MACIERZE Każdej macierzy kwadratowej A przyporządkowujemy

MACIERZE
Każdej macierzy kwadratowej A przyporządkowujemy jednoznacznie liczbę tzw. wyznacznik macierzy A
(ang. determinant):
Jeżeli wyznacznik macierzy detA =0, to macierz A nazywamy osobliwą.
Reguły obliczania wyznacznika:
Reguła Sarrusa:
13
22
31
+
13
22
31
23
32
11
33
12
21
23
32
11
+
33
12
11
12
13
21
22
23
31
32
33
11
12
13
21
22
23
21
11
22
11
22
33
21
32
13
31
12
23
33
+
21
32
13
+
31
12
23
Obliczanie wartości wyznaczników wyższych rzędów - Metoda Laplace'a
gdzie,
- jest ustalone i określa wiersz macierzy, względem którego następuje rozwinięcie
- jest elementem macierzy w -tym wierszu i -tej kolumnie
- jest dopełnieniem algebraicznym elementu
Rozwinięcie według elementów drugiego wiersza:
Przykłady:
Rozwinięcie według elementów trzeciego wiersza:
Rozwinięcie według elementów drugiej kolumny:
Metoda eliminacji Gaussa
Korzysta z własności wyznacznika macierzy - wyznacznik macierzy nie zmienia wartości, jeżeli do wiersza
(lub kolumny) macierzy dodamy kombinację liniową pozostałych wierszy (lub kolumn).
Inne własności wyznaczników:
- wyznacznik macierzy transponowanej jest równy wyznacznikowi macierzy wyjściowej,
- jeżeli macierz posiada wiersz zerowy (kolumnę zerową), wówczas detA = 0,
- jeżeli macierz posiada dwa identyczne wiersze (kolumny), wówczas detA = 0,
- jeżeli jakiś wiersz (kolumna) jest kombinacją liniową innych wierszy (kolumn), wówczas detA = 0,
- zamiana miejscami dwóch wierszy lub dwóch kolumn macierzy powoduje zmianę znaku wyznacznika,
- jeżeli w danej macierzy elementy danego wiersza lub kolumny zostaną przemnożone przez dowolną
liczbę k ≠ 0, wówczas wartość wyznacznika również zostanie przemnożona przez k,
- zachodzi równość det(A · B)= detA · detB
- wyznacznik macierzy nie zmienia wartości, jeżeli do wiersza (lub kolumny) macierzy dodamy
kombinację liniową pozostałych wierszy (lub kolumn)
Macierz odwrotna:
Macierzą odwrotną A-1 macierzy kwadratowej A nazywamy macierz, która spełnia równości:
Jeżeli macierz kwadratowa A jest macierzą nieosobliwą, tzn. detA≠0, to istnieje do niej dokładnie jedna
macierz odwrotna A-1.
Przykład:
Zapis macierzowy układu równań liniowych:
Układ n równań liniowych:
…
Może zostać zapisany w postaci macierzowej:
Odpowiada to zapisowi:
Jeżeli macierz A jest nieosobliwa, to mnożąc stronami przez A-1 otrzymujemy: