Zadania z matematyki dla studentów I

Zadania z matematyki – zestaw 3 (Ekonomia Studia Niestacjonarne)
Macierze odwrotne, równania macierzowe, układy równań
1.
2.
1 2
Metodą operacji elementarnych na wierszach znaleźć macierze odwrotne do: A= 
;
3 5
1 1 1 . . .
1 2 3 4 
0 0 0 4
0 1 1 . . .
 1 2 1
2 2 5 1 
0 0 7 0 

 ; D= 
;
B=  1  1 2 ; C= 
E= 0 0 1 . . .
0 5 0 0 
1 0 1  3

 1 1 1 




. . . . . .
2 0 0 0
2 2 4 2 
0 0 0 . . .
1
1
1 .

.
1
4 1 
;
5 2
Metodą operacji elementarnych na wierszach znaleźć macierze odwrotne do: A= 
0 5 - 2 
3 - 2 0




B= 1 4 3 ; C= 2 - 1 1 ;




2 6 7 
6 - 3 4
3.
Metodą wyznacznikową znajdź macierz odwrotną do:
2 1 1 
 0 5 -9


A  14 3 2  B  1 3  2 ,
3 1 0 
11 6 - 5
4.
1 1 a 
C  1 a 1  ,
a 1 1 
1  1 1  1
1  1  1 1 
’
D
1 1 1 1 


1 1  1  1
Wyznacz macierz X przy założeniu, że macierze A, B, C i D są nieosobliwe:
1
A  B  C  X  D  E ; A 2  X  B  C  D ; X  X T   X  A ;
.
3
5.
6.

1 0 
 3 4
1
1
Jeżeli A  
, B
oblicz macierz C  A T  A   B T  B  A T  A   B T


 2 3
 2 3
1
1
3
3
1
2
1 1 1 1 
1 , C= 2 2 2 2 ,
3 3 3 3
1  1 0
2
Zbadaj rzędy macierzy: A  2  1 1 , B  1  1 2
4
1
7 
2
1
1
1
 1 2  1  1
D   2 1  0 1 .
 1 0 1 1 0
7.
Rozwiązać za pomocą wzorów Cramera układy równań:
 x1  x2  x3  x4  3
2 x  y  z  2

 x1  2 x2  x3  x4  2

;
;
3
x

2
y

2
z


2


2 x1  x2  x3  2 x4  3
x  2 y  z  1

 x1  x2  x3  x4  1
4
 3
 x  y  2 x  y  0
 9
8


5
 x  y 2 x  y
 x  y  z  6t  1

2 x  y  2 z  t  1 ;
 x  2 y  z  t  8


1
8.
Zbadaj liczbę rozwiązań układów równań:
 x1  x2  x3  x4  0
x  y  z  2


a)  x  2 y  z  2 , b)  x1  x2  x3  2 x4  1 .
 x  3x  3x  2
2 x  y  z  1
2
3
 1

9.
Zbadaj liczbę rozwiązań układu równań w zależności od parametru m
mx  y  z  1
x  y  z  2
x  y  z  1



a)  x  my  z  m
b)  x  2 y  z  4
c)  y  z  4
 x  y  mz  m 2
2mx  3 y  m
mx  y  z  0



10. Dany jest model rynku, na którym występują dwa dobra. Wiedząc, że równowaga występuje gdy popyt
jest równy podaży ( QD  QS ) wyznacz ceny i ilości dóbr spełniających warunek równowagi:
q D1  6 p1  8 p2  80

q S 1  4 p1  80
,

q D 2  3 p1  4 p2  30
q S 2  2 p2  24
gdzie: q D1 (q S 1 ) - wielkość popytu (podaży) pierwszego dobra, q D 2 (qS 2 ) - wielkość popytu (podaży)
drugiego dobra, p1 i p 2 - ceny pierwszego i drugiego dobra.
11. . Zakład wytwarza wyroby W1, W2, W3 zużywając w procesie produkcji surowce S1, S2, S3. Zużycie
surowców Si przypadające na jednostkę wyrobu Wj oraz istniejące zapasy poszczególnych surowców
przedstawia tabela:
W1 W2 W3 Zapasy
S1
1
1
2
40
S2
2
3
5
30
S3
3
4
7
m
Przy jakim poziomie S3 będzie możliwe podjęcie decyzji o ilości produkcji każdego z wyrobów przy
założeniu konieczności wyczerpania zasobów surowcowych?