Lista zadań ze „Wstępu do Rachunku Prawdopodobieństwa”

Lista zadań ze „Wstępu do Rachunku Prawdopodobieństwa”
Zad.24. Pewien człowiek ma n kluczy, z których tylko jeden pasuje do zamka. Z przyczyn, których możemy
się tylko domyślać, nie pamięta, który to klucz, więc wyciąga kolejno klucze i próbuje nimi otworzyć drzwi.
Niepasujący klucz odkłada i bierze następny. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że trafi na właściwy klucz
za k-tym razem. Wsk. Zastosować wzór z poprzedniego zadania.
Zad.25. W puszce są trzy rodzaje losów. Wygrywających jest p, przegrywających q, jest też r losów „graj
dalej”. Po wyciągnieciu takiego losu, wrzucamy go do puszki i dokonujemy ponownego losowania. Jakie jest
prawdopodobieństwo wygranej?
Zad.26. W zbiorze 100 monet jest 99 prawdziwych, a jedna ma po obu stronach orły. Wybraliśmy losowo jedną
monetę i rzucili nią 5 razy, otrzymując 5 orłów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to moneta z orłami
po obu stronach? Jakie jest to prawdopodobieństwo, gdy dodatkowo rzucimy 15 razy tą monetą i otrzymamy
15 orłów?
Zad.27. (schemat urnowy Pólya) W urnie jest b kul białych i c czarnych. Po wyciągnięciu kuli z urny wrzucamy
ją z powrotem i dokładamy jeszcze d kul tego samego koloru. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia:
a) białej kuli za drugim razem? b) czarnej za trzecim razem? c) k kul czarnych w n losowaniach?
Zad.28.♥ Następująca własność prawdopodobieństw warunkowych jest zupełnie nieoczywista: Niech A, B, C
będą takimi zdarzeniami, że C ⊂ A ∩ B oraz B nie zawiera się w A. Uzasadnić, że wtedy
P (C|A) > P (C|A ∪ B).
Na przykład przy grze w brydża, prawdopodobieństwo, że gracz N ma cztery asy, jeśli wiemy, że ma asa pik
jest większe od prawdopodobieństwa, że N ma cztery asy, gdy wiemy, że ma co najmniej jednego asa.
Zad.29. ♥♥ Spośród trzech więźniów A, B, C jeden ma być skazany, a dwaj zwolnieni. Więzień A, znający
strażnika, korzystając z okazji zapytał go: „Spośród B i C jeden będzie zwolniony. Jeśli wiesz, kto będzie
zwolniony, podaj mi jedno nazwisko.” Strażnik namyślał się chwilę i, nie widząc przeciwwskazań, powiedział,
2
1
że C będzie zwolniony. Czy można twierdzić, że prawdopodobieństwo zwolnienia A zmalało z do ?
3
2
Zad.30. Z czterech jednakowych kul jedną pomalowano na zielono, drugą na niebiesko, trzecią na czerwono, a
na czwartej umieszczono wszystkie trzy kolory. Kule wrzucono do urny. Wylosujemy jedną kulę. Pokazać, że
zdarzenia A=na kuli jest kolor zielony, B=na kuli jest kolor niebieski oraz C=na kuli jest kolor czerwony są
parami niezależne, ale nie są niezależne.
Zad.31. (czy dobrze rozumiemy niezależność?) Rozważmy rodziny z trójką dzieci i załóżmy, że każdy z ośmiu
układów ddd, ddc, ..., ccc jest tak samo prawdopodobny. Niech H oznacza zdarzenie „rodzina ma dzieci obu
płci”, natomiast A zdarzenie „ jest tam co najwyżej jedna dziewczynka”. Czy zdarzenia A i H są niezależne?
Czy takie zdarzenia są niezależne, gdy rozpatrujemy rodziny z czwórką dzieci?
Zad.32. a) Pokazać, że jeżeli zdarzenia A i B są niezależne, to A i B c są niezależne.
b) Stosując indukcję i część a) pokazać, że układ zdarzeń A1 , A2 , ..., An jest niezależny wtedy i tylko wtedy,
gdy równość
P (Aε11 ∩ Aε22 ∩ ... ∩ Aεnn ) = P (Aε11 )P (Aε22 ) · ... · P (Aεnn )
zachodzi dla wszystkich możliwych układów, w których εi = 1 lub c i oczywiście A1i = Ai .
Zad.33. Urna zawiera M kul białych i N − M czarnych. Losujemy kolejno bez zwracania n kul. Obliczyć
prawdopodobieństwo otrzymania ciągu zawierającego dokładnie k kul białych i n − k czarnych.
Zad.34.♥ (zadanie o rozmieszczeniu) (Feller tom I, str.41 i następne) Rozmieszczamy losowo r kul w n komórkach. Obliczyć prawdopodobieństwo pk tego, że dana komórka będzie zawierać dokładnie k kul. Przedyskutowć
problem, gdy: a) kule są rozróżnialne, b) kule są nierozróżnialne. Zapoznać się z zastosowaniami w fizyce.
Zad.35. (wnioskowanie statystyczne) Pewien profesor uniwersytetu Cornella otrzymał 12 mandatów za niedozwolony postój swego samochodu. Wszystkie mandaty były wydane we wtorki lub czwartki. Obliczyć prawdopodobieństwo tego zdarzenia, przy założeniu, że policja nie działa według jakiegoś systemu, tzn. kontrole
są jednakowo prawdopodobne każdego dnia. Czy byłoby uzasadnione wynajmowanie garażu tylko we wtorki i czwartki? Wsk. Statystycy przyjmują, że zdarzenia o prawdopodobieństwie poniżej 0,05 raczej się nie
pojawiają.