Lista XV. Całka powierzchniowa zorientowana

Katedra Matematyki
MATEMATYKA 2
Wydział Elektryczny
Lista XV. Całka powierzchniowa zorientowana
Obliczyć całki powierzchniowe zorientowane:
v
15.1. xy dydz + yz dzdx + xz dxdy, Σ − zewnętrzna strona powierzchni czworościanu ograniczonego
Σ
płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1
v
15.2. x dydz + yz dzdx + z dxdy, Σ − zewnętrzna strona powierzchni sześcianu 0 ¬ x ¬ 1, 0 ¬ y ¬ 1,
Σ
0¬z¬1
v
√
15.3. x2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy, Σ − górna strona powierzchni stożka z = x2 + y 2 , z ¬ 1
Σ
v
15.4. x dydz + y dzdx + z dxdy, Σ − wewnętrzna strona półsfery x2 + y 2 + z 2 = R2 , z ¬ 0
Σ
Przy pomocy twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego obliczyć całki powierzchniowe:
v
15.5. x2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy, Σ − zewnętrzna strona powierzchni czworościanu ograniczonego
Σ
płaszczyznami x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 3
v
15.6. 2xy dydz − y 2 dzdx + 2z dxdy, Σ − zewnętrzna strona brzegu obszaru x2 + y 2 + z 2 ¬ 9,
Σ
x ­ 0, y ­ 0,z ­ 0
v
15.7. x3 dydz + y 3 dzdx + z 3 dxdy, Σ − wewnętrzna strona powierzchni walca x2 + y 2 ¬ R2 ,
Σ
0¬z¬H
v
15.8. x dydz + y dzdx + z dxdy, Σ − zewnętrzna strona sfery x2 + y 2 + z 2 = 9
Σ
Korzystając z twierdzenia Stokesa obliczyć całki krzywoliniowe:
H
15.9. x2 y 3 dx + dy + z dz, Γ − okrąg x2 + y 2 = 4, z = 0, zorientowany dodatnio
ΓH
15.10. (x − y) dx + (y − z)dy + (z − x) dz, Γ − górna strona paraboloidy z = 1 − x2 − y 2 odciętej
Γ
płaszczyznąz = 0, zorientowana dodatnio
H
15.11. (y + z) dx + (z + x)dy + (x + y) dz, Γ − elipsa x2 + y 2 = 4, x − z = 0
Γ
1