. Udowodnić, że grupa G = {
, x ∈ Z} z działaniem mnożenia macierzy jest
0 1
izomorficzna z Z.
5.2. Wykazać, że jeśli G grupa, a ∈ G to ϕa : G 3 x −→ axa−1 ∈ G jest automorfizmem
G.
5.3. Wykazać, że In(G) (grupa automorfizmów wewnętrznych) jest podgrupą Aut(G)
(grupy wszystkich automorfizmów G z działaniem składania).
5.4. Wykazać, że jeśli G grupa to f : G 3 a −→ a−1 ∈ G jest homomorfizmem wtedy i
tylko wtedy, gdy G - abelowa.
5.5. Wyznaczyć wszystkie automorfizmy grupy Z.
iv
Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia
5.6. Zbadać, czy istnieje nietrywialny (różny od tożsamościowego zera) homomorfizm z
Z9 w Z2 .
0 1
0
1
5.7. W grupie GL2 (R) wyliczyć rząd elementów: A =
, B =
i
−1 0
−1 −1
C := AB.
5.8. Udowodnić, że Z3 × Z2 jest cykliczna i izomorficzna z Z6 .
5.9. Wskazać dwa elementy z S3 takie, których rzędy są względnie pierwsze, ale rząd
iloczynu tych elementów nie jest równy iloczynowi ich rzędów.
e to dla a ∈ G rząd a i f (a) są
5.10. Wykazać, że jeśli f jest izomorfizmem grup G i G,
takie same. Jaka jest zależność między rzędami a i f (a) gdy założymy tylko homomorfizm
?
Ogólne własności grup i rzędów elementów, część II
Uwaga: Na kartkówkę z zadań domowych obowiązują zadania: 5.6., 5.8 oraz zadania 6.1.6.5. (każdy dostanie własne zadanie). Po kartkówce wrócimy do pozostałych zadań z zestawu
5.
6.1. Wyznaczyć centrum grupy Z × Z × Z z działaniem: (x1 , x2 , x3 ) ? (y1 , y2 , y3 ) :=
(x1 + y1 + x3 y2 , x2 + y2 , x3 + y3 ).
6.2. Niech (G1 , ◦), (G2 , •) będą dwiema grupami. Udowodnić, że C(G1 ⊕G2 ) = C(G1 )×
C(G2 ).
6.3. Udowodnić, że w Q zachodzi równość: <
5 3
,
12 20
>=<
1
60
>.
6.4. Przeanalizować przykład 27 ze zbioru zadań J.Rutkowskiego ’Algebra abstrakcyjna
w zadaniach’ i na jego bazie znaleźć wszystkie homomorfizmy Z15 na Z12 .
6.5. Sprawdzić, czy grupa G = Z z działaniem a ? b := a + b + 5 jest cykliczna.
Warstwy grupy względem podgrupy
7.1. (a) Sprawdzić, czy elementy 5 i 11 są w tej samej warstwie grupy Z względem podgrupy
H = 6Z,
(b) W grupie Z12 wyznaczyć podgrupę H =< 3 > oraz analogicznie jak w zadaniu 8.1(a)
wyliczyć wszystkie warstwy prawo i lewostronne wszystkich elementów grupy Z12 względem
tej podgrupy. Wypisać jakie są różne warstwy. Jaki jest indeks naszej podgrupy ? Czy jest
to podgrupa normalna ?
1 2 3
7.2. (a) Rozważyć w grupie S3 podgrupę H generowaną przez σ =
oraz wy3 1 2
liczyć warstwy prawo i lewostronne wszystkich elementów grupy S3 względem tej podgrupy.
Wypisać różne warstwy. Jaki jest indeks naszej podgrupy ? Czy jest to podgrupa normalna
?
Zastosowania twierdzeń o homomorfizmach
v
1 2 3
(b) Rozważyć w grupie S3 podgrupę K generowaną przez σ =
oraz wyliczyć
1 3 2
warstwy prawo i lewostronne wszystkich elementów grupy S3 względem tej podgrupy. Wypisać różne warstwy. Jaki jest indeks naszej podgrupy ? Czy jest to podgrupa normalna
?
7.3. Opisać, jak wyglądają warstwy grupy G = R? względem podgrupy H = {−1, 1} i
wyliczyć jaki jest indeks [G : H].
7.4. Opisać warstwy grupy C? względem podgrupy H = R+
7.5. W grupie Z rozważyć podgrupę H = 7Z. Odpowiedzieć na pytanie, kiedy k, l ∈ Z
znajdują się w tej samej warstwie względem podgrupy H. Wypisać elementy grupy ilorazowej Z/7Z. Jaki rząd ma ta grupa ilorazowa ? Ułożyć dla niej tabelę działania.
7.6. Stosując warunek równoważny na normalność podgrupy H w grupie G: ∀g ∈ G :
gHg −1 ⊂ H sprawdzić, które podgrupy Hi grupy G = {fa,b : R 3 x −→ ax + b ∈ R : a ∈
R? , b ∈ R} są w niej normalne, jeśli:
H1 = {fa,b ∈ G : a = 1},
H2 = {fa,b ∈ G : b = 0}.
7.7. Udowodnić, że jeśli G grupa, to C(G) jest podgrupą normalną, (tylko normalność
bo wiemy już, że jest to podgrupa).
7.8. Wzorując się na rozwiązaniu zadania z ćwiczeń (które prezentowałam) udowodnić,
że w każdej grupie G dla dowolnych elementów a, b zachodzą równości: |a−1 | = |a| oraz
|ab| = |ba|.
Zastosowania twierdzeń o homomorfizmach
8.1. Wyznaczyć podgrupy w grupie Z28 wzorując się na przykładzie opisanym na wykładzie
zastosowania twierdzenia o przenoszeniu podgrup.
8.2. Opisać jak wyglądają warstwy grupy C? względem podgrupy R+ oraz udowodnić,
że C? /R+ ∼
= S 1 gdzie S 1 {z ∈ C? : |z| = 1} wykorzystując twierdzenie o izomorfizmie
z
∈ §.
zastosowane do odwzorowania: F : C? 3 z −→ |z|
8.3. Wykorzystując twierdzenie o izomorfizmie dla odwzorowania f : C? 3 z −→ |z| ∈
R+ udowodnić, że grupa ilorazowa C? przez H = {z ∈ C? : |z| = 1} jest izomorficzna z R+ .
8.4. Niech H = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y − z = 2x + 3y − 5z = x − y + 5z = 0}
będzie podgrupą R3 . Uzasadnić dlaczego jest to podgrupa normalna oraz udowodnić, że
R3 /H ∼
= R2 .
8.5. Niech G - grupa, f : G 3 a −→(a, a) ∈ G ⊕ G. Wykazać, że jeśli obraz f jest
podgrupą normalną w G ⊕ G, to G jest abelowa.
8.6. Dla n ∈ N? rozważamy Hn = {σ ∈ Sn , σ(1) = 1} - podgrupę grupy permutacji Sn .
Wyliczyć [Sn : Hn ] oraz sprawdzić dla jakich n podgrupa Hn jest normalna w Sn .
vi
Zestawy zadań na kolejne ćwiczenia
Zadania powtórkowe do sprawdzianu 17.01.
1. Wyznaczyć warstwy grupy C względem podgrupy R i narysować na płaszczyźnie warstwę
elementu 4 − i.
2. Zaznaczyć na płaszczyźnie warstwę elementu w = 2+4i grupy C? względem podgrupy
H = {z ∈ C? : z 3 = 1}.
3. Wyznaczyć warstwy grupy C względem podgrupy H = {z ∈ C : Re(z) = 0} i
zaznaczyć na płaszczyźnie warstwę elementu 3 + 2i.
4. Narysować na płaszczyźnie warstwę elementu (−1, 5) grupy G = R ⊕ R względem
podgrupy H = {(x, y) ∈ R2 : 2x + y = 3y + 4x = 0}.
a b
5. W grupie G = GL2 (R) rozważmy podgrupę H =
∈ G . Sprawdzić, czy
−2b a
jest to pogrupa i czy jest ona normalna.
6. Uzasadnić, że istnieje grupa ilorazowa C? /H gdzie H = {z ∈ C? : ln(|z|) = 0} oraz,
że jest izomorficzna z R.
7. Korzystając z twierdzenia o izomorfizmie uzasadnić, że nie istnieje epimorfizm grupy
S3 na grupę Z3 .
8. Złożyć w S8 do postaci dwuwierszowej i rozłożyć na cykle rozłączne i transpozycje
permutację: (3 5 6)(6 2 5 4)(2 3 8 7)(3 4). Czy jest to permutacja parzysta ?
9. Wyznaczyć wszystkie podgrupy w Z18 .
10. Wyliczyć rząd elementu (2, 3) w Z9 × Z?5 oraz elementu 5 + 7Z w grupie Z/7Z.
Informacje o sprawdzianie 17.01.
W ramach sprawdzianu można spodziewać się następujących typów zadań:
1 Wyliczanie warstw elementów oraz grupy ilorazowej, obliczanie indeksu (por. zadania:
7.1.-7.5. oraz powtórkowe 1-4).
2 Wyliczanie rzędów elementów i dowodzenie ich własności (por. zadania: 5.7, 5.9-10,
7.8.)
3 Badanie normalności podgrup, (por. zadania 7.6, 7.7. 8.6. i powtórkowe 5.)
4 Wyznaczanie podgrup przy zastosowaniu twierdzenia o izomorfizmie, (por. 8.1.)
5 Badanie cykliczności grupy i generowanie podgrup, (por. 6.3., 6.5.)
6 Stosowanie twierdzenia o izomorfizmie, (por. zadania 8.2-8.4 i powtórkowe 6, 7)
7 Rozkład na cykle i transpozycje, działania na permutacjach.