1. C Niech S będzie powierzchnią. Wówczas w każdym punkcie (x, y

1. Całka powierzchniowa zorientowana
Niech S będzie powierzchnią. Wówczas w każdym punkcie (x, y, z) ∈ S można wyznaczyć wektor jednostkowy i prostopadły N (x, y, z) do tej powierzchni.
Wektor ten można wybrać na dwa sposoby. Wybierając w każdym punkcie
(x, y, z) powierzchni S jeden z wektorów N (x, y, z) otrzymujemy pole N na powierzchni S. Jeśli pole N możemy wybrać tak, aby było ono ciągłe, to mówimy,
że powierzchnia S jest powierzchnią orientowalną, natomiast pole N nazywamy orientacją powierzchni S. Jeśli N jest orientacją, to pole −N również
jest orientacją powierzchni. Powierzchnia orientowalna ma zatem dokładnie
dwie orientacje. Istnieją powierzchnie, które nie są orientowalne, na przykład
tzw.wstęga Möbiusa
Niech S będzie powierzchnią orientowalną (z orientacją N ograniczającą obszar V . Mówimy, że powierzchnia S jest zorientowana na zewnątrz, jeśli dla
każdego punktu (x, y, z) ∈ S i dla dostatecznie „małych” parametrów t > 0 zachodzi warunek (x, y, z) + tN (x, y, z) ∈
/ V (nieformalnie, orientacja N wskazuje
kierunek na zewnątrz obszaru V ). Mówimy, że powierzchnia S jest zorientowana do wewnątrz, jeśli nie jest zorientowana na zewnątrz (nieformalnie,
orientacja N wskazuje kierunek do wewnątrz obszaru V ).
Jeśli powierzchnia S jest dana równaniem ogólnym H(x, y, z) = 0, to jest ona
orientowalna oraz jej orientacją jest jedno z następujących pól wektorowych
OH
OH
lub −N = − kOHk
N = kOHk
Zadanie 1.1. Znaleźć orientację następujących powierzchni
(1) x2 + y 2 + z 2 = 36
(2) z = xy
Niech krzywa regularna zamknięta Γ będzie brzegiem powierzchni orientowanej S z orientacją N . Niech T będzie polem wektorowym jednostkowym
stycznym do krzywej Γ wyznaczonym przez parametryzację tej krzywej. Wtedy
pole wektorowe B wzdłuż krzywej Γ określone wzorem B = N xT jest polem
normalnym do brzegu Γ i stycznym do powierzchni S. Otrzymaliśmy, w każdej
1
2
chwili t parametryzacji krzywej Γ, trzy wektory wzajemnie prostopadłe: T (t),
B(t), N (t).
Mówimy, że orientacja brzegu jest indukowana z orientacji powierzchni lub
że orientacja brzegu i powierzchni są zgodne wektor B(t) jest skierowany w
stronę powierzchni w każdej chwili t.
Niech S będzie powierzchnią zorientowaną o orientacji N . Niech P = P (x, y, z),Q =
Q(x, y, z) i R = R(x, y, z) będą funkcjami określonymi i ciągłymi na tej powierzchni. Całką powierzchniową zorientowaną układu funkcji P , Q, R po powierzchni S nazywamy liczbę
ZZ
F ◦ N dσ,
S
gdzie F jest polem wektorowym postaci F = [P, Q, R] i oznaczamy
ZZ
P dydz + Qdzdx + Rdxdy
S
Niech V będzie obszarem w przestrzeni ograniczonym powierzchnią S zorientowaną na zewnątrz zbioru V wóczas
Ponadto
3
Zauważmy, że Twierdzenie Stokesa jest uogólnieniem Twierdzenia Greena na
przypadek krzywych w przestrzeni.
2. CAŁKI POWIERZCHNIOWE ZORIENTOWANE.
(1) Obliczyć całki powierzchniowe zorientowane
(a)
ZZ
xdydz + ydzdx + zdxdy,
S
gdzie S jest sferą jednostkową x2 + y 2 + z 2 = 1 zorientowaną na
zewnątrz;
(b)
ZZ
z 2 dydz + y 2 dzdx + x2 dxdy,
S
gdzie S jest czworościanem zorientowanym na zewnątrz o wierzchołkach (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0) i (1, 0, 0);
(c)
x2 + y 2
(dydz − dzdx),
2z
S
gdzie S jest powierzchnią walcową x2 + y 2 = 1 ograniczoną płaszczyznami z = 1 oraz x + y + z = 5 i zorientowaną do wewnątrz;
ZZ
(d)
ZZ
ydydz − dxdy,
S
4
gdzie S jest powierzchnią paraboloidy x2 + y 2 = z ograniczoną
płaszczyzną z = 4 i zorientowaną do wewnątrz;
(e)
ZZ
(x2 + y 2 )dydz − (x2 + y 2 )dzdx,
H
gdzie H jest powierzchnią walcową x2 + y 2 = 4 ograniczoną płaszczyznami z = 0 oraz x + y + z = 10 i zorientowaną do zewnątrz.
(2) Obliczyć całki korzystając z twierdzenia Gaussa–Ostrogradskiego,
RR
(a) S xy 2 zdxdy, gdzie S jest brzegiem sześcianu o wierzchołkach (0, 0, 0),
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0) i (1, 1, 1) zorientowanym na zewnątrz
RR
(b) S x2 dydz + 21 y 2 dzdx + dxdy, gdzie S jest zorientowaną na zewnątrz
powierzchnią czworościanu ograniczonego płaszczyznami układu współrzędnych i płaszczyzną x + y + z = 1
RR
(c) S (x+y)dydz+z2dzdx+x2dxdy, gdzie S jest półsferą x2 +y 2 +z 2 = 1,
z > 0, zorientowaną na zewnątrz
RR
(d) S xdydz + ydzdx + (z − 1)dxdy, gdzie S jest częścią sfery x2 + y 2 +
(z − 1)2 = 9, 1 < z < 4 i paszczyznz = 1
3. Twierdzenie Stokesa
Obliczyć całki korzystając z twierdzenia Stokesa
+ y)dx + (2x − z)dy + (y + 3z)dz, gdzie Γ jest brzegiem trójkąta S
leżącego w płaszczyźnie x + y + z = 3 i ograniczonego płaszczyznami układu współrzędnych. Zakładamy, że orientację trójkąta wyznacza
wektor B = [1, 1, 1], brzeg trójkąta zaś ma orientację indukowaną z trójkąta S
R
(2) Γ (x + z)dx + (x − y + 2z)dy + (y − 4z)dz, gdzie Γ jest brzegiem trójkąta o kolejnych wierzchołkach A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1). Orientację
trójkąta wyznacza wektor B = [1, 1, 1], brzeg trójkąta zaś ma orientację
indukowaną z trójkąta S.
R
(3) Γ (x2 + y 2 )dx − (x + y + z)dy + (x − y)dz, gdzie Γ jest krzywą zamkniętą
powstałą z przecięcia paraboloidy x2 + y 2 = 2z z płaszczyzną P : x +
y + z − 1 = 0, zorientowaną dodatnio względem wektora [1, 1, 1], tzn.
„obiegającą” wektor [1, 1, 1] przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.
(1)
R
Γ (x
(1) Niech S będzie półsferą x2 + y 2 + z 2 = r2 , z > 0, zorientowaną na
zewnątrz i niech N będzie jej orientacją. Niech Γ będzie brzegiem
powierzchni S z orientacją indukowaną z powierzchni S. Pokazać, że
R
RR
Γ xdx + xdy + ydz =
S rotF ◦ N dσ, gdzie F = [x, x, y].