ESTYMACJA • Przedział ufności dla średniej Zadanie 1 W

ESTYMACJA
•
Przedział ufności dla średniej
Zadanie 1
W grupie 900 losowo wybranych pracowników przedsiębiorstwa średnia liczba dni
nieobecności w pracy wynosiła 30, a odchylenie standardowe 3 dni.
a) Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,9 oszacować średnią absencję w
pracy wśród ogółu pracowników.
b) Jak zmieni się przedział ufności, jeżeli przyjmiemy współczynnik ufności na poziomie
0,95.
Zadanie 2
Na podstawie wielokrotnych obserwacji ustalono, że rozkład czasu dojazdu do pracy osób
zatrudnionych w sklepach stołecznych jest rozkładem normalnym. W celu oszacowania
nieznanej średniej w tym rozkładzie wylosowano niezależnie 17 – elementową próbę
pracowników. Średni czas dojazdu w tej próbie wynosił 40 minut a odchylenie standardowe
stanowiło połowę czasu średniego. Przyjmując współczynnik ufności 0,95, oszacować metodą
przedziałową średni czas dojazdu do pracy ogółu pracowników.
•
Przedział ufności dla wskaźnika struktury (procentu)
Zadanie 3
Oszacować przedziałowo jaka część młodzieży szkół licealnych pali papierosy, jeżeli w
próbie wybranej w losowaniu niezależnym, liczącej 1000 uczniów, 220 osób paliło papierosy.
Przyjąć współczynnik ufności 0,9.
•
Przedział ufności dla wariancji i odchylenia standardowego
Zadanie 4
Wymiary 6 losowo wybranych detali, wyrażone w mm, kształtowały się następująco: 6,3; 5,9;
6,2; 5,8; 5,7; 6,1. Przyjmując założenie, że rozkład wymiarów ogółu produkowanych detali
jest normalny, przy współczynniku ufności równym 0,9 oszacować nieznane odchylenie
standardowe wymiarów ogółu produkowanych detali.
Zadanie 5
Przy badaniu wysokości wynagrodzeń w przemyśle odzieżowym w 1993 r. wylosowano 200
pracowników. Na podstawie wyników próby otrzymano średnią płacę na poziomie 77,8 oraz
odchylenie standardowe równe 15,5. Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,95
oszacować nieznane odchylenie standardowe w rozkładzie wynagrodzeń ogółu pracowników
przemysłu odzieżowego.
•
Wyznaczanie niezbędnej liczby pomiarów do próby
Zadanie 6
Jak liczną próbę należy wylosować z partii liczącej 2000 sztuk rur stalowych, aby oszacować
przeciętną średnicę rur z błędem maksymalnym nie przekraczającym 1,2 mm, jeżeli z
poprzednich ustaleń wynika, że wariancja średnicy rur wynosiła 2,8 mm 2 ? Przyjąć
współczynnik ufności na poziomie 0,9.
1
Zadanie 7
W losowo wybranej próbie 100 studentów UMK 40 osób mieszkało na stałe w Toruniu.
Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0,95:
a) Oszacować przedziałowo udział studentów mieszkających na stałe poza Toruniem
wśród ogółu studentów.
b) Określić, o ile osób należy zwiększyć powyższą próbę, aby dwukrotnie wzrosła
precyzja oszacowania.
•
Estymacja punktowa
Zadanie 8
Wylosowano 500 turystów polskich powracających do kraju z pobytów krótkookresowych i
zbadano ich ze względu na wartość przewożonych legalnie towarów spożywczych (bez
alkoholi). Okazało się, że średnia arytmetyczna wartość towarów wynosi 36,74 zł na jednego
turystę, przy odchyleniu standardowym równym 5,26 zł. Oszacować metodą punktową
wartość oczekiwaną.
WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH
PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
•
Test dla wartości średniej populacji
Zadanie 1
Zbadano w 81 wylosowanych zakładach pewnej gałęzi przemysłowej koszty materiałowe
przy produkcji pewnego wyrobu i otrzymano średnią 540 zł oraz odchylenie standardowe 150
zł. Na poziomie istotności równym 0,05 zweryfikować hipotezę, że średnie koszty
materiałowe przy produkcji tego wyrobu wynoszą 600 zł.
Zadanie 2
Na losowo dobranej próbie 10 samochodów marki „Skoda” przeprowadzono badanie zużycia
benzyny po przejechaniu trasy 100 km. Okazało się, że średnie zużycie benzyny dla tej próby
samochodów wynosiło 7,1l przy odchyleniu standardowym 0,9l. Jednocześnie wiadomo, że
norma fabryczna zużycia benzyny po przebyciu trasy 100 km wynosi 7,7l. Czy można
twierdzić, że rzeczywiste zużycie benzyny jest mniejsze niż wynosi norma fabryczna.
Weryfikację przeprowadzić dla poziomu istotności α = 0,05 oraz α = 0,01 .
Zadanie 3
Czas montowania elementu w automatycznej pralce bębnowej jest zmienną losową o
rozkładzie normalnym. Norma techniczna przewiduje na tę czynność 6 min, natomiast wśród
jej wykonawców istnieje pogląd, że ten normatywny czas jest zbyt krótki. Należy sprawdzić
to przypuszczenie przy założeniu, że odchylenie standardowe czasu montowania wynosi 1min
30s. Obliczono, że w grupie 25 robotników średni czas montowania wynosi 6 min 20s.
Przyjąć poziom istotności 0,05.
•
Test dla dwóch średnich
Zadanie 4
Wylosowana do badań budżetów rodzinnych próba 120 rodzin zamieszkałych w Toruniu dała
średnią 450zł miesięcznych wydatków na mieszkanie oraz odchylenie standardowe 120zł.
2
Natomiast losowa próba 100 rodzin zamieszkałych w Bydgoszczy dała średnią 420zł
miesięcznych wydatków na mieszkanie oraz odchylenie standardowe 150zł. Przyjmując
poziom istotności 0,05 zweryfikować hipotezę o jednakowych średnich wydatkach na
mieszkanie w Toruniu i Bydgoszczy.
Zadanie 5
W wyniku ewidencji dziennej sprzedaży dwóch rodzajów zegarków na rękę szwajcarskiej
firmy w wybranych 20 dniach roboczych ustalono:
zegarki tradycyjne
x1 = 37
s1 ( x) = 7,5
x 2 = 30
s 2 ( x) = 8,2
zegarki z dodatkowymi funkcjami
Czy na poziomie istotności 0,1 można przyjąć, że średnia dzienna sprzedaż zegarków
tradycyjnych jest większa niż zegarków z dodatkowymi funkcjami.
•
Test dla wskaźnika struktury (procentu)
Zadanie 6
Sondaż opinii publicznej na temat frekwencji oczekiwanej na wyborach wykazał, że w
losowo wybranej grupie 2500 osób 1600 zamierza uczestniczyć w głosowaniu. Czy na
poziomie istotności równym 0,05 można przyjąć, że 60% ogółu osób zamierza wziąć udział w
wyborach?
•
Test dla dwóch wskaźników struktury
Zadanie 7
Do produkcji wprowadzono tańszy surowiec. Pobrano próbę losową 200szt. wyrobów
produkowanych z droższego surowca, wśród których było 180 szt. pierwszego gatunku. W
wylosowanej próbie 300 szt. produkowanych z tańszego surowca wyrobów takich było 230
szt. Czy zmiana surowca wpłynęła na obniżenie się jakości produkcji? Przyjąć poziom
istotności 0,05.
•
Test dla wariancji populacji generalnej
Zadanie 8
Średnie odchylenie od normy pracochłonności przy produkcji wyrobu pojedynczego
robotnika powinno wynosić 7,9 min/wyrób. Wylosowano 20 robotników, których odchylenie
standardowe pracochłonności wynosiło 8,4 min/wyrób. Przyjmując poziom istotności 0,01
zweryfikować hipotezę o równości faktycznego i zakładanego odchylenia standardowego.
•
Test dla dwóch wariancji
Zadanie 9
W celu porównania regularności uzyskiwanych wyników sportowych dwu oszczepników,
wylosowano 20 wyników rzutu oszczepem zawodnika A i 16 wyników zawodnika B.
Otrzymano dla zawodnika A odchylenie standardowe wynoszące 2,65m, a dla zawodnika B
wynoszące 4,80m. Na poziomie istotności 0,05 sprawdzić hipotezę o większej regularności
wyników zawodnika A.
3
NIEPARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI
•
Test zgodności χ 2
Zadanie 1
W pewnym mieście wylosowano niezależnie 500 rodzin i zbadano miesięczne zużycie energii
elektrycznej u każdej z nich. Otrzymano rozkład:
Zużycie energii w kWh
Liczba rodzin
35 - 45
70
45 - 55
100
55 - 65
140
65 - 75
110
75 – 85
80
Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że rozkład zużycia energii elektrycznej
przez te rodziny jest normalny.
Zadanie 2
Ewidencja liczby awarii urządzeń technicznych w zakładzie produkcyjnym w ciągu kolejnych
160 dni roboczych dostarczyła następujących informacji:
Liczba awarii
Liczba dni
0
35
1
57
2
36
3
21
4
11
Czy zakładając prawdopodobieństwo popełnienia błędu pierwszego rodzaju na poziomie 0,1
można uznać powyższy rozkład za zgodny z rozkładem Poissona z λ = 1,4 ?
•
Test zgodności λ - Kołmogorowa
Zadanie 3
Poniższe zestawienie zawiera informację o łącznej liczbie punktów uzyskanych przez
studentów studiów dziennych z czterech kolejnych prac kontrolnych ze statystyki:
Liczba punktów
Liczba studentów
poniżej 65
10
65 – 70
20
71 – 75
40
76 – 80
50
81 – 85
40
85 i więcej
40
Korzystając z testu λ - Kołmogorowa, należy zweryfikować hipotezę, że powyższy rozkład
jest zgodny z rozkładem normalnym o wartości oczekiwanej i odchyleniu standardowym
równym odpowiednio 78 oraz 9 punktów.
•
Test zgodności Kołmogorowa – Smirnowa
Zadanie 4
W zakładach produkujących wyrób M zostały wprowadzone zmiany w strukturze
organizacyjnej. W celu stwierdzenia, czy reorganizacja spowodowała zmianę kosztów
jednostkowych wytwarzania produktu M zbadano próbę 200 zakładów przed reorganizacją
oraz 100 zakładów po reorganizacji i zbadano w nich koszty jednostkowe, otrzymując
poniższe rozkłady empiryczne:
Koszty w zł
Liczba zakł. przed reorg.
Liczba zakł. po reorg.
2,5–3,5 3,5–4,5 4,5–5,5 5,5–6,5 6,5–7,5 7,5–8,5 8,5–9,5
5
10
35
80
50
10
10
8
10
12
30
20
15
5
4
Przyjmując poziom istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że rozkłady kosztów
jednostkowych przed i po reorganizacji są identyczne.
WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W ANALIZIE KORELACJI I REGRESJI
Przedział ufności dla współczynnika korelacji liniowej Pearsona (estymacja)
Zadanie 1
Wylosowano 180 gospodarstw indywidualnych i na ich podstawie zbadano zależność między
ilością stosowanych nawozów sztucznych a średnim zbiorem zbóż z jednego hektara.
Współczynnik korelacji wynosił r = 0,8. Przy współczynniku ufności równym 0,9 wyznaczyć
przedział ufności pokrywający nieznany współczynnik korelacji całej populacji generalnej.
Testowanie istotności współczynnika korelacji liniowej Pearsona (weryfikacja)
Zadanie 2
Jednostkowy koszt produkcji oraz wielkość produkcji pewnego dobra (w tys. sztuk) w
konkurujących ze sobą pięciu firmach przedstawiono w zestawieniu:
Wielkość produkcji
Jednostkowy koszt produkcji
23
50
30
38
41
34
45
30
50
28
Zbadać istotność współczynnika korelacji liniowej Pearsona
Przedział ufności dla współczynnika regresji (estymacja)
Zadanie 3
Jednostkowy koszt produkcji oraz wielkość produkcji pewnego dobra (w tys. sztuk) w
konkurujących ze sobą pięciu firmach przedstawiono w zestawieniu:
Wielkość produkcji
Jednostkowy koszt produkcji
23
50
30
38
41
34
45
30
50
28
Wyznaczyć liniowe funkcje regresji i oszacować metodą przedziałową współczynnik regresji
(przyjąć współczynnik ufności 0,95).
Testowanie istotności współczynnika regresji (weryfikacja)
Zadanie 4
Jednostkowy koszt produkcji oraz wielkość produkcji pewnego dobra (w tys. sztuk) w
konkurujących ze sobą pięciu firmach przedstawiono w zestawieniu:
Wielkość produkcji
Jednostkowy koszt produkcji
23
50
30
38
41
34
45
30
50
28
Wyznaczyć liniowe funkcje regresji i zbadać istotność wpływu zmiennej X na zmienną Y,
weryfikując hipotezę o braku zależności.
5
Testy nieparametryczne w analizie regresji
Zadanie 5
Badając zależność między wielkością produkcji a kosztami całkowitymi produkcji pewnego
wyrobu otrzymano w próbie następujące wyniki dla 10 pomiarów (xi - wielkość produkcji w
setkach sztuk, yi - koszt całkowity w mln zł).
xi
yi
1
1
1,5
2,5
4
4
2
3
3
3,5
10
5
16
6
20
7
25
8
32
9
Oszacuj liniowy model regresji i zbadaj losowość reszt (jest to jeden z warunków, aby funkcja
regresji II rodzaju była dobrą aproksymantą f. regresji I rodzaju).
Zadanie 6
Badając zależność między wielkością produkcji a kosztami całkowitymi produkcji pewnego
wyrobu otrzymano w próbie następujące wyniki dla 10 pomiarów (xi - wielkość produkcji w
setkach sztuk, yi - koszt całkowity w mln zł).
xi
yi
1
1
1,5
2,5
4
4
2
3
3
3,5
10
5
16
6
20
7
25
8
32
9
Oszacuj liniowy model regresji i zweryfikuj hipotezę o liniowej postaci funkcji regresji.
6